Mathematik 1 - Hochschule Ravensburg

Mathematik 1
im Studiengang
Technik-Management (Bachelor)
Prof. Dr. Stefan Etschberger
Hochschule Weingarten
Sommersemester 2008
Vorlesungsbegleitende Unterlagen
Arbeitsmaterial:
◮ Foliensatz
◮ Aufgabenskript
◮ Unterlagen jeweils vor der Vorlesung online
◮ Bücher:
Luderer, B. (2001): Einstieg in die Wirtschaftsmathematik,
Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 4. Auflage.
Opitz, O. (2004): Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg, München, 9.
Auflage.
Papula, L. (1994): Mathematische Formelsammlung für
Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg,
Braunschweig, Wiesbaden, 4. Auflage.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
2
Team, Themenaufteilung und Prüfung
Team
◮
Prof. Dr. Paczinsky: Analysis
◮
Prof. Dr. Etschberger: Rest
Klausur:
◮
Klausur am Ende des Semesters
◮
Teil Etschberger: Bearbeitungszeit: 60 Minuten, erreichbare
Punktzahl: 50
◮
Hilfsmittel: Schreibzeug, nicht-programmierbarer Taschenrechner, ein
Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit
handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
3
Probleme, ...
...die Sie nach dem Kurs lösen können:
◮
Sich widersprechende Politiker entlarven,
◮
Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen,
◮
die Käuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten im
Zeitablauf analysieren,
◮
die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisänderungen bestimmen
◮
Ströme und Spannungen in linearen Schaltungen mithilfe komplexer
Zahlen berechnen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
6
Schon bekannt?
Begriff
Nie gehört
Gehört
Kann ich erklären
Nenner
Reelle Zahlen
Assoziativgesetz
Logarithmus
Diskriminante
Fundamentalsatz der Algebra
Konjunktion
Kartesisches Produkt
Geometrische Reihe
Regel von Cramer
Eigenwerte
Taylorreihen
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
7
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8
1. Grundlegendes
Übersicht
1
Grundlegendes
Zahlbereiche
Geraden und Vektoren
Potenzen und Wurzeln
Logarithmen
Indizierung und Summen
2
Aussagenlogik
3
Mengen
4
Folgen und Reihen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
7
Komplexe Zahlen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
2. Aussagenlogik
Übersicht
1
Grundlegendes
2
Aussagenlogik
Lernziele
Einführung
Aussagenverknüpfungen
Argumentationstechniken
3
Mengen
4
Folgen und Reihen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
7
Komplexe Zahlen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
2. Aussagenlogik
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9
2.1. Lernziele
Warum beschäftigen wir uns mit der Aussagenlogik?
◮
zahlreiche Aussagen“ aus der Vorlesung erforden grundlegendes
”
Verständnis der Aussagenlogik
◮
Grundlage der mathematischen Beweisführung
◮
Hilfreich zum Erlernen von Programmiersprachen
Wesentliche Lernziele
◮
Kenntniss der relevanten Begriffe wie Definition, Axiom, Satz und
Beweis
◮
Verständnis der wesentlichen aussagenlogischen Operatoren
◮
Auswertung logischer Aussagen hinsichtlich der Eigenschaften
wahr“ oder falsch“
”
”
Beherrschung grundlegender Beweistechniken wie dem direkten
und indirekten Beweis sowie der vollständigen Induktion
◮
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Sommersemester 2008
10
2. Aussagenlogik
2.2. Einführung
Beispiel
Aussagen eines Politikers zur Wahl
◮
Die Vollbeschäftigung wird erhalten oder die
Steuern dürfen nicht erhöht werden.
◮
Wenn sich Politiker um die Bevölkerung
kümmern, müssen die Steuern angehoben
werden.
◮
Die Politiker kümmern sich um die
Bevölkerung oder die Vollbeschäftigung kann
nicht erhalten werden.
◮
Es stimmt nicht, dass die Erhaltung der
Vollbeschäftigung eine Steuererhöhung zur
Folge haben muss.
Hat sich der Politiker widersprochen?
Etschberger (HS Weingarten)
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2. Aussagenlogik
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11
2.2. Einführung
Begriffe
◮ Axiom: Grundsachverhalt als Ausgangspunkt, wird nicht bewiesen
◮ Definition: Sachverhalt, wird durch neuen Begriff beschrieben, bezieht sich auf
◮
◮
◮
◮
◮
bereits Definiertes oder auf Axiome
Aussage (math. Satz): Formulierung auf Basis bisherigen Wissens, wird als wahr oder
falsch identifiziert.
Aussagenverknüpfungen: Negation (A), Konjunktion (A ∧ B), Disjunktion (A ∨ B),
Implikation (A ⇒ B), Äquivalenz (A ⇔ B)
Tautologie: Verknüpfte, stets wahre Aussage
Kontradiktion: Verknüpfte, stets falsche Aussage
Allaussage:
^
A(1) ∧ A(2) . . . =
A(x) (für x = 1, 2, . . .) = ∀ x : A(x)
x
◮ Existenzaussage:
A(1) ∨ A(2) . . .
=
_
A(x) (für x = 1, 2, . . .)
x
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=
∃ x : A(x)
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12
2. Aussagenlogik
2.3. Aussagenverknüpfungen
Aussagenverknüpfungen
Wahrheitswerte
aller möglichen
Verknüpfungen
der Aussagen A
und B
A
B
w
w
w
f
f
w
f
f
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
w
f
w
w
w
f
w
f
f
f
w
f
f
f
w
f
w
w
f
w
f
w
f
f
f
w
w
f
w
f
w
f
w
w
f
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
w
w
w
f
f
f
w
w
f
w
w
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2. Aussagenlogik
Verknüpfung ist stets wahr
Verknüpfung ist stets falsch
Disjunktion A ∨ B
Implikation B ⇒ A
Implikation A ⇒ B
Negierte Konjunktion A ∧ B
Konjunktion A ∧ B
Negierte Implikation A ⇒ B
Negierte Implikation B ⇒ A
Negierte Disjunktion A ∨ B
Äquivalenz A ⇐⇒ B
Negierte Äquivalenz A ⇐⇒ B
Negation B
Negation A
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13
2.3. Aussagenverknüpfungen
Beispiel
Gegeben sind Aussagen über den Marktanteil eines weltweit
vertriebenen Markterzeugnisses P in zwei Handelszonen:
A:
Das Produkt P hat in der Europäischen Union (EU) einen
”
Marktanteil von mehr als 25 %“
B:
Das Produkt P hat in Nordamerika (NA) einen Marktanteil von
”
mehr als 25 %“
Abgeleitete Aussagen:
◮
◮
◮
◮
A: Der Marktanteil von P in der EU beträgt höchstens 25%.
A ∧ B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU und in NA mehr als 25%.
A ∨ B: Der Marktanteil von P beträgt in der EU oder in NA mehr als 25%.
A ⇒ B: Wenn der Marktanteil von P in der EU mehr als 25% beträgt, so liegt er auch in NA
über 25 %.
◮
A ⇔ B:
der Marktanteil von P in der EU beträgt genau dann mehr als 25%, wenn er auch
in NA über 25 % liegt.
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14
2. Aussagenlogik
2.3. Aussagenverknüpfungen
Beispiel
Ausgangspunkt: Aussage A mit
A:
Der Gewinn einer Unternehmung ist gleich dem Umsatz
”
abzüglich der Kosten.“
Daraus abgeleitet:
A1 : Die Kosten wachsen.
A2 : Der Umsatz wächst.
A3 : Der Gewinn wächst.
Dann ist die folgende Implikation wahr:
◮ A1 ∧ A2 ⇒ A3 : Wenn der Umsatz bei nicht steigenden Kosten
”
wächst, so wächst auch der Gewinn.“
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2. Aussagenlogik
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15
2.4. Argumentationstechniken
Argumentationstechniken
◮ Direkter Beweis einer Implikation A ⇒ B (analog Äquivalenz A ⇔ B):
A ⇒ C1 ⇒ C2 ⇒ . . . ⇒ B
◮ Beweis von A 6⇒ B durch Gegenbeispiel
◮ Beweisprinzip der vollständigen Induktion für Allaussagen
- Induktionsanfang: Beweis der Aussage für kleinstmöglichen Wert von n
(oft n = 0 oder n = 1 )
- Induktionsvoraussetzung: Annahme, dass die Aussage für n wahr ist
- Induktionsschluss: Beweis (unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung), dass die
Aussage auch für n + 1 gültig ist
◮ Beispiel (vollst. Induktion): A(n) =
n
P
i=1
- Ind.-Anfang: n = 1 :
1
P
i=1
=
i=1
- Ind.-Schluss:
n
n+1
P
P
i + (n + 1) =
i=
i=1
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
i=
n(n+1)
2
1·2
2
;n ∈ N
=1
Ind.-Vor.
n(n+1)
2
+ (n + 1) =
Mathematik 1
n(n+1)+2(n+1)
2
=
(n+1)(n+2)
2
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16
2. Aussagenlogik
2.4. Argumentationstechniken
Beispiel: Beweis durch Gegenbeispiel
◮
Ausgangspunkt: Die ökonomische Gleichung
Gewinn
◮
=
Umsatz − Kosten
Daraus:
A: Für zwei Produkte stimmen Umsätze und Kosten überein
B: Für zwei Produkte sind die Gewinne gleich
◮
Damit gilt: A ⇒ B , andererseits aber B 6⇒ A .
Gegenbeispiel zur Bestätigung von B 6⇒ A:
◮ Für zwei Produkte gegeben:
- Umsätze u1 = 2, u2 = 5
- Kosten c1 = 1, c2 = 4
◮ Dann ist g1 = u1 − c1 = 2 − 1
c1 6= c2 .
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=1=
u2 − c2 = 5 − 4 = g2 , aber u1 6= u2 ,
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17
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18
3. Mengen
Übersicht
1
Grundlegendes
2
Aussagenlogik
3
Mengen
Lernziele
Einführung
Beziehungen zwischen Mengen
Kombinatorik
Relationen
4
Folgen und Reihen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
7
Komplexe Zahlen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
3. Mengen
3.1. Lernziele
Warum beschäftigen wir uns mit Mengen?
◮ Mengen sind natürliche Betrachtungsgegenstände in den
Wirtschaftswissenschaften:
-
Kundensegmente
Produktgruppen
Handlungsalternativen
etc.
◮ Mengen erlauben die effiziente Gruppierung von Objekten sowie die
Repräsentation ihrer Eigenschaften und Beziehungen
◮ mengenorientierte Schreibweisen bilden die Grundlage der Darstellung zahlreicher
mathematischer Methoden wie z.B. im Operations Research oder in Methoden der
Marktforschung
Wesentliche Lernziele
◮ Verstehen des Begriffs Menge
◮ Fähigkeit Mengen darzustellen und Operationen mit ihnen durchzuführen
◮ Beherrschen der grundlegenden kombinatorischen Methoden, die Elemente einer
Menge anzuordnen bzw. eine Teilmenge davon auszuwählen
◮ Fähigkeit Beziehungen zwischen Mengenelementen darstellen zu können
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3. Mengen
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19
3.2. Einführung
Paradoxa
Antinomie von Betrand Russell (1872 - 1970)
◮
Der Barbier eines Dorfes rasiert genau alle
”
Männer eines Dorfes, die sich nicht selber
rasieren“
oder:
◮
◮
◮
◮
Der einzige Postbote am Ort hat den Auftrag,
”
all denen die Post zu bringen, die sie nicht selbst
auf dem Postamt abholen.“
”
Alle Kreter lügen. Ein Kreter sagt: Ich lüge.“
Der nächste Satz ist falsch. Der vorangehende
”
Satz ist richtig.“
Am 23.9.2005 spricht ein Student den Satz:
”
Heute ist jede Aussage von mir falsch.“
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Mathematik 1
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20
3. Mengen
3.2. Einführung
Grundbegriffe
◮ Menge A: Gesamtheit betimmter unterscheidbarer
Objekte (Elemente)
◮ Es kann immer entschieden werden:
a∈A
a∈
/A
oder
◮ Mengendefinition durch Aufzählen (A = {a, b, c, . . .})
◮ oder Beschreibung der Elemente; zum Beispiel
B = {b : b ∈ N
∧
0 < b < 10}
◮ Veranschaulichung durch
John Venn
B
Venn-Diagramme:
C
A
◮ Mächtigkeit einer Menge: Anzahl der Elemente einer Menge; Symbol: |A|
◮ Leere Menge: enthält keine Elemente; Symbole: ∅ = {}
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3. Mengen
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21
3.3. Beziehungen zwischen Mengen
Relationen und Operationen zwischen Mengen
Mengenrelationen
◮
◮
◮
◮
◮
Gleichheit: A = B ⇔ (a ∈ A ⇔ a ∈ B)
Teilmenge: A ⊂ B ⇔ (a ∈ A ⇒ a ∈ B)
Echte Teilmenge: A $ B ⇔ (A ⊂ B ∧ A 6= B)
