Mathematik Basislernbaustein
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Rolf Männel, Axel Riemer Mathematik Basislernbaustein Rheinland-Pfalz 3. Auflage Bestellnummer 36410 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine E-Mail an 36410⫺[email protected]. Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. www.bildungsverlag1.de Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße 2, 53842 Troisdorf ISBN 978-3-427-36410-8 © Copyright 2010: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Das Gleiche gilt für das Programm sowie das Begleitmaterial. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu § 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung überspielt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Vorwort Das vorliegende Lehrbuch ist auf die Lehrplaneinheiten der Berufsfachschule I in Rheinland-Pfalz abgestimmt. Der methodische Weg des Lehrbuches ist durch kleine Lerneinheiten mit jeweils anschließenden Aufgaben zum Einüben und Vertiefen des Stoffes gekennzeichnet. Die Übungsaufgaben sind nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Im Vordergrund steht die Erziehung zum selbstständigen Denken. Es ist aber auch notwendig, dass die Schüler lernen, angesetzte Aufgaben schnell und sicher auszurechnen. Als Rechenhilfsmittel soll der elektronische Taschenrechner eingesetzt werden. Großer Wert wurde auf die ausführliche und anschauliche Darstellung der zahlreichen Beispiele mit Lösungen gelegt, damit die Schüler den Stoff selbstständig erarbeiten und wiederholen können. Es werden viele Anwendungsmöglichkeiten aus dem Bereich der Wirtschaft und Technik aufgeführt. Die gezeigten Lösungsverfahren sind Vorschläge, die nach Erfahrung und Neigung des Lehrers oder Schülers abgewandelt werden können. Am Schluss des Geometrieteils wurden zahlreiche Aufgaben aus der Algebra und Geometrie zur Wiederholung und Vertiefung angefügt. Die im Anhang zusammengefassten Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben dienen lediglich zur Kontrolle der erarbeiteten Ergebnisse. Ausführliche Lösungswege werden in einem besonderen Lösungsbuch (Bestellnummer 36419) dargestellt. Die Verfasser bitten alle Kollegen und Schüler, das Buch zu prüfen und durch Kritik zur weiteren Verbesserung beizutragen. Die Verfasser Im BuchPlusWeb finden Sie das Programm MathematikMultiMedial. Es enthält ein vielseitiges Angebot an Aufgaben und Lösungen, das in Lerneinheiten strukturiert ist. Pro Lerneinheit wiederholt jeder Einzelne für sich die wichtigsten Regeln, die durch Beispiele erläutert werden. Im Anschluss löst er eine Reihe von Aufgaben selbständig. Das Programm gibt zu den jeweiligen Lösungen Rückmeldungen, die auf typische Fehler hinweisen. Und gerade hier gilt ⫺ die Wiederholung macht den Meister. Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Abkürzungen ..................................... 7 Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Zeichen ........................................................................................................................... 9 0.1 0.2 0.2.1 0.2.2 0.2.3 Wichtige Zeichen und Begriffe der Mengenlehre und Aussagenlogik ........................... Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden ............................. Menge n der natürlichen Zahlen ...................................................................................... Menge z der ganzen Zahlen .............................................................................................. Menge q der rationalen Zahlen ......................................................................................... 9 11 11 13 14 1 Rechnen in der Menge z der ganzen Zahlen und in der Menge q der rationalen Zahlen ............................................................... 17 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1.5 1.6 1.7 1.7.1 1.7.2 1.8 1.8.1 1.8.2 Der Betrag einer Zahl .......................................................................................................... Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen ................................................................... Die Addition ......................................................................................................................... Die Subtraktion .................................................................................................................... Die Addition und Subtraktion von Summen und Differenzen ........................................ Die Multiplikation und Division ganzer Zahlen ................................................................ Die Multiplikation. Erster Potenzsatz ................................................................................ Die Division. Zweiter Potenzsatz ........................................................................................ Die Multiplikation von Summen ........................................................................................ Binomische Formeln ............................................................................................................ Zerlegen von Summen in Faktoren .................................................................................... Elemente der Menge q der rationalen Zahlen ................................................................. Erweitern und Kürzen von Brüchen ................................................................................... Vergleichen von Brüchen. Gleichnamige und ungleichnamige Brüche .......................... Die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen .............................................................. Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche ...................................................... Die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche .................................................. Die Multiplikation und Division rationaler Zahlen ........................................................... Die Multiplikation ............................................................................................................... Die Division .......................................................................................................................... 17 18 18 19 21 23 23 27 30 31 33 34 36 37 39 39 40 42 42 44 2 Lineare Gleichungen und Ungleichungen ........................................ 46 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Gleichungen und Ungleichungen als Aussagen und Aussageformen ............................. Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen ................................... Gleichungen mit einer Lösungsvariablen .......................................................................... Gleichungen mit Formvariablen ......................................................................................... Ungleichungen ..................................................................................................................... 46 48 48 51 54 0 4 Inhaltsverzeichnis 2.3 2.7.4 2.8 2.8.1 2.8.2 2.8.3 Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten .............................................................................................................................. Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten (Bruchgleichungen) ..... Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen. Verhältnisgleichungen und Produktgleichungen ............................................................................................................ Bruchgleichungen mit Formvariablen ................................................................................ Textaufgaben ....................................................................................................................... Zahlenrätsel ......................................................................................................................... Merkwürdiges und Scherzhaftes. Denkaufgaben ............................................................. Dreisatzrechnung ................................................................................................................. Dreisatzaufgaben mit geraden (direkten) Verhältnissen ................................................. Dreisatzaufgaben mit ungeraden (indirekten) Verhältnissen .......................................... Vermischte Dreisatzaufgaben ............................................................................................. Prozentrechnung ................................................................................................................. Einführung in die Prozentrechnung und Berechnung des Prozentwertes ..................... Berechnung des Grundwertes und des Prozentsatzes ...................................................... Prozentrechnung auf und im Hundert (vom vermehrten und verminderten Grundwert) ........................................................................................................................... Vermischte Aufgaben aus der Prozentrechnung .............................................................. Zinsrechnung ........................................................................................................................ Berechnung der Zinsen ....................................................................................................... Berechnung des Kapitals, des Zinssatzes und der Zeit ..................................................... Vermischte Aufgaben aus der Zinsrechnung ..................................................................... 3 Berechnung von ebenen und räumlichen Figuren .................... 93 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 3.2.1 Flächeninhalte und Streckenlängen geradlinig begrenzter Figuren ............................... Rechteck und Quadrat ........................................................................................................ Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Drachen ....................................................................... Vermischte Aufgaben .......................................................................................................... Berechnung von Streckenlängen mithilfe des Satzes von Pythagoras ............................ Einführung der Quadratwurzel und Berechnung von Quadratwurzeln mithilfe des Taschenrechners ................................................................................................................... Satz des Pythagoras und seine Anwendung zur Berechnung von Streckenlängen ....... Satz des Thales ..................................................................................................................... Berechnungen am Kreis ...................................................................................................... Kreisumfang ......................................................................................................................... Kreisfläche ............................................................................................................................ Volumina und Oberflächen von Körpern .......................................................................... Darstellung von Körpern durch Schrägbilder .................................................................... Quader und Würfel ............................................................................................................. Senkrechte Prismen ............................................................................................................. Der senkrechte Kreiszylinder .............................................................................................. Pyramiden ............................................................................................................................ Der senkrechte Kreiskegel .................................................................................................. Die Kugel .............................................................................................................................. Ähnlichkeit und Strahlensätze ........................................................................................... Die zentrische Streckung .................................................................................................... Die Strahlensätze ................................................................................................................. 