1. Wiederholung und Vertiefung

1. Wiederholung und Vertiefung
Das erste Kapitel dient einerseits der Wiederholung von bereits gelerntem Stoff, vor
allem demjenigen, den wir dieses Jahr benötigen werden. Dazu zählen neben dem
sicheren Umgang mit Brüchen das Lösen quadratischer Gleichungen und der Satz des
Pythagoras. Wir werden die Wiederholung aber dazu nutzen, einige Dinge vorzustellen, für die im letzten Schuljahr keine oder zu wenig Zeit war.
1.1 Bruchrechnen
In der sechsten Klasse haben wir gelernt, mit Brüchen umzugehen: Brüche werden
• addiert bzw. subtrahiert, indem man sie auf einen gemeinsamen Nenner bringt
und die Zähler addiert bzw. subtrahiert;
• multipliziert, indem man die Zähler multipliziert und die Nenner ebenfalls;
• dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizert.
In Formeln gegossen wird dies kürzer und prägnanter:
ad bc
ad + bc
a c
+ =
+
=
,
b d
bd bd
bd
a c
ad bc
ad − bc
− =
−
=
,
b d
bd bd
bd
a
·
b
a
:
b
c
ac
= ,
d
bd
c
a d
ad
= · =
.
d
b c
bc
Außer mit ganz normalen“ Brüchen muss man auch mit solchen umgehen können,
”
in denen Variablen auftauchen. Für das Rechnen mit solchen Brüchen gelten exakt
dieselben Regeln; so gilt etwa
a + 2a
3a
a 2a
+
=
=
= a,
3
3
3
3
a a
3a 2a
a
− =
−
= ,
2 3
6
6
6
a
·
2
a
:
2
a
a2
= ,
3
6
a
a 3
3a
3
= · =
= .
3
2 a
2a
2
Zur Vermeidung unnötiger Rechnungen ist es wichtig, bei der Multiplikation von 
Brüchen erst zu kürzen und dann zu multiplizieren. Betrachten wir etwa die Aufgabe,
das Produkt
4
1. Wiederholung und Vertiefung
1 1 1
1
P10 = 1 −
· 1−
· 1−
··· · 1 −
2
3
4
10
zu berechnen. Ausmultiplizieren durch Auflösen der Klammern erscheint zwecklos,
also berechnen wir die einzelnen Klammern und finden
P10 =
9
1
1 2 3
· · ···
= ,
2 3 4
10
10
weil sich alle Faktoren bis auf die 10 im Nenner herauskürzen.
Periodische Dezimalbrüche
Manche Brüche wie 12 = 0,5 oder 51 = 0,2 lassen sich als endliche Dezimalbrüche
schreiben, andere dagegen nicht: so gilt 31 = 0,33333 . . . = 0, 3. Die Periodenlänge ist
im allgemeinen nicht so klein wie hier; bei der Berechnung von 17 etwa erhält man
wegen 17 = 0,142857142857 . . . eine Periode der Länge 6:
1
: 7 = 0,1428571 . . .
7
30
28
20
14
60
56
40
35
50
49
10
7
3
Satz 1.1. Ein vollständig gekürzter Bruch lässt sich genau dann als endlicher Dezimalbruch schreiben, wenn dessen Nenner nur durch Potenzen von 2 oder 5 teilbar
ist.
Zum einen kann man jeden Bruch, dessen Nenner die Form 2a 5b hat, als abbrechenden Dezimalbruch schreiben. Ist etwa a > b, so ist
m
5a−b m
5a−b m
5a−b m
=
=
=
,
2a · 5b
2a 5b · 5a−b
2a · 5a
10a
und jeder Bruch, dessen Zähler eine Potenz von 10 ist, ist ein abbrechender Dezimalbruch. Bei diesem Argument haben wir bereits die Potenzgesetze benutzt, die wir
1.1 Bruchrechnen
5
in diesem Schuljahr besprechen werden. Ein Beispiel ist vielleicht instruktiver: Um
1
einzusehen, dass 16
ein abbrechender Dezimalbruch ist, schreiben wir
1
1
5·5·5·5
625
=
=
=
= 0,0625.
16
2·2·2·2
2·2·2·2·5·5·5·5
10 · 10 · 10 · 10
Taucht dagegen in der Primzerlegung des Nenners eines vollständig gekürzten
Bruchs ein Primfaktor auf, der nicht gleich 2 oder gleich 5 ist, dann ist der Bruch
a
kein endlicher Dezimalbruch mehr: wäre nämlich ein gekürzter Bruch der Form 3b
a
ein endlicher Dezimalbruch, dann auch das b-fache, also 3 . Könnte man diesen als
endlichen Dezimalbruch mit beispielsweise 5 Nachkommastellen ∗, ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ schreiben,
dann wäre 100 000 · a3 eine ganze Zahl. Dies geht nur, wenn 100 000a durch 3 teilbar
ist, und weil in 100 000 nur die 2 und 5 aufgeht, muss a durch 3 teilbar sein. Dann
a
aber nicht vollständig gekürzt.
war unser Ausgangsbruch 3b
Satz 1.2. Jeder periodische Dezimalbruch lässt sich als Bruch (also als Quotient
ganzer Zahlen) schreiben.
Dieser Satz ist leicht einzusehen und lässt sich am einfachsten durch ein Beispiel
erklären. Um etwa den periodischen Dezimalbruch x = 0, 31 = 0,313131 . . . als Bruch
zu schreiben, multipliziert man ihn mit 100 = 102 (ist die Periodenlänge n, multipliziert man mit 10n ) und findet
100x = 31,313131 . . .
x = 0,313131 . . .
31
.
Subtraktion dieser Gleichungen liefert 99x = 31, also ist x = 99
Ist der Bruch nicht reinperiodisch, funktioniert diese Methode ebenfalls: hat man
etwa x = 3,141414 . . ., so ist 100x = 314,141414 . . . und damit 99x = 311, d.h.
= 3 14
.
x = 311
99
99
Jeder periodische Dezimalbruch mit einer Periode, die aus n Ziffern besteht, lässt
sich also als Bruch mit dem Nenner |9 .{z
. . 9} = 10n − 1 schreiben.
n Neuner
Brüche mit Nenner 100 tauchen in der Prozentrechnung auf: 13% sind einfach
13
und 13% von 200 sind 100
· 200 = 26.