Potenzmenge P(A): Menge aller Teilmengen von A
Bemerkung: ∅ ist Teilmenge jeder Menge
Mengenoperationen
◮
◮
◮
◮
Durchschnittsmenge: A ∩ B = {a : a ∈ A ∧ a ∈ B}
Vereinigungssmenge: A ∪ B = {a : a ∈ A ∨ a ∈ B}
Differenzmenge: A\B = {a : a ∈ A ∧ a ∈
/ B}
Komplementärmenge (Voraussetzung A ⊂ B):
AB = {a : a ∈ B ∧ a ∈
/ A}
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22
3. Mengen
3.4. Kombinatorik
Kombinatorik: Anzahl von Kombinationen bei Auswahl
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2-mal Würfeln, das heißt
Auswahl von k = 2 aus
n = 6 Zahlen.
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
Auswahl von k aus n Dingen
mit Wiederholung
ohne Wiederholung
nk
n!
(n − k)!
n
k
mit
Reihenfolge
ohne
Reihenfolge
n+k−1
k
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3. Mengen
(1,5) (1,6)
(2,5) (2,6)
(3,5) (3,6)
(4,5) (4,6)
(5,5) (5,6)
(6,5) (6,6)
◮ mit WH, mit RF: alle
Möglichkeiten, 62 = 36
◮ ohne WH, mit RF: Diagonale
entfällt, 36 − 6 = 30 =
6!
6·5=
(6 − 2)!
◮ ohne WH, ohne RF: Hälfte
des letzten Ergebnisses
30
6!
6
= 15 =
=
2
2
4!2!
◮ mit WH, ohne RF: letztes
Ergebnis plus Diagonale,
7
15 + 6 = 21 =
2
Sommersemester 2008
23
3.5. Relationen
Relationen und Abbildungen
◮
Ausgangspunkt: Mengen A, B
◮
Daraus: Kombination von zwei Elementen (mit
Reihenfolge): (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B
◮
Sprechweise für (a, b): Geordnetes Paar, Tupel
◮
Menge aller geordneten Paare von A und B
(auch: kartesisches Produkt)
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Rene Descartes
(1596 – 1650)
◮
R ⊂ A × B heißt (binäre) Relation von A in B
◮
Abbildung von A in B: Eine Vorschrift f, die jedem a ∈ A genau ein b ∈ B
zuordnet
f:A→B
Etschberger (HS Weingarten)
oder
a ∈ A 7→ f(a) = b ∈ B
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24
3. Mengen
3.5. Relationen
Beispiel: Relationen und AbbildungenOpitz, Bsp. 3.54
◮
A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } ist Menge von Tätigkeiten,
◮
die von einer Menge B = {b1 , b2 , b3 , b4 } von Angestellten zu
erledigen sind.
Gegeben: Zuordnungsvorschriften
ai
f1 (ai )
f2 (ai )
f3 (ai )
f4 (ai )
a1
a2
a3
b1
b1
b1
b1
b2
b1
b3
b2
b2
b1
b2
a4
a5
a6
b2 , b3
b1
b2
b3
b3
b1
b3
b4
b4
b1
b4
Welches fi ist eine Funktion?
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
3. Mengen
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25
3.5. Relationen
Eigenschaften von Relationen/Funktionen
Eigenschaften von Funktionen
Eine Funktion f : D → W mit D ⊂ Rn und W ⊂ R heißt:
◮
◮
◮
surjektiv, wenn zu jedem y ∈ W ein x ∈ D mit f(x) = y existiert,
injektiv, wenn für alle x, x̃ ∈ D gilt x 6= x̃ ⇒ f(x) 6= f(x̃),
bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist.
Komposition von Relationen/Funktionen
◮
◮
Voraussetzung: Funktionen f : Df → R und g : Dg → R mit
Df ⊂ Rn und f(Df ) ⊂ Dg ⊂ R
Zusammengesetzte Funktion: g ◦ f : Df → R: Zuordnung des Werts
(g ◦ f)(x) = g (f(x)) für alle x ∈ Df
Inverse Funktion / Umkehrfunktion
◮
◮
Voraussetzung: bijektive Funktion f : D → W mit D, W ⊂ R
Inverse Funktion: f−1 : W → D, y 7→ f−1 (y), wobei y für alle x ∈ D
mit y = f(x) zugeordnet wird
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
26
4. Folgen und Reihen
Übersicht
1
Grundlegendes
2
Aussagenlogik
3
Mengen
4
Folgen und Reihen
Lernziele
Folgen: Definition und Eigenschaften
Folgen
Grenzwert
Reihen und ihre Konvergenz
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
7
Komplexe Zahlen
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Mathematik 1
4. Folgen und Reihen
Sommersemester 2008
27
4.1. Lernziele
Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen?
◮
Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter,
zeitlicher Entwicklungen (z.B. von Aktienkursen, Absatzmengen)
◮
Grundlage der Finanzmathematik (z.B. Zinseszinsrechnung,
Tilgungsrechnung)
◮
wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und
Differenzierbarkeit
Wesentliche Lernziele:
◮
Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen
◮
Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren
◮
Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften
von Folgen und Reihen
◮
Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen
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Sommersemester 2008
28
4. Folgen und Reihen
4.3. Folgen
Definition und Eigenschaften
Definition
◮ Eine Folge ist eine Abbildung a : N0 → R
◮ Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1), . . . oder
a0 , a1 , . . .
◮ Schreibweise für Folge: (an )n∈N
0
(an )
oder
Leonardo von Pisa
(ca. 1180 – 1250)
Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt
◮ endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich
(unendlich) ist
◮ gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem
Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: an =
1
n+1
◮ rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind
Beispiel: a0 = 0; a1 = 1 und an = an−1 + an−2 für n > 1 (Fibonacci-Folge)
Spezielle Folgen
◮ Arithmetische Folge: (an ) : an+1 − an = d
∀n ∈ N0 mit d ∈ R
an+1
◮ Geometrische Folge: (an ) :
=q
∀n ∈ N0 mit q ∈ R
an
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4. Folgen und Reihen
Sommersemester 2008
29
4.3. Folgen
Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel
◮
Sissa ibn Dahir, der Erfinder des
Schachspieles, darf sich vom
indischen König Shihram eine
Belohnung wünschen.
◮
Sein Wunsch: So viele
Weizenkörner, wie man auf ein
Schachbrett legen kann, wenn
1 . Feld
2 . Feld
3 . Feld
4 . Feld
:
:
:
:
n. Feld :
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a0
a1
a2
a3
=1
=2
=4
=8
..
.
an−1 = 2 · an−2
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Korn
Körner
Körner
Körner
Körner
Sommersemester 2008
30
4. Folgen und Reihen
4.4. Grenzwert
Grenzwert
◮
Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen
Bereich um einen festen Wert?
◮
Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern?
◮
Definition:
a ∈ R heißt Grenzwert oder Limes von (an )
∀ ε > 0 ∃ n(ε)
◮
⇔
|an − a| < ε ∀ n > n(ε)
mit
Schreibweise für Grenzwert: lim an = a
n→∞
◮
Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent
◮
Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge
◮
Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent
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Mathematik 1
4. Folgen und Reihen
Sommersemester 2008
31
4.4. Grenzwert
Beispiel zur Definition des Grenzwerts
◮
◮
n
Gegeben: an = n+1
Vermutung: lim an = a = 1
n→∞
◮
Beweis: Wenn a = 1, dann folgt
n
|an − a| = n+1
− 1 < ε
n−n−1 1
<ε
⇔ n+1 = n+1
⇔
⇔
◮
◮
1
ε
<n+1
1
ε
−1 < n
Also: Für jedes ε findet man ein n(ε), so dass die
Grenzwertbedingung stimmt
Zum Beispiel: Wähle
1
− 1 = 100 − 1 = 99
ε = 0,01 ⇒ n > ε1 − 1 = 0,01
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
32
4. Folgen und Reihen
4.4. Grenzwert
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben:
◮
und lim (bn ) = b
lim (an ) = a
n→∞
n→∞
◮
kurz: (an ) → a
(bn ) → b
und
Dann gilt:
◮
◮
◮
an
a
◮
bn → b
c
◮ (ac
n) → a
◮ (can ) → ca
(an + bn ) → a + b
(an − bn ) → a − b
(an · bn ) → a · b
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(b 6= 0)
(an > 0, a > 0, c ∈ R)
(c > 0)
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4. Folgen und Reihen
Sommersemester 2008
33
4.5. Reihen und Konvergenz
Definition der Reihe
◮ Gegeben: (an ) unendliche Folge in R
◮ Dann heißt (sn ) mit
sn = a0 + a1 + . . . + an =
n
X
n ∈ N0
ai
i=0
eine unendliche Reihe.
◮ sn heißt n-te Partialsumme
◮ Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen
Beispiel:
◮ (an ) geometrische Folge → (sn ) geometrische Reihe
n
X
an+1
◮ sn =
=q
ai ; mit
a
n
i=0
◮ Offensichtlich gilt: an = an−1 q = an−2 q2 = . . . = a0 qn
n
X
1 − qn+1
⇒ sn =
a0 q = a0 (1 + q + q + . . . + q ) = a0
1−q
i=0
Etschberger (HS Weingarten)
i
2
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n
Sommersemester 2008
34
4. Folgen und Reihen
4.5. Reihen und Konvergenz
Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel
◮
Summe aller Körner auf Schachbrett:
63
X
sn =
i=0
◮
1 − q64
1 − 264
ai = a0
=1·
≈ 1,84467 · 1019
1−q
1−2
Das bedeutet:
∧
∧
−→
−→
−→
1 Güterwagon = 50 t Weizen
−→
1,8 · 1017 g
1,8 · 1014 kg
1,8 · 1011 t = 180 Mrd. t
−→
−→
−→
100 Körner = 1 g Weizen
3,6 Mrd. Güterwagons
36 Mrd. m langer Eisenbahnzug
36 Mill. km
100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
4. Folgen und Reihen
Sommersemester 2008
35
4.5. Reihen und Konvergenz
Konvergenzkriterien für Reihen
Gegeben:
ai Folge,
sn =
n
X
ai
i=1
Divergenzkriterium
◮ Ist sn konvergent ⇒
◮ Also äquivalent dazu:
ai ist Nullfolge
ai ist keine Nullfolge
⇒
sn divergent
Quotientenkriterium
ak+1 <1
lim k→∞ ak ⇒
ak+1 >1
lim k→∞ ak sn konvergent
⇒
sn divergent
k+1 ◮ Bemerkung: Für lim aa
= 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich
k
k→∞
◮ Spezialfall geometrische Reihe:
a
⇒ k+1 = q
ak
Etschberger (HS Weingarten)
⇒
ak+1 =q
lim k→∞ ak Mathematik 1
⇒
q<1
q>1
⇒
⇒
sn konvergent
sn divergent
Sommersemester 2008
36
5. Lineare Algebra
Übersicht
1
Grundlegendes
2
Aussagenlogik
3
Mengen
4
Folgen und Reihen
5
Lineare Algebra
Lernziele
Matrizen und Vektoren
Matrixalgebra
Punktmengen im Rn
Lineare Gleichungssysteme
Inverse Matrizen
6
Lineare Programme
7
Zahlen
Etschberger Komplexe
(HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
37
5.1. Lernziele
Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra?
◮
Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und
volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken
◮
Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise
ermöglichen die Analyse solcher Daten
Wesentliche Lernziele
◮
Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen
◮
Beherrschen elementarer Matrixoperationen
◮
Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese
Lösung darzustellen
◮
Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
38
5. Lineare Algebra
5.2. Matrizen und Vektoren
Einführung
Beispiel 1
◮ Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F1 , F2 , F3 zwei Produkte P1 , P2
her.
◮ Zur Produktion für jede Mengeneinheit von Pj (j = 1, 2) werden aij Mengeneinheiten von
Fi (i = 1, 2, 3) verbraucht.
Verbrauch
für eine Einheit des Produkts
P1
P2
F1
F2
F3
von Einheiten
der
Produktionsfaktoren
a11
a21
a31
a12
a22
a32
◮ Grafisch dargestellt:
a12
F1
a
a
21
F2
a 31
a
F3
22
11
2
a3
P1
Etschberger (HS Weingarten)
P2
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
39
5.2. Matrizen und Vektoren
Einführung
Beispiel 2
◮ Für fünf gleichartige Produkte P1 , . . . , P5 werden drei Merkmale erhoben,
◮ und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt
nachfragt.
◮ Ergebnis:
Preis
Produkte
P1
P2
P3
P4
P5
20
18
20
16
18
Merkmale
Qualität
Kundenkreis
sehr gut
sehr gut
sehr gut
mäßig
ordentlich
A
B
A
C
B
Fragen:
◮ Ähnlichkeit von Produkten
◮ Finden von Kundensegmenten
◮ Zuordnen zu diesen Segmenten
−→ Marktforschung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
40
5. Lineare Algebra
5.2. Matrizen und Vektoren
Definitionen
Definition Matrix
◮ Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen

a11
 a21

 ..
 .
A=
 ai1

 .
 ..
am1
a12
a22
..
.
ai2
..
.
am2
a1j
a2j
..
.
aij
..
.
amj
...
...
...
...
...
...
...
...

