Teil I: Spezielle Relativitätstheorie 1 Das Relativitätsprinzip 1

Teil I: Spezielle Relativitätstheorie
Wir beginnen diese Vorlesung in gewissem Sinn mit dem Abschluss der Elektrodynamik.
Nicht umsonst hatte Einsteins bahnbrechende Arbeit zur speziellen Relativitätstheorie
aus dem Jahr 1905 den Titel ,,Zur Elektrodynamik bewegter Körper”.
1
Das Relativitätsprinzip
1.1
1
Postulate der speziellen Relativitätstheorie
Zur Erinnerung: Die Lorentz-Kraft auf eine Ladung q mit Geschwindigkeit ~v lautet
~
v
~ + ×B
~
F~ = q E
c
Die elektromagnetischen Felder sind bestimmt durch die Maxwell-Gleichungen
~ = 4πρ
∇·E
~ + 1B
~˙ = 0
∇×E
c
(∗)
~ =0
∇·B
~ − 1E
~˙ = 4π J~
∇×B
c
c
Sie enthalten die Konstante c = 3 · 108 m/s.
(∗) ⇒ Es gibt im materiefreien Raum (wo ρ = 0, J~ = 0) elektromagnetische Wellen,
die sich mit der Geschwindigkeit c ausbreiten: Licht. Dies ist bemerkenswert und auch
merkwürdig.
Warum merkwürdig? Denken wir mal an Schall. Im Ruhesystem der Luft bewegt sich
Schall mit einer Geschwindigkeit cS aus. Für einen Beobachter, der sich gegenüber der
Luft mit Geschwindigkeit V in die selbe Richtung wie der Schall bewegt, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls cS − V < cS :
1
[Griffiths 12.1.1, 12.1.2]
1
Gilt die analoge Überlegung auch für Licht? Wenn ja, würde das bedeuten, dass (∗) nur
in einem bestimmten Bezugssystem gilt, nicht aber in Bezugssytemen die sich relativ
dazu mit konstanter Geschwinigkeit bewegen (als man daran glaubte, nannte man das
Bezugssytem, in dem (∗) gilt das Ruhesystem des ,,Äthers”).
Die Erfahrung zeigt aber, dass die Maxwell-Gleichungen nicht nur in einem Bezugssystem gelten, sondern auch in allen anderen, die sich diesem gegenüber mit konstanter
Geschwindigkeit V bewegen. Insbesondere ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts
in jedem Bezugssystem gleich.
Dass (∗) unabhängig vom Bewegungszustand des Beobachters gilt, illustriert auch das
folgenden Gedankenexperiment (diesmal mit Materie):
Ein Zug bewegt sich geradeaus mit konstanter Geschwindigkeit V . Auf einem Waggon ist
eine Leiterschleife angebracht. Der Zug fährt zwischen den Polen eines großen Permanent~ hindurch.
magneten mit Magnetfeld B
Für einen Beobachter B, der am Boden steht, ist der Magnet in Ruhe und die Schleife
bewegt sich durch das Magnetfeld. Daher erfahren die Ladungsträger (Ladung q) in der
Schleife die Kraft
V~
~
q ×B
(∗∗)
c
Es ensteht also ein Strom im Leiter.
Wie stellt sich die Situation für eine Beobachterin W dar, die auf dem Waggon mitfährt?
Für W bewegt sich die Schleife nicht, es gibt also keine Kraft der Art (∗∗). Entsteht also
kein Strom im Leiter? Doch: W sieht ein zeitlich veränderliches Magnetfeld. Wegen
~ = −1B
~˙
∇×E
c
2
wird ein elektrisches Feld induziert, das eine Kraft auf die Ladungsträger ausübt.
~
Hieran sieht man auch: relativ zueinander bewegte Beobachter messen unterschiedliche E~
und B-Felder.
Auf deren Zusammenhang kommen wir ganz am Schluss von Teil I wieder
zurück.
Das Relativitätsprinzip
Um das Relativitätsprinzip zu formulieren brauchen wir noch ein paar Definitionen:
Unter einem Bezugssystem verstehen wir ein kartesisches Koordinatensystem, zusammen mit einem Satz von Uhren. Idealerweise befindet sich an jedem Raumpunkt eine Uhr.
Die Uhren werden alle synchronisiert. Damit lässt sich jedem Ereignis genau ein Zeitpunkt
t, sowie die drei kartesischen Koordinaten x1 , x2 , x3 . zuordnen. Die Menge aller Ereignisse
nennt man auch Raum-Zeit.
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem sich Körper in hinreichend großer
Entfernung von anderen Körpern gleichförmig und geradlinig bewegen.
Bem: Aus der Definition folgt, dass eine Bezugssystem, das sich gegenüber einen Inertialsystem gleichförmig geradlinig bewegt, ebenfalls ein Intertialsystem ist.
Das zentrale Postulat der speziellen Relativitätstheorie, das Relativitätsprinzip, lautet
nun:
Die Naturgesetze gelten in allen Inertialsytemen.
Das Relativitätsprinzip wurde auch schon vor Einstein angenommen. Allerdings hat erst
dieser es auch auf die Gesetze der Elektrodynamik angewandt. Insbesondere hat er benutzt, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen den gleichen Wert hat.
Bem: Wenn wir das obige Postulat auf physikalische Systeme anwenden, nehmen wir
implizit die Existenz von Intertialsysteman an.
Ein weiteres Postulat der speziellen Relativitätstheorie ist:
Der Raum ist homogen und isotrop und euklidisch.
Euklidisch bedeutet, dass die üblichen Gesetze der euklidischen Geometrie gelten.
Konsequenzen des Relativitätsprinzips
Allein aus dem Relativitätsprinzip kann man bemerkenswerte Konsequenzen ableiten.
(i) Relativität der Gleichzeitigkeit
3
Betrachte einen Waggon, der sich mit konstanter Geschwindigkeit V bewegt. In der Mitte
des Waggons wird eine Glühbirne eingeschaltet. Aus Sicht einer Beobachterin W, die im
Waggon mitfährt, erreicht das Licht Vorder- und Rückseite des Waggons gleichzeitig. Für
einen am Boden ruhenden Beobachter B erreicht das Licht die Rückseite zuerst, weil diese
sich auf den Lichtstrahl zubewegt!
Wir haben zwei Ereignisse: 1) Das Licht erreicht die Vorderseite, und 2) Das Licht erreicht
die Rückseite
Es gilt also: zwei Ereignisse, die in einem Inertialsystem gleichzeitig sind, sind in einem
rekativ dazu bewegten Inertialsystem i.A. nicht gleichzeitig.
(ii) Zeitdilatation
Wie lange dauert es, bis das Licht den Boden des Waggons direkt unterhalb der Lampe
erreicht? Die Lampe sei im Waggon in der Höhe h befestigt.
Bzgl. W dauert es also
tW =
h
c
B beobachtet folgendes:
4
und findet (unter Benutzung der euklidischen Geometrie)
p
h2 + (V tB )2
tB =
> tW
c
also ein längeres Zeitintervall!
7. April 2014
5
1.2
Lorentz-Transformationen
[Griffiths 12.1.3]
Fragestellung: Gegeben seien zwei Inertialsysteme S und S 0 . Wie lautet der Zusammenhang zwischen den Raum-Zeit-Koordinaten t, ~x und t0 , ~x0 ein und desselben Ereignisses
bzgl. S und S 0 ? Hierbei ist
 1 
x

x2 
~x :=
x3
Wir nehmen an dass sich S 0 relativ zu S mit der Geschwindigkeit V~ bewegt, und dass die
Ursprünge der beiden Systeme zusammenfallen, d.h. dass das Ereignis mit Koordinaten
t = 0, ~x = 0 bzgl. S die Koordinaten t0 = 0, ~x0 = 0 bzgl. S 0 hat.
Es gilt: Der Zusammenhang zwischen t, ~x und t0 , ~x0 ist linear.
Begründung: Aus der Definition von Inertialsystemen folgt, dass jede Bewegung, die geradlinig und gleichförmig bzgl. eines Inertialsystems ist, dies auch bzgl. eines beliebigen
anderen Intertialsystems sein muss Der Abstand
Für ein beliebiges Ereignis zur Zeit t mit Ortsvektor ~x bzgl. S definiere
s2 := ~x 2 − (ct)2
Für dasselbe Ereignis definiere auch die entsprechende Größe bzgl. S 0 ,
s0 2 := ~x 02 − (ct0 )2
Es gilt: aus s folgt dass auch s0 = 0.
Begründung: zur Zeit t = 0 werde bei ~x = ~0 ein Lichtsignal ausgesandt. Für t > 0
gilt dann für die Ortsvektoren ~x des Lichtsignals ~x 2 = c2 t2 . Da sich das Signal bzgl. S 0
ebenfalls mit Lichtgeschwindigkeit bewegt gilt auch ~x 02 = (ct0 )2 Damit dies erfüllt ist, und weil t0 und ~x0 lineare Funktionen von t und ~x sind, müssen s2
und s02 proportional sein,
s2 = κs02
Dabei kann κ von der Relativgeschwindigkeit V~ abhängen. Wegen der Isotropie hängt κ
nur vom Betrag der Relativgeschwindigkeit ab, d.h. κ = κ(|V~ |).
Jetzt betrachte die inverse Transformation, d.h. betrachte t und ~x als Funktionen von t0
und ~x0 . Die entsprechende Relativgeschwinigkeit ist −V~ . Wegen κ = κ(|V~ |) gilt auch
s02 = κs2
1
Es gilt also κ2 = 1 für beliebige V~ . Damit κ bei V~ = 0 stetig ist, muss κ = 1 sein.
⇒
Für jedes Ereignis ist die Größe s2 unabhängig von der Wahl des Inertialsystems.
Eine Größe, die in jedem Inertialsystem den selben Wert hat, nennt man Lorentzinvariant.
Für zwei Ereignisse a, b ist das Quadrat des Abstandes
s2ab := (~xa − ~xb )2 − c2 (ta − tb )2
Lorentz-invariant.
Schreibe den Zusammenhang zwischen den Raumzeitkoordinaten als
0 ct
ct
=Λ
~x0
~x
mit einer 4 × 4-Matrix Λ. Diese Transformationen müssen s2 invariant lassen. Diese Eigenschaft definiert eine Lorentz-Transformation.
Betrachte nun ein S 0 , dass sich bzgl. S mit der Geschwindigkeit V~ = V ~e1 bewegt:
Dann hat Λ die folgende Form:


A B 0 0
 C D 0 0 

Λ=
 0 0 1 0 
0 0 0 1
Begründung: Für alle t müssen die Punkte auf der x1 -Achse n auf der x10 -Achse liegen. Es
muss also für x2 = x3 = 0 auch x20 = x30 = 0 sein. Daher müssen oben rechts und unten
links lauter Nullen stehen. Isotropie ⇒ unten rechts steht etwas zur 2 × 2-Einheitsmatrix
2
proportionales. Aus der gleichen Überlegung wie für κ folgt dass die Proportionalitätskonstante gleich 1 ist Zur Bestimmung von A, . . . , D betrachte


x
~x =  0 
0
Damit ist
ct0
x0
=
A B
C D
ct
x
=
Act + Bx
Cct + Dx
⇒
~x 02 − (ct0 )2 = (Cct + Dx)2 − (Act + Bx)2
Für x = ±ct muss dies verschwinden. ⇒
(A ± B)2 = (C ± D)2
⇔
|A ± B| = |C ± D|
Für V → 0 werden A = D = 1, B = C = 0 ⇒
A±B =D±C
Diese beiden Gleichungen liefern
B = C =: −βγ
A = D =: γ,
Bzgl. S 0 hat der Ursprung von S die Koordinaten
1 −β
ct
1
γ
= γct
−β 1
0
−β
Andererseits ist dies gleich
ct0
−V t0
⇒ γt = t0 , γtcβ = V t0
⇒
β=
V
c
Jetzt bestimme γ(V ). Die inverse Transformation Λ−1 erhält man durch V → −V , β →
−β, γ(V ) → γ(−V ).
Isotropie ⇒ γ(V ) = γ(−V ).
ΛΛ
−1
=1
⇔
γ
2
1 −β
−β 1
1 β
β 1
3
=γ
2
1 − β2
0
0
1 − β2
=1
⇔ γ2 =
1
1 − β2
γ → 1 für β → 0
⇒
Resultat:
1
γ=p
1 − β2