Übungen
1.1 Berechne.
a a
a)
+
3 5
2
3
d)
+
a+b a+b
b)
e)
a a
−
2 7
a
b
+
a+b a+b
c)
f)
4 7
+
b b
a2
b2
−
a−b a−b
13
,
100
6
1. Wiederholung und Vertiefung
1.2 Vereinfache:
5 + 10a
a)
5
3a + 6b + 9
c)
3
b)
d)
1.3 Vereinfache:
2 + 4 + 6 + . . . + 100
a)
1 + 2 + 3 + . . . + 50
5a + 20
5b + 25
12 − 18a
24
b)
1
13
2
13
−
−
1
17
2
17
1.4 Berechne das Produkt
1 1 1
1 1−
· 1−
· 1−
··· · 1 −
.
2
3
4
100
1.5 Berechne das Produkt
1 1 1
1 1+
· 1+
· 1+
··· · 1 +
.
2
3
4
100
1.6 Berechne die periodische Dezimalbruchentwicklung von 39 ,
7 4 1
, ,
15 7 13
und
1
.
17
1.7 Schreibe die folgenden periodischen Dezimalbrüche als Bruch ganzer Zahlen.
a) 0,144444 . . .
d) 0,12341234 . . .
b)
e)
0,272727 . . .
1,31003100 . . .
c)
f)
2,414414 . . .
4,371371 . . .
1.2 Geraden und Parabeln
Geraden, die nicht parallel zur y-Achse verlaufen, haben Gleichungen der Form y =
mx + b. Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.
Wir fassen im Folgenden die wichtigsten Grundaufgaben zusammen.
Gerade durch zwei Punkte
Gesucht ist die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte, etwa P (4|9) und Q(2|5).
Eine Möglichkeit (Punkte sind zum Einsetzen da!) besteht darin, die Punkte in die
Geradengleichung y = mx + b einzusetzen:
9 = 4m + b
5 = 2m + b
Subtrahiert man die zweite Gleichung von der ersten, folgt
9 − 5 = m(4 − 2),
1.3 Binomische Formeln
7
also
9−5
4
= = 2.
4−2
2
Setzt man dies oben ein, folgt b = 1, also y = 2x + 1.
9−5
Dabei haben wir den Ausdruck m = 4−2
absichtlich so umständlich geschrieben,
weil man ihm die Bauart der allgemeinen Steigungsformel ansieht: sind P1 (x1 |y1 ) und
P2 (x2 |y2 ) zwei beliebige Punkte (mit x1 6= x2 , damit die Gerade nicht parallel zur
y-Achse ist), so gilt nämlich
y2 − y1
,
m=
x2 − x1
d.h. die Steigung einer Geraden ist die Differenz der y-Koordinaten dividiert durch
die Differenz der x-Koordinaten.
m=
Punktprobe
Von Punktprobe spricht man, wenn gefragt ist, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt
oder nicht. Ist etwa gefragt, ob P (2|3) auf der Geraden y = 13 x + 43 liegt, setzt man
P in die Geradengleichung ein und erhält:
4
2 4
6
1
· 2 + = + = = 2.
3
3
3 3
3
Weil diese Gleichung richtig ist, liegt P auf der Geraden.
3=
Schnittpunkt berechnen
Schnittpunkte von Geraden erhält man, wenn man deren Gleichungen gleichsetzt. Ist
z.B. der Schnittpunkt von y = 21 x + 31 und y = 15 x − 31 gesucht, so geht man so vor:
1
1
1
1
x+ = x−
2
3
5
3
15x + 10 = 6x − 10
9x = −20,
· 30
− 6x − 10
also x1 = − 20
. Einsetzen in die erste Gleichung liefert
9
1 20 1
10 3
7
y1 = − ·
+ =
− = .
2 9
3
9
9
9
1.3 Binomische Formeln
Binomische Formeln sind nützlich und hilfreich, aber nur, wenn man sie beherrscht.
In der einen Richtung, etwa beim Berechnen von (a + b)2 , sind sie nur ein Spezialfall
des Distributivgesetzes; eine Hilfe sind sie nur dann, wenn man dem Ausdruck x2 −
1 innerhalb einer Sekunde ansieht, dass hier eine binomische Formel vorliegt. Das
erfordert Übung.
8
1. Wiederholung und Vertiefung
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz regelt das Zusammenspiel von Addition und Multiplikation.
Produkte wie ab tauchen beim Berechnen von Flächeninhalten von Rechtecken auf,
und auch ein Term wie a(b + c) lässt sich geometrisch interpretieren als der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Grundseite b + c und Höhe a.
Abb. 1.1. Distributivgesetz a(b + c) = ab + ac
Der Flächeninhalt des gesamten Rechtecks setzt sich zusammen aus den Inhalten
der beiden Teile, also gilt
a(b + c) = ab + ac.
(1.1)
Die Buchstaben in dieser Formel sind irrelevant; wir könnten ja auch a(c+d) = ac+ad
schreiben. Ersetzt man in der letzten Formel a durch a + b, so folgt (a + b)(c + d) =
(a + b)c + (a + b)d, und wendet man das Distributivgesetz auf die beiden Terme auf
der rechten Seite an, so folgt
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bc.
Auch diese Formel lässt sich geometrisch interpretieren.
Abb. 1.2. Distributivgesetz (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bc
Wichtig ist auch die Erkenntnis, dass und weshalb eine Formel a(b+c) = ab+c nicht
richtig sein kann. Zum einen wird sie falsch, wenn man für a, b und c irgendwelche
Werte einsetzt: mit a = 2, b = c = 1 würde etwa 2(1 + 1) = 2 · +1 dastehen, und
1.3 Binomische Formeln
9
das ist falsch. Eine Aussage gilt als falsch, sobald es auch nur ein Gegenbeispiel gibt.
Umgekehrt folgt aber die Richtigkeit einer Aussage nicht daraus, dass diese für ein 
ganz bestimmtes Beispiel richtig ist: setzt man in a(b + c) = ab + c etwa a = 1, erhält
man die richtige Formel 1(b + c) = 1 · b + c.
Ein weiterer und noch viel wichtigerer Grund, weshalb a(b + c) = ab + c falsch sein
muss, ist der folgende: auf der linken Seite steht, wenn man a, b und c als Seitenlängen
von Rechtecken auffasst, eine Fläche, auf der rechten eine Summe aus Flächeninhalt
ab eines Rechtecks und einer Länge c, was definitiv nicht sinnvoll ist.
