Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 3. ¨Ubungsblatt

Dr. M. Weimar
18.04.2016
Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
3. Übungsblatt
Aufgabe 1 (1+2+2=5 Punkte)
Das nachfolgende Glücksrad wird einmal gedreht. Ferner bezeichne P eine Abbildung mit den Eigenschaften
2
1
1
P ({q}) = , P ({b}) = , P ({w}) = .
(1)
5
8
4
a) Geben sie eine geeignete Ergebnismenge Ω für das Experiment an.
b) Lässt sich P zu einem W-Maß auf Ω ausweiten, falls zusätzlich zu (1)
1
bekannt ist, dass P ({s}) = 10
? Begründen sie!
c) Lässt sich P zu einem W-Maß auf Ω ausweiten, falls zusätzlich zu (1)
3
bekannt ist, dass P ({c}) = 10
? Begründen sie!
Aufgabe 2 (2 Punkte)
Konstruieren sie ein Beispiel in dem die folgende Ungleichung erfüllt ist: P (A ∩ B) > P (A) · P (B).
Aufgabe 3 (2+2+2=6 Punkte)
a) Wieviele verschiedene dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 2, 3, 5, 7 bilden?
b) Wieviele solcher Zahlen lassen sich bilden, wenn man fordert, dass alle Ziffern verschieden sein
sollen?
c) Ändern sich die Anzahlen in a) bzw. b), wenn man die Primzahlen 2, 3, 5, 7 durch die Ziffern
1, 4, 6, 8 ersetzt?
Begründen sie ihre Antworten!
Aufgabe 4 (2+2=4 Punkte)
Das nachfolgende Glücksrad wird einmal gedreht. Jedes der abgebildeten Elementarereignisse besitze
eine echt positive W-keit tatsächlich einzutreten. Stellen sie fest, ob folgende Schlüsse jeweils richtig
sind oder nicht (inklusive Begründung)!
a) Wird dem Ergebnis “1” die W-keit 1/4 und dem Ergebnis “5” die W-keit
1/6 zugeordnet, so erhält man das Ereignis “1 oder 5” mit der W-keit 5/12.
b) Die W-keit für eine gerade Zahl als Ergebnis der Drehung betrage 3/5, die
für eine durch drei teilbare Zahl 2/5. Dann tritt mit W-keit 1 das Ereignis
“Ergebnis ist durch zwei oder durch drei teilbar” ein.
bitte wenden
Zusatzaufgabe
a) Wieviele verschiedene Belegungen gibt es für die
drei Boxen im nebenstehenden Bild?
b) Wieviele der möglichen Belegungen aus Teilaufgabe a) machen die abgebildete Gleichung zu
einer wahren Aussage?
c) Wieviele mögliche Belegungen müssen sie ausprobieren bis sie die Antwort für Teilaufgabe b)
mit Sicherheit kennen?
Abgabe (freiwillig, ohne Zusatzaufgabe): In den Tutorien während der 4. Vorlesungswoche (02.05.–
06.05.2016)
Musterlösung zum 3. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
Aufgabe 1.
a) Ω = {q, s, b, w, c}
b) Die angegebenen W-keiten für die Elementarereignisse {q}, {b}, {w}, {s} sind alle nicht negativ.
Ihre Summe beträgt
1
16
5
10
4
35
7
2 1 1
+ + +
=
+
+
+
=
= = 0.875.
5 8 4 10
40 40 40 40
40
8
P
Setzt man P ({c}) := 18 = 0.125, und definiert P (A) := ω∈Ω P ({ω}) für alle A ⊆ Ω, so bildet
P nach Satz 5.15 ein W-Maß auf Ω.
c) Hier beträgt die Summe der bereits gesetzten W-keiten für die Elementarereignisse {q}, {b},
{w}, {c} bereits
2 1 1
3
16
5
10 12
43
+ + +
=
+
+
+
=
= 1.075 > 1.
5 8 4 10
40 40 40 40
40
Somit kann kein W-Maß auf Ω diese Vorgaben erfüllen.