a1n
a2n 

.. 
. 
 = (aij )
m,n
ain 

.. 
. 
amn
mit m, n ∈ N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m × n-Matrix (Im
Folgenden: aij ∈ R).
◮ a11 , . . . , amn heißen Komponenten der Matrix.
◮ Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der aij steht.
◮ i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von aij .
◮ Sind alle Komponenten aij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
41
Sommersemester 2008
42
5.2. Matrizen und Vektoren
Transponierte Matrix
Definition
◮
Zu jeder m × n-Matrix

a11

A =  ...
...

a1n
.. 
. 
am1 . . . amn
◮
◮
heißt die n × m-Matrix 

a11 . . . am1

.. 
AT =  ...
. 
a1n . . . amn
die zu A transponierte Matrix
T T
⇒ A
Etschberger (HS Weingarten)
=A
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
5.2. Matrizen und Vektoren
Beispiel transponierte Matrix
a)

1
2

1 2 3 4 5
T
A=
⇒ A =
3
1 3 5 2 4
4
5


1 2 3
b) AT = 1 3 4
2 5 0
Etschberger (HS Weingarten)

1
3

5

2
4


1
1
2
T
T
A
= A = 2 3 5
3 4 0
⇒
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
43
5.2. Matrizen und Vektoren
Vektoren
Definition
◮
n × 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten:


a1
 
a =  ... 
an
◮
1 × n-Matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten:
aT = (a1 , . . . , an )
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
44
5. Lineare Algebra
5.2. Matrizen und Vektoren
Geometrische Veranschaulichung von Vektoren
•
−1
•
0
•
1
a1
•
2
a2
a2
1
•
2
−1.8
0.6
1•
•
1•
1
•
•
Etschberger (HS Weingarten)
1
•
a1
0
−1
 
0
2 
0
1
•
a3
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
 
3
2 
2
a1
 
3
0 
2
Sommersemester 2008
45
5.2. Matrizen und Vektoren
Relationen zwischen Matrizen
Definition
◮
Seien A = aij m,n und B = bij m,n reelle Matrizen mit
übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n.
◮
Dann wird definiert:
A=B
A 6= B
A6B
A<B
◮
⇔
⇔
⇔
⇔
aij
aij
aij
aij
= bij
6= bij
6 bij
< bij
für alle i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n
für mindestens ein Indexpaar (i, j)
∀(i, j)
∀(i, j)
Entsprechend A > B und A > B.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
46
5. Lineare Algebra
5.2. Matrizen und Vektoren
Spezielle Matrizen
Definition
a) A = aij
b) A = aij
n,n
heißt quadratisch
n,n
mit A = AT heißt symmetrisch
c) A = aij n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn
aij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder
aij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix)
d) A = aij n,n heißt Diagonalmatrix, wenn aij = 0 für alle i 6= j
e) A = aij n,n heißt Einheitsmatrix, wenn aii = 1 für alle i und
aij = 0 für alle j 6= j
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
47
5.3. Matrixalgebra
Addition und Subtraktion von Matrizen
Definition
◮
Gegeben: A = aij
◮
Dann gilt:
◮
Addition: A + B = aij
◮
Subtraktion: A − B = aij
Damit:
m,n
und B = bij
+ bij
m,n
m,n
m,n
− bij
m,n
.
= aij + bij
m,n
m,n
= aij − bij
m,n
◮
A+B =B+A
◮
(A + B) + C = A + (B + C)
◮
Addition/Subtraktion nicht definiert, wenn Zeilen- bzw. Spaltenzahl
nicht übereinstimmen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
48
5. Lineare Algebra
5.3. Matrixalgebra
Skalare Multiplikation
Definition
◮
◮
Gegeben: A = aij
Dann gilt:
r · A = r · aij
Beispiel:
m,n
m,n
und r ∈ R (Skalar).
= r · aij
m,n
= aij · r m,n = A · r
1 2
5 10
5·
=
3 5
15 25
Außerdem gilt:
(rs)A
= r(sA)
(r + s)A = rA + sA
r(A + B) = rA + rB
Etschberger (HS Weingarten)
(Assoziativgesetz)
(Distributivgesetz)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
49
5.3. Matrixalgebra
Matrixmultiplikation
Definition
◮ Gegeben: A = (aik )
und
B
=
b
kj p,n .
m,p
◮ Dann gilt:
A · B = (aik )m,p · bkj
p,n
=
p
X
aik bkj
k=1
!
m,n
Merke: Zeile mal Spalte!

a11
 .
 .
 .

 ai1

 ..
 .
am1
...
...
...

a1p
.. 

. 

aip 

. 
.. 
amp
b11
 .
 ..
bp1

Etschberger (HS Weingarten)
...
...
b1j
..
.
bpj
...
...

c11
 
 ..
b1n
 .
..  = 
 ci1
.  

 ..
bpn
 .
cm1
Mathematik 1
...
...
c1j
..
.
cij
...
...
..
.
...
cmj
...
Sommersemester 2008

c1n
.. 

. 

cin 


.. 
. 
cmn
50
5. Lineare Algebra
5.3. Matrixalgebra
Spezialfälle und Rechenregeln
Spezialfälle der Matrixmultiplikation
◮ A = (m × n)-Matrix, B = (n × m)-Matrix
⇒ es existiert
A·B
◮ A quadratisch
⇒
◮ A, B quadratisch
B·A
und
A · A = A2 existiert
⇒ A · B existiert und B · A existiert.
Aber: Im Allgemeinen A · B 6= B · A
◮ Ist E Einheitsmatrix, dann gilt:
A·E=E·A= A
Spezielle Rechenregeln
◮ A = (m × p)-Matrix, B = (p × n)-Matrix. Damit gilt:
◮ A·B
und
◮ AT A
ist symmetrische (p × p)-Matrix und
ist symmetrische (n × n)-Matrix
BT · A T
existieren.
◮ BT AT = (A · B)T
AA
T
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
51
5.4. Punktmengen im Rn
Norm
◮
◮
Gegeben Vektor a ∈ Rn
Definition: Absolutbetrag, Norm oder Länge eines Vektors:
kak = |a| =
√
aT a
=
p
a1 2 + . . . + an 2
v
u n
uX
ai 2
=t
i=1
∈ R+
◮ Seien a, b, c Vektoren des Rn und r ∈ R ein Skalar. Dann gilt:
a)
b)
c)
d)
e)
ka + bk = kb + ak ,
krak
= |r| · kak
T a b ≦ kak · kbk
ka − bk = kb − ak
für n > 1
= |a| · |b|
(Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
für n = 1
ka + bk ≦ kak + kbk
(Dreiecksungleichung)
ka − ck − kc − bk ≦ ka − bk ≦ ka − ck + kc − bk
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
52
5.4. Punktmengen im Rn
5. Lineare Algebra
Kosinussatz
◮ Gegeben: a, b Vektoren des Rn , die
den Winkel γ einschließen.
kb
k
A
◮ Nach dem Kosinussatz gilt im Dreieck
ka k
mit den Ecken 0, A, B
ka − bk2 =
ka
k−
bk
kak2 + kbk2 − 2 kak · kbk · cos γ.
kb
k
0
−b
k
B
◮ Damit gilt:
T
a b=
=
1
2
1
2
2
2
2
ka + bk − kak − kbk
2
2
2
kak + kbk − ka − bk
= kak · kbk · cos γ
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
53
5.4. Punktmengen im Rn
Hyperebenen und Sphären
Definition Hyperebene
◮
◮
◮
Gegeben: a ∈ Rn mit a 6= 0 und b ∈ R
n
T
Dann heißt H(a, b) = x ∈ R : a x = b Hyperebene im Rn
Anmerkung: H teilt den Rn in zwei Halbräume
Definition Sphäre
◮
◮
◮
Gegeben: a ∈ Rn , r ∈ R+
Dann heißt K = {x ∈ Rn : kx − ak = r} Sphäre (Kugelfläche) im Rn
und dem Radius r
Damit: r-Umgebung von a: K< (a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak < r}
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
54
5. Lineare Algebra
5.4. Punktmengen im Rn
Beispiel Hyperebene/Sphäre
◮ H = {x ∈ R3 : 2x1 + 3x2 + 3x3 = 6}
 
p
3 3
3
2
2
2


◮ K= x∈R : x− 2
(x1 − 3) + (x2 − 2) + x3 = 1
=1 = x∈R :
0
x2
3
K
2
1
H
1
2
x3
1
Etschberger (HS Weingarten)
x1
3
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
55
5.4. Punktmengen im Rn
Offenheit, Abgeschlossenheit
Gegeben
◮
◮
M ⊂ Rn eine Punktmenge des Rn und
M = Rn \ M deren Komplement bzgl. Rn .
Dann heißt:
◮
◮
◮
a ∈ Rn innerer Punkt von M, wenn eine r-Umgebung K< (a, r) von
a existiert, die ganz in M liegt, also K< (a, r) ⊂ M,
a ∈ Rn äußerer Punkt von M, wenn eine r-Umgebung K< (a, r) von
a existiert, die ganz in M liegt und
a ∈ Rn Randpunkt von M, wenn a weder innerer noch äußerer
Punkt von M ist.
Eine Punktmenge M ∈ Rn heißt dann
◮
◮
offen wenn jedes Element a ∈ M innerer Punkt von M ist,
abgeschlossen, wenn jedes Element a ∈ M innerer Punkt von M ist,
also das Komplement M offen ist.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
56
5. Lineare Algebra
5.4. Punktmengen im Rn
Beschränktheit, Kompaktheit
Eine Punktmenge M ⊂ Rn heißt
◮ beschränkt nach oben, wenn ein b ∈ Rn existiert
mit b ≧ x für alle x ∈ M,
◮ beschränkt nach unten, wenn ein a ∈ Rn existiert
mit a ≦ x für alle x ∈ M,
◮ beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist,
◮ kompakt, wenn M beschränkt und abgeschlossen ist.
x2
2
•
•
1•
Beispiel
M1 =
{x ∈ R2+ : x1 + 2x2 ≦ 3, kxk ≦ 2}
M2 =
{x ∈ R2+ : x1 ∈ N}
•
−2
•
0
M2
M1
•
•
1
•
2
•
3
•
x1
•
−2
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
57
5.5. Lineare Gleichungssysteme
Einführung
Beispiele
a)
2x1
x1
−
+
3x2
x2
=
=
−1
2
b)
x1
x1
+
+
x2
x2
=
=
4
2
c)
x1
−2x1
−
+
x2
2x2
=
=
1
−2
Probleme:
◮ System lösbar oder nicht?
◮ Verfahren zum Auffinden von Lösungen
◮ Darstellung von mehrdeutigen Lösungen
Dazu gibt es:
◮ Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix)
◮ das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
58
5. Lineare Algebra
5.5. Lineare Gleichungssysteme
Allgemeines lineares Gleichungssystem
◮ Ein System von Gleichungen
a11 x1
a21 x1
+
+
a12 x2
a22 x2
+
+
am1 x1
+
am2 x2
+
···
···
..
.
···
+
+
a1n xn
a2n xn
=
=
b1
b2
+
amn xn
=
bm
◮ heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten.
◮ Die aij und bi heißen Koeffizienten des Gleichungssystems.
◮ In Matrixform:
Ax = b
◮ Lösungsmenge:
L = {x :
Etschberger (HS Weingarten)
Ax = b}
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
59
5.5. Lineare Gleichungssysteme
Lösungsdarstellung
◮ Beispiel für Enddarstellung:
x1
x2
+
+
x3
3x3
+
2x4
=
=
4
7
⇔
Restmatrix
◮ Dabei bezeichnet:
E
Einheitsmatrix
1
0
0
1
1
3
 