Das Distributivgesetz wird heute bereits auf der Grundschule eingesetzt, um zu
vermeiden, dass Kinder die schriftliche Multiplikation erlernen. Um etwa 12 · 8 zu
bestimmen, lernen die Schüler, die erste Zahl zu zerlegen:
12 · 8 = (10 + 2) · 8 = 10 · 8 + 2 · 8 = 80 + 16 = 96.
Das ist natürlich wichtig und richtig, produziert aber langfristig den Fehler 12 · 13 =
10 · 10 + 2 · 3. Richtig ginge es so:
12 · 13 = (10 + 2)(10 + 3) = 10 · 10 + 10 · 3 + 2 · 10 + 2 · 3 = 100 + 30 + 20 + 6 = 156.
Man muss also, um das richtige Ergebnis zu erhalten, jeden Summanden der vorderen
Klammer mit jedem Summanden der hinteren Klammer multiplizieren.
Binomische Formeln
Die binomischen Formeln sind oft auftretende Sonderfälle des Distributivgesetzes.
Man findet etwa
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a(a + b) + b(a + b)
= aa + ab + ba + bb
= a2 + 2ab + b2 ,
nach Definition des Quadrierens
nach dem Distributivgesetz
nach dem Distributivgesetz
wobei wir im letzten Schritt das Kommutativgesetz ab = ba benutzt haben, das geometrisch offensichtlich ist, weil der Flächeninhalt eines Rechtecks gleich bleibt, wenn
man Breite und Höhe vertauscht, also das Rechteck um 90◦ dreht. Die geometrische
Interpretation der ersten binomischen Formel zeigt eindrücklich, wie falsch es ist, bei
der Entwicklung von (a + b)2 den Term 2ab zu vergessen“.
”
Auf die gleiche Art und Weise folgt die zweite“ binomische Formel (a − b)2 =
”
a2 − 2ab + b2 , die allerdings keine eigenständige Bedeutung hat, folgt sie doch aus der
ersten, indem man dort b durch −b ersetzt:
(a − b)2 = a2 + 2a(−b) + (−b)2 = a2 − 2ab + b2 .
Die dritte binomische Formel folgt so:
(a + b)(a − b) = a(a − b) + b(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2 .
Damit haben wir
10
1. Wiederholung und Vertiefung
Abb. 1.3. Binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Satz 1.3. Für alle reellen Zahlen a, b gelten die binomischen Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
(a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Auch kompliziertere Ausdrücke wie (a+b+c)2 lassen sich mit dem Distributivgesetz
ausrechnen:
(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c) = a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)
= a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + a2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac,
und selbstverständlich kann man auch diese Formel geometrisch interpretieren.
Rechentricks
Das Quadrat von zweistelligen Zahlen, die auf 5 enden, erhält man einfach so: um 652
zu berechnen, hängen wir 25 and das Produkt 6 · 7 = 42 an und erhalten 4225. Dass
dies funktioniert, liegt an
(10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = a(a + 1) · 100 + 25.
Derselbe Trick funktioniert auch dann noch, wenn die Zahl dreistellig ist.
Für die Quadratzahlen von zweistelligen Zahlen größer als 25 geht man so vor:
man multipliziert die Differenz N − 25 mit 100 und addiert dazu das Quadrat der
Differenz N − 50. Bei der Berechnung von 64 geht man also so vor:
1. 64 − 25 = 39.
1.3 Binomische Formeln
11
Abb. 1.4. Trinomische Formel (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
2. 64 − 50 = 14; 142 = 196.
3. 642 = 3900 + 196 = 4096.
Die diesem Trick zugrundeliegende Formel ist
x2 = (x − 25) · 100 + (x − 50)2 .
Übungen
1.1 Vereinfache
(x + y)2 + 2(x + y)(x − y) + (x − y)2
1.2 Berechne (a + b)2 − (a − b)2
1. mit Hilfe der ersten und zweiten binomischen Formel;
2. mit Hilfe der dritten binomischen Formel.
1.3 Berechne
x + y 2
2
1.4 Berechne
−
x − y 2
2
.
1 2 1 2
x+
− x−
x
x
einmal mit der ersten und zweiten, und dann nur mit der dritten binomischen
Formel.
1.5 Berechne (2a + b)2 − (2a − b)2 .
1.6 Berechne (a + b + c)2 − (a + b − c)2 .
12
1. Wiederholung und Vertiefung
1.7 Vereinfache
(a2 + ab + b2 )2 − (a2 − ab + b2 )2 .
1.8 Berechne (a + b + c)2 − (a + b − c)2 − (a − b + c)2 + (a − b − c)2 .
1.9 Zeige, dass (a, b, c) mit a = m2 − 1, b = 2m und c = m2 + 1 ein pythagoreisches
Tripel ist, dass also a2 + b2 = c2 gilt.
1.10 Zeige, dass der Ausdruck (m2 − n2 )2 + (2mn)2 für alle ganzen Zahlen m, n eine
Quadratzahl liefert.
1.11 Zeige, dass der Ausdruck (a − b)2 + (a + b)2 + 4ab für alle ganzen Zahlen a, b das
Doppelte einer Quadratzahl liefert.
1.12 Zeige, dass die folgenden Identitäten richtig sind:
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2
(a2 − 2b2 )(c2 − 2d2 ) = (ac + 2bd)2 − 2(ad + bc)2 .
1.13 Zeige, dass eine Zahl der Form n4 + 4 nur für n = 1 eine Primzahl ist.
Hinweis: Schreibe n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 − 4n2 und benutze binomische Formeln.
1.14 Vereinfache:
( yz − yz )( xz − xz )( xy − xy )
( y12 −
1
)( z12
z2
−
1
)( x12
x2
−
1
)
y2
1.15 Zeige, dass die folgenden Zahlen Quadratzahlen sind:
(a) 121, 10201, 1002001, 100020001, . . . .
(b) 144, 10404, 1004004, 100040004, . . . .
1.16 Zeige, dass die folgenden Zahlen keine Quadratzahlen sind:
(a) 111, 10101, 1001001, 100010001, . . . .
(b) 124, 10204, 1002004, 100020004, . . . .
Hinweis: es ist 102 < 111 < 112 .
1.17 Es ist
42
342
3342
33342
= 16
= 1156
= 111556
= 11115556
1.3 Binomische Formeln
13
Stelle die allgemeine Regel auf und beweise diese.