γ
−βγ 0 0
 −βγ
γ
0 0 

Λ=
 0
0
1 0 
0
0
0 1
für V~ = V ~e1
Nichtrelativistischer Grenzfall: Sei β 1, x1 <
∼ ct. Dann ist γ ' 1 und
t0 = γ(t − βx1 /c) ' t(1 − βx1 /(ct)) ' t
x10 = γ(x1 − βct) = γ(x1 − V t) ' x1 − V t
Dies ist die Galilei-Transformation der vorrelativistischen Physik.
Längenkontraktion
Als Beispiel betrachte einen Stab der (Ruhe-) Länge L, der in S 0 ruht.
Welche Stablänge wird in S gemessen? Zur Zeit t = 0 ist das linke Stabende bei x = 0.
Bei welchem Wert von x ist das rechte Ende zum selben Zeitpunkt? Dazu betrachte die
inverse Lorentz-Transformation,
0 0
0
1 β
ct
ct + βL
=γ
=γ
x
β 1
L
βct0 + L
4
Das liefert ct0 = −βL und daher
x = γ(−β 2 + 1)L =
p
1
L = 1 − β 2L < L
γ
D.h. in S erscheint der Stab um den Faktor 1/γ verkürzt.
9. April 2014
5
[Griffiths 12.1.3, 12.2.1]
1.3
Transformation der Geschwindigkeit
Seien S und S 0 Inertialsysteme. S 0 bewege
sich gegenüber S mit der Geschwindigkeit V~ =
p
V ~e1 . Es sei wieder β = V /c, γ = 1/ 1 − β 2 . Für ein Ereignis lautet der Zusammenhang
zwischen den Koordinaten

 

ct
γ(ct0 + βx10 )
 x1   γ(x10 + βct0 ) 
 2 =

(∗)
 x  

x20
x3
x30
Betrachte ein Punktteilchen mit Bahnkurve ~x(t). Gesucht ist der Zusammenhang zwischen
den Geschwindigkeiten ~v und ~v 0 eines Teilchens bzgl. S und S 0 . Betrachte dazu die beiden
infinitesimal benachbarten Ereignisse a und b:
Es gilt
dxi = v i dt
und entsprechend für die gestrichenen Koordinaten. Mit (∗) erhält man
cdt = γ(c + βv 10 )dt0
dx1 = γ(v 10 + βc)dt0
dxi = dxi0
(i = 2, 3)
Daraus ergibt sich das Transformationsgesetzt für die Geschwindigkeiten
v1 =
v
i
v 10 + V
1 + V v 10 /c2
v i0
=
1 + V v 10 /c2
r
1−
1
V2
c2
(i = 2, 3)
Dies ist offensichtlich kein sehr schönes Transformationsverhalten.
Spezialfälle
1. Nichtrelativistischer Grenzfall Für den Fall dass sowohl |~v 0 | als auch V sehr
viel kleiner als c erhhält man
~v = ~v 0 + V~
(|~v 0 |, V c)
d.h. die Geschwindigkeiten werden einfach addiert.
2. ~v = v~e1 . Dann ist
v=
v0 + V
1 + V v 0 /c2
Wenn sich das Teilchen mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, v 0 = c wird daraus
v=
c+V
=c
1 + V /c
wie es sein muss.
1.4
Vierer-Skalare, Vierer-Vektoren
Größen, die invariant unter Lorentz-Transformationen sind, bezeichnet man als ViererSkalare (4-Skalare) .
Ein wichtiges Beispiel hatten wir schon gesehen: das Abstandsquadrat s2ab zweier Ereignisse.
Ein wichter Spezialfall dieses Beispiels ist die Eigenzeit eines Teilchens mit Bahnkurve
~x(t). Zu einem gegebenen Zeitpunkt t gibt es ein Inertialsystem, in dem das Teilchen zu
diesem Zeitpunkt ruht. Die Eigenzeit dτ ist defniert als das Zeitintervall zwischen den
Ereignissen a und b bzgl. dieses Systems.
2
Für Das Abstandsquadrat gilt
ds2 = −(cdτ )2
ds2 ist Lorentz-invariant ⇒
1
dτ = 2 (c2 dt2 − d~x2 ) =
c
2
~v 2
1 − 2 dt2
c
d.h.
r
dτ =
1−
~v 2
dt
c2
Interpretation der Eigenzeit: dτ ist das Zeitintervall zwischen den Ereignissen a und b, das
das Teilchen auf seiner Armbanduhr abliest (von einem Teilchen sollte man hier vielleicht
besser von einem Beobachter sprechen, der in hinreichend guter Näherung als punktförmig
angenommen werden kann ;-). Liegt eine endliche (nicht infinitesimale) Zeit zwischen a
und b, zeigt die Uhr das Zeitinvervall
Ztb r
~v 2
1 − 2 dt
τab =
c
ta
an.
Allgemein kann man den Begriff des 4-Skalars als Verallgemeinerung des 3-Skalars auffassen, also einer Größe, die sich bei Drehungen nicht ändert. Entsprechend kann man auch
den Begriff des 3-Vektors, der durch sein Transformation unter Drehungen definiert ist auf
Lorentz-Transformationen verallgemeinern. Für ein Ereignis zum Zeitpunkt t definiere
x0 := ct
Dann lassen sich die Raum-Zeit-Koordinaten schreiben als
 0 
x
 x1 

x := 
 x2 
x3
Die Komponenten dieses Objekts schreibt man auch mit griechischem Index, xµ wobei µ ∈
{0, 1, 2, 3} (lateinische Indizes laufen weiterhin von 1 bis 3). Eine Lorentz-Transformation
kann man jetzt schreiben als
x0 = Λx
bzw. in Komponenten
xµ0 = Λµ ν xν
Dabei sind Λµ ν die Elemente der Matrix Λ, und es gilt die Einsteinsche Summenkonvention, d.h. über doppelt auftretende Indizes wird summiert.
3
Vierkomponentige Größen


