1 ¨Ubungen zu Topologie SS2011

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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 1.1 Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung.
1. Für jede Teilmenge B von Y gilt: f −1 (B c ) = (f −1 (B))c .
2. Sind Bα bzw. Aα Familien von Teilmengen von Y bzw. X, so gilt:
[
f −1 (
α
Bα ) =
[
f(
α
[
α
Aα ) =
\
f −1 (Bα ) und f −1 (
[
\
f (Aα ) und f (
α
α
Bα ) =
α
Aα ) ⊆
\
\
f −1 (Bα )
α
f (Aα )
α
3. Für jede Teilmenge A von X und jede Teilmenge B von Y gilt: f −1 (f (A)) ⊇ A und
f (f −1 (B)) ⊆ B.
4. f ist genau dann injektiv, wenn für alle A ⊆ X: f −1 (f (A)) = A.
5. f ist genau dann surjektiv, wenn für alle B ⊆ Y : f (f −1 (B) = B.
Beispiel 1.2 (Prinzip der transfiniten Induktion) Sei (X, ≤) wohlgeordnet mit dem
minimalen Element 0 und Y ⊆ X. Falls für alle x ∈ X aus {y ∈ X : y < x} ⊆ Y folgt:
x ∈ Y , dann gilt Y = X.
Beispiel 1.3 Sei f : X → Y injektiv (surjektiv). Dann gibt es eine surjektive (injektive)
Abbildung g : Y → X.
Beispiel 1.4 Sei X, Y Mengen. Dann gibt es entweder eine Injektion f : X → Y oder
eine Injektion g : Y → X. Hinweis: Sei F: = {(f, A) : A ⊆ X, f : A → Y injektiv}
und (f, A) ≤ (g, B) genau dann, wenn A ⊆ B und g|A = f ; zeigen Sie, daß F induktiv
geordnet ist und benutzen Sie das voranstehende Beispiel.
Beispiel 1.5 Sei X eine Menge, P(X) die Potenzmenge von X und φ : P(X) → P(X)
eine steigende Funktion (i.e. A ⊆ B ⇒ φ(A) ⊆ φ(B)). Dann existiert eine Teilmenge A0
von X mit φ(A0 ) = A0 . Hinweis: Sei X := {A ∈ P(X) : A ⊆ φ(A)}, so gilt: ∅ ∈ X ,
S
A ∈ X ⇒ φ(A) ∈ X und A0 := X A ist ein Fixpunkt von φ – cf. Satz von Knaster
Tarski.
Beispiel 1.6 (Cantor, Bernstein) Seien f : X → Y und g : Y → X injektive Funktionen. Dann existiert eine Bijektion h : Y → X. Hinweis : Sei φ : P(X) → P(X) definiert
durch φ(A) = X \ g(Y \ f (A)), dann ist φ steigend. Bezeichnet A0 einen Fixpunkt von φ,
so sei
(
g(y) falls y ∈ Y \ f (A0 )
h(y) =
f −1 (y) falls y ∈ f (A0 )
Beispiel 1.7 (Knaster, Tarski) Sei (X, ≤) eine geordnete Menge und F : X → X
eine monoton steigende Abbildung (d.h. aus x ≤ y folgt F (x) ≤ F (y)). Falls erstens
ein x0 ∈ X existiert mit x0 ≤ F (x0 ) und zweitens jede linear geordnete Teilmenge von
{x ∈ X : x ≥ x0 } ein Supremum besitzt, dann besitzt F einen Fixpunkt. Hinweis: X0 : =
{x ∈ X : x ≤ F (x), x ≥ x0 } ist induktiv geordnet und jedes maximale Element von X0 ist
ein Fixpunkt.
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Beispiel 1.8 Sei d : X × X → R+
0 eine Abbildung, so daß für alle x, y, z ∈ X: d(x, x) = 0
und d(x, z) + d(y, z) ≥ d(x, y). Dann ist d eine Halbmetrik auf X.
Beispiel 1.9 Sei 0 < p < 1, dann ist durch d(x, y): =
definiert.
P
|xj − yj |p eine Metrik auf Rn
Beispiel 1.10 Ist (E, k.k) ein normierter Raum und p eine Halbnorm auf E, Dann sind
folgende Aussagen äquivalent:
1. p ist stetig auf E.
2. p ist in 0 stetig.
3. ∃ C > 0 ∀ x ∈ E: p(x) ≤ C kxk.
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Beispiel 2.1 Zeigen Sie, daß f (x): = x/(1 + kxk) ein Homöomorphismus von Rn auf
B2n : = {x ∈ Rn : kxk2 < 1} ist.
+
Beispiel 2.2 Sei d eine Metrik auf X und ϕ : R+
0 → R0 eine stetige streng monoton
steigende Abbildung mit ϕ(0) = 0 und ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y). Zeigen Sie, daß d1 (x, y): =
ϕ(d(x, y)) eine zu d äquivalente Metrik auf X ist.
Beispiel 2.3 Seien X, Y metrische Räume und xn eine Cauchyfolge in X.
1. Ist f : X → Y Lipschitz-stetig, so ist f (xn ) eine Cauchyfolge in Y .
2. Ist f : X → Y gleichmäßig stetig, so ist f (xn ) eine Cauchyfolge in Y .
3. Ist f : X → Y stetig, so ist f (xn ) i.a. keine Cauchyfolge in Y .
Beispiel 2.4 X metrisch, dann gilt: dA = dA und A = ∩n [dA < n1 ] i.e. in einem metrischen Raum ist jede abgeschlossene Menge der Durchschnitt von abzählbar vielen offenen
Mengen.
Beispiel 2.5 Sei X eine Menge, N ∈ N und Ω = X N . Ferner sei für alle x, y ∈ Ω:
d(x, y): = |{j ≤ N : xj 6= yj }| .