4
Hinweis: es ist 9999 = 104 − 1, folglich 3333 = 10 3−1 . Auf der linken Seite stehen
also die Zahlen 13 (10n − 1) + 1. Quadriere mit Hilfe der binomischen Formel und
vergleiche das Ergebnis mit den Zahlen auf der rechten Seite.
1.18 Es ist
72
672
6672
66672
= 49
= 4489
= 444889
= 44448889
Stelle die allgemeine Regel auf und beweise diese.
1.19 Es ist
32 + 42
102 + 112 + 122
212 + 222 + 232 + 242
362 + 372 + 382 + 392 + 402
= 52
= 132 + 142
= 252 + 262 + 272
= 412 + 422 + 432 + 442
Stelle die allgemeine Regel auf und beweise diese.
Hinweis: dritte binomische Formel.
Rechentricks
Zu den viel zu wenig bekannten Rechentricks gehören Einsparungen beim Multiplizieren: um etwa 45 · 8 zu berechnen, verdoppelt man den ersten Faktor und halbiert
den zweiten:
45 · 8 = 90 · 4 = 360.
Dies führt immer dann zu einfacheren Rechnungen, wenn der eine Faktor ein ungerades Vielfaches der 5 ist.
Auf derselben Ebene liegt die Beobachtung, dass Division durch 5 sich ersetzen
lässt durch Verdopplung nebst Division durch 10: so ist 135 : 5 = 270 : 10 = 27. Um
solche Tricks erfolgreich anwenden zu können, muss man sie nur Einüben.
Auch binomische Formeln lassen sich beim Kopfrechnen oft sehr gut einsetzen, wie
die folgenden Beispiele zeigen.
29 · 31 = (30 − 1)(30 + 1) = 302 − 12 = 900 − 1 = 899,
412 = (40 + 1)2 = 402 + 2 · 40 + 1 = 1681,
3,52 = (3 + 0,5)2 = 32 + 2 · 3 · 0,5 + 0,52 = 9 + 3 + 0,25 = 12,25.
14
1. Wiederholung und Vertiefung
Die binomischen Formeln lassen sich auch
√ zum Ziehen von Quadratwurzeln aus
größeren Zahlen benutzen: wenn man etwa 441 zu bestimmen hat, braucht man nur
zu sehen, dass 441 etwas größer als 400 = 202 ist, den Rest erledigt die binomische
Formel:
441 = 400 + 41 = 202 + 40 + 1 = 202 + 2 · 20 + 1 = (20 + 1)2 = 212 .
Ein Rechentrick, der sich relativ oft einsetzen lässt, ist der folgende: um das Quadrat einer auf 5 endenden Zahl zu bestimmen, etwa von 65, geht man so vor: man
multipliziert die erste Ziffer 6 mit der darauffolgenden Zahl 7 und hängt an das Ergebnis 42 eine 25 an: 652 = 4225.
Dieser Rechentrick funktioniert immer: die Zahl a5 mit der Zehnerziffer a und der
Einerziffer 5 ist nämlich 10a + 5, und es gilt
(10a + 5)2 = 100a2 + 2 · 10a · 5 + 25 = 100a2 + 100a + 25
= 100(a2 + a) + 25 = 100a(a + 1) + 25.
Man muss also die Zehnerziffer a mit a + 1 multiplizieren, das Ergebnis mit 100
malnehmen, und dann 25 addieren. Das ist offenbar dasselbe wie an das Produkt
a(a + 1) eine 25 anzuhängen.
Dieser Beweis zeigt, dass die Methode auch funktioniert, wenn a zweistellig ist:
1152 = 13 225 wegen 11 · 12 = 132.
Übungen
1.1 Berechne (natürlich ohne TR) 352 , 752 und 1552 .
1.2 Bestimme die Quadratwurzeln aus
a) 625
d) 484
b) 12,25
e) 1681
c)
f)
56,25
2809
1.3 Zerlege die Zahlen 899 und 3599 in Primfaktoren.
Hinweis: 302 = 900.
1.4 Interpretiere die Gleichung a(b + c + d) = ab + ac + ad geometrisch.
1.5 Ersetze in der Formel a(b + c) = ab + ac den Term c durch −c und leite so die
Identität a(b − c) = ab − ac her.
Welche Gleichung erhält man, wenn man a = −1 setzt?
Welche Gleichung erhält man, wenn man c = b setzt?
1.4 Quadratische Gleichungen
15
1.4 Quadratische Gleichungen
Die Berechnung des Flächeninhalts A eines Quadrats der Kantenlänge a ist einfach,
denn dazu muss man die Kantenlänge lediglich quadrieren: A = a2 . Das umgekehrte
Problem führt auf die einfachste quadratische Gleichung, die reinquadratische: wenn
das Quadrat Flächeninhalt A = 16 besitzt, wie groß ist seine Kantenlänge a? In
diesem Fall lautet die Antwort a = 4, und man erhält sie durch Wurzelziehen aus der
Gleichung a2 = 16.
Mathematisch betrachtet hat die Gleichung x2 = 16 allerdings zwei Lösungen,
nämlich x1 = 4 und x2 = −4 (da Kantenlängen positiv sind, durften wir die negative
Lösung oben einfach weglassen).
Quadratwurzeln
Zu den schlimmsten Fehlern beim Rechnen mit Quadratwurzeln gehören die folgen- 
den:
√
√
√
• a2 + b2 = a + b ist im allgemeinen falsch: 9 + 16 = 25 = 5 und nicht = 7.
√
√
√
√ √
√
• 2 3 = 6 ist ebenso falsch: richtig wäre 2 3 = 4 · 3 = 12.
√
Der Fehler a2 + b2 = a + b ist äquivalent zur “falschen binomischen Formel”
(a + b)2 = a2 + b2 . Wäre diese Formel richtig, würde niemand auf die Idee kommen,
den Satz von Pythagoras in der Form a2 + b2 = c2 auszusprechen, sondern einfach
diese Art der Umformung anwenden und a + b = c schreiben. Wie falsch dieser
verunstaltete Satz des Pythagoras ist, kann man sehen, wenn man einmal ein Dreieck
mit den Seiten a = 3, b = 4 und c = 7 zeichnet.
Übungen
1.1 Berechne (alle Variablen sind positiv):
√
√ √
a)
p · 4p
b)
a2 + 4ab + 4b2
q
√
√
90
d)
2x · 18x
e)
6,4
1.2 Berechne:
r
1
1
a)
−
25
r 16 r
1
1
c)
−
25
169
c)
f)
√
32 + 42
q
4,9
1000
r
r
1
1
b)
−
r 144 r 169
1
1
d)
−
49
625
Seien a, b und c positive Zahlen mit a2 + b2 = c2 . Zeige, dass dann gilt:
r
1
1
b
− 2 = .