A0
 A1 

A := 
 A2 
A3
die sich bei einer Lorentz-Transformation verhalten wie x, d.h.
Aµ0 = Λµ ν Aν
bezeichnet man als Vierervektor (4-Vektor). Man schreibt A auch in der Form
0 A
A :=
~
A
~ transformiert wie ein 3-Vektor.
Unter räumlichen Drehungen ist A0 invariant, und A
Bsp: 4-Geschwindigkeit
dxµ
dτ
µ
eines Teilchens mit Bahnkurve ~x(t). dx ist ein 4-Vektor, und die Eigenzeit dτ ist ein
Skalar. Also ist u ein 4-Vektor. Es gilt
uµ :=
u0 = p
~u = p
c
1 − ~v 2 /c2
~v
1 − ~v 2 /c2
Das Transformationsverhalten ist sehr viel schöner als das von ~v :
uµ0 = Λµ ν uν
Das Quadrat eines 4-Vektors
~2
A2 := (A0 )2 − A
ist ein 4-Skalar.
Bsp: Für das Quadrat der 4-Geschwindigkeit gilt u2 = c2 .
Um so ein Quadrat schöner schreiben zu können, definiert man Objekte mit unteren
Indizes als
A0 := A0 ,
Am := −Am (m = 1, 2, 3)
Damit ist nämlich
A2 = Aµ Aµ
4
Eine Verallgemeinerung ist das Skalarprodukt zweier 4-Vektoren A und B,
A · B := Aµ B µ = Aµ Bµ
Bsp: Der 4-Impuls p eines Teilchens mit Masse m wird definiert als
p := mu
Es ist dann
p2 = m2 c2
(∗)
p
Für kleine Geschwindigkeiten |~v | c ist 1 − ~v 2 /c2 ' 1. Die räumlichen Komponenten
sind dann
p~ ' m~v
(|~v | c)
also gleich dem nichtrelativistischen Impuls. Für die 0-Komponente entwickeln wir die
Wurzel bis zur Ordnung ~v 2 /c2 ,
1 ~v 2
1
p
'1+
2 c2
1 − ~v 2 /c2
(|~v | c)
Damit ist
m~v 2
(|~v | c)
2
Der zweite Term ist die nichtrelativistische kinetische Energie. Der erste Term verschwindet nicht für ~v → 0 und ist die berühmte Ruheenergie mc2 . Wir können also cp0 mit der
Energie E des Teilchens identifizieren. Der 4-Impuls ist lässt sich dann auch schreiben als
cp0 ' mc2 +
p=
E/c
p~
Mittels (∗) kann man auch die Energie durch p~ ausdrücken,
E=
p
m2 c4 + p~ 2 c2
11. April 2014
5
1.5
Kausale Struktur der Raum-Zeit
[Griffiths 12.1.4, 12.2.3]
Kann man eigentlich ein Teilchen mit Masse m auf Lichtgeschwindigkeit oder vielleicht
sogar Überlichtgeschwindigkeit beschleunigen? Die Energie des Teilchens kann man schreiben als
mc2
p
E=
(∗)
1 − ~v 2 /c2
Daran sieht man, dass E beliebig groß wird, wenn sich |~v | dem Wert c annähert und im
Limes |~v | → c unendlich wird. Daher muss man die obige Frage mit nein beantworten.
Man kann das auch wie folgt sehen. Wir hatten
m~v
p~ = p
1 − ~v 2 /c2
Teilt man dies durch (∗), ergibt sich
~v = c2
p~
E
Wegen
E=
p
m2 c4 + p~ 2 c2 > |~p|c
ist
|~v | < c
für alle p~
Masselose Teilchen
Im Limes m → 0 wird
E = |~p|c
(m = 0)
Folglich ist dann
|~v | = c
(m = 0)
D.h. masselose Teilchen wie z.B. Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit.
Aus der obigen Überlegung folgt, dass ein Inertialsystem, aufgebaut aus materiellen
Maßstäben und Uhren, sich nur mit |V~ | < c bewegen kann. Ausserdem können sich
weder massive noch masselose Teilchen schneller als das Licht fortbewegen.
Abstand
Das Quadrat des Abstands kann man ausdrücken durch das Quadrat von xab := xa − xb
s2ab = −x2ab = −t2ab + ~x2ab
Es gilt:
1
1. Es gibt Intertialsysteme, in denen a und b gleichzeitig sind ⇔ s2ab > 0.
2. Es gibt Intertialsysteme, in denen a und b am selben Ort stattfinden ⇔ s2ab < 0.
Begründung von 1: ,,⇒“ ist klar.
,,⇐“: Wähle das Bezugssystem so, dass ~xab = dab~e1 . Es gilt ctab < dab . In einem Inertialsystem, das sich mit V~ = V ~e1 bewegt, ist ct0ab = γ(ctab − βdab ). Wähle β = ctab /dab < 1.
Damit ist t0ab = 0 Wenn s2ab > 0 heißt der Abstand raumartig , für s2ab < 0 zeitartig und für s2ab = 0
lichtartig .
Sei das Ereignis ,,hier und jetzt” am Ursprung unseres Koordinatensystems. Dann kann
man alle Ereignisse in drei Kategorien einteilen:
Als Lichtkegel bezeichnet man die Ereignisse mit x2 = 0. Als Weltlinie eines Teilchens
oder Beobachters versteht man die Trajektorie im 4-dimensionalen Raum xµ (λ). Dabei
kann man die Trajektorie durch die Eigenzeit λ = τ oder durch irgendeinen Größe λ
parametrisiert werden. Weil es sich nicht schneller als mit c bewegen kann, kann ein
Teilchen am Ursprung kann nur Punkte innerhalb des Vorwärtslichtkegels erreichen.
Man kann auch sagen: vom Ursprung aus lassen sich nur Ereignisse innerhalb des und auf
dem Vorwärtslichtkegel beeinflussen. Ein Ereignis am Ursprung kann nur von Ereignissen
innerhalb des oder auf dem Rückwärtslichtkegel beeinflusst worden sein.
1.6
Relativistische Bewegungsgleichung
[Griffiths 12.2.4]
Fragestellung: wann ist eine Bewegungsgleichung (zweites Newtonsches Gesetz)
d~p
F~ =
dt
in jedem Inertialsystem gültig?
2
Dies lässt sich positiv beantworten, wenn es gelingt, sie als Gleichung zwischen 4-Vektoren
zu formulieren. Wir wissen bereits, dass p~ der räumliche Teil eines 4-Vektors ist. Jetzt
brauchen wir noch eine nullte Komponente. Betrachte
~v ·
d
m~v
d~p
= ~v · p
dt
dt 1 − ~v 2 /c2
1
~v d~v
d~v
2 2 −1/2
2 2 −3/2
(1 − ~v /c )
+ ~v −
(1 − ~v /c )
(−2) 2 ·
= m~v ·
dt
2
c dt
d~v
= m(1 − ~v 2 /c2 )−3/2 ~v ·
dt
mc2
d
p
=
dt 1 − ~v 2 /c2
Also ist
dE
= ~v · F~
dt
Bem: dies gibt die selbe Relation zwischen geleisteter Arbeit und Kraft wie in der nichtrelativistischen Mechanik:
Z~xb
Eb − Ea = d~x · F~
~
xa
p
Mit dτ = dt 1 − ~v 2 /c2 kann man die obigen Bewegungsgleichungen für p~ und E zusammenfassen zu
dpµ
= Kµ
(∗)
dτ
wobei
und
~v · F~
K0 = p
c 1 − ~v 2 /c2
~
~ =p F
K
1 − ~v 2 /c2
Wenn nun die K µ die Komponenten eines 4-Vektors sind (,,4-Kraft”), ist die Bewegungsgleichung (∗) in allen Inertialsystemen gültig. In diesem Fall sagt man auch, die Gleichung
(∗) sei Lorentz-kovariant.
2
Relativität und Elektrodynamik
Wir hatten gesehen: wenn in einem Inertialsystem ein statisches Magnetfeld vorliegt und
~ = 0, dann gibt es in einem relativ dazu bewegten Inertialsystem auch ein E-Feld.
~
E
3
Hier sind zwei weitere Beispiele, die das nicht-triviale Transformationsverhalten von elektromagnetischen Feldern illustrieren:
1. Das Feld einer nicht beschleunigten Punktladung. Im Ruhesystem gibt es nur ein
~
~ = 0. Bewegt sich jedoch die Punktladung, gibt es
statisches E-Feld,
während B
~
einen Strom und daher auch ein B-Feld.
2. Ein nicht beschleunigter unendlich ausgedehnter Plattenkondensator mit parallelen
Platten und homogenen Flächenladungsdichten. Im Ruhesystem gibt es nur ein sta~
tisches E-Feld.
Jetzt betrachte den Kondensator in einem System, das sich parallel
~
zu den Platten bewegt. Es gibt weiterhin ein statisches E-Feld.
Der Wert des Feldes
ist größer, weil die Platten in Bewegungsrichtung längenkontrahiert was die Fächenladungsdichte erhöht. Es gibt jetzt aber auch einen Strom und daraus resultierend
~
ein B-Feld.
Im zweiten Beispiel haben wir folgendes implizit angenommen:
Die elektrische Ladung ist Lorentz-invariant.
Empirisch zeigt sich, dass dies der Fall ist und wir werden es auch von nun an voraussetzten.
Wir erwarten, dass sich die in einem Inertialsystem gemessenen Felder durch die in einem
anderen am selben Raum-Zeitpunkt gemessenen Felder ausdrücken lassen. Aus der obigen
~ und B
~ nicht die Komponenten von zwei unterschiedlichen
Beispielen folgt, dass sich E
4-Vektoren sein können (natürlich auch nicht von einem).
2.1
Lorentz-Kraft
[Jackson 11.9]
Betrachte die Bewegungsgleichung für eine Punktteilchen mit Masse m und Ladung q im
elektromagnetischen Feld
d~p
= F~
(∗)
dt
wobei F~ jetzt die Lorentz-Kraft
~
v
~ + ×B
~
F~ = q E
c
ist.
Bem: es ist wichtig, dass man auf der linken Seite von (∗) d~p/dt mit den räumlichen
Komponenten des 4-Impules schreibt und nicht md~v /dt. Nichtrelativistisch macht das
keinen Unterschied, aber nur mit der ersten Variante bekommt man Lorentz-kovariante
Gleichungen.
4
Die K µ sind für diesen Fall
q
~
√
~v · E
c 1 − ~v 2
q
~
v
~ = √
~ + ×B
~
K
E
c
1 − ~v 2
K0 =
Mit der 4-Geschwindigkeit u lässt sich dies schreiben als
q
~
~u · E
c
~ + ~u × B
~
~ = q u0 E
K
c
K0 =
Wir nehmen an, dass q Lorentz-invariant ist. Die Bewegungsgleichung ist also Lorentz~ + ~u × B
~ einen 4-Vektor bilden. Dass dem so ist sehen wir
~ und u0 E
kovariant, wenn ~u · E
in Kürze.
14. April 2014
5
Um zu verstehen, wie sich die elektromagnetischen Felder transformieren, gehen wir von
den Maxwellgleichungen aus. Dazu brauchen wir zunächst die
2.2
4-Stromdichte
[Griffiths 12.3.4, Jackson 11.9]
Die Ladungsdichte ρ und Stromdichte J~ bilden zusammen einen 4-Vektor. Um das zu
sehen, betrachten wir einen infinitesimalen Ladungsklumpen mit Ladung dQ im Volumen
dV .Wir nehmen an, die Ladung sei in dV homogen verteilt. Dann ist
dQ
dV
J~ = ρ~v
ρ =
wobei ~v die Geschwindigkeit des Klumpens ist. Sei ρ0 die Ladungsdichte im Ruhesystem
des Klumpens,
dQ
ρ0 =
dV0
Hier konnten wir im Zähler dQ schreiben, weil die Ladung Lorentz-invariant ist. In den
beiden Richtungen senkrecht
p während es in
p zur Bewegung ist das Volumen unverändert,
2
2
Bewegungsrichtung um 1 − ~v /c kontrahiert ist. Also ist dV = dV0 1 − ~v 2 /c2 und
daher
ρ0
ρ = p
1 − ~v 2 /c2
ρ0~v
J~ = p
1 − ~v 2 /c2
Mit der 4-Geschwindigkeit u des Klumpens lässt sich dies schreiben als
ρ 0 u0
c
~
J = ρ0~u
ρ =
Für
J :=
cρ
J~
gilt also
J µ = ρ0 uµ
Die rechte Seite ist ein 4-Vektor, also auch die linke.
Da es an jedem Punkt der Raumzeit ein J gibt, haben wir an jedem Punkt einen 4-Vektor,
mit anderen Worten, ein 4-Vektorfeld J µ (x).
1
Bsp: Punktladung q bei ~x(t) = vt~e1 im Inertialsystem S. Sei S 0 das Inertialsystem, in dem
die Ladung am Ursprung ruht. Dann ist ρ0 (~x 0 ) = qδ(~x 0 ). Mittels x10 = γ(x1 − βct) kann
man dies durch ist die S-Koordinaten ausdrücken: ρ0 (x) = (q/γ)δ(x1 − vt)δ(x2 )δ(x3 ). Die
J µ in S erhält man durch die inverse Transformation
0 cρ
1 β
cρ
c
1
2
3
=γ
= qδ(x − vt)δ(x )δ(x )
1
J
β 1
0
v
sowie J 2 = J 3 = 0.
Die Maxwell-Gleichungen sind nur konsistent wenn ρ und J~ die Kontinuitätsgleichung
ρ̇ = −∇ · J~
erfüllen. Diese kann man schreiben als
∂(cρ) ∂J i
+ i =0
d(ct)
∂x
und daher in der schönen Form
∂J µ
=0
∂xµ
Mit anderen Worten: Die Kontinuitätsgleichung bedeutet, dass die 4-Divergenz der 4Stromdichte verschwindet.
Die Kontinuitätsgleichung gilt in jedem Bezugssystem. J ist ein 4-Vektor. Wie transformieren die partiellen Ableitungen? x2 ist ein Skalar und
∂x2
∂(xν xν )
∂xν
=
=
2
xν = 2δµν xν = 2xµ
∂xµ
∂xµ
∂xµ
Die partielle Ableitung ∂/∂xµ transformiert also genauso wie xµ . Folglich ist das Skalarprodukt von ∂/∂xµ mit J µ invariant und die Kontinuitätsgleichung auch.
Das Transformationsverhalten der partiellen Ableitung legt die Schreibweise
∂
∂µ :=
∂xµ
nahe. Damit lautet die Kontinuitätsgleichung in noch schönerer Form
∂µ J µ = 0
2.3
4-Vektorpotential
[Jackson 11.9]
Die Transformationeigenschaften der Feldstärken lassen sich relativ einfach erhalten, wenn
~ ausdrückt. Zur Erinman sie durch das skalare Potential φ und das 3-Vektorpotential A
nerung: Es war
~ = ∇×A
~
B
~ = −∇φ − 1 A
~˙
E
c
2
Dadurch werden die homogenen Maxwell-Gleichungen
~ =0
∇·B
~ + B/c
~˙ = 0
∇×E
~
gelöst. Die inhomogenen Maxwellgleichungen bestimmen dann φ und A.
~ = 4πρ
∇·E
wird zu
und
1
~˙ = 4πρ
−∆φ − ∇ · A
c
(∗)
~˙ = 4π J~
~ − 1E
∇×B
c
c
wird zu
~ − ∆A
~ + 1 ∇φ̇ + 1 A
~¨ = 4π J~
(∗∗)
∇(∇ · A)
2
c
c
c
Die Maxwell-Gleichungen bestimmen die Potentiale nicht vollständig. Man kann sie immer
noch einer Eichtransformation unterwerfen, ohne die Physik zu ändern. Diese Mehrdeutigkeit wird weitgehend beseitigt durch eine Eichbedingung. Wir tun das mit der LorentzEichung
1
~=0
φ̇ + ∇ · A
c
Damit werden (∗) und (∗∗) zu
1 ∂2
− ∆ φ = 4πρ
c2 ∂t2
1 ∂2
~ = 4π J~
A
−
∆
c2 ∂t2
c
Definiert man das 4-komponentige Objekt
A :=
φ
~
A
sowie
1 ∂2
−∆
c2 ∂t2
lassen sich die inhomogenen Maxwellgleichungen schreiben als
:=
Aµ =
3
4π µ
J
c
und die Lorentz-Bedingung als
∂µ Aµ = 0
Diese Gleichungen deuten darauf hin, dass A ein 4-Vektor ist. Dafür muss aber ein
Skalar sein.
Betrachte die partielle Ableitung des Skalars x2 nach xµ ,
∂(xν xν )
∂xν ν
∂x2
=
=2
x = 2δνµ xν = 2xµ
∂xµ
∂xµ
∂xµ
D.h. ∂/∂xµ transformiert wie xµ . Daher schreibt man
∂ µ :=
∂
∂xµ
Es gilt offensichtlich
= ∂µ ∂ µ
d.h. ist in der Tat ein Skalar. Wir können also schließen, dass A ein 4-Vektor ist.
Damit haben wir gezeigt, dass die inhomogenen Maxwell-Gleichungen für die Potentiale
kovariant sind, und daher in jedem Inertialsystem gelten.
Bem: Das gilt allerdings nur, wenn die Eichbedingung kovariant ist. Dies gilt für die
~ = 0.
Lorentz-Eichung, nicht aber andere beliebte Eichungen wie die von Coulomb ∇ · A
Es war einfacher, das Transformationsverhalten der Potentiale zu verstehen als das der
Feldstärken. Hat man das aber erstmal erreicht, kann man auch eine kovariante Formulierung für die Feldstärken hinschreiben.
2.4
Feldstärketensor
[Jackson 11.9]
Drücke die Feldstärken durch die Aµ aus:
1
E i = −∂i A0 − Ȧi = −(∂ 0 Ai − ∂ i A0 )
c
B 1 = ∂2 A3 − ∂3 A2 = −(∂ 2 A3 − ∂ 3 A2 )
u.s.w. zyklisch
Dies sind also Komponenten von
F µν := ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
d.h.
E i = −F 0i
B 1 = −F 23
u.s.w. zyklisch
4
Weil sowohl ∂ µ als auch Aν 4-Vektoren sind, transformiert F µν wie xµ xν , d.h.
F µν 0 = Λµ ρ Λν σ F ρσ
Diese Eigenschaft definiert einen 4-Tensor zweiter Stufe. Man bezeichnet F µν als
Feldstärketensor. Dieser ist antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes,
F µν = −F νµ
Die Feldstärken sind also Komponenten eines antisymmetrischen Tenors zweiter Stufe.
Alle Komponenten:


0 −E 1 −E 2 −E 3
 E1
0
−B 3 B 2 

(F µν ) = 
 E2 B3
0
−B 1 
E 3 −B 2 B 1
0
15. April 2014
5
2.5
Transformation der Feldstärken
[Jackson 11.10]
Die Komponenten des Feldstärketensors ändern sich bei einer Lorentz-Transformation wie
folgt:
F µν 0 = Λµ ρ Λν σ F ρσ
(∗)
~ und B
~ wie folgt
Betrachte einen Lorentz-Boost mit V~ = V ~e1 . Dann folgt aus (∗), dass E
transformieren:
E 10 = F 100 = Λ1 µ Λ0 ν F µν = Λ1 0 Λ0 1 F 01 + Λ1 1 Λ0 0 F 10 = F 10 −(βγ)2 + γ 2
= E1
B 10 = F 320 = Λ3 µ Λ2 ν F µν
= B1
E 20 = F 200 = Λ2 µ Λ0 ν F µν = Λ2 2 (Λ0 0 F 20 + Λ0 1 F 21 ) = γF 20 − βγF 21
(∗)
2
3
= γ(E − βB )
20
B
= F 130 = Λ1 µ Λ3 ν F µν = Λ3 3 (Λ1 0 F 03 + Λ1 1 F 13 ) = −βγF 03 + γF 13
= γ(B 2 + βE 3 )
E 30 = γ(E 3 + βB 2 )
B 30 = γ(B 3 − βE 2 )
Hierzu ein Beispiel: Bestimme das Feld einer Punktladung, die sich in x1 -Richtung mit
Geschwindigkeit v bewegt. Sei S 0 das Ruhesystem der Ladung, in dem sie im Ursprung
ruht. Wir wollen das Feld am Punkt P mit den Koordinaten ~x = b~e2 bestimmen.
In S 0 kann man das Feld leicht hinschreiben:
0
~ 0 (~x 0 ) = q~x ,
E
|~x 0 |3
1
~0=0
B
Der uns interessierende Punkt P hat in S 0 die Koordinaten