Dann ist (Ω, d) ein metrischer Raum. d heißt die Hamming-Metrik auf Ω.
Beispiel 2.6 Seien 1 ≤ n < N und Ω die Menge aller n-Tupel x = (x1 , . . . , xn ), so daß
x1 < x2 < · · · < xn und xi ∈ {1, . . . , N }. Ferner sei für alle x, y ∈ Ω:
d(x, y): = n − |{x1 , . . . , xn } ∩ {y1 , . . . , yn }| .
Dann ist (Ω, d) ein metrischer Raum – der Lottoraum.
Beispiel 2.7 Sei p eine Primzahl, n, m ∈ Z und φ(n) der Exponent von p in der Primzerlegung von |n|. Für x = n/m sei φ(x) = φ(n) − φ(m). Dann ist durch
|x|p : =
(
p−φ(x) falls x 6= 0
0
falls x = 0
eine “Norm”auf Q definiert – die p-adische Norm, und es gilt für alle x, y ∈ Q:
|xy|p = |x|p |y|p
und
|x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p } .
Die Vervollständigung von (Q, |.|p ) heißt der Körper der p-adischen Zahlen und wird mit
Qp bezeichnet. Warum ist Qp ein Körper?
Beispiel 2.8 Auf dem Raum M(R, n) (bzw. M(C, n)) aller reellen (bzw. komplexen) n×nMatrizen ist durch hA, Bi: = tr (AB ∗ ) ein inneres Produkt definiert – die entsprechende
Norm heißt die Hilbert-Schmidt-Norm k.kHS . Zeigen Sie, daß dieser Raum isometrisch
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isomorph zu Rn (bzw. Cn ) mit dem kanonischen inneren Produkt ist.
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Beispiel 2.9 Sei X eine Menge und R, S ⊆ X × X Relationen. Dann ist
RS: = {(x, y) ∈ X 2 : ∃ z ∈ X : (x, z) ∈ R, (z, y) ∈ S}
eine Relation auf X. Insbesondere schreibt man für RR auch R2 . Sind R, S symmetrisch,
so ist auch RS symmetrisch. Ist R eine symmetrische und reflexive Relation auf X, so
S
daß Rn = X 2 , dann ist durch
N (x, y): =
(
0
falls x = y
inf{n ∈ N : (x, y) ∈ Rn } sonst
eine Metrik definiert.
Beispiel 2.10 Sei R eine symmetrische und reflexive Relation auf X, so daß
und f : R → R+
0 symmetrisch. Dann ist durch d(x, x): = 0 und für x 6= y:
d(x, y): = inf

n
X

f (zj−1 , zj ) : n ∈ N, z0 = x, zn = y, (zj−1 , zj ) ∈ R
j=1
eine Metrik auf X definiert.
4
S



Rn = X 2
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Beispiel 3.1 Sei X ein metrischer Raum, A ⊆ X; d(x, A): = dA (x): = inf{d(x, y) : y ∈
A}. Zeigen Sie: dA ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstante 1.
Beispiel 3.2 Gl(R, n): = {A ∈ M(R, n) : det A 6= 0} ist eine offene Teilmenge von
M(R, n). Sl(R, n): = {A ∈ M(R, n) : det A = 1}, O(n): = {A ∈ M(R, n) : AA∗ = 1}
und SO(n): = Sl(R, n) ∩ O(n) sind abgeschlossene Teilmengen von M(R, n).
Beispiel 3.3 Gl(C, n): = {A ∈ M(C, n) : det A 6= 0} ist eine offene Teilmenge von
M(C, n). Sl(C, n): = {A ∈ M(C, n) : det A = 1}, U(n): = {A ∈ M(C, n) : AA∗ = 1}
und SU(n): = Sl(C, n) ∩ U(n) sind abgeschlossene Teilmengen von M(C, n).
Beispiel 3.4 Sei (X, d) ein metrischer Raum (d ≤ 1),
H(X): = {A ⊆ X : A = A, A 6= ∅} .
Für je zwei Elemente A, B ∈ H(X) seien
e(A, B): = sup{d(x, B) : x ∈ A}
dH (A, B): = max{e(A, B), e(B, A)} .
Zeigen Sie: dH ist eine Metrik auf H(X) – die Hausdorff-Metrik.
Beispiel 3.5 Ein Mengensystem B ⊆ P(X) ist genau dann eine Basis einer Topologie T
auf X, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem U ∈ T und jedem x ∈ U existiert
ein B ∈ B mit x ∈ B ⊆ U .
Beispiel 3.6 Sei X eine geordnete Menge und T0 , T+ bzw. T− die von den Intervallen
der Form (x, y), [x, y) bzw. (x, y] erzeugten Topologien.
1. Ist X linear geordnet, so bilden die Intervalle der Form (x, y), [x, y) bzw. (x, y] Basen
von T0 , T+ bzw. T− .
2. Ist X wohlgeordnet, so ist T+ die diskrete Topologie und T0 und T− stimmen überein,
falls X kein maximales Element besitzt.
Beispiel 3.7 Für jede Teilmenge A eines topologischen Raumes X gilt: A◦c = Ac , Ac◦ =
c
A und A \ A◦ = Ac \ Ac .
Beispiel 3.8 Zeigen Sie, daß eine Abbildung f : X → Y genau dann stetig im Punkt x0
ist, wenn für alle offenen Umgebungen V von f (x0 ) gilt: x ∈ f −1 (V )◦ .