2
a
c
ac
16
1. Wiederholung und Vertiefung
1.3 Berechne:
s
3
1−
a)
s
c)
1
9
s
b)
1
4
√
5
−
s
7
1
− 16
d)
1.4 Vereinfache
√
√
a) 3 45 + 2 80
c)
1
4
b)
8
d)
√
√72
18
1
n2
1
9
2n + 1
1
− (n+1)
2
√
√108
12
16
√
√20
12
Reinquadratische Gleichungen
Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind die reinquadratischen Gleichungen
√
2
der Form
Lösungen
√ x1 = − a und
√ x = a. Ist a < 0, so besitzen diese die beiden √
x2 = a. Im Falle a = 0 fallen diese Lösungen wegen − 0 = 0 = 0 zusammen,
und es gibt dann nur eine einzige Lösung x1 = 0. Im Falle a < 0 dagegen hat die
Gleichung x2 = a keine reelle Lösung.
Anstatt durch Ziehen der Quadratwurzel lassen sich reinquadratische Gleichungen
auch mit der dritten binomischen Formel lösen: Aus x2 −4 = 0 folgt damit (x−2)(x+
2) = 0, also nach dem Nullproduktsatz x1 = 2 und x2 = −2. Hier wird noch einmal
ganz deutlich, dass solche Gleichungen zwei Lösungen
besitzen.
√
Es sei außerdem darauf hingewiesen, dass 4 = +2 ist (Quadratwurzeln positiver 
2
Zahlen sind immer
√ die Gleichung x = 4 zwei Lösungen besitzt,
√ positiv), während
nämlich x1 = + 4 = 2 und x2 = − 4 = −2.
Lösungen der quadratischen Gleichung x2 = a lassen sich als Nullstellen der Funktion f (x) = x2 − a interpretieren, oder auch als Schnittpunkte der Normalparabel mit
der waagrechten Geraden y = a.
Ansonsten gibt es bei reinquadratischen Gleichungen wenig zu beachten. Man sollte
allerdings immer mit einem wachen Auge auf das Vermeiden unnötiger Rechnungen
sehen. Zum Lösen der Gleichung x(x + 11) = 11(x + 44) multipliziert man aus, was
die reinquadratische Gleichung x2 = 11 · 44 liefert. Hier haben wir das Produkt 11 · 44
absichtlich nicht berechnet, weil sich die Wurzel mit Hilfe der Faktoren leichter ziehen
lässt; es ist ja 11 · 44 = 11 · 4 · 11 = 22 · 112 , folglich x = ±2 · 11 = ±22.
Übungen
1.1 Löse folgende Gleichungen.
a) x2 − 625 = 0
x
− x5 = 0
d)
5
b)
e)
3x2 − 108 = 0 c)
3x2 − 16
= 0 f)
3
0,49 − 9x2 = 0
x + 19 x − 19 = 0
1.4 Quadratische Gleichungen
17
1.2 Löse folgende Gleichungen.
a) x(x + 7) = 7(x + 28)
c) (x − 3)(x + 2) = 19 − x
b) (2x + 3)(2x − 4) = 2(26 − x)
d) 4x(x − 1) = −4(x − 2)
Quadratische Gleichungen ohne konstantes Glied
Reinquadratische Gleichungen lassen sich auf die Form x2 = a bringen, und Wurzelziehen im Falle a > 0 liefert die beiden Lösungen. Unter quadratischen Gleichungen
ohne konstantes Glied verstehen wir solche der Form x2 + bx = 0. Die Lösungsmethode besteht in diesem Fall einfach darin, das x auf der linken Seite auszuklammern:
x(x + b) = 0. Auf der linken Seite steht das Produkt der beiden Faktoren x und x + b;
damit sich beim Multiplizieren die 0 ergibt, muss einer der beiden Faktoren 0 gewesen
sein. Die beiden Lösungen sind also x1 = 0 und x2 = −b; setzt man in der Gleichung
x = 0, so ist in der Tat x(x + b) = 0(0 + b) = 0 · b = 0, und setzt man x = −b, so
folgt entsprechend x(x + b) = −b(−b + b) = −b · 0 = 0.
Diese Art, quadratische Gleichungen ohne konstantes Glied zu lösen, beruht auf
dem Nullproduktsatz: ist ein Produkt a1 a2 a3 = 0, dann muss einer der Faktoren a1 , a2
oder a3 gleich 0 sein, denn das Produkt dreier von 0 verschiedener Zahlen ist immer
6= 0. Hat man daher die Gleichung (x2 − 9)(2x + 1) = 0 zu lösen, sollte man sich
nicht dazu verführen lassen, den Ausdruck auszumultiplizieren: Das ergäbe nämlich
2x3 + x2 − 19x − 9 = 0, und das Lösen solcher Gleichungen erfordert mehr Techniken
als wir derzeit zur Verfügung haben. Mit dem Satz vom Nullprodukt dagegen folgt
aus (x2 − 9)(2x + 1) = 0, dass x2 − 9 = 0 oder 2x + 1 = 0 ist. Im ersten Fall folgt
x1,2 = ±3, im zweiten x3 = − 12 .
Mit dem Satz vom Nullprodukt lassen sich umgekehrt auch quadratische Gleichungen hinschreiben, die vorgegebene Lösungen haben. Ist etwa nach einer quadratischen Gleichung mit den Lösungen x1 = 4 und x2 = 7 gefragt, so nehmen wir
(x − 4)(x − 7) = x2 − 11x + 28 = 0.
Übungen
1.1 Löse folgende Gleichungen
a) x2 + 9x = 0
d)
x2 + x = 0
g) x2 − ax = 0
b)
x2 − x = 0 c)
e)
x2 − 5x = 0 f)
h) 2x2 + 3x = 0 i)
x2 + 7x = 0
x2 + 12x = 0
ax2 + bx = 0
1.2 Gib quadratische Gleichungen an mit den Lösungen
a) x1 = 1, x2 = 2
c) x1 = 0, x2 = 11
b) x1 = 3, x2 = −2
d) x1 = 9, x2 = −9
1.3 Gib eine Gleichung mit den Lösungen x1,2 = ±2 und x3,4 = ±3 an.
18
1. Wiederholung und Vertiefung
Quadratische Ergänzung
Um eine Gleichung wie x2 − 4x + 3 = 0 zu lösen, kann man die ersten beiden Terme
auf der linken Seite zu einem Quadrat ergänzen: dann wird
x2 − 4x + 3 = x2 + 4x + 4 − 4 + 3 = (x − 2)2 − 1,
also lässt sich die Ausgangsgleichung in der Form (x−2)2 = 1 schreiben. Wurzelziehen
ergibt x − 2 = −1 bzw. x − 2 = 1, also x1 = 1 und x2 = 3.