−vt0
~x 0 =  b 
0
Die in S 0 nicht verschwindenen Feldstärkekomponenten bei P sind also
E 10 = −
qvt0
,
(b2 + v 2 t02 )3/2
E 20 =
(b2
qb
+ v 2 t02 )3/2
Drücke t0 durch die ungestrichenen Koordinaten aus:
ct0 = γ(t − βx1 ) = γt
p
da x1 = 0 bei P . Hier ist β = v/c, γ = 1/ 1 − β 2 . Damit sind die in S 0 nicht verschwindenden Feldstärkekomponenten
E 10 = −
(b2
qvγt
,
+ v 2 γ 2 t2 )3/2
E 20 =
(b2
qb
+ v 2 γ 2 t2 )3/2
Jetzt benutze die zu (∗) inverse Transformation, um die nicht verschwindenden Feldkomponenten in S zu bestimmen:
qvγt
+ v 2 γ 2 t2 )3/2
qbγ
= γE 20 = 2
(b + v 2 γ 2 t2 )3/2
= +γβE 20 = βE 2
E 1 = E 10 = −
E2
B3
(b2
Jetzt gibt es also auch ein nichtverschwindendes Magnetfeld. Klar, denn man hat einen
~ ist verträglich mit der rechte-Hand-Regel.
Strom. Die Richtung von B
Betrachte jetzt sehr große Geschwindigkeiten, d.h. β ' 1, γ 1. Der maximale Wert von
E 2 wird bei t = 0 erreicht, und ist um den Faktor γ größer als bei einer ruhenden Ladung.
Gleichzeitig wird das Zeitintervall, in dem das Feld groß ist, immer kleiner, nämlich
∆t ∼
b
γv
Für β → 1 wird B 3 so gross wie das transversale elektrische Feld E 2 , genau wie bei
einer elektromagnetischen Welle, die sich in x1 -Richtung ausbreitet. Es gibt aber auch ein
longitudinales elektrisches Feld E 1 , das bei t = 0 das Vorzeichen wechselt.
2
2.6
Kovarianz der Elektrodynamik
[Jackson 11.9]
Inhomogene Maxwellgleichungen
Drücke diese aus durch den Feldstärketensor. Hierfür brauchen wir
~ = ∂i F i0
∇·E
sowie
~ − 1E
~˙
∇×B
c
In Komponenten:
~ 1 = ∂2 B 3 − ∂3 B 2 = −∂2 F 12 + ∂3 F 31 = ∂2 F 21 + ∂3 F 31
(∇ × B)
und allgemein
~ j = ∂i F ij
(∇ × B)
Ė j = −c∂0 F 0j
Damit erhalten wir für die inhomogenen Maxwellgleichungen
∂µ F µν =
4π ν
J
c
Auf beiden Seiten der Gleichung stehen 4-Vektorfelder und damit ist die Gleichung kovariant.
Homogene Maxwellgleichungen
Induktionsgesetz:
~ + 1B
~˙ = 0
∇×E
c
3
(∗)
In der ersten Komponente stehen
(∇ × E)1 = ∂2 E 3 − ∂3 E 2 = ∂2 F 30 − ∂3 F 20 = ∂2 F 30 + ∂3 F 02 = −∂ 2 F 30 − ∂ 3 F 02
und
1 1
Ḃ = −∂ 0 F 23
c
und die erste Komponente von (∗) wird
∂ 0 F 23 + ∂ 2 F 30 + ∂ 3 F 02 = 0
Die anderen Komponenten erhält man durch zyklische Permutationen der räumlichen
Indizes. Die andere homogene Gleichung
~ =0
∇·B
(∗∗)
kann man schreiben als
∂1 F 32 + ∂2 F 13 + ∂3 F 21 = ∂ 1 F 23 + ∂ 2 F 31 + ∂ 3 F 12 = 0
Man kann also (∗) und (∗∗) zusammefassen zu
∂ µ F νρ + ∂ ν F ρµ + ∂ ρ F µν = 0
Also sind auch die homogenen Maxwell-Gleichungen kovariant.
Bem: Anders als Aµ ist F µν eichunabhängig und transformiert immer wie ein 4-Tensor.
Lorentz-Kraft
Wir hatten die Bewegungsgleichung für ein geladenes Teilchen
dpµ
= Kµ
dτ
Für die Lorentz-Kraft war
q
~
~u · E
c
~ + ~u × B
~
~ = q u0 E
K
c
K0 =
Man braucht
~ = ui F i0 = F 0i ui
~u · E
u0 E i = F i0 u0
~ 1 = u2 B 3 − u3 B 2 = u2 F 21 − u3 F 13 = F 12 u2 + F 13 u3 , . . .
(~u × B)
4
also ist die Bewegungsgleichung für geladene Teilchen
dpµ
q
= F µν uν
dτ
c
woran man sieht, dass sie kovariant ist und in jedem Inertialsystem gilt. Damit ist die
Kovarianz der Elektrodynamik komplett gezeigt.
17. April 2014
5
Teil II: Quantenmechanik
Historisches
[Weinberg 1]
Den ersten Hinweis auf die Unmöglichkeit der klassischen Physik fand man in der Thermodynamik des elektromagnetischen Feldes: Das klassische Strahulungsfeld im thermischen
Gleichgewicht hat unendliche Energiedichte.
Planck konnte das korrekte Energiespektrum der Wärmestrahlung zunächst ,,erraten”
(1900). Später hat er dann eine Herleitung mit mit Hilfe der Quantenhypothese gefunden:
Emission und Absorption von Licht mit der Kreisfrequenz ω erfolgt nur in ganzahligen
Vielfachen von ~ω mit dem Planckschen Wirkungsquantum
h
= 1, 05 · 10−34 J s
~=
2π
Einstein postulierte dann 1905: Licht der Wellenlänge λ besteht aus Paketen, Teilchen
der Energie ~ω und Impuls ~~k mit |~k| = 2π/λ = ω/c
Bohr postulierte 1913 Quantenbedingungen für im Atom gebundene Elektronen und konnte so die Energienieveaus im Wasserstoff erklären.
De Broglie hat 1924 Materieteilchen wie z.B. Elektronen Welleneigenschaften zugeschrieben: ω = E/~, ~k = p~/~. Aus E = p~2 /(2M ) ergab sich ω = ~~k 2 /(2M ).
Bis dahin waren das Hypothesen und Kochrezepte die für manche Systeme korrekte Resultate lieferten, für andere nicht, aber keine Theorie. Der Durchbruch zur Quantentheorie
gelang 1925 Heisenberg mit der ,,Matrizenmechanik”, die von Heisenberg, Born und Jordan (1925-26) und unabhängig von Dirac (1926) ausgearbeitet wurde.
Schrödinger hat 1926 die Quantenmechanik ein zweites Mal in Form der ,,Wellenmechanik” entdeckt, aufbauend auf den Ideen von de Broglie. Er fand die Schrödingergleichung
und zeigte später, dass diese mathematisch äuquivalent zur Matrizenmechanik ist. In dieser Vorlesung werden wir die Formulierungen von Schrödinger und später auch die von
Dirac benutzen.
Born fand 1926 die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik. Die weitgehend anerkannte Deutung der Quantenmechanik ist die sogenannte Kopenhagener Interpretation, die von Born und Heisenberg abgeschlossen wurde.
1
Die Wellenfunktion
[Griffiths 1.1]
Betrachte ein nichtrelativistisches Teilchen der Masse M , das sich in einer Raumdimension
im Potential V (x) bewegt. In der klassischen Physik hat das Teilchen zu jedem Zeitpunkt
t eine bestimmte Position x(t), die durch das Newtonsche Gesetz
M ẍ(t) = F t, x(t)
1
mit der Kraft
∂V
∂x
bestimmt ist. Kennt man V , sowie x(t0 ), ẋ(t0 ) für ein t0 , ist dadurch x(t) für alle Zeiten
t festgelegt.
F =−
In der Quantenmechanik ist das ganz anders.
Hierzu gibt es unzählige Beispiele, ich erwähne an dieser Stelle nur zwei:
1. Betrachte ein freies Neutron in Ruhe. Wenn man noch dazu sagt, in welche Richtung sein Spin zeigt, ist der Zustand des Neutrons vollständig bestimmt. Jedes freie
Neutron zerfällt früher oder später in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino.
Man kann aber nicht sagen wann, obwohl man den Zustand vollständig kennt! Was
man sagen kann, dass der Zerfall im Mittel nach knapp 15 Minuten erfolgt, aber es
kann auch kürzer dauern oder auch länger.
2. Licht besteht aus Photonen. Nehmen wir an wir haben einen monochromatischen zirkular polarisierten Lichtstrahl, der auf einen halbdurchlässigen Spiegel fällt. Dann ist
der Zustand jedes Photons vollständig bestimmt. Alle Photonen sind gleich. Trotzdem werden manche vom Spiegel reflektiert und die anderen werden durchgelassen.
Was mit einem einzelnen Photon passiert, kann man nicht vorhersagen, obwohl man
seinen Zustand kennt.
1.1
Die Schrödingergleichung
Ein Teilchen, das sich einer Raumrichtung bewegen kann, wird in der Quantemechanik
durch eine komplexwertige Wellenfunktion ψ(t, x) beschrieben. ψ ist durch eine lineare
partielle Differentialgleichung bestimmmt. Diese kann man nicht herleiten, aber durch die
de Broglie-Relationen motivieren:
Ein freies, d.h. kräftefreies Teilchen hat einen konstanten Impuls p = ~k. Es wird beschrieben durch die ebene Welle
ψ = Aeikx−iωt
wobei
~ω =
Nun ist
~ωψ = i~
∂ψ
,
∂t
(~k)2
2M
(~k)2
~2 ∂ψ 2
=−
2M
2M ∂x2
ψ ist also Lsg. der DGL
i~
∂ψ
~2 ∂ψ 2
=−
∂t
2M ∂x2
2
(∗)
Die Energie als Funktion von p und x ist die Hamiltonfunktion H(p, x). Für freie Teilchen
ist
p2
H(p, x) =
2M
Ersetzt man hierin
∂
p → −i~
∂x
dann kann man (∗) schreiben als
∂
∂ψ
= H −i~ , x ψ
i~
∂t
∂x
Schrödinger postutierte dass dies allgemein gilt, also auch für den Fall mit Potential V (x)
p2
H(p, x) =
+ V (x)
2M
Das ergibt die Schrödingergleichung
i~
∂ψ
~2 ∂ 2 ψ
=−
+Vψ
∂t
2M ∂ 2 x
Wie versprochen ist dies eine partielle DGL. Sie ist linear ⇒ wenn ψ1 , ψ2 Lösungen
sind, dann auch c1 ψ1 + c2 ψ2 mit beliebigen komplexen Zahlen c1 , c2 . Sie genügt also dem
Superpositionsprinzip.
Jetzt haben wir eine Gleichung für ψ, wissen aber noch nicht was ψ bedeutet.
1.2
Die statistische Interpretation
[Griffiths 1.2]
Die Bedeutung kommt jetzt:
|ψ(t, x)|2 = ψ ∗ (t, x)ψ(t, x)
ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden.
Anders ausgedrückt:
Zb
dx|ψ(t, x)|2
a
ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t zwischen a und b (a < b) zu finden.
Mehr kann man nicht sagen! Der Ort des Teilchens ist i.A. nicht bestimmt. Man kann nur
sagen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man es in einem bestimmten Gebiet findet. Das
Ergebnis einer Messung (hier des Ortes) kann i.A. nicht vorhergesagt werden.
3
Es gibt aber eine Ausnahme: Angenommen man macht eine Ortsmessung, findet den Wert
d und wiederholt die Ortsmessung unmittelbar danach. Dann erhält man den gleichen
Wert d. D.h. durch die Messung ändert sich die Wellenfunktion i.A. radikal!
Diese Änderung bezeichnet man als Kollaps der Wellenfunktion.
Eine Konsequenz der Schrödingergleichung und der Interpretation der Wellenfunktion
sind Beugungseffekte von Materieteilchen, z.B. am Doppelspalt:
4
Das gleiche Experiment mit Fußbällen, die blindlings auf eine Torwand mit zwei Löchern
geschossen werden:
22. April 2014
5
1.3
Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
[Griffiths 1.4]
Normierung der Wellenfunktion