x1


4
x
0
2

·
x3  = 7
2
x4
Basisvariablen
xB
R
=b
xN
Nichtbasisvariablen
◮ kann nach Basisvariablen aufgelöst werden:
x1 = 4 − x3 , x2 = 7 − 3x3 − 2x4 (allgemeine Lösung)
◮ In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit
xN =
x3
x4
0
=
0
⇒
xB =
x1
x2
4
=
7
◮ Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger Gleichungssysteme in diese Form
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
60
5. Lineare Algebra
5.5. Lineare Gleichungssysteme
Lösung von LGS
Elementare Umformungen
◮
◮
◮
◮
Das sind Umformungen der Koeffizientenmatrix, die die Lösung nicht
verändern. Erlaubt ist
Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 6= 0
Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile
Vertauschen von Zeilen oder Spalten
Lösungsalgorithmus
◮
◮
Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan: Systematische
Umformungen nach obigem Prinzip, bis
Darstellung der Koeffizientenmatrix in
Einheits- und Restmatrix ensteht
Algorithmus und Lösungsvarianten siehe Vorlesung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
5. Lineare Algebra
Sommersemester 2008
61
5.6. Inverse Matrizen
Invertierung von Matrizen
Definition
◮
◮
◮
◮
Gegeben: n × n-Matrix (quadratisch)
Existiert eine n × n-Matrix X mit AX = XA = E, so heißt X die zu A inverse Matrix.
Schreibweise: X = A−1
⇒ AA−1 = A−1 A = E
Inverse Matrizen und Gleichungssysteme
◮ Falls A−1 existiert, gilt:
Ax = b
⇒
A−1 Ax = A−1 b
◮ Damit existiert genau eine Lösung und zwar:
⇒
Ex = x = A−1 b
x = A−1 b
Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus:
◮ Ansatz:
⇒
⇒
Ax +
Ey = 0
A−1 Ax + A−1 Ey = 0
Ex + A−1 y = 0
◮ Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen folgendermaßen umformen:
(A|E)
E|A−1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
62
6. Lineare Programme
Übersicht
1
Grundlegendes
2
Aussagenlogik
3
Mengen
4
Folgen und Reihen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
Lineare Programme – Einführung
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Standardformen
Analytische Loesung linearer Optimierung
7
Komplexe Zahlen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
63
Lineare Programme – Einführung
Lineare Programe: Beispiel
Ein holzverarbeitender Betrieb möchte ein Produktionsprogramm für
Spanplatten festlegen. Dabei sind folgende Restriktionen zu berücksichtigen:
◮
Es werden zwei Typen von Spanplatten hergestellt:
Typ A in der Quantität x1 für den Außenbereich und Typ B in der Quantität
x2 für den Innenbereich. Zur Herstellung der Spanplatten werden zwei
Arten von Furnierblättern F1 bzw. F2 unterschiedlicher Qualität benutzt. Die
Spanplatten werden mittels einer Presse, in der die Furniere verleimt
werden, hergestellt.
◮
Zur Herstellung einer Platte vom Typ A wird ein Blatt von F1 und zwei
Blätter von F2 benötigt, während bei Typ B drei Blätter von F1 und ein Blatt
von F2 benutzt werden.
◮
Von F1 bzw. F2 stehen 1500 bzw. 1200 Stück zur Verfügung.
◮
Die Presse steht insgesamt 700 Minuten zur Verfügung, wobei zur
Verleimung beider Plattentypen pro Stück jeweils eine Minute benötigt
wird.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
64
6. Lineare Programme
Lineare Programme – Einführung
Lineare Produktionsplanung: Beispiel
Tabellarische Darstellung der Problemdaten:
Produkt
Menge
Einheiten
von F1
Typ A
Typ B
x1
x2
1
3
2
1
1
1
1500
1200
700
Kapazitäten
Einheiten
von F2
Pressminuten
pro Stück
Zusammenhang von Daten und Variablen durch System von linearen Ungleichungen
beschreibbar:
Restriktionen:
(1)
(2)
(3)
x1
2x1
x1
+
+
+
3x2
x2
x2
≦
≦
≦
1500
1200
700
x1 , x2 ≧ 0
(4)(5)
Etschberger (HS Weingarten)
(Vorrat F1 )
(Vorrat F2 )
(Kapazität Presse)
(nicht-negative Mengen)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
65
Lineare Programme – Einführung
Lineare Produktionsplanung: Beispiel,
Zulässigkeitsbereich
Begriffe und Beobachtungen
◮
Jede (x1 , x2 )-Kombination, die alle Restriktionen (1) bis (5) erfüllt,
bezeichnet man als zulässige Lösung.
◮
Die Menge
 x1


∈ R2+ : x1 + 3x2 ≦ 1500;

x2
Z=
2x1 + x2 ≦ 1200;