Ganz entsprechend geht man im folgenden Beispiel vor:
·3
3x2 + 4x − 7 = 0
9x2 + 12x − 21 = 0
+ 25
(3x + 2)2 − 25 = 0
√
(3x + 2)2 = 25
−2
3x + 2 = ±5
:3
3x = −2 ± 5
x=
−2 ± 5
,
3
also x1 = 1 und x2 = − 73 .
Ein letztes Beispiel: wenn wir die Gleichung 2x3 + 3x − 5 = 0 mit quadratischer
Ergänzung lösen wollen, dann führt Multiplikation mit 2 auf 4x2 + 6x − 10 = 0.
Quadratische Ergänzung liefert dann (2x + 32 )2 − 94 − 10 = 0, und jetzt geht man vor
wir oben. Will man Brüche vermeiden, multipliziert man die Ausgangsgleichung mit
2 · 22 = 8 statt nur mit 2: Weiter Beispiele sind die folgenden:
·8
2x2 + 3x − 5 = 0
16x2 − 24x − 40 = 0
+ 49
(4x − 3)2 − 49 = 0
√
(4x − 3)2 = 49
4x − 3 = ±7
4x = 3 ± 7
3±7
x=
.
4
+3
:4
Selbst wenn man die Lösungsformel für quadratische Gleichungen kennt, lassen sich
viele Gleichungen (mit etwas Übung) ebenso schnell mit quadratischer Ergänzung und
binomischen Formeln lösen: Hat man etwa die Gleichung x2 + 8x − 20 = 0, so rechnet
man
x2 +8x−20 = x2 +8x+16−36 = (x+4)2 −36 = (x+4+6)(x+4−6) = (x+10)(x−2),
1.4 Quadratische Gleichungen
19
also ist x1 = −10 und x2 = 2.
Um eine allgemeine quadratische Gleichung
ax2 + bx + c = 0
(1.2)
in eine reinquadratische Gleichung zu transformieren, kann man die Technik der quadratischen Ergänzung benutzen. Die Lösungsformel, die sich daraus ergibt, ist nur für
quadratische Gleichungen gültig, also nur, wenn a 6= 0 ist; in der Tat besteht unser
erster Schritt darin, die Gleichung (1.2) mit 4a zu multiplizieren, was im Falle a = 0
zur richtigen, aber wenig hilfreichen Gleichung 0 = 0 führen würde:
· 4a
ax2 + bx + c = 0
4a2 x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2 x2 + 4abx + b2 + 4ac − b2 = 0
+ b2 − 4ac
(2ax + b)2 + 4ac − b2 = 0
√
(2ax + b)2 = b2 − 4ac
√
−b
2ax + b = ± b2 − 4ac
√
: 2a
2ax = −b ± b2 − 4ac
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Ziel der Multiplikation mit 4a war es, den ersten Term der linken Seite mit einem
Quadrat 4a2 x2 beginnen zu lassen, um ihn danach mit Hilfe der ersten binomischen
Formel zu einem Quadrat zu ergänzen. Das Ziehen der Wurzel ist nur dann sinnvoll,
wenn der Ausdruck D = b2 − 4ac nicht negativ ist. Diese Zahl D nennt man die
Diskriminante von f (x) = ax2 + bx + c.
Satz 1.4. Die quadratische Gleichung
ax2 + bx + c = 0
mit reellen Zahlen a, b, c und a 6= 0 hat zwei Lösungen, falls die Diskriminante D =
b2 − 4ac positiv ist, nämlich
√
−b ± b2 − 4ac
.
x1,2 =
2a
b
Im Falle D = 0 fallen beide Lösungen zusammen (x1 = x2 = − 2a
), und im Falle
D < 0 existieren keine reelle Lösungen.
Satz von Vieta
Wie wir bereits gesehen haben, lassen sich Gleichungen der Form x2 + bx = 0 nach
Ausklammern x(x + b) = 0 mit dem Satz vom Nullprodukt lösen. Dieselbe Methode
20
1. Wiederholung und Vertiefung
funktioniert auch allgemeiner bei Gleichungen wie x2 − 3x + 2 = 0, wenn man sieht,
dass die linke Seite sich als Produkt (x−1)(x−2) schreiben lässt: der Nullproduktsatz
liefert dann die beiden Lösungen x1 = 1 und x2 = 2.
Ohne Übung lässt sich eine solche Zerlegung natürlich nicht erraten, und diese
Methode funktioniert auch nur dann, wenn die beiden Lösungen ganzzahlig sind.
Sind aber x1 = a und x2 = b ganzzahlige Lösungen einer quadratischen Gleichung
x2 − px + q = 0, dann muss sich die linke Seite in der Form (x − a)(x − b) schreiben
lassen. Ausmultiplizieren liefert x2 − px + q = (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab. Um
a und b ablesen zu können, muss man daher q so in ein Produkt verwandeln, dass die
Summe der Faktoren gleich q ist.
Im Falle x2 − 5x + 6 = 0 betrachtet man also alle Zerlegungen der 6, nämlich
6 = 1 · 6 = 2 · 3 = (−1) · (−6) = (−2) · (−3)
und sucht sich diejenige aus, bei welcher die Summe der Faktoren 5 ergibt: diese
Zerlegung ist 6 = 2 · 3, und tatsächlich ist
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Insbesondere sind die beiden Lösungen x1 = 2 und x2 = 3.
Satz 1.5 (Satz von Vieta). Hat die quadratische Gleichung x2 −px+q = 0 ganzzahlige
Lösungen x1 = a und x2 = b, dann ist p = a + b und q = ab.
Mit dem Satz des Vieta lassen sich sogar Gleichungen lösen, die einen Parameter
enthalten. So ist etwa
x2 − (a2 + 1)x + a2 = (x − a2 )(x − 1),
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
usw.