Die Wahrscheinlichekeit das Teilchen irgendwo zu finden muss gleich 1 sein. Das erfordert
dass
Z
dx|ψ(t, x)|2 = 1
wobei
Z∞
Z
dxf (x) :=
dxf (x)
−∞
Man sagt auch, ψ muss auf 1 normiert sein.
Üblicherweise geht man wie folgt vor: Zunächst löse die Schrödingergleichung und erhält
so eine Lsg. χ(t, x). Wegen der Linearität der Schrödingergleichung ist ψ(t, x) = N χ(t, x)
mit konstantem N ebenfalls eine Lsg. Wähle N so, dass ψ auf 1 normiert ist. Dies nennt
man Normierung der Wellenfunktion
. Das ist natürlich nur möglich, wenn χ quaR
2
dratintegrabel ist, d.h. wenn dx|χ| endlich und ungleich Null ist. Man nennt χ dann
normierbar .
Bsp: (i) Freie Teilchen. Ebene Wellen
ei(kx−ω(k)t)
mit
ω(k) :=
~k 2
2M
sind nicht normierbar.
(ii) Zu einem bestimmten Zeitpunkt sei die Wellenfunktion
2
2
ψ(x) = N e−x /(4a )
Gaußpaket
R
√
Man braucht hier dye−y = π.
Z
Z
√ Z
√
2
2
−x2 /(2a2 )
2
dx|ψ| = N
dxe
= N 2a dye−y = N 2 2πa
N = (2π)−1/4 a−1/2
⇒
Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
Sei
Z
dt|ψ(t0 , x)|2 = 1
zu einem Zeitpunkt t0 . Nun gilt einerseits
1
(i) Die Wahrscheinlichkeitsinterpretation erfordert, dass
Z
dx|ψ(t, x)|2 = 1
auch für
t 6= t0
und andererseits
(ii) Durch ψ(t0 , x) und die Schrödingergleichung ist ψ(t, x) für alle Zeiten t eindeutig
festgelegt.
Sind (i) und (ii) kompatibel? Ja!
Begründung:
ρ(t, x) := |ψ(t, x)|2
Wahrscheinlichkeitsdichte
Z
Z
d
∂ρ
dxρ = dx
dt
∂t
∗
∂ρ
∂
∂ψ
∂ψ
=
(ψ ∗ ψ) =
ψ + ψ∗
∂t
∂t
∂t
∂t
Jetzt benutze die Schrödingergleichung:
~ ∂ 2ψ
i
∂ψ
= i
−
Vψ
∂t
2M ∂x2
~
∂ψ ∗
~ ∂ 2ψ∗
i
= −i
+ V ψ∗
2
∂t
2M ∂x
~
⇒
2
∂ρ
i~
∂ 2ψ∗
∗∂ ψ
=
ψ
−
ψ
∂t
2M
∂x2
∂x2
∂ψ ∗
i~ ∂
∗ ∂ψ
−
ψ
=
ψ
2M ∂x
∂x
∂x
Definiere
i~
J(t, x) := −
2M
⇒
∂ψ ∗
ψ
−
ψ
∂x
∂x
∗ ∂ψ
∂ρ ∂J
+
=0
∂t
∂x
Dies ist eine Kontinuitätsgleichung für Wahrscheinlichkeit. Insbesondere
Z
Z
x=∞
d
∂J
dxρ = − dx
= −J(t, x)
dt
∂x
x=−∞
Wir nehmen an, dass ψ(x) quadratintegrabel ist ⇒
lim ψ(x) = 0
x→±∞
2
⇒
⇒
lim J(x) = 0
Z
dxρ(t, x) = 1
x→±∞
für alle Zeiten t Interpretation von J: Wahrscheinlichkeitsstromdichte.
1.4
Erwartungswert, Unschärfe
[Griffiths 1.3]
Man definiert den Erwartungswert (Mittelwert) des Ortes eines Teilchens zur Zeit t
als
Z
hxi := dxx|ψ(t, x)|2
Interpretation: Für ein Ensemble identischer Systeme messe an jedem System zum (selben)
Zeitpunkt t den Ort des Teilchens. Dann ist hxi der Mittelwert dieser Messungen. I.A.
liefern die Messungen verschiedene Resultate. Ein Maß für die Abweichung der Messwerte
von hxi ist ist
p
∆x := (∆x)2
mit
(∆x)2 := (x − hxi)2
und
n
hx i :=
Z
dxxn |ψ(t, x)|2
∆x heißt Unschärfe (Standardabweichung) von x (und (∆x)2 die Varianz von x). Es
gilt
(∆x)2 = x2 − 2xhxi + hxi2
d.h.
(∆x)2 = hx2 i − hxi2
Bsp: (i)
3
Hier ist hxi ∼ a, ∆x ∼ a.
(ii) Sei |ψ(x)|2 = |ψ(−x)|2 .
Hier ist |ψ(0)|2 = 0. Trotzdem ist aber hxi = 0, aber ∆x ∼ a. D.h. hxi ist nicht unbedingt
ein Wert der tatsächlich gemessen wird.
Als explizites Beispiel betrachte wieder das Gaußpaket:
ψ(x) = N e−x
2
x = N2
Z
2 /(4a2 )
Gaußpaket
aus Symmetriegründen:
hxi = 0
Z
∂
∂
2
2
2
2
dxx2 e−x /(2a ) = N 2 dxa3 e−x /(2a ) = a3 N 2 N −2 = a2
∂a
∂a
D.h.
∆x = a
24. April 2014
4
1.5
Der Impuls
[Griffiths 1.5, 1.6]
Zeitentwicklung des Erwartungswertes hxi:
Z
dhxi
∂|ψ|2
= dxx
dt
∂t
Wir hatten die Kontinuitätsgleichung
∂ρ ∂J
+
=0
∂t
∂x
für
i~
J(t, x) = −
2M
2
ρ(t, x) = |ψ(t, x)| ,
∂ψ ∗
ψ
−
ψ
∂x
∂x
∗ ∂ψ
Partielle Integration ergibt
i~
dhxi
=−
dt
2M
Z
∂ψ ∗
dx ψ
−
ψ
∂x
∂x
∗ ∂ψ
Integriere im zweiten Term nochmal partiell:
dhxi
i~
=−
dt
M
Z
dxψ ∗
∂ψ
∂x
Dies lässt sich wie folgt interpretieren: die rechte Seite ist der Erwartungswert hvi der
Geschwindigkeit. Wegen p = M v ist dann der Erwartungswert des Impulses
Z
hpi =
dxψ
∗
~ ∂
i ∂x
ψ
Drücke dies durch die Fourier-Transformierte ψe der Wellenfunktion ψ aus (siehe A4.1):
Z
dk e∗ ~
e k)
hpi =
ψ (t, k)~k ψ(t,
2π
Also ist
e ~ 2
ψ(t, k)
2π
die Wahrscheinlichkeitsdichte, bei einer Impulsmessung zur Zeit t den Wert ~k zu finden.
Bsp: Gaußpaket,
ψ(x) = N e−x
1
2 /(4a2 )
Dafür ist
Z
2
2
dxe−ikx e−x /(4a )
Z
1
2
2
= N dx exp − 2 x + i4a kx
4a
Z
1 2 2
4 2
= N dx exp − 2 (x + i2a k) + 4a k
4a
e
ψ(k)
= N
Hier substituiere y = x + i2a2 k. Das liefert
2 2
e
ψ(k)
= N 0 e−k a
mit
0
Z
N := N
dye−y
2 /(4a2 )
Es gilt also ∆k = 1/(2a) und daher ∆p = ~/(2a). Für das Gaußpaket hatten wir ∆x = a
e 2 und umgekehrt,
gefunden. Also gilt: Je enger |ψ|2 , desto breiter ist |ψ|
∆x ∆p =
~
2
Später werden wir sehen dass im Allgemeinen gilt
∆x ∆p ≥
~
2
Dies ist die Heisenbergsche Unschärferelation oder auch Unbestimmtheitsrelation.
1.6
Operatoren
[Griffiths 1.5]
x und p sind messbare Größen. Für deren Erwartungswerte hatten wir
Z
hxi =
dx ψ ∗ xψ
Z
~ ∂
hpi =
dx ψ ∗
ψ
i ∂x
Die Ersetzungen
ψ → xψ
~ ∂
ψ →
ψ
i ∂x
2
sind lineare Abbildungen, die auf die Wellenfunktionen wirden. Messbare Größen werden
in der Quantenechanik durch lineare Abbildungen repräsentiert,
ψ → xψ
Ort
repräsentiert
ψ→
des Teilchens
~ ∂
i ∂x
Impuls
In der Quantenmechanik nennt man diese linearen Abbildungen (lineare) Operatoren.
Andere Messgrößen, die Funktionen von x und p lassen sich genauso durch Operatoren
darstellen:
1. kinetische Energie p2 /(2M )
ψ→−
~2 ∂ 2 ψ 2
2M ∂x2
2. potentielle Energie V (t, x)
ψ →Vψ
3. Gesamtenergie = Hamiltonfunktion
ψ→−
~2 ∂ 2 ψ 2
+Vψ
2M ∂x2
Die Operatoren bezeichnet man mit den gleichen Symbolen wie die klassischen Größen,
aber mit einem Hutb.
pb = Impuls-Operator ,
pbψ(x) =
x
b = Ortsoperator
~ ∂ψ
,
i ∂x
x
bψ(x) = xψ(x)
Damit gilt
Z
dxψ ∗ x
bψ
Z
dxψ ∗ pbψ
hxi =
hpi =
Entsprechend
pb 2
kinetische Energie Tb =
2M
potentielle Energie Vb = V (t, x
b)
2
b = pb + Vb
Hamilton-Operator H
2M
3
Beschreibt man einen Zustand durch ψ(x) bezeichet man dies als Ortsdarstellung oder
e
auch als Darstellung im Ortsraum. Äquivalent kann den Zustand auch durch ψ(k)
beschreiben. Dann spricht man von der Impulsdarstellung oder der Darstellung im
Impulsraum.
Im Impulsraum ist
Z
dk e∗ ∂ e
ψ i ψ
2π
∂k
Z
dk e∗ e
ψ ~k ψ
hpi =
2π
hxi =
d.h.
∂ e
ψ
∂k
e
e
pbψ(k)
= ~k ψ(k)
e
x
bψ(k)
=i
In der klassischen Physik gibt es keinen Unterschied zwischen den Produkten xp und px.
In der Quantenmechanik ist das anders!
Betrachte
~ ψ
~ ∂
−
(xψ) = i~ψ(x)
i ∂x
i ∂x
Dies gilt für beliebige Wellenfunktionen ψ. Also gilt die Operatorrelation
x
bpbψ(x) − x
bpbψ(x) = x
x
bpb − pbx
b = i~
Meist wird dies geschrieben als
[b
x, pb] = i~
b und B
b definiert ist als
wobei der Kommutator zweier Operatoren A
bB
b := A
bB
b−B
bA
b
A,
28. April 2014
4
2
2.1
Die zeitunabhängige Schrödingergleichung
Stationäre Zustände
[Griffiths 2.1]
Zurück zur Schrödingergleichung
∂Ψ
~2 ∂ 2 Ψ
=−
+VΨ
∂t
2M ∂x2
die man auch als zeitabhängige Schrödingergleichung bezeichnet.
i~
(∗)
Sei V = V (x) zeitunabhängig.
Separationsansatz:
Ψ(t, x) = χ(t)ψ(x)
Damit ist
dχ
∂ 2Ψ
d2 ψ
∂Ψ
=
ψ,
=χ 2
∂t
dt
∂x2
dx
und
dχ
~ 2 d2 ψ
i~ ψ = −
+Vψ χ
dt
2M dx2
1
~2 d2 ψ
1 dχ
ψ=
+Vψ
−
⇒ i~
χ dt
ψ
2M dx2
Die linke Seite dieser Gleichung hängt nur von t, die rechte nur von x.
⇒ linke Seite = rechte Seite = Konstante =: E
D.h.
dχ
= Eχ
dt
Die allgemeine Lsg. dieser Gleichung lautet
i~
χ(t) = const · e−iEt/~
ψ ist bestimmt durch die Gleichung
−
~2 d2 ψ
+ V ψ = Eψ
2M dx2
Diese bezeichnet man als zeitunabhängige Schrödingergleichung. Man kann sie auch
schreiben als
b = Eψ
Hψ
Bem: Die allgemeine Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung ist nicht von der separierten Form Ψ(t, x) = χ(t)ψ(x). Trotzdem sind diese Lösungen sehr wichtig.
Eigenschaften der separierten Lösungen:
1
1. ,,stationär”: Die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ(t, x)|2 = |ψ(x)|2 ist t-unabhängig.
Weiter sind Erwarungswerte von beliebigen Funktionen f (x, p)
Z
~ ∂
∗
ψ(x)
hf (x, p)i = dxψ (x)f x,
i ∂x
unabhängig von t. Es findet daher keine messbare zeitliche Veränderung des Zustandes statt.
2. Das Teilchen hat eine bestimmmte Energie E:
Z
b
hHi = dxψ ∗ Hψ
b = Eψ ist
Wegen Hψ
Z
dxψ ∗ ψ = E
Z
b 2ψ
dxψ ∗ H
hHi = E
Weiter ist
2
hH i =
b 2 ψ = H(
b Hψ)
b = HEψ
b
b = E 2ψ
H
= E Hψ
d.h.
hH 2 i = E 2
Folglich gilt für das Quadrat der Energie-Unschärfe
(∆H)2 = hH 2 i − hHi2 = 0
⇒ jede Messung liefert den gleichen Wert E der Energie.
3. Jede Linearkombination von separierten Lösungen
X
Ψ(t, x) =
cn ψn (x)e−iEn t/~
n
ist wieder eine Lösung. Diese Lösung ist i.A. nicht stationär.
Wir werden sehen: Jede Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung mit zeitunabhängigem Potential lässt sich als Linearkombination stationärer Lösungen schreiben.
4. Sei Vmin der mininmale Wert des Potentials:
2
Klassisch ist
E ≥ Emin
Dies gilt auch in der Quantenmechanik.
Begründung:
E = hHi =
p2
+V
2M
=
1
hp2 i + hV i
2M
Es ist
Z
hV i =
Z
∗
dx|ψ(x)| V (x) ≥ Vmin
dxψ (x)V (x)ψ(x) =
und
2
2
Z
Z
dx|ψ(x)|2 = Vmin
dk e
|ψ(k)|2 (~k)2 ≥ 0
2π
hp i =
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
1. Freies Teilchen V = 0. Schrödingergleichung (Strich = Ableitung nach x):
−
~2 00
ψ = Eψ
2M
Damit es eine Lsg. gibt muss E > 0 sein. Dann ist die allgemeine Lösung
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
mit konstanten A, B und
√
k=
3
2M E
~
2. Potentialschwelle Sei
V (x) =