x1 + x2 ≦ 700
nennt man Zulässigkeitsbereich des Problems.
◮







Wegen Restriktion x ∈ R2+ : Erster Quadrant des Koordinatensystems
genügt für graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereiches.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
66
6. Lineare Programme
Lineare Programme – Einführung
Beispiel: Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich
◮
Ungleichung (1) mit x1 + 3x2 ≦ 1500 entspricht dreieckigem Bereich in R2+
◮
Begrenzung durch die drei Geraden mit x1 + 3x2 = 1500, x1 = 0 und
x2 = 0
◮
Also: Grenzpunkte (0, 500), (1500, 0), (0, 0)
◮
Analog für die übrigen Nebenbedingungen
(1)
x1 + 3x2 ≦ 1500
x1 , x2 ≧ 0
(2)
x2
1200
6
2x1 + x2 ≦ 1200
x1 , x2 ≧ 0
(3)
x2
x2 6
700
x1 + x2 ≦ 700
x1 , x2 ≧ 0
6
500
-
-x
x
1500 1
600
1
700
-x
1
Beispiel: Graphische Darstellung der Restriktionen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
67
Lineare Programme – Einführung
Beispiel: Graphische Darstellung Zulässigkeitsbereich
x2
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1200 •
1000 •
◮
Die gesamte zulässige Lösungsmenge Z
ergibt sich dann aus dem Durchschnitt der
angegebenen Bereiche.
◮
Alle (x1 , x2 )-Kombinationen im mit Z
gekennzeichneten Bereich erfüllen damit
die vorgegebenen Restriktionen.
(2)
700 •
500 •
•
Z
(1)
•
(3)
•
•
•
600 700
•
1000
•
1500
x1
Graphische Darstellung des Zulässigkeitsbereiches von Bsp. 1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
68
6. Lineare Programme
Lineare Programme – Einführung
Mögliche Fälle für Z
1. Z = ∅, d.h., es existiert keine zulässige (x1 , x2 )-Kombination.
2. |Z| = 1, d.h., es existiert genau eine zulässige (x1 , x2 )-Kombination. Dieser
Fall tritt meist dann auf, wenn die Restriktionen in Form von Gleichungen
formuliert werden (Abschnitt 3.3).
3. |Z| > 1, d.h., es existieren mehrere zulässige Lösungen (Beispiel 1).
◮
In den ersten beiden Fällen ist durch die Restriktionen das
Planungsergebnis festgelegt.
- Im ersten Fall können nicht alle Restriktionen gleichzeitig erfüllt werden,
- im zweiten Fall gibt es eine einzige Lösung, die alle Restriktionen erfüllt.
◮
Im letzten Fall entsteht weiterer Planungsbedarf, da für die Modellvariablen
noch Spielraum besteht. Um diesen Spielraum weiter einzuschränken, ist
eine Zielsetzung zu formulieren, die die zulässigen Lösungen bewertet.
Kann diese Zielsetzung z als lineare Funktion der Modellvariablen
modelliert werden, so entsteht ein lineares Optimierungsproblem mit der
Zielfunktion z(x) und Nebenbedingungen in Form von Gleichungen
und/oder Ungleichungen.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
69
Lineare Programme – Einführung
Lineare Produktionsplanung: Beispiel
Der holzverarbeitende Betrieb aus Beispiel 1 verfolgt die Zielsetzung der
Gewinnmaximierung. Die Spanplatten vom Typ A bringen 4 €, die vom
Typ B 5 € Gewinn pro Stück.
Zusammen mit den Restriktionen aus Beispiel 1 kann nun ein
mathematisches Modell in Form eines linearen Optimierungsproblems
formuliert werden.
Zielfunktion:
z(x1 , x2 ) = 4x1 + 5x2
−→ max
Nebenbedingungen:
(1)
x1 + 3x2 ≦ 1500
(2) 2x1 +
x2 ≦ 1200
(3)
x1 +
x2 ≦ 700
(4)(5)
Etschberger (HS Weingarten)
x1 , x2 ≧ 0
(Gewinnmaximierung)
(Vorrat F1 )
(Vorrat F2 )
(Kapazität Presse)
(nicht-negative Mengen)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
70
6. Lineare Programme
Lineare Programme – Einführung
Beispiel: Graphische Lösung
Um das Problem graphisch zu lösen, muss die Zielfunktion als zusätzliches
Planungselement in die Graphik der zulässigen Lösungen aufgenommen
werden. Zu diesem Zweck werden Isogewinngeraden dargestellt. Für einen
Gewinn in Höhe von c erhält man
c 4
x2
z(x1 , x2 ) = 4x1 + 5x2 = c bzw. x2 = − x1 .
5 5
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1000
◮
Graphische Darstellung der
Optimallösung im Beispiel
◮
Nur der Achsenabschnitt = c/5
hängt vom Wert c ab, die Steigung
= −4/5 jedoch nicht.
300
400
500 B
C
D
Z
A
c=0
500 E
c = 2000
Etschberger (HS Weingarten)
1500 x1
1000
c = 4000
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
71
Lineare Programme – Einführung
Beispiel 2, Optimale Lösung
◮
Im Beispiel maximaler c-Wert im Schnittpunkt der Geraden für die
Nebenbedingungen (1) und (3), d.h. in (x1 , x2 ) = (300, 400).
◮
Ein höherer Zielfunktionswert als
z(300, 400) = 4 · 300 + 5 · 400 = 3200
kann unter Einhaltung der Restriktionen nicht erreicht werden. Man
spricht von einer optimalen Lösung.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
72
6. Lineare Programme
Lineare Programme – Einführung
Beispiel 3
x2
Sind die Gewinnbeiträge der Spanplatten aus Beispiel 1 für beide Typen gleich 4.- € pro Stück,
d.h. z(x1 , x2 ) = 4x1 + 4x2 , so erhält man die graphische Lösung (s.u.)
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1000 •
500 • B
C
•
D
Z
•
•
•
A
500
•
•
E
1000
•
1500
x1
c = 2800
c=0
Graphische Lösung von Beispiel 3
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
73
Lineare Programme – Einführung
Beispiel 3, Bereich optimaler Lösungen
◮ In diesem Fall kein eindeutiges Optimum
◮ Bereich Z∗ optimaler Lösungen; beschreibbar durch folgende Menge:
x
1
∈ R2+ : 4x1 + 4x2 = 2800, x1 ∈ [300, 500]
Z∗ =
x2
Z∗ entspricht der durch die Punkte C = (300, 400) und D = (500, 200) begrenzten
Strecke.
Zusammenfassung für graphische Lösung linearer Optimierungsprobleme (mit
nicht-konstanter Zielfunktion):
◮ Optimale Lösungen liegen stets auf dem Rand des zulässigen Bereiches Z
beziehungsweise in Ecken“ von Z.
”
◮ Mindestens eine Ecke gehört zur optimalen Lösung.
◮ Entspricht Menge der Optimallösungen genau einer Ecke von Z ⇐⇒ ist
Optimallösung eindeutig.
◮ Gibt es zwei optimale Ecken“ , so ist die Menge aller Punkte der durch diese Ecken
”
festgelegten Strecke optimal.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
74
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Komplexitätsreduktion durch Aggregation
Unternehmen
Anzahl Varianten
Barilla
Zara
Pro Woche werden 800 verschiedene Pasta-Sorten produziert
12.000 verschiedene Produkte werden pro Jahr entworfen und produziert
> 1.000 verschiedene Varianten pro Tag
Jede Bestellung individuell
BMW
Airbus
Quelle: HBS Case 0-695-065; Insead (2000); Press Clippings
Aggregierte Planung
Es werden keine Details geplant, wie z.B. einzelne Produkte, genauer Mitarbeitereinsatz
oder einzelne Maschinenkapazitäten, sondern diese werden in einige wenige Größen, wie
z.B. Produktgruppen oder Gesamtzahl der Mitarbeiter, aggregiert
Beispiele
◮
◮
◮
◮
◮
Kapazitätsplanung in der Automobilindustrie
Kapazitätsplanung der Nachfrage in Hotels
Planung der Beraterkapazitäten in Unternehmensberatungen
Planung von Transportkapazitäten in Logistiknetzwerken
Planung von Flottenkapazitäten in Luftfahrtunternehmen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
75
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Beispiel aggregierte Planung
Produkt
Personalbedarf
Stunden/Tisch
Lagerhaltungskosten
€/Monat/Tisch
Fremdvergabekosten
€/Tisch
Januar
[Stück]
Februar
[Stück]
Schreibtisch
Konferenztisch
Küchentisch
Esszimmertisch
Wohnzimmertisch
5,40
10,00
7,00
12,00
15,00
29,40
40,00
31,00
42,00
59,00
378,00
700,00
560,00
960,00
1.200,00
400
100
1.000
900
600
220
80
900
500
300
Nachfrage
März
[Stück]
310
90
800
800
500
April
[Stück]
70
130
500
400
400
◮ Durchschnittlicher Personalbedarf [Stunden/Tisch]: PB
◮ Arbeitszeit pro Mitarbeiter pro Monat [Stunden/Monat]: AZ = 144 Stunden/Monat
PB
◮ Produktionskoeffizient [Mitarbeiter/Tisch]: PK = AZ
◮ Durchschnittlicher Lagerhaltungskostensatz [€/Monat/Tisch]: cI
◮ Durchschnittlicher Fremdvergabekostensatz [€/Tisch]: cS
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
76
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Beispiel aggregierte Planung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
77
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Beispiel aggregierte Planung: Kostenentwicklung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
78
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Aggregierte Planung: Einfache Pläne
Einfache Pläne: Grundidee
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
79
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Einfache Pläne: Bedarfsverfolgung
Monat
Personalbedarf
[Mitarbeiter]
Dezember
Januar
Februar
März
April
(100)
208,33
138,89
173,61
104,17
Mitarbeiterkapazität
[Mitarbeiter]
Einstellungen
[Mitarbeiter]
Entlassungen
[Mitarbeiter]
Lagerbestand
Tische
Summe
Z=
T
X
cw Wt + cH Ht + cF Ft + (cs St ) + cI It+1
t=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
80
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Einfache Pläne: Kapazitätsfixierung
Monat
Personalbedarf
[Mitarbeiter]
Januar
Februar
März
April
208,33
138,89
173,61
104,17
Etschberger (HS Weingarten)
kumulierter
Personalbedarf
[Mitarbeiter]
durchschn.
Personalbedarf
[Mitarbeiter]
Mathematik 1
6. Lineare Programme
MitarbeiterKapazität
[Mitarbeiter]
kumulierte
Mitarbeiterkapazität
Tische
Sommersemester 2008
81
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Einfache Pläne: Kapazitätsfixierung
Monat
Personalbedarf
[Mitarbeiter]
Dezember
Januar
Februar
März
April
(100)
208,33
138,89
173,61
104,17
Mitarbeiterkapazität
[Mitarbeiter]
Einstellungen
[Mitarbeiter]
Entlassungen
[Mitarbeiter]
Lagerbestand
Tische
Summe
Z=
T
X
cw Wt + cH Ht + cF Ft + (cs St ) + cI It+1
t=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
82
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Aggregierte Planung: Optimale Pläne
Bezeichnungen
Modell mit Nebenbedingungen: siehe Vorlesung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
83
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Aggregierte Planung: Optimale Pläne
Lösung des optimalen Plans mit Excel
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
84
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Sensitivitätsanalyse zur aggregierten Planung
Sensitivitätsanalyse der Zielfunktionskoeffizienten
◮ Im Januar stellen wir 56 Mitarbeiter ein. Für jeden fallen Einstellungskosten in Höhe von
10.000 € an. Da die Einstellungen recht kurzfristig erfolgen, könnten die Einstellungskosten
höher als 10.000 € sein. Bis zu welchem Wert der Einstellungskosten würden wir 56
Mitarbeiter einstellen?
◮ Im März werden keine Mitarbeiter entlassen. Wenn wir einen Mitarbeiter im März entlassen
würden, würden Kosten in Höhe von 5.000 €/Mitarbeiter entstehen. Jetzt haben wir erfahren,
dass ein benachbartes Unternehmen ab März dringend Mitarbeiter sucht. Bis zu welchem
Entlassungskostensatz wären wir nicht bereit, Mitarbeiter im März zu entlassen?
◮ Im April könnten Tische bei einem Auftragsfertiger günstig“ gefertigt werden. Ab welchem
”
Fremdvergabekostensatz könnte dies sinnvoll sein?
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
85
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Sensitivitätsanalyse zur aggregierten Planung
Sensitivitätsanalyse der Nebenbedingungen
◮
Im Januar stehen uns 100 Mitarbeiter zur Verfügung. Wir haben
jedoch gerade erfahren, dass fünf der Mitarbeiter gekündigt haben.
Welchen Einfluss haben die Kündigungen auf unsere Kosten?
◮
Wir sind im März von einer Nachfrage von 2.500 Tischen
ausgegangen. Ein Kunde hat nun kurzfristig die Nachfrage für März
um 500 Tische erhöht. Welchen Einfluss hat die Erhöhung der
Nachfrage auf unsere Kosten?
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
86
6. Lineare Programme
Fallstudie LP – aggregierte Planung
Erweiterungen
Rückstellungen
◮
Rückstellungen treten auf, wenn ein Bedarf, der in einer Periode nicht
erfüllt wird, in einer Folgeperiode erfüllt werden kann. Die Kosten
pro zurückgestellter Einheit betragen cp
◮
Zusätzliche Entscheidungsvariablen:
I+
t
I−
t Rückstellungen
Lagerbestand,
Überstunden
◮
Überstunden entsprechen einer Erweiterung der
Produktionskapazität. Überstunden sind jedoch sehr viel teurer als
normale Arbeitsstunden. Die Kosten pro Überstunde betragen co
◮
Zusätzliche Entscheidungsvariablen: Ot Überstunden