1.1 Löse folgende Gleichungen.
a)
c)
e)
g)
x2 + 8x − 20 = 0
x(x + 5) = 84
x2 + 25x + 46 = 0
x(x − 6) = 7x − 42
b)
d)
f)
h)
x2 − 6x − 16 = 0
x2 − 19x + 88 = 0
4x2 = 4x + 120
x2 + 1 = 5(2x − 4)
1.2 Löse folgende Gleichungen.
a) (x − 11)(x − 12) = 2
b) (x2 + 3)(x2 − 4) = 4x(x2 − 4)
c) 10x = 11x
d) (x + 1)2 + (x + 2)2 = 25
e) (x + 4)(x + 5) = 2(x + 2)(x + 4) f) (x+6)(x−4)+(x+2)(x−2) = 56
g) (x − 1)2 + (x + 1)2 + (2x + 3)2 = 29 h) 4x2 + (x − 1)2 = 3x + 31
1.4 Quadratische Gleichungen
21
1.3 Löse folgende Gleichungen.
a) x2 + (x + 7)2 = (x + 9)2
c) 3x−1
+ 2x−2
= x28−4
x+2
x−2
√
e) x2 + 2 x + 1 = 0
b)
d)
f)
2
x
+ 1 = 3x
+3
2
3
x+4
x−2
14
+ x−3
− x2 −4x+3
x−1
√
2
x −
5x − 1 = 0
1.4 Seien x1 = a und x2 = b verschiedene Lösungen der Gleichung x2 − px + q. Zeige,
dass dann p = a + b und q = ab gilt.
Hinweis: Subtrahiere a2 − pa + q = 0 und b2 − pb + q = 0 voneinander, benutze
die dritte binomische Formel und folgere aus a 6= b, dass p = a + b sein muss.
Einsetzen in die Ausgangsgleichung liefert dann die zweite Behauptung.
Gleichungssysteme
Die Babylonier haben bereits 2000 v.Chr. Gleichungssysteme der folgenden Art gelöst:
Von einem Rechteck mit Länge L und Breite B ist der Flächeninhalt LB und der
halbe Umfang L + B bekannt; gesucht sind Länge und Breite. Ist etwa
LB = 24 und L + B = 11,
dann besteht unsere Standardmethode darin, eine Gleichung nach einer Unbekannten
aufzulösen und in die andere einzusetzen:
L = 11 − B,
(11 − B)B = 24,
also B 2 − 11B + 24 = 0.
Diese Gleichung hätte man mit dem Satz von Vieta schneller bekommen, denn die
quadratische Gleichung mit den Lösungen x = L und x = B hat ja die Form
0 = (x − L)(x − B) = x2 − (B + L)x + BL = x2 − 11x + 24.
Übungen
1.1 Löse folgende Gleichungen mit dem Satz von Vieta.
a) x2 + 9x + 14 = 0 b) x2 + 11x + 24 = 0 c)
x2 + 7x + 6 = 0
d)
x2 + x − 6 = 0 e)
x2 − 5x + 4 = 0 f) x2 + 12x + 20 = 0
g)
x2 + 5x + 4 = 0 h)
x2 + 5x + 6 = 0 i) x2 + 14x + 48 = 0
1.2 Löse folgende Gleichungen mit dem Satz von Vieta.
a)
x2 + x − 30 = 0 b) x2 − 15x + 54 = 0 c) x2 − 5x − 24 = 0
d)
x2 + x − 90 = 0 e)
x2 + 5x − 14 = 0 f)
x2 + 8x − 9 = 0
g) x2 − 2x − 24 = 0 h) x2 − 11x + 28 = 0 i) x2 − 14x + 48 = 0
1.3 Löse folgende Gleichungen mit dem Satz von Vieta.
a)
x4 − 6x2 + 8 = 0 b)
x4 + 6x2 + 8 = 0 c) x4 + 3x2 − 10 = 0
d) x4 − 2x2 − 15 = 0 e) x4 − 12x2 + 35 = 0 f) x4 + 3x2 − 18 = 0
g) x4 − 7x2 − 18 = 0 h)
x4 − 5x2 − 6 = 0 i) x4 − 8x2 + 15 = 0
22
1. Wiederholung und Vertiefung
1.5 Der Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist ein zentraler Satz der Schulmathematik und taucht bei
fast allen Längenberechnungen auf. Obwohl der Satz nach dem Griechen Pythagoras benannt ist, der auf der Insel Samos geboren ist und später nach Unteritalien
ausgewandert ist, wurde dieser Satz bereits von den Babyloniern vor 4000 Jahren
benutzt, und auch die alten Kulturen in Ägypten, Indien und China waren mit den
Anwendungen dieses Satzes vertraut.
Satz 1.6. In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt
a2 + b 2 = c 2 .
Ist umgekehrt ein Dreieck mit den Seiten a, b und c gegeben und gilt a2 +b2 = c2 , dann
ist das Dreieck rechtwinklig, und zwar liegt der rechte Winkel gegenüber der längsten
Seite c.
Mit dem Satz des Pythagoras kann man also nicht nur fehlende Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, sondern auch prüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
Einige der schönsten Aufgaben zum Satz des Pythagoras stammen aus dem Buch
Chiu Chang Suan Shu (Neun Bücher arithmetischer Technik) [3], das etwa 200 v.Chr.
in China entstanden ist und der Ausbildung von Beamten diente.
Satz des Thales
Satz des Thales
Übungen
1.1 (Heron von Alexandria, ca. 1. Jhdt. n.Chr.) Bestimme alle drei Höhen des Dreiecks mit den Seitenlängen a = 13, b = 14, c = 15. Wie kann man die restlichen
Höhen einfach bestimmen, wenn man eine Höhe kennt?
1.2 (Chiu Chang Suan Shu) Aus einem runden Baumstamm mit einem Durchmesser
von 25 Zoll soll ein möglichst großer rechteckiger Balken gesägt werden, dessen
eine Seite 7 Zoll lang sein soll. Wie lang ist die andere Seite?
1.3 (Chiu Chang Suan Shu) Ein zylinderförmiger Baum hat einen Umfang von 3
Fuß und eine Höhe von 20 Fuß. An seinem Fuß wächste eine Schlingpflanze, die
den Baum in genau 7 Umläufen umrundet. Wie lang ist die Pflanze?