Beispiel 3.9 Sei f : X → Y eine Abbildung, BY eine Basis von TY und C(f ) die Menge
aller Punkte in denen f stetig ist. Zeigen Sie:
C(f )c =
[
f −1 (V ) \ f −1 (V )◦ =
V ∈TY
[
f −1 (V ) \ f −1 (V )◦
V ∈BY
Beispiel 3.10 Sei f : X → Y eine injektive Abbildung. Zeigen Sie, daß f −1 : f (X) → X
genau dann stetig im Punkt y = f (x) ist, wenn für alle offenen Umgebungen U von x gilt:
y ist ein innerer Punkt von f (U ) in f (X).
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Beispiel 4.1 Seien X, Y topologischer Räume. Zeigen Sie, daß das Mengensystem
{U × V : U ∈ TX , V ∈ TY }
Basis einer Topologie – die sogenannte Produkttopologie – auf X × Y ist.
Beispiel 4.2 Sei X ein topologischer Raum und f : X → R. f ist genau dann von unten
halbstetig, wenn {(x, t) ∈ X × R : f (x) ≤ t} abgeschlossen ist.
Beispiel 4.3 Sei X ein topologischer Raum, U eine offene Teilmenge von X × R. Dann
ist f : X → R,
f (x): = sup{t : (x, t) ∈ U } l.s.c.
Beispiel 4.4 Sei X ein metrischer Raum und f : X → R+ ,
gn (x): = inf{f (z) + nd(x, z) : z ∈ X}.
Zeigen Sie: |gn (y)−gn (x)| ≤ nd(y, x) und gn (x) ≤ gn+1 (x). Bestimmen Sie die Funktionen
gn , wenn f die Indikatorfunktion einer offenen Menge U ist.
Beispiel 4.5 Seien f und gn wie im voranstehenden Beispiel. Zeigen Sie: Falls f l.s.c.
ist, so gilt f (x) = lim gn (x). Diese Beispiele zeigen, daß eine nicht negative Funktion f
auf einem metrischen Raum genau dann l.s.c. ist, wenn f der Grenzwert einer monoton
steigenden Folge Lipschitz-stetiger Funktionen ist.
e → X heißt eine ÜberlagerungsBeispiel 4.6 Eine stetige, surjektive Abbildung π : X
abbildung, wenn zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U sowie eine möglicherweise enden von X
e existiert, so daß π −1 (U ) =
liche Folge paarweise disjunkter, offener Teilmengen U
Se
e
Un und sämtliche Einschränkungen π : Un → U Homöomorphismen sind. Zeigen Sie:
jede Überlagerungsabbildung ist offen. Ist die Folge Un stets endlich, so ist π auch abgeschlossen.
Beispiel 4.7 Sei f : X → Y eine stetige Bijektion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. f ist ein Homöomorphismus.
2. f ist abgeschlossen.
3. f ist offen.
Beispiel 4.8 Seien X, Y, Z topologische Räume, f : X → Y und g : Y → Z stetig. Zeigen
Sie: Ist f surjektiv und g ◦ f ein Homöomorphismus, so sind f und g Homöomorphismen.
Beispiel 4.9 Seien f : X → Y und g : Y → Z stetig.
1. Sind f und g offen (abgeschlossen), so ist g ◦ f offen (abgeschlossen).
2. Ist g ◦ f offen (abgeschlossen) und f surjektiv, so ist g offen (abgeschlossen).
3. Ist g ◦ f offen (abgeschlossen) und g injektiv, so ist f offen (abgeschlossen).
Beispiel 4.10 Sei f : (−1, 1] → R2 die Abbildung x 7→ ((x2 − 1)/(x2 + 1), x(x2 − 1)/(x2 +
1)). Zeigen Sie, daß f injektiv und stetig aber keine Einbettung ist.
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Beispiel 5.1 Sei X = {−1, 0} ∪ {1/n : n ∈ N}, d die euklidische Metrik auf X und
D(0, 1/n) = 1, D(−1, 1/n) = 1/n, D(0, −1) = 1. Dann konvergiert die Folge 1/n bezüglich
d gegen 0 und bezüglich D gegen −1.
Beispiel 5.2 Ist D ⊆ X dicht und U eine offene Teilmenge von X, so gilt: U ∩ D = U .
Ist also X separabel und U (⊆ X) offen, so ist U separabel.
2. Ist X separabel und f : X → Y stetig und surjektiv, dann ist Y separabel.
Beispiel 5.3 Sei p ∈ N und M : = {(z, w) ∈ C2 : w = z p } \ {(0, 0)}. Zeigen Sie, daß
χ(z, w): = w ein Überlagerungsabbildung ist und daß χ−1 (w) aus genau p Punkten besteht.
Beispiel 5.4 Sei F die Menge aller Familien offener paarweise disjunkter nicht leerer
Teilmengen von X. Zeigen Sie, daß F durch U ⊆ V induktiv geordnet ist. Ist U eine
S
maximale Familie, so gilt: U = X.
Beispiel 5.5 Zeigen Sie: {T ∈ M(n, C) : T ist diagonalisierbar} liegt dicht in M(n, C).
Beispiel 5.6 (R, T+ ) ist separabel und besitzt keine abzählbare Basis, ist also nicht metrisierbar.
Beispiel 5.7 Sei X eine separabler topologischer Raum und (Uα )α∈I eine Familie paarweise disjunkter offener Mengen, so ist I höchstens abzählbar.
Beispiel 5.8 Sei F die Menge aller Familien offener paarweise disjunkter nicht leerer
Teilmengen von X. Zeigen Sie, daß F durch U ⊆ V induktiv geordnet ist. Ist U eine
S
maximale Familie, so gilt: U = X.
Beispiel 5.9 Sei X ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis Bn und U eine offene
Teilmenge von X. Dann existiert eine Teilfolge Bk(n) paarweise disjunkter Mengen, so
S
S
daß Bk(n) ⊆ U ⊆ U ⊆ Bk(n) .