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
87
Standardformen
Standardformen
◮
Bei realen Anwendungen: unterschiedlich viele Variablen und
Nebenbedingungen
◮
Deshalb: Modell der linearen Optimierung in allgemeiner Formulierung.
◮
Dazu geht man von n Planungsvariablen x1 , . . . , xn und m
Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen aus.
◮
Das so genannte Standardmaximumproblem besitzt die Form
Standardmaximumproblem
Zielfunktion:
c1 x1
+
c2 x2
Nebenbedingungen:
a11 x1
+ a12 x2
a21 x1
+ a22 x2
..
..
.
.
am1 x1 + am2 x2
Etschberger (HS Weingarten)
+
···
+
+
+
···
···
..
.
···
+
+
+
cn xn
a1n xn
a2n xn
..
.
+ amn xn
x1 , . . . , xn
Mathematik 1
→ max
≦
≦
≦
≧
b1
b2
..
.
bm
0
Sommersemester 2008
88
6. Lineare Programme
Standardformen
Standardformen
Selbes Problem in matrizieller Schreibweise
Standardmaximumproblem
Zielfunktion:
cT x → max
Nebenbedingungen: Ax ≦ b
x ≧ 0
mit
◮
dem Vektor der Zielfunktionskoeffizienten cT = (c1 , . . . , cn ) ,
◮
dem Beschränkungsvektor bT = (b1 , . . . , bm ) ,
◮
der Koeffizientenmatrix der Nebenbedingungen A = (aij )m,n und
◮
dem Vektor der Planungsvariablen xT = (x1 , . . . , xn ).
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
89
Standardformen
Standardformen
Das dazu korrespondierende Standardminimumproblem lautet
Standardminimumproblem
Zielfunktion:
Nebenbedingungen:
c1 x1
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
+
c2 x2
a12 x2
a22 x2
..
.
+ ··· +
+ ··· +
+ ··· +
..
.
am1 x1
+
am2 x2
+ · · · + amn xn ≧ bm
x1 , . . . , xn ≧ 0
cn xn
a1n xn
a2n xn
..
.
→ min
≧ b1
≧ b2
..
.
beziehungsweise in matrizieller Schreibweise:
Zielfunktion:
cT x → min
Nebenbedingungen: Ax ≧ b
x ≧ 0
mit den gleichen Bezeichnungen wie beim Standardmaximumproblem.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
90
6. Lineare Programme
Standardformen
Standardformen
◮
Die Standardprobleme sind durch Multiplikation mit -1 ineinander
überführbar, so dass es für die weiteren Ausführungen zunächst genügt,
das Standardmaximumproblem zu betrachten:
cT x −→ max ⇐⇒ −cT x −→ min
Ax ≦ b ⇐⇒ −Ax ≧ −b
◮
Auch Restriktionen in Gleichungsform können durch die Aufspaltung in
Ungleichungen innerhalb der Standardformen berücksichtigt werden. Mit
aTi = (ai1 , . . . , ain ) gilt:
aTi x = bi
◮
⇐⇒
aTi x ≧ bi
⇐⇒
aTi x ≧ bi
⇐⇒ −aTi x ≦ −bi
und
und
und
aTi x ≦ bi
−aTi x ≧ −bi
aTi x ≦ bi
Beide Standardprobleme können in die sogenannte Normalform überführt
werden, in der nur Gleichungen als Nebenbedingungen auftreten. Diese
Umwandlung wird sich später als vorteilhaft erweisen.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
91
Standardformen
Standardformen
In Matrixschreibweise lautet die Normalform:
Normalform
Zielfunktion:
cT x → max (min)
Nebenbedingungen: Ax = b
x ≧ 0
Zur Umwandlung der Standardprobleme in die Normalform werden
zusätzliche Variablen y1 , . . . , ym eingeführt.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
92
6. Lineare Programme
Standardformen
Standardformen
Das Standardmaximumproblem erhält die Form:
Standardmaximumproblem in Normalform
Zielfunktion:
c1 x1
+
···
+
cn xn
+
0 · y1
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
+
y1
+
0 · y2
···
0 · ym
→
max
b1
b2
+
ym
x1 , . . . , xn
y1 , . . . , ym
=
=
..
.
=
≧
≧
+
Nebenbedingungen:
a11 x1
a21 x1
..
.
am1 x1
+
+
+
···
···
..
.
···
+
+
+
+
y2
..
.
bm
0
0
wobei nun die ursprünglichen Planungsvariablen x1 , . . . , xn als Strukturvariablen und die neu
eingeführten Variablen y1 , . . . , ym als Schlupfvariablen bezeichnet werden.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
93
Standardformen
Standardformen
In matrizieller Schreibweise erhält man:
Standardmaximumproblem in Normalform
Zielfunktion:
cT x → max
Nebenbedingungen: Ax + y = b
x, y ≧ 0
Entsprechend besitzt die matrizielle Normalform eines
Standardminimumproblems die Form:
Standardminimumproblem in Normalform
Zielfunktion:
cT x → min
Nebenbedingungen: Ax − y = b
x, y ≧ 0
Je nach konkreter Problemstellung können die eingeführten
Schlupfvariablen ökonomisch interpretiert werden.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
94
6. Lineare Programme
Standardformen
Standardformen
Beispiel 3.5
(Beispiel 3.2)
Zielfunktion:
z(x1 , x2 ) = 4x1 + 5x2
−→ max
Nebenbedingungen:
(1)
x1 + 3x2 ≦ 1500
(2)
2x1 +
x2 ≦ 1200
(3)
x1 +
x2 ≦ 700
(4)(5)
x1 , x2 ≧ 0
(Gewinnmaximierung)
(Vorrat F1 )
(Vorrat F2 )
(Kapazität Presse)
(nicht-negative Mengen)
(Berechnung der Normalform siehe Vorlesung)
Als Normalform erhält man für das in Beispiel 3.2 beschriebene Problem aus der
Produktionsprogrammplanung:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Zielfunktion:
Standardformen
Sommersemester 2008
95
Standardformen
4x1 + 5x2 −→ max
Nebenbedingungen: (1)
x1 + 3x2 + y1
= 1500
ergibt
(2) Aus den
2x1Nebenbedingungen
+ x2
+ sich
y2 damit für die
= 1200
(3) Schlupfvariablen
x1 + imx2Optimum:
+ y3 = 700
x2 ...
.....
..
(4)–(8)
x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ≧ 0
..
....
.....
..
.. ..
.. ...
..
.... .....
..
..
...
T
..
..
.....
..
.....
..
...
......
.
......
..
.
..... ...
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...
..... ..
..
.....
........
...
1
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..
.. .....
.....
..
...
.....
....
2
......
.. ..
...... .
.. ..
...... ...
.....
.. ...
.....
..... ..
3
.
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...
...
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..... ..
.
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2
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.....
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......
......
......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
....
....
...
•
1000
(Berechnung
Als Lösung
ergab
sich x = (300,
400). siehe Vorlesung)
500 • B
300
400
mit
•
C
D
Z
•
A
•
(1) y = 1500 −
300 − 3 · 400 =
0
(2) y = 1200 − 2 · 300 −
400 = 200
(3) y = 700 −
300 −
400 =
0
A = (0, 0)
B = (0, 500)
C = (300, 400)
D = (500, 200)
E = (600, 0)
• •Restriktionen•(1) und (3) für den
• Vorrat von F1 und die Kapazität
sind im Optimum1500
voll ausgesch
x1 öpft. Vorrat von F2 wird
500 der
E Presse 1000
nicht aufgebraucht, es bleiben y = 200 Einheiten übrig.
c=0
Etschberger (HS Weingarten)
c = 2000
c = 4000
Mathematik 1
Sommersemester 2008
96
6. Lineare Programme
Standardformen
Standardformen
Beispiel 3.6
(Beispiel 3.2)
Zielfunktion:
z(x1 , x2 , x3 ) = 0.1x1 + 0.3x2 + 0.2x3 −→ min (Kostenminimierung)
Nebenbedingungen:
(1)
2x1 + x2 +
(2)
x1 + 2x2 +
(3)
x1 + x2 +
(4)(5)(6)
x1 , x2 , x3
3x3 ≦ 2
4x3 ≧ 2
x3 = 1
≧0
(Schwefelgehalt)
(Heizwert)
(Mischungsbedingung)
(nicht-negative Anteile)
(Eliminierung von x1 und Berechnung der Schlupfvariablen siehe Vorlesung) Das
Mischungsproblem aus Beispiel 3.4 lautet in Normalform
0.1 + 0.2x2 + 0.1x3 −→ min
Zielfunktion:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
97
Nebenbedingungen:
(1)
(2)
(3)
6. Lineare Programme
−
x3 −
x2
x2
−x2
+
−
Standardformen
y1
3x3
x3
Typische Anwendungsgebiete
(4)-(8)
−y2
−y3
=
=
=
0
1
−1
x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ≧ 0
Produktionsprogrammplanung
∗
∗
Lösung: (x2 , x3 ) = (0.25, 0.25). Schlupfvariablen y1 und y2 im Optimum:
(1) 3.2):
y1 =Gewinnmaximale
0.25 − 0.25 = 0
Problemstellung (Beispiel
Herstellung von n
(2) y2 = 0.25 + 3 · 0.25 − 1 = 0
Produkten mit m Produktionsfaktoren
Damit werden der maximale Schwefelgehalt sowie der minimale Heizwert genau erreicht.
Modell:
xj
bi
aij
cj
=
=
=
=
Produktionsquantität von Produkt j (j = 1, . . . , n)
Kapazität des Produktionsfaktors i (i = 1, . . . , m)
Verbrauch von Produktionsfaktor i für eine Einheit von Produkt j
Deckungsbeitrag/Gewinn für eine Einheit von Produkt j
Zielfunktion:
Nebenbedingungen:
c1 x1
a11 x1
..
.
+ ··· +
+ ··· +
..
.
cn xn
a1n xn
..
.
→ max
≦ b1
..
.
am1 x1 + · · · + amn xn ≦ bm
x1 , . . . , xn ≧ 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
98
6. Lineare Programme
Standardformen
Typische Anwendungsgebiete
Mischungsproblem
Problemstellung (Beispiel 3.4): Kostenminimale Mischung von n
Substanzen aus m Rohstoffen
Modell:
xj
bi
aij
cj
= Mischungsanteil von Substanz j (j = 1, . . . , n)
= Mindestanteil von Rohstoff i in der Mischung (i = 1, . . . , m)
= Anteil von Rohstoff i an einer Einheit von Substanz j
= Kosten für eine Einheit von Substanz j
Zielfunktion:
c1 x1 + · · · + cn xn → min
Nebenbedingungen: a11 x1 + · · · + a1n xn ≧ b1
..
..
..
..
.
.
.
.
am1 x1 + · · · + amn xn ≧ bm
x1
+ ··· +
xn
= 1
x1 , . . . , xn ≧ 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
99
Standardformen
Typische Anwendungsgebiete
Aufteilungsproblem
Problemstellung: Ertragsmaximale Aufteilung von Budgets und Kapazitäten auf
n Aktivitäten
Modell:
xj =
K =
H =
pj =
qj =
cj =
Aktivitätsniveau j (j = 1, . . . , n)
verfügbares Budget für alle Aktivitäten
verfügbare Kapazität für alle Aktivitäten
Kosten für eine Einheit von Aktivität j
maximaler Prozentsatz für Aktivitätsniveau j
Ertrag für eine Einheit von Aktivität j
Zielfunktion:
c1 x1
Nebenbedingungen: p1 x1
x1
Etschberger (HS Weingarten)
+
+
+
··· +
··· +
··· +
cn xn
pn x n
xn
xj
x1 , . . . , xn
Mathematik 1
→ max
≦ K
≦ H
q
≦ 100j · H (j = 1, . . . , n)
≧ 0
Sommersemester 2008
100
6. Lineare Programme
Standardformen
Typische Anwendungsgebiete
Transportproblem
Problemstellung: Kostenminimaler Transport von m Angebotsorten zu n Bedarfsorten
Modell:
xij =Transportquantität von Angebotsort i nach Bedarfsort j (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n)
ai =Angebot am Ort i (i = 1, . . . , m)
bj =Bedarf am Ort j (j = 1, . . . , n)
cij =Transportkosten einer Einheit von Angebotsort i nach Bedarfsort j
n
m X
X
cij xij → min
Zielfunktion:
Nebenbedingungen:
i=1 j=1
n
X
xij
≦
ai
(i = 1, . . . , m)
xij
≧
bj
(j = 1, . . . , n)
j=1
m
X
i=1
x11 , . . . , xmn ≧ 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
101
Standardformen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Definitionen
◮
Ein Vektor xT = (x1 , . . . , xn ), der alle Nebenbedingungen erfüllt,
heißt zulässige Lösung.
◮
Die Menge aller zulässigen Lösungen Z = {x ∈ Rn : x erfüllt alle
Nebenbedingungen} nennt man Zulässigkeitsbereich.
◮
Jeder zulässige Vektor x ∈ Z, der die Zielfunktion maximiert
beziehungsweise minimiert, heißt optimale Lösung.
◮
Die Menge aller optimalen Lösungen Z∗ = {x ∈ Z : cT x = optimal}
wird als Optimalbereich bezeichnet.
Wegen Z∗ ⊂ Z ist für die Existenz von zulässigen
beziehungsweise optimalen Lösungen von drei Fällen auszugehen.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
102
6. Lineare Programme
Standardformen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
◮
Z = ∅ =⇒ Z∗ = ∅
Wenn nicht alle Nebenbedingungen gleichzeitig erfüllt werden
können, so existiert keine zulässige und damit auch keine optimale
Lösung.
Beispiel 3.7
x2
Es gibt keinen Vektor
= (x1 , x2 ) ≧
(0, 0), der die Nebenbedingungen
x1 + x2
≦
−x1 − 2x2 ≦
x1 , x2 ≧ 0
6
2
xT
Z=∅
1
1
−3
1
gleichzeitig erfüllt.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
2
3 x1
Sommersemester 2008
103
Standardformen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
◮
Z 6= ∅, Z∗ = ∅
Es existieren zulässige, aber keine optimalen Lösungen.
Beispiel 3.8
x2 6
x1 +
x2
→ max
x1 + 2x2 ≧ 3
3x1 + 2x2 ≧ 6
x1 , x2 ≧ 0
2
1
Z 6= ∅
Z∗ = ∅
1
2
x1 + x2 = 0
x1
Der Zulässigkeitsbereich Z ist nach rechts oben“ unbeschränkt. Die Zielfunktion
”
z(x1 , x2 ) = x1 + x2 kann beliebig nach rechts oben verschoben werden.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
104
6. Lineare Programme
Standardformen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
◮
Z 6= ∅, Z∗ 6= ∅
Es existieren zulässige und optimale Lösungen.
Beispiel 3.9
x2 6
x1 + x2
2
→ min
x1 − x2 ≦ 2
2x1 + x2 ≧ 3
x1 , x2 ≧ 0
Z 6= ∅
s
A 2
x1 + x2 = 0
x1
Der Zulässigkeitsbereich
ist”nach unten“ beschränkt. Die Zielfunktion wird im
1.5
x1
optimal mit dem Zielfunktionswert x1 + x2 = 1.5.
=
Punkt A mit
0
x2
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
105
Standardformen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Allgemein gilt:
◮
Z ist Durchschnitt endlich vieler Hyperebenen (falls die Nebenbedingungen
in Gleichungsform sind) und/oder Halbräume (falls die Nebenbedingungen
in Ungleichungsform sind) und damit ein konvexes Vieleck (beschränkt
oder unbeschränkt).
◮
Existiert genau eine optimale Lösung x∗ , so stellt diese einen Eckpunkt des
Zulässigkeitsbereiches Z dar. Ein Eckpunkt wird im zweidimensionalen Fall
durch den Schnitt von Geraden, im dreidimensionalen Fall von Ebenen und
allgemein im n-dimensionalen Raum von Hyperebenen definiert. Die
Hyperebenen sind die Lösungsmengen der in Gleichungsform erfüllten
Nebenbedingungen.
◮
Existieren mehrere optimale Lösungen beziehungsweise Ecken x∗1 , . . . , x∗k ,
so ist auch jede der folgenden Konvexkombinationen optimale Lösung:
λ1 x∗1 + . . . + λk x∗k
mit
k
X
λi = 1; λ1 , . . . , λk ≧ 0
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
106
6. Lineare Programme
Standardformen
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Übungsaufgabe
(nicht im Buch):
Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem:
Zielfunktion:
Nebenbedinungen:
−x1 + c2 x2
→
max
x1 − x2
x1 , x2
≧
≧
−1
0.
Ermitteln Sie die Optimallösung für c2 = 2, c2 = 1, c2 =
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
1
2
und c2 = 0.
Sommersemester 2008
107
Standardformen
Grundidee eines Lösungsverfahrens
◮
Ermittelt man alle Ecken des zulässigen Bereichs und berechnet man
anschließend die entsprechenden Zielfunktionswerte, so kann die
optimale Lösung durch Vergleich der Zielfunktionswerte gewonnen
werden.
◮
Der Simplexalgorithmus folgt diesem Prinzip und sucht die
Eckenmenge in effizienter Weise nach Optimallösungen ab.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
108
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Vorueberlegungen
◮
Zielfunktion
z(x1 , . . . , xn ) = c1 x1 + · · · + cn xn = cT x −→ max
wird als Gleichung (Zielgleichung) geschrieben:
c1 x1 + · · · + cn xn = c,
◮
c −→ max
Ausgangspunkt für die Darstellung: Maximumproblem in
Normalform mit Struktur- und Schlupfvariablen:
x
cT x −→ max mit Ax + Ey = (A, E)
= b, x ≧ 0, y ≧ 0
y
mit c, x ∈ Rn ; b, y ∈ Rm , sowie A als m × n-Matrix, E als
(m × m)-Einheitsmatrix
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
109
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Vorüberlegungen
◮
x
n+m
Zulässige Lösung
∈ R+
eines linearen
y
Optimierungsproblems
heißt Basislösung, wenn es m Komponenten
x
von
mit folgenden zwei Eigenschaften gibt:
y
- Die zugehörigen m Spaltenvektoren aus der Matrix (A, E) sind linear
unabhängig und
x
sind gleich null
- die restlichen n Komponenten von
y
◮
Diese m Variablen nennt man Basisvariablen, die übrigen n Variablen
Nichtbasisvariablen.
◮
In einem Maximumproblem in Normalform mit der Zusatzbedingung
b ≧ 0 erhält man immer eine Ausgangs-Basislösung:
Die Strukturvariablen x1 , . . . , xn werden gleich Null gesetzt und die
Schlupfvariablen y1 , . . . , ym erhalten die Werte b1 , . . . , bm .
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
110
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Vorüberlegungen
Allgemein:
Beispiel 3.2:
cT x → max
4x1
x1
2x1
x1
Ax + y = b
+5x2 → max
+3x2
+x2
+x2
+y1
+y2
+y3
= 1500
= 1200
= 700,
x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ≧ 0
x, y ≧ 0
Ausgangs-Basislösung:
(xT , yT ) = (0T , bT )
(xT , yT ) = (0, 0, 1500, 1200, 700)
Nichtbasisvariablen:
x
x1 , x2
Basisvariablen:
y
y1 , y2 , y3
Zielfunktionswert: c = 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
111
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Vorüberlegungen
◮
Zentral ist die Äquivalenz von Basislösung und Eckpunkten des
Zulässigkeitsbereichs Z.
Es gilt:
x
ist Basislösung
y
◮
⇐⇒
x ist Eckpunkt von Z
Damit kann das Verfahrensprinzip des Simplexalgorithmus
beschrieben werden:
- Ausgehend von der Anfangs-Basislösung beziehungsweise Ecke geht
man zur nächsten Basislösung beziehungsweise Ecke über.
- Dabei wird ähnlich wie bei der Lösung linearer Gleichungssysteme
eine Basistransformation durchgeführt (Basisvariable wird zur
Nichtbasisvariable und umgekehrt).
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
112
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus im Beispiel
◮
x2
Ausgangspunkt des Simplexalgorithmus
für das Beispiel 3.2 ist die Basislösung
.
.
.
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•
(x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ) = (0, 0, 1500, 1200, 700)
1000
mit dem Zielfunktionswert 0
300
400 ◮
500
also startet der Algorithmus im
Koordinatenursprung.
•
Z
0
500
1000
1500
x1
◮
Mit Hilfe der Zielfunktion 4x1 + 5x2 erkennt man, dass der
Zielfunktionswert in x2 -Richtung stärker ansteigt als bei entsprechender
Bewegung in x1 -Richtung.
◮
Damit entscheidet man sich für x2 als neue Basisvariable.
◮
y1 wird zur Nichtbasisvariablen.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
113
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus im Beispiel
◮
Basisvariablen x2 , y2 , y3 in Abhängigkeit der Nichtbasisvariablen x1 , y1 :
1
1
(1) x1 + 3x2 + y1 = 1500 ⇒ x2 = 500 − x1 − y1 .
3
3
◮
◮
◮
Setzt man x2 in die übrigen Nebenbedingungen ein und löst nach der
entsprechenden Basisvariablen y2 bzw. y3 auf, so ergibt sich
(2) 2x1 + 500 − 31 x1 − 31 y1 + y2 = 1200 ⇒ y2 = 700 − 35 x1 + 31 y1
(3) x1 + 500 − 13 x1 − 31 y1 + y3 = 700 ⇒ y3 = 200 − 23 x1 + 31 y1 .
Für die Zielfunktion erhält man
1
5
7
1
c = 4x1 + 5 500 − x1 − y1 = 2500 + x1 − y1 .
3
3
3
3
Durch Nullsetzen der Nichtbasisvariablen x1 und y1 erhält man die neue
Basislösung (x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ) = (0, 500, 0, 700, 200) mit den Basisvariablen
x2 , y2 , y3 , den Nichtbasisvariablen x1 , y1 und dem Zielfunktionswert 2500.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
114
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus im Beispiel
◮
Mit Hilfe eines Tableaus geht dies alles übersichtlicher:
Starttableau:
Basisvariablen:
y1 , y2 , y3
Variable x1 x2 y1 y2 y3 Wert
−4 −5
ZF:
1
NB:
2
1
3
4
0
0
0
0
3
1
0
0
1500
2
1
0
1
0
1200
1
1
0
0
1
700
Nichtbasisvariablen:
x1 , x2
Basislösung:
(0, 0, 1500, 1200, 700)
ZF-Wert c = 0
◮
Erste Tableauzeile: Zielfunktion
◮
Dies entspricht der Zielgleichung c = 4x1 + 5x2 bzw. c − 4x1 − 5x2 = 0.
◮
Für die zu maximierende Variable c keine Spalte im Tableau, da sie für
einen Basistausch nicht in Frage kommt.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
115
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Pivotelement
◮
Mit der Wahl des Pivotelementes ist festgelegt, welche
Nichtbasisvariable zur Basisvariablen wird und welche bisherige
Basisvariable zu einer Nichtbasisvariablen wird.
- Festlegung der Pivotspalte
· Ausgewählt wird die Nichtbasisvariable, die pro Einheit den
Zielfunktionswert c maximal erhöht, das heißt es wird der kleinste
(negative) Wert in der Zielfunktionszeile des Tableaus gesucht.
· Im Beispiel ist dies die Variable x2 , die eine Erhöhung um 5 pro Einheit
bewirkt.
- Festlegung der Pivotzeile
· Ausgewählt wird die Zeile, die einen Engpass für die Erhöhung der
ausgewählten Nichtbasisvariable darstellt.
· Im Tableau werden dazu die Quotienten zwischen den Eintragungen der
letzten Spalte und der Pivotspalte gebildet, also 1500
= 500, 1200
= 1200
3
1
700
und 1 = 700.
· Das Minimum dieser Quotienten bestimmt die Pivotzeile, im Beispiel die
Zeile 2.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
116
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Beispiel: 1. Folgetableau
◮
Durch elementare Zeilenumformungen wird nun wie beim
Gaußalgorithmus die Basistransformation vorgenommen und das daraus
resultierende Folgetableau erstellt. Die dazu notwendigen Rechenschritte
werden im Tableau in der Spalte Operation“ kenntlich gemacht.
”
Folgetableau 1:
Basisvariablen:
Variable
x1 x2 y1 y2 y3 Wert Operation x2 , y2 , y3
Nichtbasisvariablen:
7
5
5
ZF: 5 − 3
0
0
0 2500 1 + 3 2 x1 , y1
3
Basislösung:
1
1
1
1
0
0
NB: 6
500
2
(0, 500,
3
3
3
200)
0, 700,
0
5
0 − 31
1
0
7
700 3 − 31 2 Ecke:
3
500
2
0 − 31
0
1
8
200 4 − 31 2 ZF-Wert
3
c = 2500
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
117
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Beispiel: 1. Folgetableau
◮
In ausführlicher Schreibweise erhält man für die Zielfunktionsvariable
c bzw. die Basisvariablen aus dem Tableau:
ZF:
c = 2500 + 73 x1 − 53 y1
NB: x2 = 500 − 31 x1 − 13 y1
y2 = 700 − 53 x1 + 31 y1
y3 = 200 − 23 x1 + 31 y1
◮
◮
◮
◮
Für x1 = y1 = 0 ergibt sich offenbar die angegebene Basislösung, für
x1 > 0 und/oder y1 > 0 verändert sich die Lösung.
Für x1 = 1, y1 = 0 steigt der Zielfunktionswert c, während die Werte
für x2 , y2 , y3 abnehmen.
Für x1 = 0, y1 = 1 nimmt c ab.
Also wird x1 als Basisvariable ausgewählt.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
118
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Beispiel: 2. Folgetableau
◮
◮
◮
Im Tableau findet dies in der Wahl des Pivotelements Niederschlag:
Der kleinste Wert − 73 in der Zielfunktionszeile des Tableaus führt zur
Auswahl der Spalte für x1 als Pivotspalte.
700 500
200
< 5/3
, 1/3 entspricht die Zeile 8 der Pivotzeile.
Wegen 2/3
Folgetableau 2:
Variable
x1 x2
y1 y2
y3 Wert
ZF:
9
0
0
1
2
0
7
2
3200
NB:
10
0
1
1
2
0 − 21
400
11
0
0
1
2
1 − 25
200
12
1
0 − 12
3
2
300
0
Etschberger (HS Weingarten)
Basisvariablen:
x1 , x2 , y2
Nichtbasisvariablen:
Operation y , y
1
3
Basisl
ösung:
5 + 72 8
(300,400,0,200,0)
300
6 − 12 8 Ecke: 400
ZF-Wert: 3200
5
7 −
3
2
2
8
8
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
119
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Beispiel: 2. Folgetableau
◮
In ausführlicher Schreibweise ergibt sich:
ZF:
c = 3200 − 12 y1 − 27 y3
NB: x2 = 400 − 21 y1 + 21 y3
y2 = 200 − 12 y1 + 25 y3
x1 = 300 + 12 y1 − 23 y3
◮
◮
◮
◮
Man erkennt an den Gleichungen sofort, dass mit y1 > 0 bzw. y3 > 0
der Zielfunktionswert nur verringert werden kann.
Am Tableau erkennt man dies daran, dass in der Zielfunktionszeile
kein negativer Wert vorhanden ist.
Der Algorithmus wird an dieser Stelle abgebrochen. Eine weitere
Basistransformation würde den Zielfunktionswert verschlechtern.
Wir haben das Optimum erreicht.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
120
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, allgemeine Darstellung
Ausgangspunkt dabei: Ein Maximumproblem in Normalform mit der zusätzlichen
Bedingung b ≧ 0. (Dies sichert die erste Basislösung.)
1. Starttableau
Var
x1
...
xj
...
xn
y1
. . . yi
. . . ym
Wert
ZF
−c1
...
−cj
...
−cn
0
...
0
...
0
c=0
NB
a11
..
.
ai1
..
.
am1
a1j
..
.
. . . aij
..
.
. . . amj
a1n
..
.
. . . ain
..
.
. . . amn
1
..
.
0
..
.
0
...
..
.
...
0
..
.
1
..
.
0
...
0
..
.
0
..
.
1
b1
..
.
bi
..
.
bm
...
...
...
...
..
.
...
y1 , . . . , ym
x1 , . . . , xn
(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) = (0, ..., 0, b1 , ..., bm )
c=0
Basisvariablen:
Nichtbasisvariablen:
Basislösung:
Zielfunktionswert:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
121
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, allgemeine Darstellung
2. Eckenaustausch bzw. Basistransformation bei gegebener Basislösung
a) Wahl der Pivotspalte j aus
min
ν=1,...,n
{−cν : −cν < 0} = −cj
Die Pivotspalte wird durch die Nichtbasisvariable bestimmt, die pro Einheit die größte
Steigerung des Zielfunktionswertes bewirkt. Diese Variable wird in die Basislösung
aufgenommen.
b) Wahl der Pivotzeile i aus
bµ
min
: aµj > 0
µ=1,...,m aµj
Die Pivotzeile i wird durch den kleinsten Quotienten der Elemente aus der Wertspalte
bµ und den positiven Koeffizienten aus der Pivotspalte aµj , µ = 1, . . . , m festgelegt.
Durch diese Wahl der Pivotzeile wird garantiert, dass xj unter Einhaltung aller
Restriktionen maximal erhöht wird. Es wird damit ebenfalls festgelegt, welche bisherige
Basisvariable zur Nichtbasisvariable wird. Existiert kein positiver Koeffizient aµj , gibt
es keine Beschränkung und damit keine optimale Lösung.
Durch a) und b) erhält man das Pivotelement aij .