Aufgabe 2. Wichtig hier: Angabe aller Zutaten! Z.B.: Ω = {x, y, z} mit Gleichverteilung P und
Ereignissen A = {x} und B = {x, z}. Dann ist A ∩ B = {x} und damit
P (A ∩ B) =
3
1
=
3
9
und
P (A) · P (B) =
1 2
2
· = .
3 3
9
Aufgabe 3. Fundamentalprinzip des Zählens!
a) Man kann 4·4·4 = 43 = 64 verschiedene dreistellige Zahlen aus vier verschiedenen Ziffern bilden,
denn für jede der drei Stellen gibt es jeweils vier mögliche Belegungen.
b) Ohne Wiederholungen gibt es nur 4 · 3 · 2 = 24 Kombinationen: vier verschiedene Ziffern stehen
für die erste Stelle zur Auswahl, drei für die zweite und nur noch zwei für die letzte.
c) Natürlich ändert sich gar nichts. Wie aus der Herleitung für a) und b) ersichtlich ist, geht es einzig
und allein darum, wieviele verschiedene Objekte für die einzelnen Stellen jeweils zur Auswahl
stehen. Ob das Primzahlen, Obstsorten, oder Hieroglyphen sind, spielt keine Rolle!
Aufgabe 4. Es bezeichne P ein W-Maß auf Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Die Schlussfolgerung stimmt. Für A = {1} und B = {5} gilt A ∩ B = ∅. Damit ist (gemäß den
Annahmen für P (A) und P (B) und dem Additivitätsaxiom)
P (“1 oder 5”) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) =
1 1
3
2
5
+ =
+
= .
4 6
12 12
12
b) Diese Schlussfolgerung stimmt nicht. Hier führt C =“gerade”= {2, 4, 6} und D =“durch drei
teilbar”= {3, 6} auf C ∩ D = {6} =
6 ∅, wobei nach Voraussetzung P ({6}) > 0 gilt. Damit gilt für
C ∪ D =“Ergebnis ist durch zwei oder durch drei teilbar”
P (C ∪ D) = P (C) + P (D) − P (C ∩ D) =
3 2
+ − P (C ∩ D) = 1 − P ({6}) < 1.
5 5
Zusatzaufgabe.
a) Es stehen acht verschiedene Zahlen für jede der drei Boxen zur Verfügung. Analog zu Aufgabe
3a) ergeben sich 8 · 8 · 8 = 83 = 512 mögliche Belegungen.
b) Offensichtlich löst keine der 512 möglichen Belegungen die Gleichung. Alle zur Auswahl stehenden Zahlen sind ungerade. Die Summe aus drei ungeraden Zahlen ist stets wieder ungerade und
kann daher niemals (die gerade Zahl) 30 ergeben.
c) Hoffentlich keine
Vorschläge für die Tutorien zum 3. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 2016)
Aufgabe 5
Zeigen Sie durch Angabe eines Beispiels, dass die Abschätzung P (A ∩ B) ≥ P (A) · P (B) im Allgemeinen nicht richtig ist.
LÖSUNG:
Wähle Ω := {1, 2} mit der Gleichverteilung P und setze A := {1} und B := {2}. Dann ist
P (A ∩ B) = P (∅) = 0 <
1
1 1
= · = P (A) · P (B).
4
2 2
Aufgabe 6 (Kütting/Sauer, Sect. 2.6.5, Aufg. 8, S.120)
Untersuchen sie, ob die folgenden drei Schlüsse richtig sind. Gewürfelt wird jeweils mit einem LaplaceWürfel.
a) Die W-keit eine Drei zu würfeln beträgt 1/6. Gleiches gilt für eine Zwei. Also beträgt die W-keit
eine Zwei oder eine Drei zu würfeln 1/3.
b) Die W-keiten für eine ungerade Zahl bzw. eine Zweierpotenz betragen jeweils 1/2. Daher ist es
sicher, eine ungerade Zahl oder eine Zweierpotenz zu würfeln.
c) Es werde zweimal gewürfelt. Die W-keiten im ersten bzw. zweiten Wurf eine drei zu würfeln betragen jeweils 1/6. Also beträgt die W-keit im ersten oder zweiten Wurf eine drei zu würfeln 1/3.