Beispiel 5.10 Seien H = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}, R = {(x, 0) : x ∈ R} und X = H ∪ R.
Für z ∈ R und n ∈ N sei Un (z) = B(z + (0, 1/n), 1/n) ∪ {z}. Für z ∈ H und n ∈ N sei
Un (z) = B(z, 1/n). Zeigen Sie:
1. {Un (z) : n ∈ N, z ∈ X} ist Basis einer Topologie T auf X – die Niemytzki Topologie.
2. T induziert auf R die diskrete Topologie und auf H die natürliche Topologie.
3. Q × Q+ ist eine dichte Teilmenge von X.
4. (X, T ) ist nicht metrisierbar.
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Beispiel 6.1 Sei f : [0, 1] → [0, 1] und zu jeder endlichen Teilmenge α = {x0 , . . . , xn }
mit 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 seien
S ∗ fα : =
n
X
Mj (xj − xj−1 )
und
S∗ f α : =
j=1
n
X
mj (xj − xj−1 )
j=1
wobei Mj = sup{f (x) : xj−1 ≤ x ≤ xj } und mj = inf{f (x) : xj−1 ≤ x ≤ xj }. Zeigen Sie,
daß die Netze S ∗ fα und S∗ fα konvergieren (α ≤ β: ⇔ α ⊆ β).
Beispiel 6.2 Sei F ein Ultrafilter auf dem topologischen Raum X. F konvergiert genau
dann nicht, wenn zu jedem x ∈ X ein U ∈ U (x) existiert, so daß U c ∈ F.
Sei z.B. X eine Menge mit der diskreten Topologie, dann konvergiert ein Ultrafilter F auf
X genau dann nicht, wenn das Komplement jeder endlichen Teilmenge von X in F liegt.
Beispiel 6.3 1. Jeder Unterraum eines Hausdorff Raumes ist ein Hausdorff Raum.
2. Ein topologischer Raum ist genau dann ein Hausdorff Raum, wenn jeder konvergente
Filter einen eindeutig bestimmten Limes besitzt.
3. Sei X ein Hausdorff Raum und F ein Filter auf X. Dann gibt es zu jedem Häufungspunkt
T
x von F einen Ultrafilter U ⊇ F mit {U : U ∈ U } = {x}.
Beispiel 6.4 Besitzt U (x) eine abzählbare Umgebungsbasis, so ist f : X → Y genau dann
stetig in x, wenn das Bild jeder gegen x konvergenten Folge unter f in Y gegen f (x)
konvergiert.
Q
Beispiel 6.5 Sei X = α∈I Xα . Zu jeder offenen Teilmenge U von X existiert eine
endliche Teilmenge J = {α1 , . . . , αn } von I und offene Teilmengen Uαj von Xαj , so daß
n
\
Pr−1
αj (Uαj ) ⊆ U
j=1
Beispiel 6.6 Sei I die Menge aller endlichen Folgen (I1 , . . . , In ) paarweise disjunkter
abgeschlossener Intervalle mit rationalen Randpunkten und
n
[
D: = f : R → N : ∃ (I1 , . . . , In ) ∈ I : f |Ij konst und f |(
o
Ij )c = 1 .
Zeigen Sie, daß D eine abzählbare dichte Teilmenge von NR ist und schließen Sie daraus,
daß für jeden separablen Raum X auch X R separabel ist.
Beispiel 6.7 (Kettenbrüche) Sei I = [0, 1] \ Q, ψ(x) = 1/x − [1/x] und für alle n ∈
N = {1, 2, . . .}: an (x): = [1/ψ n−1 (x)], wobei ψ 0 (x): = x und ψ n (x): = ψ(ψ n−1 (x)).
Sei x1 , . . . , xk ≥ 1, dann setzen wir hx1 i: = 1/x1 ,
hx1 , x2 i: = 1/(x1 + 1/x2 ),
hx1 , x2 , x3 i: = 1/(x1 + 1/(x2 + 1/x3 )),
u.s.w.
Für alle x ∈ I und alle k ∈ N gilt: x = ha1 (x), . . . , ak (x)+ψ k (x)i und ψ(x) = ha2 (x), . . . , ak (x)+
ψ k (x)i
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Beispiel 6.8 Zu n1 , n2 , . . . ∈ N seien
In1 : = (hn1 + 1i, hn1 i),
In1 ,n2 : = (hn1 , n2 i, hn1 , n2 + 1i),
u.s.w.
1. In1 ,...,nk ,nk+1 ⊆ In1 ,...,nk .
2. ψ ist ein Homöomorphismus von In1 ,...,nk auf In2 ,...,nk .
3. Für alle j ≤ k gilt: aj |In1 ,...,nk = nj .
4. Das offene Intervall In1 ,...,nk besitzt höchstens die Länge 2−k . Falls also aj (x) = aj (y) =
nj für alle j ≤ k, dann folgt |x − y| ≤ 2−k .
Beispiel 6.9 Die Abbildung a : I → NN ist ein Homöomorphismus.
Q
Beispiel 6.10 Sei Xn eine Folge separabler metrischer Räume und X = Xn . Zeigen
Sie, daß die Borelsche σ-Algebra auf X gleich dem Produkt der Borelschen σ-Algebren auf
Xn ist. Hinweis: die Produktalgebra ist die “kleinste”σ-Algebra, bezüglich der alle Projektionen meßbar sind.
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Beispiel 7.1 Seien X, Y, Z Hausdorff Räume, F : X → Z, G : Y → Z stetig und
X ×Z Y : = {(x, y) ∈ X × Y : F (x) = G(y)} .