0

−V0
x>0
für
x<0
mit V0 > 0:
Damit es eine Lösung gibt, muss E > −V0 sein.
Betrachte den Fall E > 0.
x < 0:
−
~2 00
ψ = (E + V0 )ψ
2M
Allgemeine Lösung:
ψ(x) = Aeiqx + Be−iqx
mit
p
2M (E + V0 )
q=
~
Allgemeine Lösung für x > 0:
ψ(x) = Ceikx + De−ikx
mit k wie oben.
Was passiert bei x = 0? ψ 00 muss dort endlich sein, weil das Potential dort endlich
ist. Daher müssen ψ und ψ 0 bei x = 0 stetig sein:
lim ψ(x) = lim ψ(x),
x→0−
x→0+
lim ψ 0 (x) = lim ψ 0 (x)
x→0−
x→0+
Bez: Anschlussbedingungen Begründung: Angenommen ψ 0 sei unstetig bei x =
0, ψ 0 (x) = f (x) + aΘ(x). Dann wäre ψ 00 (x) = f 0 (x) + aδ(x). Die δ-Funktion ist nicht
endlich bei x = 0. Also muss a = 0 sein. Die Begründung für ψ ist analog 4
Wir haben 4 Konstanten und 2 Anschlussbedingungen. Daher enthält die allgemeine
Lsg. 2 freie Konstanten, genau wie beim freien Teilchen.
Anwendung: Streuung Betrachte ein Teilchen, das von links mit Energie E > 0
auf die Stufe zufliegt. Klassisch wird das Teilchen bei x = 0 abgebremst, fliegt aber
mit geringerer Geschwindigkeit weiter nach links.
Quantenmechanisch kann das Teilchen weiterfliegen, aber es kann auch reflektiert
werden. Weil das Teilchen ursprünglich von links kam, gibt es für x > 0 nur eine
rechtslaufende Welle, d.h. D = 0. Die Anschlussbedingungen bei x = 0 sind dann
q(A − B) = kC
A + B = C,
Das liefert
B=
q−k
A
q+k
Wir hatten für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
i~
∂ψ ∗
∗ ∂ψ
J =−
ψ
−
ψ
2M
∂x
∂x
Die Reflexionswahrscheinlichkeit ist
Jreflektiert R=
Jeinlaufend Hier:
2 2
B q−k
R= =
A
q+k
Für eine strengere Herleitung unseres Ergebnisses braucht man Wellenpakete, siehe
[Bohm].
5. Mai 2014
5
2.2
Spiegelsymmetrisches Potential
[Griffiths 2.1]
Betrachte ein Potential, das invariant unter Spiegelung am Ursprung ist,
V (x) = V (−x)
Aus dieser Symmetrie folgt: wenn ψ(x) eine Lsg. der zeitabhängigen Schrödingergleichung
mit Energie E ist, dann auch ist auch ψ(−x) eine Lsg. und zwar mit der gleichen Energie.
Begründung: Sei y = −x.
~2 d2
~ 2 d2
−
+ V (x) ψ(−x) = −
+ V (−y) ψ(y)
2M dx2
2M dy 2
~2 d2
+ V (y) ψ(y) = Eψ(y) = Eψ(−x)
= −
2M dy 2
wobei im zweiten Schritt V (−y) = V (y) benutzt wurde ⇒
ψ(x) ± ψ(−x)
sind ebenfalls Lösungen. Dies sind gerade bzw. ungerade Funktionen. Man kann die Lösungen also gerade oder ungerade wählen.
2.3
Potentialtopf: Bindungszustände
[Griffiths 2.1]
Sei
V (x) =


0

−V0
|x| > L/2
für
|x| < L/2
mit V0 > 0
1
Damit es eine Lösung gibt, muss E > −V0 sein.
Betrachte den Fall E < 0.
Klassisch fliegt das Teilchen zwischen −L/2 und L/2 hin und her.
Strategie: Löse die Schrödingergleichung in den drei Bereichen
x < −L/2,
−L/2 < x < L/2,
x > L/2
und schließe die Lösungen bei x = ±L/2 aneinander an.
x < −L/2 :
Definiere
−
~2 00
ψ = Eψ
2M
√
−2M E
κ :=
~
so dass
E=−
~2 κ2
2M
und
ψ 00 = κ2 ψ
Allgemeine Lsg:
ψ = Aeκx + Be−κx
2
Wir fordern Normierbarkeit. Das erfordert dass ψ → 0 für x → −∞.
ψ = Aeκx
⇒ B = 0,
Bem: klassisch darf sich das Teilchen hier nicht aufhalten. Quantenmechanisch gibt es aber
eine nicht verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit im klassisch verbotenen Bereich.
Diese fällt exponentiell mit der Entfernung vom klassisch erlaubten Bereich ab.
Dieselbe Gleichung gilt für x > L/2. Dort ist die allgemeine Lsg. ψ = Ceκx + De−κx .
Normierbarkeit erfordert C = 0, d.h.
ψ = De−κx
Für |x| < L/2:
~ 00
ψ = (E + V0 )ψ
2M
p
2M (E + V0 )
q=
~
−
Sei
so dass
ψ 00 = −q 2 ψ
Allgemeine Lsg:
ψ = F eiqx + Ge−iqx
Anschlussbedingungen bei x = −L/2:
Ae−κL/2 =F e−iqL/2 + GeiqL/2
κAe−κL/2 =iq F e−iqL/2 G − eiqL/2
Bei x = L/2:
De−κL/2 =F eiqL/2 + Ge−iqL/2
−κDe−κL/2 =iq F eiqL/2 − Ge−iqL/2
R
Zusammen mit der Normierungsbedingung dx|ψ|2 = 1 sind das 5 Gleichungen. Es gibt
aber nur noch 4 Koeffizienten A, D, F , G. Konsequenz: Es gibt eine Bedingung an die
Energie E!
Die Invarianz des Potentials unter der Spiegelung x → −x erlaubt eine Vereinfachung:
Die Lösungen können gerade oder ungerade gewählt werden.
Gerade Lösungen:
A = D,
F =G
Ae−κL/2 = 2F cos(qL/2)
⇒ κ = q tan(qL/2)
−κL/2
κAe
= 2F q sin(qL/2)
3
A = −D,
Ungerade Lösungen:
F = −G
Ae−κL/2 = −i2F sin(qL/2)
⇒ κ = −q cot(qL/2)
κAe−κL/2 = i2F q cos(qL/2)
Drücke κ durch q aus:
√
−2M E
2M (E + V0 )
κ=
,
q2 =
,
~
~2
s
2 2
r
2M V0
1
~q
κ=
−2M
− V0 =
− q2,
~
2M
~2
~2 q 2
− V0
2M
s
2M V0
κ
=
−1
q
~2 q 2
E=
Die Bedingungen an die Energie kann man also schreiben als