93 93 94 97 99 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.7.2 2.7.3 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.5 3.5.1 3.5.2 56 58 58 62 63 63 65 67 67 69 72 73 73 78 81 84 86 86 89 91 99 102 104 104 104 106 107 107 109 111 113 115 117 119 120 120 123 5 Inhaltsverzeichnis 4 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung ............................... 127 4.1 4.2 4.3 Lineare Gleichungen und Ungleichungen ......................................................................... Prozent- und Zinsrechnung ................................................................................................ Berechnung von Flächeninhalten und Streckenlängen ebener Figuren. Zentrische Streckung und Strahlensätze .............................................................................................. Volumina und Oberflächen von Körpern .......................................................................... 127 128 4.4 130 132 Anhang Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben .............................................................. 135 Sachwortverzeichnis 163 ........................................................................................... Beilage: Formelsammlung 6 Mathematische Zeichen und Abkürzungen Schreibweise bei Mengen1 A ⫽ {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ⫽ {x 僆 n 兩 x ⬍ 6} 2僆A 7僆A 0/ Aufzählende Form einer endlichen Menge: Menge A wird gebildet aus den Elementen 0, 1, 2, 3, 4, 5. Beschreibende Form einer endlichen Menge; A ist die Menge aller x, für die gilt: x ist kleiner als 6 und x ist eine natürliche Zahl 2 ist Element von A. 2 gehört zur Menge A. 7 ist kein Element von A. 7 gehört nicht zur Menge A. Leere Menge, sie enthält kein Element. Zeichen für besondere Zahlenmengen1 n ⫽ {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen z ⫽ {…, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, …} Menge der ganzen Zahlen q Menge der rationalen Zahlen r Menge der reellen Zahlen n*, z*, q*, r* Mengen n, z, q, r ohne die Null z⫹, q⫹, r⫹ Positive Zahlen der Mengen z, q, r einschließlich der Null z* Positive Zahlen der Mengen z, q, r ⫹, q* ⫹, r* ⫹ z* Menge der negativen ganzen Zahlen z, q, r ⫺, q* ⫺, r* ⫺ G L D W Grundbereich Lösungsmenge Definitionsbereich Wertebereich Relationen zwischen Größen a a a a ⫽ ⫽ ⬍ ⬎ b b b b a a a a gleich b nicht gleich b kleiner als b größer als b a ⭐ b a kleiner als b oder gleich b 2 a ⭓ b a größer als b oder gleich b 3 a 艐 b a ungefähr gleich b Zeichen der Mengenlehre1 A A A A ⫽ 債 傼 傽 1 nach DIN 5473 auch a ⱕ b oder a ⬉ b auch a ⱖ b oder a ⭌ b 2 3 B B B B A gleich B. Menge A und Menge B haben die gleichen Elemente. A ist Teilmenge von B. Vereinigungsmenge von A und B. A vereinigt mit B. Durchschnittsmenge von A und B. A geschnitten mit B. 7 Mathematische Zeichen und Abkürzungen Logische Zeichen a a a a ∧b ∨b ⇒b ⇔b a und b (Konjunktion) a oder b (Disjunktion) aus a folgt b (Implikation) a äquivalent (gleichwertig) b (Äquivalenz) Sonstige Abkürzungen KG AG DG NE IE Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz) Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Neutrales Element Inverses Element Aus der Geometrie A, B, … g, h, … g ⫽ (AB) g1 , g 2 gជ 1 AB, a AB, a AB ⬵ CD Punkte Geraden Gerade durch A und B Halbgeraden von g Strahl Strecke von A bis B, Strecke a Länge der Strecke Strecke AB ist kongruent (deckungsgleich) mit der Strecke CD A僆g B僆g g 傽 h ⫽ {S} g储h g⬜h SM (P) ⫽ P⬘ A ist Element von g B ist nicht Element von g g geschnitten mit h gleich S g parallel h g senkrecht h Spiegelung von P an M ergibt P⬘ Sonstige Zeichen ZZ,k A G M O V Zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckfaktor k 僆 r* Flächeninhalt1 Flächeninhalt der Grundfläche von Körpern Flächeninhalt des Mantels von Körpern Flächeninhalt der Oberfläche von Körpern Volumen, Rauminhalt von Körpern Buchstaben aus dem griechischen Alphabet zur Bezeichnung von Winkeln Alpha Beta Gamma Delta Epsilon 움 β γ δ ε 4 8 … Rho ρ Wenn aus dem Text ersichtlich ist, dass es sich um den Flächeninhalt handelt, schreibt man häufig für „Flächeninhalt“ kurz „Fläche“. Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Zeichen 0 In diesem Abschnitt wiederholen wir wichtige mathematische Begriffe und Zeichen, die wir in früheren Schuljahren kennen gelernt haben und die zur Lösung von Aufgaben in den Folgeabschnitten erforderlich sind. 0.1 Wichtige Zeichen und Begriffe der Mengenlehre und Aussagenlogik Schreibweise bei Mengen A ⫽ {5, 6, 7, 8} Aufzählende Form einer Menge: Zur Menge A gehören die Elemente 5, 6, 7, 8. A ⫽ {x 僆 n兩 5 ⱕ x ⱕ 8}1 Beschreibende Form einer Menge: A ist die Menge aller x, für die gilt: x ist eine natürliche Zahl von 5 bis 8. 