Dann ist X ×Z Y ein abgeschlossener Unterraum von X × Y . X ×Z Y heißt das Faserprodukt von X und Y über Z.
Beispiel 7.2 Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie, daß eine Folge fn ∈ RX = {f :
X → R} genau dann konvergiert, wenn sie punktweise konvergiert.
Beispiel 7.3 Seien Aα ⊆ Xα . Dann gilt:
Y
α
Aα =
Y
Aα .
α
Beispiel 7.4 Seien A ⊆ X, B ⊆ Y . Dann gilt: ∂(A × B) = (∂A × B) ∪ (A × ∂B).
Beispiel 7.5 X trage die initiale Topologie bezüglich der Abbildungen fα : X → Yα . Ist
A ⊆ X genau dann dicht, wenn für alle α die Menge fα (A) in Yα dicht ist?
Beispiel 7.6 Seien Xn vollständige metrische Räume und fn : X → Xn eine punkteQ
trennnende Folge. Ist f : X →
Xn abgeschlossen (Prn ◦f = fn ), so ist X mit der
initialen Topologie homöomorph zu einem vollständigen metrischen Raum.
Beispiel 7.7 Seien Xα metrische Räume, so daß d(Xα ) ≤ δ ≤ D. Zeigen Sie, daß durch
d(x, y) = dα (x, y) falls x, y ∈ Xα und d(x, y) = D/2 falls x ∈ Xα , y ∈ Xβ und α 6= β, eine
Metrik auf der disjunkten Summe Z der Räume definiert ist und daß Z sämtliche Räume
Xα isometrisch enthält.
Beispiel 7.8 Sei K ein Körper und |.| eine Norm auf K, i.e. d(x, y): = |x − y| ist eine
Metrik auf K, so daß für alle x, y ∈ K: |xy| ≤ |x||y|.
Sei E die Menge aller f ∈ KN , so daß f (n) eine Cauchyfolge ist.
1. E ist ein kommutativer Ring mit Eins und |f |: = lim |f (n)| ist eine “Halbnorm”auf dem
Vektorraum E über K.
b
2. I: = {f ∈ E : |f | = 0} ist ein maximales Ideal in E, also ist E/I ein Körper K.
b
3. (K, |.|) ist ein vollständiger normierter Körper und enthält einen zu K isometrischen
b ist die Vervollständigung von K.
dichten Unterkörper, i.e. K
Beispiel 7.9 Sei F ein sogenannter freier Ultrafilter auf N, d.h. für jede endliche Teilmenge A von N gilt: Ac ∈ F, so nennt man den Körper R∗ : = R/I(F) ein non-standard
Modell der reellen Zahlen – R ⊆ R∗ identifiziert man mit den konstanten Folgen. Ist
x ∈ R, so schreiben wir im weitern für deren Klasse x∗ .
1. Ordnung auf R∗ : Definieren wir für x∗ , y ∗ ∈ R∗ : x∗ ≤ y ∗ genau dann, wenn [x ≤ y] ∈ F,
so ist (R∗ , ≤) linear geordnet und induziert auf R die gewöhnliche Ordnung. Den Betrag
von x∗ ∈ R∗ definiert man wie üblich als das Maximum von x∗ und −x∗ .
2. Unendlich große, unendlich kleine und endliche Zahlen: Man nennt eine Zahl x∗ ∈ R∗
(positiv) unendlich groß, wenn für alle r ∈ R+ : x∗ ≥ r. x∗ ∈ R∗ heißt unendlich klein
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(oder infinitesimal), wenn für alle r ∈ R+ : x∗ ≤ r. x∗ ∈ R∗ heißt endlich, wenn ein
r ∈ R+ existiert, so daß: |x∗ | ≤ r.
3. x∗ , y ∗ ∈ R∗ heißen fast gleich, wenn x∗ − y ∗ infinitesimal ist. Dies ist genau dann der
Fall, wenn für alle r ∈ R+ : [|x − y| < r] ∈ F.
4. Zu jeder endlichen Zahl x∗ ∈ R∗ gibt es genau eine reelle Zahl x0 , so daß x0 und x∗
fast gleich sind. Ferner ist die Zuordnung x∗ 7→ x0 additiv und multiplikativ.
Beispiel 7.10 Die hyperkomplexe Zahlen (Quaternionen): Auf der (additiven Gruppe) R4 setzen wir i: = (0, 1, 0, 0), j: = (0, 0, 1, 0) und k: = (0, 0, 0, 1) und schreiben Punkte
aus R4 in der Form: x1 + ix2 + jx3 + kx4 mit x1 , x2 , x3 , x4 ∈ R. Im weiteren bezeichne
1 die hyperkomplexe Zahl (1, 0, 0, 0). Durch 1 · 1: = 1, 1 · i = i · 1 = i, 1 · j = j · 1 = j,
1 · k = k · 1 = k, i · i = j · j = k · k = −1 und
i · j = k = −j · i,
j · k = i = −k · j,
k · i = k = −i · k,
ist eine bilineare Abbildung – die Multiplikation – auf R4 definiert: die Multiplikation
ist dann distributiv (bzgl. der Addition). H: = (R4 , +, ·) nennt man den Schiefkörper der
hyperkomplexen Zahlen (oder Quaternionen); ist x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 ∈ H, so nennt
man x̄: = x1 − ix2 − jx3 − kx4 die konjugierte hyperkomplexe Zahl; es gilt: xx̄ = x̄x =
−1 = x̄/|x|2 , wobei
x21 + x22 + x23 + x24 ∈ R+
0 , also ist die inverse zu x gegeben durch: x
+
|x|: = (xx̄)1/2 ∈ R0 . S 3 : = {z ∈ H : zz̄ = 1} ist eine Untergruppe der multiplikativen
Gruppe (H, ·) – die 3-dimensionale Spingruppe .