LÖSUNG:
a) Richtig. Lösung genau wie Aufgabe 4a)
b) Falsch. (6 ist weder ungerade, noch eine Zweierpotenz, tritt aber mit positiver W-keit 1/6 auf.)
Lösung analog zu Aufgabe 4b): A = {1, 3, 5} und B = {1, 2, 4} führen auf A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
und A ∩ B = {1} (Venn-Diagramme nutzen!). Also
P (A ∪ B) =
5
1 1 1
= + − = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) < 1.
6
2 2 6
c) Falsch. Lösung wie in b): Diesmal ist Ω = {1, 2, . . . , 6}2 , sowie A = {(3, `) ` ∈ {1, 2, . . . , 6}}
und B = {(k, 3) k ∈ {1, 2, . . . , 6}}. Also A ∩ B = {(3, 3)}, sodass P (A ∩ B) = 1/36 und damit
P (A ∪ B) = 11/36 < 1/3.
Aufgabe 7 (Empirische W-keit)
Aus einer Urne mit vier nummerierten Kugeln mit den Nummern 1, 2, 2 und 4 wird 100-mal zufällig
eine Kugel gezogen und jeweils sofort (also jeweils vor der nächsten Ziehung) wieder in die Urne
zurückgelegt. Das Ergebnis sehe folgendermaßen aus: Kugel Nr. 1 wird 27 Mal gezogen, Kugeln mit
der Nr. 2 werden insgesamt 42 Mal gezogen, und Kugel Nr. 4 wird 31 Mal gezogen.
Geben sie eine geeignete Ergebnismenge an und berechnen sie die statistischen Wahrscheinlichkeiten
aller möglichen Ereignisse!
LÖSUNG:
Ω = {1, 2, 4} (Es gibt keinen Grund Unterscheidbarkeit der Kugeln mit der Nummer 2 anzunehmen).
Also |P(Ω)| = 2|Ω| = 23 = 8 Ereignisse mit relativen Häufigkeiten
h100 (∅) = 0,
h100 ({1}) = 0.27,
h100 ({2}) = 0.42
h100 ({4}) = 0.31,
h100 ({1, 2}) = 0.69,
h100 ({1, 4}) = 0.58,
h100 ({2, 4}) = 0.73
h100 ({1, 2, 4}) = 1,
denn z.B.
h100 ({1, 4}) =
H100 ({1, 4})
Anzahl der Versuche mit Ausgang in {1, 4}
27 + 31
=
=
= 0.58.
H100 (Ω)
Gesamtzahl der Versuche
100
Aufgabe 8 (vgl. Kütting/Sauer, Sect. 2.6.5, Aufg. 6a, S.120)
Was ist (unter natürlichen Annahmen) wahrscheinlicher? Begründen sie ihre Antwort!
• Szenario Nr.1: Zwei zufällig ausgewählte Personen haben am gleichen Tag Geburtstag.
• Szenario Nr.2: Eine zufällig gewählte Person hat an ihrem Klausurtermin Geburtstag.
LÖSUNG:
Beides ist gleichwahrscheinlich:
• Szenario Nr.1: Modell: zufällige Auswahl aus Ω1 := {(k, `) 1 ≤ k, ` ≤ 365} bzgl. Gleichverteilung
P1 und A1 := {(k, k) 1 ≤ k ≤ 365}. Dann ist P1 (A1 ) = |A1 | / |Ω1 | = 365/3652 = 1/365.
• Szenario Nr.2: Modell: zufällige Auswahl aus Ω2 := {j 1 ≤ j ≤ 365} mit Gleichverteilung P2
und A2 :=“Tag der Klausur ausgewählt”. Dann ist P2 (A2 ) = |A2 | / |Ω2 | = 1/365.