s
gerade
 tan(qL/2)
2M V0
Lösungen
−1=

~2 q 2
− cot(qL/2) ungerade
(∗)
Wir haben es hier mit transzendenten Gleichungen zu tun die nicht analytisch lösbar sind.
Spezialfall: sehr tiefer Potentialtopf,
V0 ~2
2M L2
Suche nach Zuständen ,,tief im Topf” d.h.
E + V0 V0
Aus dieser Relation folgt
~2 q 2
V0
2M
Also ist die linke Seite von (∗) groß gegen 1 und damit auch die rechte.
gerade:
tan(qL/2) 1
⇔
cos(qL/2) 1
Die möglichen Werte liegen also nahe den Nullstellen von cos(qL/2).
qL
1
cos(qL/2) = 0
⇔
= `+
π
2
2
mit ganzzahligen `. Wegen q ≥ 0 gibt es Lösungen mit
q ' (2` + 1)
π
mit ` = 0, 1, 2, . . .
L
4
ungerade:
cot(qL/2) 1
⇔
sin(qL/2) 1
Die möglichen Werte liegen also nahe den Nullstellen von sin(qL/2).
qL
= `π
2
mit ganzzahligen `. q muss > 0 sein. Es gibt also Lösungen für
π
q ' 2` mit ` = 1, 2, . . .
L
⇔
sin(qL/2) = 0
Beide Fälle lassen sich zusammenfassen zu
π
q ' qn := (n + 1)
L
Die Energieniveaus sind
mit n = 0, 1, . . .
En ' −V0 +
bzw.
En ' −V0 +
~2 qn2
2M
~2 π 2 2
n
2M L
Für den allgemeinen Fall kann man eine graphische Lsg. angeben:
5
Es gibt nur Lösungen mit
r
q ≤ qmax
mit
qmax =
2M V0
~
Fazit:
1. Das Energiespektrum ist diskret, und es gibt eine endliche Anzahl von Lösungen.
2. Die Anzahl der Lösungen hängt von dem dimensionslosen Parameter 2M L2 V0 /~2
ab.
3. Es gibt mindestens eine Lösung.
4. Die Lösung mit der kleinsten Energie (dem kleinsten q) ψ0 ist gerade und hat keine
Nullstellen (Knoten) weil ψ0 ∝ cos(qx) für |x| < L/2 und qL/2 < π/2.
Den Zustand mit Wellenfunktion ψ0 bezeichnet man als Grundzustand.
5. Die Wellenfunktionen sind für |x| > L/2 nicht Null, obwohl E < 0 ⇒ Es gibt eine
endliche Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im klassisch verbotenen Bereich zu finden.
5. Mai 2014
6
2.4
Harmonischer Osziallator
[Griffiths 2.3]
Dies ist das vielleicht wichtigste System der Physik!
Bsp: Teilchen an Feder, Kraft F = −kx, Potential V = 21 kx2 , Bewegungsgleichung
mẍ = −kx
ẍ = −ω 2 x
mit ω =
p
bzw.
k/m.
Ein beliebiges (glattes) Potential mit Minimum bei x0 kann man um x0 entwickeln,
1
V (x) = V (x0 ) + V 00 (x0 )(x − x0 )2 + O(x − x0 )3
2
Wenn die Abweichung vom Minimum hinreichend klein ist, kann man nähern
1
V (x) = const + k(x − x0 )2
2
mit k = V 00 (x0 ). Man erhält also näherungsweise einen harmonischen Oszillator.
Klassich: Schwingungen mit Frequenz ω.
Quantenmechanisch: zeitabhängige Schrödingergleichung
~2 d2
1
2
−
+ M ωx ψ = Eψ
2M dx2 2
Zum Lösen dieser Gleichung gibt es zwei Standardmethoden. Beide sind interessant. Eine
davon ist genial einfach. Wir behandeln beide und beginnen mit der genial einfachen, der
abgebraischen Methode.
2.4.1
Auf- und Absteigeoperatoren
b = Eψ mit
Schreibe die SG als Hψ
b = 1 pb2 + (M ωb
x)2
H
2M
Die eckige Klammer ist von der Form u2 + v 2 . Wären u und v Zahlen, wäre dies gleich
(u + iv)(u − iv). Es sind aber keine Zahlen, sondern Operatoren, die nicht vertauschen,
pbψ(x) =
~ dψ
,
i dx
x
bψ(x) = xψ(x)
Wir hatten
[b
p, x
b] =
1
~
i
Definiere trotzdem
b
a± := √
1
(b
p ± iM ωb
x)
2M
1
1
pb2 − iM ω(b
(b
p + iM ωb
x) (b
p − iM ωb
x) =
px
b−x
bpb) + (M ωb
x)2
2M
2M
1
1
b − 1 ~ω
=
pb2 + (M ωb
x)2 − ~ω = H
2M
2
2
b
a+b
a− =
⇒
1
b =b
H
a+b
a− + ~ω
2
b
d.h. bis auf die Konstante faktorisiert auch der Operator H.
Jetzt betrachte b
a− b
a+ . Man kann sich die Rechnung sparen, wenn man in der für b
a+b
a−
einfach ω → − ω ersetzt. ⇒
b + 1 ~ω
b
a−b
a+ = H
2
Bilde die Differenz ⇒
[b
a− , b
a+ ] = ~ω
(∗)
Eigenschaft von b
a+ : Wenn ψ eine Lsg. der SG mit Energie E ist, dann ist b
a+ ψ eine Lsg.
mit der Energie E + ~ω. Mit anderen Worten: b
a+ erhöht die Energie um ~ω.
b = Eψ ⇒
Begründung: Sei Hψ
1
1
b
Hb
a+ ψ = b
a+ b
a− + ~ω b
a+ ψ = b
a+b
a− b
a+ ψ + ~ωb
a+ ψ
2
2
(∗)
⇒
1
b
a−b
a+ = b
a+b
a− + ~ω
2
⇒
b a+ ψ = b
Hb
a+b
a+b
a− ψ + b
a+
1
~ωψ + ~ωψ
2
b +b
= b
a+ Hψ
a+ ~ωψ = b
a+ (E + ~ω)ψ
d.h.
b a+ ψ) = (E + ~ω)(b
H(b
a+ ψ)
Ersetze in dieser Rechnung ω → − ω ⇒
b a− ψ) = (E − ~ω)(b
H(b
a− ψ)
d.h. wenn ψ Lösung mit Energie E ist, dann ist b
a− Lösung mit Energie E − ~ω.
Bez: b
a+ und b
a− heißen Auf- und Absteigeoperatoren.
⇒ Energieniveaus sind äquidistant.
2
(∗)
Wir hatten gesehen, dass E nicht kleiner sein kann als das Minimum des Potentials, d.h.
es muss gelten E > 0. Wie passt das zu dem, was wir gerade über die Auf- und Absteiger
gesagt haben?
Man kann aus (∗) nur
b
a− ψ
hat Energie
E − ~ω
oder
b
a− ψ = 0
schließen.
b 0 = E0 ψ0 , und
Weil die Energie ≥ 0 sein muss ⇒ es gibt eine Wellenfunktion ψ0 , mit Hψ
b
a− ψ0 = 0. ψ0 = Wellenfunktion des Grundzustandes.
1
1
b 0= b
Hψ
a+b
a− + ~ω ψ0 = ~ωψ0
2
2
⇒ Grundzustandsenergie =
1
~ω
2
Klassisch ist die minimale Energie =0, mit x = 0, p = 0. Quantenmechanisch ist dies
nicht möglich, weil dann x und p beide scharfe Werte hätten, was der Unschärferelation
∆x ∆p ≥ ~/2 (siehe später) widerspräche.
Bem: wir konnten auch nicht ausschließen, dass b
a+ ψ gleich Null ist. Wir werden aber
sehen, dass dies nicht der Fall ist.
Bestimmung der Wellenfunktion ψ0 :
b
a− ψ0 = 0 ⇔ (b
p − iM ωb
x) ψ0 = 0
~ 0
⇔
ψ (x) − iM ωxψ(x) = 0
i 0
3
(∗)
Dies lässt sich integrieren:
Mω
dψ0
= −
xψ0
dx
~
Z ψ0 (x)
Z
dψ0
Mω x 0 0
= −
dx x
ψ0
~
Mω 2
ψ0 (x)
= −
x
ln
N
2~
mit einer (reell gewählten) Normierungskonstante N .
Mω 2
ψ0 (x) = N exp −
x
2~
Normierung:
Z
2
dx|ψ0 |
= N
2
= N
2
Z
dxe
r
ψ0 (x) =
Mω
π~
1/4
−M ωx2 /~
r
=N
2
~
Mω
Z
dye−y
2
π~
Mω
e−M ωx
2 /(2~)
,
Energie
1
E0 = ~ω
2
Ist der Grundzustand eindeutig, sind auch die angeregten Zustände mit
b n = En ψn
Hψ
eindeutig:
ψn = Nn (a+ )n ψ0 ,
En = (n + 1/2)~ω
Bsp:
1
(b
p + iM ωb
x) ψ0
2M
N1
~ 0
= √
ψ0 + iM ωxψ0
2M i
1/4
N1
Mω
2
= √
2iM ωxe−M ωx /(2~)
2M π~
1/4
√
Mω
2
xe−M ωx /(2~)
= iN1 2M ω
π~
ψ1 = N1 √
4
6. Mai 2014
5
2.4.2
Normierung
Für die Wellenfunktion des ersten angeregten Zustands des harmonischen Oszillators hatten wir
1/4
√
Mω
2
iN1 2M ω
xe−M ωx /(2~)
π~
gefunden.
Bestimme die Normierungskonstante N1 ,,zu Fuß”:
1/2 Z
Z
Mω
2
2
2
2
dx|ψ1 | = |N1 | 2M ω
dxx2 e−M ωx /~
π~
Z
Z
Z
d
d 1
2
2 −ax2
−ax2
dxx e
dxe
dye−y
= −
=− √
da
da a
√
1 −3/2
a
π
=
2
1/2 −3/2 √
Z
Mω
Mω
π
2
2
2
⇒
dx|ψ1 | = |N1 | 2M ω
π~
~
2
2
= |N1 | ~ω
Wähle
−i
~ω
Im Prinzip
kann man alle Ni so bestimmen. Dabei bekomnmt man immer mehr Faktoren
√
von ~ω. Dies hat damit zu tun, dass a+ nicht dimensionslos ist.
N1 =
Eleganter wird es wenn man
−i
b
c+ := √ a+ ,
~ω
b
c− := √
i
a−
~ω
benutzt. Damit ist
M ωb
x − ib
p
√
2M ~ω
M ωb
x + ib
p
= √
2M ~ω
b
c+ =
b
c+
und
b = ~ω b
H
c+ b
c− +
= ~ω b
c− b
c+ −
1
1
2
1
2
sowie
[b
c− , b
c+ ] = 1
und
√ n
ψn = Nn i ~ω (b
c+ )n ψ0
Jetzt ist
ψn = An (b
c+ )n ψ0
mit dimensionslosen An . Insbesondere ist A1 = 1.
Die Normierungskonstanten kann man auch rein algebraisch bestimmen. Dazu braucht
man eine wichtige Eigenschaft der b
c± :
Für beliebige quadratintegrable Funktionen χ, ψ gilt
Z
Z
∗
dxχ (x)b
c± ψ(x) = (b
c∓ χ(x))∗ ψ(x)
Begründung:
Z
Z
d
1
∗
∗
dxχ M ωx ∓ ~
ψ
dxχ b
c± ψ = √
dx
2M ~ω
∗
Z 1
d
= √
M ωx ± ~
χ ψ
dx
Z 2M ~ω
dx (b
c∓ χ)∗ ψ
=
(∗)
(partielle Integration)
b ein Operator, χ, ψ quadratintegrable Funktionen. Der zu A
b adjungierte
Def: Sei A
†
b
Operator A ist definiert durch
Z
Z
∗
∗ b
b† χ ψ
χ Aψ = dx A
Wir habe also gefunden, dass
(b
c+ ) † = b
c− ,
(b
c− ) † = b
c+
Aus (∗) folgt
Z
Z
∗
dx (c± ψn ) (c± ψn ) =
dx (c∓ c± ψn )∗ ψn
Wir wissen dass
b
c+ ψn = αn ψn+1 ,
Bestimme αn :
b
c− b
c+ ψ n =
b
c− ψn = βn ψn−1
1 b 1
H+
~ω
2
2
ψn = (n + 1)ψn
(∗∗)
in (∗∗) einsetzen ⇒
|αn |2 = n + 1
Bestimme βn :
b
c + −b
c− ψn =
1 b 1
H−
~ω
2
ψn = nψn
in (∗∗) einsetzen ⇒
Wir wählen αn =
√
|βn |2 = n
n + 1, βn =
b
c+ ψn =
Es ist also
√
n⇒
√
n + 1ψn+1 ,
1
c+ ψ 0 ,
ψ1 = √ b
1
b
c− ψn =
√
nψn−1
1
ψ2 = √ (b
c+ )2 ψ0 , . . .
2
d.h.
1
ψn = √ (b
c+ )n ψ0
n!
2.4.3
Eigenschaften des Hamilton-Operators
b fü den
Def: Ein Operator A
b=A
b†
A
heißt selbstadjungiert oder auch hermitesch .
Bem: Mathematisch sind selbstadjungiert und hermitesch nicht genau das Gleiche, aber
wie brauchen diese Unterscheidung nicht zu machen.
Es gilt: Der Hamilton-Operator
2
b = pb + V (b
H
x)
2M
ist hermitesch,
b =H
b†
H
3
Begründung: Seien χ(x), ψ(x) quadratintegrable Wellenfunktionen.
Z
Z
1
∗b
∗
c+ b
c− +
dxχ Hψ = ~ω dxχ b
ψ
2
Z
1 ∗
∗
= ~ω dx (b
c− χ) b
c− ψ + χ ψ
2
∗
Z
1
χ ψ
= ~ω dx b
c+ b
c− +
2
Z
∗
b
=
dx Hχ
ψ
Andere Beispiele für hermitesche Operatoren: Ortsoperator x
b, Impulsoperator pb:
Z
Z
Z
~ ψ∗
∗
∗ ~ dχ
= − dx
χ
ψ pbχ = dxψ
i dx
i dx
Z
=
dx (b
pψ)∗ χ
Eigenschaft der ψn :
Z
∗
dxψm
ψn = δmn
Em 6= En Orthogonalität
wenn
Begründung:
R
n = m: dx|ψn |2 = 1 OK
m 6= n:
Z
∗ b
dxψm
Hψn
Z
∗
= En dxψm
ψn
Z
Z
∗
b
=
dx Hψm ψn = Em dx
Z
Em 6= En
∗
dxψm
ψn = 0
⇒
Erwartungswert der potentiellen Energie im Zustand ψn
1
1
hV i = M ω 2 x2 = M ω 2
2
2
Drücke x
b durch b
c+ und b
c− aus.
b
c± =
Z
dxψn∗ x
b2 ψn
1
(M ωb
x ∓ ib
p)
2M ~ω
4
r
1
2M ω
⇒
b
c+ + b
c− =
2M ωb
x=
x
b
2M ~ω
~
r
~
(b
c+ b
c− )
⇒
x
b=
2M ω
~
x
b2 =
b
c2+ + b
c+ b
c− + b
c− b
c+ + b
c2−
2M ω
Z
2
M
~
hV i =
dxψn2 b
c2+ + b
c+ b
c− + b
c− b
c+ + b
c2−
ω 2M ω
b
c2+ ψn ∝ψn+2
⇒ der erste und der letzte Term fallen raus
b
c2− ψn
∝ψn−2
√
b
c+ b
c− ψn = b
c+ nψn−1 = nψn+1
√
b
c− b
c+ ψn = b
c− n + 1ψn+1 = (n + 1)ψn
1
1
hV i = ~ω(2n + 1) = ~ω(n + 1/2)
4
2
Das ist genau die Hälfte der Gesamtenergie.
⇒
8. Mai 2014
5
2.5
Freies Teilchen auf einem Kreis
Wir betrachten ein sehr einfaches System. Das Lösen der SG bereitet uns hier keine Probleme und die Lösungen können wir einfach hinschreiben. Das erlaubt uns eine Reihe von
wichtigen Eigenschaften dieser Lsgn. zu identifizieren. Später werden wir sehen dass diese
Eigenschaften ganz allgemeiner Natur sind und für alle quantenmechanischen Systeme
gelten.
Betrachte wieder ein freies Teilchen, d.h. eins mit Potential V (x) = 0 für alle x mit der
SG
~2 d2 ψ
= Eψ
−
2M dψ
Jetzt fordern wir für die Wellenfunktion periodische Randbedingungen mit Periode
L, d.h.
ψ(x) = ψ(x + L)
Die Koordinaten x und x + L bezeichnen den selben Punkt.
Motivation dafür:
1. Dies ist ein beliebter Trick um Zustände mit bestimmtem Impuls (s.u.) normierbar
zu machen.
2. Physikalisch kann man dies auch als Teilchen interpretieren, das sich auf einem Kreis
mit Umfang L bewegt.
Lsg. der SG:
ψ = N eikx ,
E=
~2 k 2
2M
Periodizität:
eikx = eik(x+L)
k=n
eikL = 1
⇒
2π
L
n∈Z
Normierung der Wellenfunktion
Z L
Z
2
dx|ψ(x)| = 1 ⇔
0
Wähle
L
dx|N |2 = 1
0
1
N=√
L
D.h. wir haben die Lsgn.
1
ψn (x) = √ ein2πx/L
L
1
mit den Energien
~2
En =
2M
2π
n
L
2
b ein Operator, ψ eine Wellenfunktion a ∈ C, so dass
Def: Sei A
b
Aψ(x)
= aψ(x)
b , der entsprechende Zustand Eigenzustand und
Dann heißt ψ Eigenfunktion von A
a heißt Eigenwert. Die Menge der Eigenwerte bildet das Spektrum.
b mit Eigenwert En .
Der durch ψn beschriebende Zustand ist also Eigenzustand von H
Dieser ist aber auch Eigenzustand des Impulsoperators, weil
pbψn (x) =
2π
~ dψn
= ~n ψn (x),
i dx
L
Eigenwert = ~n
2π
L
Für m 6= n sind ψm und ψn orthogonal, d.h.
L
Z
Z L
2π
1
2π
L
1 L
∗
dx exp i(n − m) x =
exp i(n − m) x = 0
dxψm ψn =
L 0
L
L i(n − m)2π
L 0
0
Es gilt also
Z
L
∗
dxψm
ψn = δmn
0
Eine Menge von Funktionen, die eine solche Bedingung erfüllt bezeichnet man als orthonormal.
Lösungen der t-abhängigen SG
b
i~Ψ̇ = Hψ
sind gegeben durch
Ψn (t, x) := e−iEn t/~ ψn (x)
Jede periodische Funktion ψ mit Periode L kann man in eine Fourier-Reihe entwickeln:
∞
1 X
cn ein2πx/L
ψ(x) = √
L n=−∞
b
Das bedeutet, dass man jede beliebige Wellenfunktion (nicht nur Eigenfunktionen von H)
mit diesen Randbedingungen als Linearkombination der ψn schreiben kann,
ψ(x) =
∞
X
n=−∞
2
cn ψn (x)
Bez: Die Menge der ψn heißt daher vollständig.
Bestimmung der Koeffizienten cn :
Z
L
dxψn∗ ψ
=
0
∞
X
L
Z
dxψn∗ ψm =
cm
0
m=−∞
∞
X
cm δmn
⇒
m=−∞
L
Z
dxψn∗ ψ
cn =
0
Dies alles ist äußerst nützlich, denn es bedeutet folgendes: Damit kann man die zeitabhängige SG lösen für gegebene Anfangsbedingugen zu einem bestimmten Zeitpunkt, den wir
als t = 0 wählen. Wir brauchen also Ψ(0, x). Dann ist die Lsg. gegeben durch
∞
X
Ψ(t, x) =
cn Ψn (t, x)
n=−∞
mit den Koeffizienten
Z
L
dxψn∗ Ψ(0, x)
cn =
0
Begründung: Die Ψn sind Lösungen. SG linear ⇒ Jede Linearkombination von Lösungen
ist wieder eine Lösung. Und Ψ(t, x) erfüllt die Anfangsbedingungen Normierung:
Z
L
dx|Ψ(0, x)|2
1 =
0
Z
L
=
dx
0
=
X
m,n
∞
X
∗
c∗m ψm
(x)
m=−∞
Z L
c∗m cn
n=−∞
∗
ψm
ψn
0
X
∞
X
|cn |2 = 1
n
3
⇒
cn ψn (x)
Erwartungswert der Energie:
Z
hHi =
L
b
dxΨ∗ (t, x)HΨ(t,
x)
0
dx
=
0
=
∞
X
L
Z
X
m=−∞
Z L
c∗m cn
=
cn Ψn
n=−∞
∗
b −iEn t/~ ψn
dxeiEm t/~ ψm
(x)He
0
m,n
X
∞
X
b
c∗m Ψ∗m H
c∗m cn ei(Em −En )t/~
Z
L
∗
En ψn
dxψm
⇒
0
m,n
X
hHi =
|cn |2 En
n
Dies ist unabhängig von t. Hier sehen wir eine Facette der Energieerhaltung in der QM.
Naheliegende Interpretation der cn :
|cn |2 = Wahrscheinlichkeit, bei einer Energie-Messung den Wert En zu finden
b ein hermitescher OpeAllgemein (nicht nur für das Teilchen auf dem Kreis) gilt: Sei A
rator mit diskretem Spektrum und Eigenfunktionen ψn . Jede Funktion ψ lässt sich als
Linearkombination der ψn schreiben
X
cn ψn (x)
ψ(x) =
n
wobei
Z
cn =
dxψn∗ (x)ψ(x)
mit dem jeweiligen Integrationsgebiet.
Bem: In Kürze werden wir dies für ein kontinuierliches Spektrum verallgemeinern.
Die Vollständigkeit der ψn kann man wie folgt ausdrücken:
X
XZ
ψ(x) =
cn ψn (x) =
dyψn∗ (y)ψ(y)ψn (x)
n
n
d.h.
Z
ψ(x) =
mit
K(x, y) :=
dxK(x, y)ψ(y)
XZ
n
4
dyψn∗ (y)ψn (x)
(∗)
Wenn (∗) für beliebige ψ gelten soll, muss K(x, y) = δ(x − y) sein, d.h.
XZ
dyψn∗ (y)ψn (x) = δ(x − y)
n
15. Mai 2014
5