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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 8.1 Auf (C2 , +, .) ist durch (z1 , z2 )(w1 , w2 ): = (z1 w1 − z2 w̄2 , z1 w2 + z2 w̄1 ) eine
Multiplikation definiert. Zeigen Sie: F : C2 → H, (z, w) 7→ z + wj ist ein Isomorphismus.
Beispiel 8.2 Sei R eine Äquivalenzrelation auf X mit der Quotientenabbildung π : X →
X/R. Zeigen Sie, daß A ⊆ X/R genau dann abgeschlossen ist, wenn π −1 (A) abgeschlossen
ist.
Beispiel 8.3 Sei R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation auf dem topologischen Raum X und
π : X → X/R die Quotientenabbildung. Für alle x ∈ X sei R(x): = {y ∈ X : xRy}, dann
ist π −1 (π(x)) = R(x) und folgende Aussagen sind äquivalent:
1. π ist eine offene (abgeschlossene) Abbildung.
2. Für jede offene (abgeschlossene) Teilmenge B von X ist die Menge R(B) offen (abgeschlossen).
Beispiel 8.4 Seien R bzw. S Äquivalenzrelation auf den topologischen Räumen X bzw.
Y und πX bzw. πY die Quotientenabbildungen. Zeigen Sie: Sind πX und πY offen, so ist
X × Y /R × S homöomorph zu X/R × Y /S.
Beispiel 8.5 Auf Cn sei ∼ die Äquivalenzrelation z ∼ w :⇔ w1 , . . . , wn ist eine Permutation von z1 , . . . , zn . Die Funktion F : M(C, n) → Cn / ∼, die jeder Matrix A ∈ M(C, n)
ihre Eigenwerte zuordnet, ist stetig.
Beispiel 8.6 Auf S n+1 (⊆ Rn+1 ) ist durch xRy: = ∃ λ ∈ R |λ| = 1 : y = λx eine
Äquivalenzrelation definiert. Zeigen Sie, daß S n+1 /R zu P n (R) homöomorph ist.
2. Auf S 2n+1 (⊆ Cn+1 ) ist durch xRy: = ∃ λ ∈ C |λ| = 1 : y = λx eine Äquivalenzrelation
definiert. Zeigen Sie, daß S 2n+1 /R zu P n (C) homöomorph ist.
3. Auf S 4n+3 (⊆ Hn+1 ) ist durch xRy: = ∃ λ ∈ H |λ| = 1 : y = λx eine Äquivalenzrelation
definiert. Zeigen Sie, daß S 4n+3 /R zu P n (H) homöomorph ist.
Beispiel 8.7 Sei f : S 3 (⊆ C2 ) → C × R die Abbildung (z, w) 7→ (2z w̄, |z|2 − |w|2 ). Dann
ist f : S 3 → S 2 stetig, abgeschlossen und surjektiv. Folgern Sie, daß P 1 (C) homöomorph
zu S 2 ist. Hinweis: Benutzen Sie die Kompaktheit von S 3 !
Beispiel 8.8 Seien X ein metrischer Raum und R eine abgeschlossene Äquivalenzrelation,
so daß π : X → X/R abgeschlossen ist. Dann ist die Abbildung X → H(X), x 7→ R(x)
stetig.
Beispiel 8.9 Sei X ein normierter Raum und Y ein abgeschlossener Unterraum. Dann
ist durch
bk : = inf{kx + yk : y ∈ Y }
kx
eine Norm auf X/Y definiert. Zeigen Sie, daß die offene Einheitskugel in X/Y das Bild
der offenen Einheitskugel von X unter der Quotientenabbildung π : X → X/Y ist: X/Y
ist also normierbar.
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Beispiel 8.10 Sei (E, h., .i) ein Hilbertraum und F ein abgeschlossener Unterraum von E.
⊥ und R die Äquivalenzrelation xRy: ⇔
Bezeichnet Pr⊥
F die orthogonale Projektion auf F
b:
x − y ∈ F , so gilt für alle x, y ∈ E mit π(x) = x
⊥
b − ybk = k Pr⊥
kx
F x − PrF yk .
Schließen Sie hieraus, daß E/F und F ⊥ isometrisch isomorph sind.
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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 9.1 Sei Y ein Hausdorffraum und f : X → Y stetig. Dann ist der Graph Γ(f ): =
{(x, f (x)) : x ∈ X} eine abgeschlossene Teilmenge von X × Y .
Beispiel 9.2 Seien A, B abgeschlossene Teilmengen von X, so daß A ∪ B = X und
A ∩ B 6= ∅. Dann sind X/A und B/A ∩ B homöomorph.
Beispiel 9.3 Sei Dn : = {x ∈ Rn : kxk ≤ 1}. Dann ist S n homöomorph zu D n /∂D n .
Beispiel 9.4 Sei X = {x ∈ S 2 : |x3 | ≤ 1/2} und π : S 2 → P 2 (R) die Quotientenabbildung. Dann ist π(X) homöomorph zum Möbiusband.
Beispiel 9.5 Warum ist der projektive Raum P 2 (R) homöomorph zu einer Verheftung
des Möbiusbandes mit einer Kreisscheibe?
Beispiel 9.6 Sei f : S 1 (⊆ C) → S 1 die Abbildung z 7→ z 2 . Dann ist f stetig, abgeschlossen und surjektiv. Folgern Sie, daß P 1 (R) homöomorph zu S 1 ist.
Beispiel 9.7 Sei f : S 3 (⊆ C2 ) → C × R die Abbildung (z, w) 7→ (2z w̄, |z|2 − |w|2 ). Dann
ist f : S 3 → S 2 stetig, abgeschlossen und surjektiv. Folgern Sie, daß P 1 (C) homöomorph
zu S 2 ist.