1.5 Der Satz des Pythagoras
23
1.4 (Chiu Chang Suan Shu) In der Mitte eines 10 Fuß breiten Flusses wächst ein
Schilfrohr, das 1 Fuß aus dem Wasser herausragt. Zieht man das Schilfrohr Richtung Ufer, so wird das Ufer gerade erreicht, wenn das Schilfrohr ganz unter
Wasser ist. Wie tief ist der Fluss?
1.5 (Chiu Chang Suan Shu) An einem senkrecht stehenden Pfahl wird ein Seil befestigt; es liegen dann noch 3 Fuß des Seils auf der Erde. Spannt man das Seil, ist
es vom Fuß des Pfahls genau 8 Fuß entfernt. Wie lang ist das Seil, wie hoch der
Pfahl?
1.6 (Chiu Chang Suan Shu) An einer 10 Fuß hohen Mauer lehnt ein Balken, welcher
die Oberkante der Mauer berührt. Zieht man den Balken 1 Fuß von der Mauer
weg, kommt er auf dem Boden zu liegen. Wie groß ist der Balken?
1.7 (Chiu Chang Suan Shu) Eine Doppeltüre ist nicht ganz geschlossen; ihr Abstand
von der Schwelle ist 10 Zoll, die Öffnung 2 Zoll breit. Wie breit ist die Doppeltür?
1.8 (Chiu Chang Suan Shu) Die Höhe einer Türe ist 68 Zoll größer als ihre Breite.
Ihre beiden Ecken sind 100 Zoll voneinander entfernt
1.9 (Chiu Chang Suan Shu) Ein 10 Fuß langer Bambusstab ist abgeknickt und erreicht die Erde in einer Entfernung von 3 Fuß von der Wurzel. In welcher Höhe
ist der Stab abgeknickt?
1.10 (Chiu Chang Suan Shu) 2 Personen stehen an derselben Stelle auf einem Platz.
B geht mit einer Geschwindigkeit von 3 (auf die Einheit kommt es nicht an)
nach Osten, A geht mit einer Geschwindigkeit von 7 erst nach Süden und dann
in nord-östliche Richtung, bis er mit B wieder zusammentrifft. Wie weit waren
die Wege von A und B?
1.11 (Chiu Chang Suan Shu) Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der
Längen 5 und 12. Wie groß ist das dem Dreieck einbeschriebene Quadrat?
1.12 (Chiu Chang Suan Shu) Man hat ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der
Längen 8 und 15. Welchen Radius hat der dem Dreieck einbeschriebene Kreis?
1.13 (Brahmagupta, ca. 6. Jhdt. n. Chr.) Die Seiten eines Trapezes haben die Längen
11, 25, 25, 25. Bestimme die Höhe, die Länge der Diagonalen, sowie den Flächeninhalt des Trapezes.
Umrechnen von Einheiten
Schwierigkeiten beim Umrechnen von Einheiten tauchen in erster Linie im Zusammenhang mit Flächen- und Raummaßen, sowie mit zusammengesetzten Einheiten
auf. Einige Beispiele sollten hinreichend deutlich machen, wie man vorzugehen hat.
24
1. Wiederholung und Vertiefung
• m2 in cm2 umrechnen: 1 m sind 100 cm, also ist
1 m2 = 1 m · 1 m = 100 cm · 100 cm = 10.000 cm2
• m3 in Liter umwandeln: 1 Liter ist 1 dm3 ; 1 m = 10 dm, also ist
1 m3 = 10 dm · 10 dm · 10 dm = 1000 dm3 = 1000 Liter.
• m/s in km/h umrechnen und umgekehrt:
1
km
1000 m
1
=
=
m/s,
h
3600 s
3,6
1
km
m
km
1 = 10001
= 3,6
.
s
h
s
3600
Übungen
1.1 Berechne
√
√
√
2 · ( 8 + 18 ) einmal mit und einmal ohne Distributivitätsgesetz.
1.2 Beweise die folgenden Identitäten:
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 )
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
(a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2
1.3 Berechne geschickt.
a)
12 · 15
b)
28 · 25
c)
8 · 35
1.4 Zeige, dass folgende Ausdrücke gleich sind:
p
p
√
√
√
√
√
a) p3 + 2 2 = 1 + 2
b) p5 + 2 6 = 2 + 3
√
√
√
√
c)
4+2 3=1+ 3
d)
16 − 6 7 = 3 − 7
Hinweis: Man achte darauf, dass es nicht genügt nachzurechnen, dass √
die Quadrate dieser Zahlen übereinstimmen, denn aus der falschen Gleichung 4 = −2
folgt durch Quadrieren die richtige Aussage 4 = 22 . Welche zusätzliche Bedingung muss man daher noch verifizieren?
p
√
√
1.5 Warum ist 3 − 2 2 nicht dasselbe wie 1− 2? Wie muss die Gleichung richtig
heißen?
√
√
√
1.6 Zeige, dass es keine natürliche Zahl n gibt mit 2 + 3 = n.
√
√
√
√
Hinweis: Zeige, dass 9 < 2 + 3 < 10 ist.
1.6 Wahrscheinlichkeit
1.7 Zeige geometrisch, dass das Quadrat mit Kantenlänge
sitzt.
√
25
2 Flächeninhalt 2 be-
1.8 Die Größen s, v, a und t mögen in m, m/s, m/s2 und in
werden.
ps gemessen
1 2
2
Bestimme die Einheit der folgenden Größen: a) v /s; b) s/a; c) 2 at .
1.9 Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei Massen m1 und m2
im Abstand r voneinenander mit der Kraft F = Gm1 m2 /r2 an. Die Kraft wird in
kg m/s2 (Newton) gemessen. Bestimme die Einheit der Gravitationskonstante.
1.10 Die Schwingungsdauer T eines Fadenpendels hängt von der Länge ` des Fadens
und der Schwerebeschleunigung g ab. Welche Kombination aus g und ` ergibt
einen Ausdruck, dessen Dimension die Zeit ist?
1.6 Wahrscheinlichkeit
1.1 Eine verbeulte Münze, bei der mit Wahrscheinlichkeit p = 0,4 Zahl kommt, wird
10mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
1. in den ersten vier Würfen “Zahl” und in den restlichen “Kopf”?
2. höchstens viermal “Zahl”?
3. in den ersten vier Würfen jedesmal “Zahl”, insgesamt aber viermal “Kopf”?
4. in den ersten 5 Würfen höchstens einmal “Kopf” und unter den letzten 5
Würfen mindestens zweimal “Kopf”?
26
1. Wiederholung und Vertiefung