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
122
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, allgemeine Darstellung
c) Berechnung des 1. Folgetableaus (dabei j ∈ {1, . . . , n}):
Berechne (nach Gaußalgorithmus)
zeilenweise neues Tableau
xT , yT
Wert
ZF
−ĉT
ĉ
NB
Â
b̂
wie folgt:
i
h
i
1 h
i-te Zeile von A, E b
- i-te Zeile von Â b̂ =
aij
h
i
- µ-te Zeile von Â b̂ =
i
i a h
h
µj
i-te Zeile von A, E b
µ-te Zeile von A, E b −
aij
Wert
i
z}|{ −cj h
T
T
T
i-te Zeile von A, E b
−ĉ | ĉ
- [ |{z}
= −c , 0 0 −
aij
m + n Komponenten
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
123
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, allgemeine Darstellung
3. Endtableau
mit
xT , yT
Wert
ZF
−c̃T
c̃
- −c̃ > 0
NB
Ã
b̃
- Ã enthält alle Basisvektoren.
- b̃ > 0
nach endlich vielen Schritten analog 1) und 2).
◮
Die Lösungswerte für die Strukturvariablen x∗1 , . . . , x∗n des
Optimierungsproblems liest man aus der b̃-Spalte des Endtableaus
ab, wobei die Nichtbasisvariablen gleich Null gesetzt werden.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
124
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Sonderfälle und Anmerkungen
◮
Ist die Bedingung b ≧ 0 verletzt, d.h., es existiert ein bi < 0, so kann die
bisher aufgezeigte Konstruktion einer Ausgangs-Basislösung nicht
durchgeführt werden. In einer graphischen Darstellung bedeutet dies, dass
der Ursprung des Koordinatensystems nicht im Zulässigkeitsbereich Z liegt.
◮
Um eine zulässige Ausgangs-Basislösung zu finden, kann entweder der
duale Simplexalgorithmus oder die Zwei-Phasen-Methode benutzt werden.
◮
Sind in einer Pivotspalte j alle Koeffizienten aµj (µ = 1, . . . , m) kleiner oder
gleich Null, so ist der zulässige Bereich in Richtung der Strukturvariablen xj
unbeschränkt. Es existiert demzufolge keine optimale Lösung (Beispiel 3.8).
◮
Wahl der Pivotspalte kann modifiziert werden. Statt der Variablen, die die
größte Steigerung des Zielfunktionswertes bewirkt, kann jede andere
Nichtbasisvariable, die eine Steigerung des Zielfunktionswertes nach sich
zieht, gewählt werden.
◮
Existiert im Endtableau ein cj = 0 für eine Nichtbasisvariable, so kann diese
Variable in die Basislösung aufgenommen werden. Man erhält also eine
weitere optimale Lösung.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
125
Analytische Loesung LP
Simplexalgorithmus, Beispiel zu mehrfachen Lösungen
Mit Hilfe des Simplexalgorithmus erhält man als Lösung des Optimierungsproblems aus Beispiel 3.3:
Variable
x1
x2
y1
y2
y3
Wert
Operation
ZF:
1
−4
−4
0
0
0
0
NB:
2
1
3
1
0
0
1500
3
2
1
0
1
0
1200
4
1
1
0
0
1
700
ZF:
5
0
−2
0
2
0
2400
NB:
6
0
1
− 21
0
900
7
1
0
600
0
0
1
2
− 21
0
8
5
2
1
2
1
2
1
100
ZF:
9
0
0
0
0
4
2800
5 +4 8
NB:
10
0
0
1
2
−5
400
6 −5 8
11
1
0
0
1
−1
500
7 − 8
12
0
1
0
−1
2
200
28
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
1 +2 3
2 −
1
2
1
2
3
3
4 −
1
2
3
Sommersemester 2008
126
6. Lineare Programme
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Beispiel zu mehrfachen
Lösungen
Die Basislösung ist (x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ) = (500, 200, 400, 0, 0), der Zielfunktionswert 2800.
y2 ist Nichtbasisvariable und der entsprechende Zielfunktionskoeffizient ist gleich Null. Man kann
einen weiteren Austauschschritt mit der Pivotspalte y2 durchführen und erhält:
Variable
x1
x2
y1
y2
y3
Wert
Operation
−−−
ZF:
13
0
0
0
0
4
2800
NB:
14
0
0
1
− 52
200
15
1
0
0
11 −
0
1
3
2
1
−2
300
16
1
2
− 21
1
2
400
12 +
0
1
2
10
1
2
1
2
10
10
Gleicher Zielfunktionswert 2800, andere Basislösung (x1 , x2 , y1 , y2 , y3 ) = (300, 400, 0, 200, 0).
Konvexkombinationen beider Ecken (500,200) und (300,400) liefert Optimalbereich:
∗
Z = {x ∈
R2+
500
:x=λ
+ (1 − λ) 300 400; λ ∈ [0; 1]} .
200
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
6. Lineare Programme
Sommersemester 2008
127
Analytische Loesung LP
Der Simplexalgorithmus, Übungsaufgaben
Übungsaufgabe:
Lösen Sie folgende Optimierungsprobleme mit dem Simplexalgorithmus:
a) ZF: 2x1 + 3x2 + x3 → max
(1) 2x1 + 4x2 + 6x3 ≦ 600
b)
(2) −x1 +
(3) −x1 −
x2 + x3 ≦ 0
x2 + 4x3 ≦ 0
x1 + x2
x1 , x2 , x3 ≧ 0
+ 2x3 → max
2x1 + x2 +
x3 ≦ 8
x1 + x2 + 2x3 ≦ 4
x1 + x2 + x3 ≦ 4
x1 , x2 , x3 ≧ 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
128
7. Komplexe Zahlen
Übersicht
1
Grundlegendes
2
Aussagenlogik
3
Mengen
4
Folgen und Reihen
5
Lineare Algebra
6
Lineare Programme
7
Komplexe Zahlen
Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen
Elementare Algebra
Warum komplexe Zahlen – Historischer Abriss
Geometrie
Anwendungen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
129
Einführung
Die reellen Zahlen
◮ Natürliche Zahlen: N = {1, 2, 3, . . .}
◮ damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form x + n = m, mit n, m ∈ N
◮ Ganze Zahlen: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
◮ damit nicht uneingeschränkt lösbar: Gleichung der Form ax = b, mit a, b ∈ Z und a 6= 0
◮ Rationale Zahlen: Q = m
n ; m ∈ Z, n 6= 0
◮ damit (unter anderem) nicht lösbar: Gleichung der Form x2 = a mit a > 0
◮ Reelle Zahlen: R enthält Q und zusätzlich die irrationalen Zahlen, also sämtliche endliche und
unendliche Dezimalbrüche
◮ Graphische Repräsentation über Zahlenstrahl:
◮ Beispiele von Zahlen aus R:
Etschberger
- 18(HS
= Weingarten)
0,125 endliche Dezimalzahl, rational Mathematik 1
Sommersemester 2008
130
7. Komplexe Zahlen
Einführung
Erweiterung der reellen Zahlen
◮ In den reellen Zahlen u.a. nicht uneinschränkt lösbar:
Zahlenturm
x2 = −1
◮ Formale Lösungen: x1 =
√
√
−1 und x2 = − −1 mit
x1 , x2 ∈
/R
◮ Deswegen: Neues Symbol
R
i
◮ Eigenschaften: i2 = −1 bzw. i =
◮ Mit a, b ∈ R heißt
z = a + ib
√
−1
Q
komplexe Zahl.
◮ Bezeichnungen für a, b:
Realteil von z
Imaginärteil von z
Z
Re(z) := a
Im(z) := b
N
◮ Menge der komplexen Zahlen:
C := {a + ib;
Etschberger (HS Weingarten)
a, b ∈ R}
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
131
Elementare Algebra
Elementare Verknüpfungen komplexer Zahlen
◮
Gegeben: z1 = a + ib;
Addition:
◮
Multiplikation:
◮
Konjugiert komplexe Zahlen:
◮
Division (nur für z2 6= 0):
◮
Etschberger (HS Weingarten)
z2 = c + id
Mathematik 1
Sommersemester 2008
132
7. Komplexe Zahlen
Elementare Algebra
Eigenschaften
◮
Gegeben: z = a + ib
Betrag:
◮
Realteil:
◮
Imaginärteil:
◮
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
133
Elementare Algebra
Multiplikative Inversion
◮
Gegeben: z = a + ib und z 6= 0
◮
Gesucht: z−1 mit z · z−1 = 1 (multiplikatives Inverses)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
134
7. Komplexe Zahlen
Historie komplexer Zahlen
Ursprünge der komplexen Zahlen
◮
Cardanos Ars Magna (erschienen 1545):
Allgemeine Lösung kubischer Gleichungen
◮
Dadurch: Erste Hinweise auf komplexe Zahlen
◮
Cardano selbst über seine Entdeckung:
So raffiniert wie nutzlos! “
”
◮
Bombellis L’Algebra (1572): Erstes Rechnen mit
komplexen Zahlen
◮
Berechnung von kubischen Gleichungen mit
nur einer reellen Lösung
◮
Dazu nötig: Elementare Operationen mit
komplexen Zahlen: Addition, Multiplikation
◮
Trotzdem: Bombelli über komplexe Zahlen:
Die ganze Sache scheint eher der Sophisterei
”
als der Wahrheit zu dienen! “
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Girolamo Cardano (1501 – 1576)
Auszug aus L’Algebra (erschienen 1572)
von Rafael Bombelli (1526 – 1572)
Sommersemester 2008
135
Historie komplexer Zahlen
Bombellis wilder Gedanke
◮
◮
◮
Kubische Gleichung aus L’Algebra:
x3 = 15x + 4
Bombellis einzige reelle √
Lösung
√
mit Lösungsformel: x = 3 2 + 11i + 3 2 − 11i
Bombelli sieht: x muss gleich 4 sein.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
136
7. Komplexe Zahlen
Historie komplexer Zahlen
Dornröschenschlaf der komplexen Zahlen
◮
Bis zum Ende des 18. Jahrhunderts: Keine
befriedigende Antwort auf die Frage:
Was ist eine komplexe Zahl? “
”
◮ Leibniz (1702) über die imaginäre Einheit i:
Dieses Amphib zwischen Existenz und
”
Nicht-Existenz! “
◮
Gottfried Wilhelm von Lebniz
(1646 – 1716)
Noch 1770 verbreitet Euler die Auffassung, dass
√
√ √
−2 −3 = 6
und veröffentlicht:
... so ist klar, dass Quadrat-Wurzeln von Negativ-Zahlen nicht
”
unter die möglichen Zahlen können gerechnet werden ... und
gemeiniglich Imaginäre Zahlen, oder eingebildete Zahlen genennt
werden, weil sie blos in der Einbildung statt finden “
Leonard Euler
(1707 – 1783)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
137
Historie komplexer Zahlen
Der Durchbruch: Geometrische Interpretation
1806
1787
Caspar Wessel
(1745 – 1818)
Jean-Robert Argand
(1768 – 1822)
(Bild: Bruder Johan Herman)
Geometrische
Interpretation
komplexer Zahlen
1831
Carl Friedrich Gauß
(1777 – 1855)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
138
7. Komplexe Zahlen
Geometrie
Komplexe Zahlenebene
◮ Idee: z = a + ib als Punkt im kartesischen xy-Koordinatensystem mit den Koordinaten
(a, b)
◮ Alternativ: a + ib als Vektor, der (0, 0) mit (a, b) verbindet
◮ So betrachtet nennt man die Zeichenebene komplexe Zahlenebene
Im(z)
b
1 •
•
•
1
•
−b •
•
(a, b) = a + ib
a
Re(z)
(a, −b) = a − ib
◮ Damit: Punkte der Abszisse z = a + i · 0 stellen relle Zahlen dar
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
139
Geometrie
Komplexe Zahlenebene
Beispiele
◮ Gegeben: 4 + 3i, 4, 2 − 2i, −2 − 3i, −7 + i, 3i
◮ Konjugiert Komplexes von 4 + 3i
Im(z)
1•
•
1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Re(z)
Sommersemester 2008
140
7. Komplexe Zahlen
Geometrie
Komplexe Zahlenebene: Addition
Geometrie der komplexen Addition
◮ Gegeben: z1 = 1 + 2i und z2 = 1 + 1i
◮ Gesucht: z1 + z2
1 •
•
1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
141
Geometrie
Polarform komplexer Zahlen
1
Trigonometrie in der komplexen Zahlenebene
•
•
1
◮ Definition Sinus, Kosinus über Reihen:
cos ϕ =
∞
X
(−1)n
ϕ2n
(2n)!
∞
X
(−1)n
ϕ2n+1
ϕ3
ϕ5
ϕ7
=ϕ−
+
−
...
(2n + 1)!
3!
5!
7!
n=0
sin ϕ =
n=0
=1−
ϕ2
ϕ4
ϕ6
+
−
...
2!
4!
6!
◮ Reihendarstellung der Exponentialfunktion:
∞
X
(iϕ)n
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
ϕ7
= 1 + iϕ −
−i
+
+i
−
−i
eiϕ =
n!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
n=0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
142
7. Komplexe Zahlen
Geometrie
Komplexe Zahlenebene: Multiplikation
Geometrie der
Multiplikation
Gegeben: √
z1 = 1 + 3 · i, z2 = 1 + i
Gesucht:
z1 · z2
1 •
•
1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
143
Geometrie
Zahlenebene: Lösung algebraischer Gleichungen
Beispiel: Lösungen der Gleichung z4 + 1 = 0?
1
•
•
Etschberger (HS Weingarten)
1
Mathematik 1
Sommersemester 2008
144
7. Komplexe Zahlen
Geometrie
Komplexe Funktionen visualisiert
◮
Gegeben:
◮
Visualisiere
f:C→C
mit
f(z) = z4 + 1
- Betrag von f(z) mittels Helligkeit (weiß entspricht 0, schwarz entspricht einer
großen Zahl),
- Winkel von f(z) durch Farben (z.B. rot: Winkel um 0, türkis: Winkel um π)
f(z) = z4 + 1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
7. Komplexe Zahlen
Sommersemester 2008
145
Anwendungen
Trigonometrie: Additionstheoreme
◮ Mittels eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ gilt
eiϕ − e−iϕ
sin ϕ =
2i
und
eiϕ + e−iϕ
cos ϕ =
2
◮ Damit leicht zu zeigen: Additionstheoreme, zum Beispiel:
2 cos2 ϕ = cos 2ϕ + 1
cos(3ϑ) = 4 cos3 (ϑ) − 3 cos(ϑ)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 1
Sommersemester 2008
146
7. Komplexe Zahlen
Anwendungen
Netzwerke mit Wechselstrom
◮ In Wechselstromkreisen gilt für die Spannung u(t) bzw. den Strom j(t) in Abhängigkeit von
der Zeit t cosinusförmiger Verlauf:
u(t) = u0 ·cos(ωt + α)
j(t) = j0 ·cos(ωt + β)
◮ Betrachte u(t) und j(t) als Realteile komplexer Funktionen U(t) bzw. I(t), dann gilt:
U(t) = u0 ei(ωt+α)
und I(t) = j0 ei(ωt+β)
◮ Praktisch bei linearen Elementen (Ohmscher Widerstand, Kapazität, Induktivität). Dann gilt
Ohmsches Gesetz:
U(t) = Z · I(t)
mit konstanten komplexen Widerständen Z gemäß:
Symbol
Etschberger (HS Weingarten)
Bezeichnung
reelle Größe
komplexer Widerstand
Widerstand
R
Z=R
Kapazität
C
Induktivität
L
Mathematik 1
1
i
=−
iωC
ωC
Z = iωL
Z=
Sommersemester 2008
147