Beispiel 9.8 Seien a ∈ S n , E = a⊥ , B E : = {x ∈ E : kxk ≤ 1} und S n+ : = S n ∩ [a ≥ 0].
1. F : S n+ → B E , F (x) = x − hx, aia ist ein Homöomorphismus.
2. Definieren wir R auf S n+ durch R = {(x, y) : x = ±y} und R1 auf B E durch
R1 = {(u, u) : kuk < 1} ∪ {(u, v) : kuk = kvk = 1, u = ±v},
dann sind S n+ /R, B E /R1 und P n (R) homöomorph.
Beispiel 9.9 Sei X ein Hausdorffraum und F : X → X ein Homöomorphismus. Z operiert auf X × R stetig vermöge der Abbildung ((x, s), n) 7→ (F n (x), s + n).
1. Y : = X × R/Z ist ein Hausdorffraum.
2. Bezeichnet Q : X × R → Y die Quotientenabbildung und θ : Y × R → Y die Abbildung:
θ(Q(x, s), t): = Q(x, s + t), so ist θ ein Strom, d.h. für alle s, t ∈ R gilt: θs+t = θs ◦ θt und
θt ist ein Homöomorphismus.
Beispiel 9.10 Seien X, Y Hausdorffräume, U ⊆ X, V ⊆ Y offene Teilmengen, φ : U →
V ein Homöomorphismus und T die Verheftung von X, Y längs U, V mittels φ. T ist genau
dann ein Hausdorffraum, wenn die Menge {(x, φ(x) : x ∈ U } in X × Y abgeschlossen ist.
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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 10.1 Die Sphäre S n ist zusammenhängend.
Beispiel 10.2 Sei f : S 1 → S 1 eine stetige Abbildung. Dann existiert eine orthonormale
Basis e1 , e2 von R2 mit f (e1 ) = f (e2 ).
Beispiel 10.3 Sei X ein normierter Raum und E ein abgeschlossener Unterraum. X \ E
ist genau dann zusammenhängend, wenn die Kodimension von E größer gleich 2 ist.
Beispiel 10.4 Sei A eine abgeschlossene Teilmenge einer (lokalen) Riemannschen Mannigfaltigkeit M und x ∈
/ A. Zeigen Sie: dg (x, A) = dg (x, ∂A).
Beispiel 10.5 Jeder Quotientenraum eines zusammenhängenden Raumes ist zusammenhängend.
Beispiel 10.6 Ist f : (a, b) → R differenzierbar, so ist f ′ ((a, b)) zusammenhängend.
Beispiel 10.7 X: = {(x, y) ∈ R2 : (x ∈ Q und y ∈ [0, 1]) oder (x ∈
/ Q und y ∈ [−1, 0])}.
Zeigen Sie: X ist zusammenhängend aber nicht lokal zusammenhängend.
Beispiel 10.8 Sei X = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (0, 1), y = sin(1/x)} ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]}.
Zeigen Sie: X ist zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend.
Beispiel 10.9 Sei p : X ′ → X ein lokaler Homöomorphismus (d.h. zu jedem x′ ∈ X ′ existieren Umgebungen U ′ von x′ und U von p(x′ ), so daß p : U ′ → U ein Homöomorphismus
ist). Sei f : Y → X stetig. Eine stetige Abbildung f ′ : Y → X ′ heißt ein Lift von f , falls
p ◦ f ′ = f . Zeigen Sie: Ist Y zusammenhängend und sind f1 bzw. f2 zwei Lifts von f mit
f1 (y0 ) = f2 (y0 ) für ein y0 ∈ Y , so gilt: f1 = f2 .
Beispiel 10.10 Sei A ⊆ X abgeschlossen und Z eine Zusammenhangskomponente von
Ac . Dann gilt ∂Z ⊆ A.
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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 11.1 Sei X eine diskrete Teilmenge von C. Dann ist C \ X zusammenhängend.
Beispiel 11.2 Sei X ein regulärer Raum, R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelation, so daß die
Quotientenabbildung π : X → X/R abgeschlossen ist. Dann ist R abgeschlossen.
Beispiel 11.3 Sei X ein regulärer Raum und A eine abgeschlossene Teilmenge von X.
Dann ist der A-Kollaps X/A ein Hausdorff Raum.
Beispiel 11.4 Jeder abgeschlossene Teilraum eines normalen Raumes ist normal.
Beispiel 11.5 Sei Aj , 1 ≤ j ≤ n eine endliche Folge paarweise disjunkter abgeschlossener Teilmengen des normalen Raumes X. Dann existiert eine endliche Folge Uj , j ≤ n
paarweise disjunkter offener Teilmengen von X, so daß Aj ⊆ Uj .
Beispiel 11.6 Der Raum X = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} mit der Niemytzki Topologie ist
nicht normal.
Beispiel 11.7 Sei X eine Menge und f : X → R+
0 eine Abbildung. Dann gilt:
f (x) =
Z
0
∞
I[f >t] (x) dt
. . . pancake layer representation of f .
Beispiel 11.8 Sei A eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : A → R
Lipschitz stetig mit der Konstante L. Dann ist
F (x): = inf{f (y) + Ld(x, y) : y ∈ A}
eine Lipschitz stetige Funktion mit der Konstante L und F |A = f . Bestimmen Sie F für
X = R, A = [−1, 1] und f (x) = x2 .
Beispiel 11.9 Sei X metrisierbar und A ⊆ X. Besitzt jede stetige Funktion f : A → [0, 1]
eine stetige Fortsetzung auf X, so ist A abgeschlossen.
Beispiel 11.10 Sei U eine offene Teilmenge von Rn . Bestimmen Sie eine glatte Funktion
ρ : Rn → R, so daß ρ|U > 0, ρ|∂U = 0 und ρ|Rn \ U < 0.
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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 12.1 Zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Teilmengen A un B von Rn gibt es
eine glatte Funktion ψ : Rn → [0, 1] mit ψ|A = 0 und ψ|B = 1.
Beispiel 12.2 Sei X separabel und normal. Dann ist jeder abgeschlossene und diskrete
Teilraum Y von X höchstens abzählbar.
Beispiel 12.3 Sei X normal, A eine abgeschlossene Teilmengen von X, U eine offener
Obermenge von A und f : U × [0, 1] → Rn eine stetige Abbildung. Ist g : X → Rn eine
stetige Fortsetzung von x 7→ f (x, 0), so existiert eine stetige Fortsetzung F von f mit
F (x, t) = g(x) für x ∈ U c und F (x, t) = f (x, t) für x ∈ A.
Beispiel 12.4 Seien X, Y metrische Räume, A ⊆ X und f : A → Y . Ist Y vollständig
und f gleichmäßig stetig, so gibt es eine stetige Fortsetzung F : X → Y von f .
Beispiel 12.5 Seien X, Y normale Räume und u : X → Y eine stetige Abbildung. Zeigen
Sie: Ist u eine abgeschlossene Einbettung, so ist die lineare Abbildung u∗ : C(Y ) → C(X),
u∗ (f )(x): = f (u(x)), surjektiv. Hinweis: Benutzen Sie das Lemma von Urysohn.
Beispiel 12.6 Ist u∗ surjektiv, so ist u eine Einbettung. Hinweis: Benutzen Sie Lemma
3.1.11.
Beispiel 12.7 u(X) ist genau dann dicht, wenn u∗ : C(Y ) → C(X) injektiv ist.
Beispiel 12.8 iv. Sind X, Y normierte Räume und u linear, so ist X ∗ ⊆ C(X) und u∗ |X ∗
ist die adjungierte zu u.
Beispiel 12.9 Sind X, Y normierte Räume und u : X → Y stetig und linear, so ist
u∗ genau dann surjektiv, wenn u eine Einbettung ist. Hinweis: Gehen Sie wie in den
voranstehenden Beispielen vor und benutzen Sie anstelle des Urysohn Lemmas den Satz
von Hahn-Banach.
Beispiel 12.10 Sei X ein metrischer Raum A eine abgeschlossene Teilmenge von X und
f : X → [1, 2] stetig. Dann ist für x ∈
/ A durch
F (x): = inf
n f (y)d(x, y)
d(A, x)
o
: y∈A
eine stetige Fortsetzung von f erklärt. Cf. J. Dieudonne, Gründzüge der modernen Analysis 1, p 95.
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Übungen zu Topologie SS2011
Beispiel 13.1 Sei (X, T ) ein Hausdorff Raum und S eine Subbasis von T . X ist genau dann kompakt, wenn jede Überdeckung von X mit Elementen aus S eine endliche
Teilüberdeckung enthält. (Hinweis: Ist U ein Ultrafilter auf X, der nicht konvergiert, so
existiert zu jedem x ∈ X ein S ∈ S, so daß x ∈ S und S ∈
/ U ).
Beispiel 13.2 Sei X vollständig regulär und A bzw. K eine abgeschlossene bzw. kompakte
Teilmenge von X. Falls A ∩ K = ∅, dann existiert eine stetige Funktion f : X → [0, 1] mit
f |K = 0 und f |A = 1.
Beispiel 13.3 Seien X, Y Hausdorffräume und f : X → Y eine Abbildung, so daß
Γ(f ) ⊆ X × Y abgeschlossen ist. Dann ist das Urbild jeder kompakten Teilmenge von
Y abgeschlossen.
Beispiel 13.4 Ein kompakter Raum X ist genau dann metrisierbar, wenn er eine abzählbare
Basis besitzt.
Beispiel 13.5 Sei (X, d) kompakt. X ist genau dann zusammenhängend, wenn zu jedem
ε > 0 und zu je zwei Punkten x, y eine endliche Folge (xi )ni=1 existiert mit x1 = x, xn = y,
d(xi , xi+1 ) < ε.
Beispiel 13.6 Sei An eine fallende Folge zusammenhängender kompakter Teilmengen des
T
Hausdorffraumes X. Dann ist A: = An zusammenhängend.
BeispielR 13.7 Sei (Ω, F, µ) ein endlicher Maßraum. Ist ϕ : R → R+
0 konvex, so ist
Φ : f 7→ ϕ(f ) dµ auf L2 (µ) konvex und l.s.c. Hinweis: Lemma von Fatou.
Beispiel 13.8 Sei ∆ die Cantormenge und A eine abgeschlossene Teilmenge von ∆. Zeigen Sie, daß es zu jedem x ∈ ∆ genau ein bestapproximierendes Element fA (x) ∈ A gibt.
Folgern Sie, daß jede abgeschlossene Teilmenge von ∆ ein Retrakt ist.
Beispiel 13.9 Beweisen Sie, daß [0, 1]N ein stetiges Bild von ∆ ist. Folgern Sie, daß
jeder kompakte metrische Raum das stetige Bild der Cantormenge ist. Hinweis: ∆ ist
P
isometrisch homöomorph zu {0, 2}N mit der Metrik d((xj ), (yj )) = | (xj − yj )3−j |.
Beispiel 13.10 Sei f : S 7 (⊆ H2 ) → H × R die durch
f (x, y) = (2xȳ, |x|2 − |y|2 )
definierte Abbildung. Dann ist f : S 7 → S 4 surjektiv und es existiert ein Homöomorphismus
F : P (H) → S 4 mit F ◦ π = f .
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