5僆A 5 ist Element von A; 5 gehört zur Menge A. 4僆A 4 ist kein Element von A; 4 gehört nicht zur Menge A. 0/ Leere Menge; sie enthält kein Element2. AUFGABEN 1. Schreiben Sie folgende Mengen in aufzählender Form! a) Die Dreierzahlen3 zwischen 20 und 30 b) die 7er-Zahlen von 7 bis 70 c) die Quadratzahlen zwischen 50 und 100 d) die Teiler von 18 2. Schreiben Sie folgende Mengen in aufzählender Form (x 僆 n)! a) A ⫽ {x兩x ⬍ 5} b) B ⫽ {x兩x ⬉ 5} c) C ⫽ {x兩4 ⬍ x ⬍ 8} d) D ⫽ {x兩12 ⬉ x ⬉ 15} e) E ⫽ {x兩x ⫽ 11} f) F ⫽ {x兩10 ⬍ x ⬍ 12} 3. Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form (wie in Aufgabe 2) an! a) A ⫽ {0, 1, 2, 3} b) B ⫽ {1} c) C ⫽ {7, 8, 9} d) D ⫽ {9} e) E ⫽ {11, 12, 13, …, 20} f) F ⫽ {51,52, 53, …, 100} 4. a) Gegeben ist A ⫽ {1, 4, 9, 16, …, 100}. Welche der Zahlen 24, 49, 64, 82 sind Elemente von A und welche nicht? b) Gegeben ist B ⫽ {7, 11, 15, 19, …, 51}. Welche der Zahlen 26, 31, 36, 43 sind Elemente von B und welche nicht? 5. Geben Sie nachstehende Mengen in aufzählender Form an! a) b) c) d) e) 1 2 3 Menge Menge Menge Menge Menge A der Fünferzahlen von 20 bis 30. B der Fünferzahlen zwischen 20 und 30. C der Fünferzahlen zwischen 25 und 30. D der Quadratzahlen zwischen 50 und 60. E der Quadratzahlen zwischen 80 und 90. n ist die Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, … Nach DIN 5473 ist das Zeichen { } für leere Menge nicht vorgesehen. Dreierzahlen sind Zahlen, die durch 3 ohne Rest teilbar sind. 9 0 Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Zeichen Durchschnittsmenge und Vereinigungsmenge A 傽 B ⫽ {x兩x 僆 A ∧ x 僆 B}1 A 傼 B ⫽ {x兩x 僆 A ∨ x 僆 B}1 A geschnitten mit B. Die Durchschnittsmenge der beiden Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A und zugleich zu B gehören. A vereinigt mit B. Die Vereinigungsmenge der beiden Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen gehören. AUFGABEN 6. Geben Sie A 傽 B an! a) A ⫽ {2, 4, 6, 8, 10} b) A ⫽ {4, 5, 6} c) A ⫽ {1, 3, 5, 7} B ⫽ {3, 4, 5, 6, 7} B ⫽ {7, 8, 9} B ⫽ {1, 3, 5} 7. Geben Sie A 傽 B an! x 僆 n a) A ⫽ {x兩14 ⬍ x ⬍ 19} b) A ⫽ {x兩22 ⬍ x ⬍ 26} c) A ⫽ {x兩34 ⬍ x ⬍ 38} B ⫽ {x兩12 ⬉ x ⬉ 15} B ⫽ {x兩23 ⬉ x ⬉ 25} B ⫽ {x兩37 ⬍ x ⬉ 40} 8. Geben Sie A 傼 B und A 傽 B an! a) A ⫽ {2, 4, 6, 8}, b) A ⫽ {3, 6, 9, 12, 15}, c) A ⫽ {2, 4, 8}, d) A ⫽ {7, 12}, B B B B ⫽ ⫽ ⫽ ⫽ {2, 4, 8, 16} {6, 12} {16, 32, 64} {6, 7, 12, 14} 9. Bestimmen Sie A 傼 B und A 傽 B! x 僆 n a) A ⫽ {x兩x ⬍ 5}, B ⫽ {x兩3 ⬉ x ⬉ 5} b) A ⫽ {x兩11 ⬍ x ⬍ 15}, B ⫽ {x兩15 ⬉ x ⬍ 18} c) A ⫽ {x兩23 ⬉ x ⬍ 25}, B ⫽ {x兩20 ⬍ x ⬉ 25} Logische Zeichen a∧b a∨b a⇒b a⇔b 1 2 10 a und b. „und“ hat die Bedeutung von „das eine und zugleich das andere“. Es gelten zugleich beide Aussagen. Beispiel: (2 ⫹ 2 ⫽ 4) ∧ (2 ⋅ 2 ⫽ 4) a oder b. „oder“ hat die Bedeutung von „das eine oder das andere oder auch beides“. Es gibt drei Möglichkeiten. Beispiel: (Karin ruft an) ∨ (Karin schreibt einen Brief) Ergebnis: 1. Karin ruft an, schreibt aber keinen Brief. 2. Karin schreibt einen Brief, ruft aber nicht an. 3. Karin ruft an und schreibt außerdem einen Brief. Aus a folgt b. Beispiel: Aussageform2 a: x ist durch 4 teilbar. Aussageform b: x ist durch 2 teilbar. a ⇒ b bedeutet: Wenn x durch 4 teilbar ist, dann ist x durch 2 teilbar. a äquivalent (gleichwertig) b. Beispiel: 4x ⫽ 12; 5x ⫽ 15 ergibt 4x ⫽ 12 ⇔ 5x ⫽ 15 Das logische Zeichen ∧ bedeutet „und“, das Zeichen ∨ bedeutet „oder“. Aussageformen enthalten Variablen. Werden die Variablen durch Zahlen ersetzt, so gehen Aussageformen in Aussagen über. Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden 0.2 AUFGABEN 10. Eine Und-Aussage ist nur wahr, wenn alle Teilaussagen wahr sind. Sie ist falsch, wenn wenigstens eine der Teilaussagen falsch ist. Verknüpfen Sie folgende Teilaussagen zu wahren Und-Aussagen! a) 5 ⫹ 4 ⫽ 9; 12 ⫺ 4 ⫽ 8; 3 ⋅ 3 ⫽ 9 b) 26 : 2 ⫽ 13; 2 ⋅ 6 ⫽ 12; 3 ⋅ 4 ⫽ 12 c) 22 ⫺ 7 ⫽ 15; 3 ⋅ 5 ⫽ 15; 4 ⋅ 4 ⫽ 16 d) 36 : 3 ⫽ 12; 36 ⫺ 24 ⫽ 12; 22 : 2 ⫽ 11 11. Eine Oder-Aussage ist nur falsch, wenn alle Teilaussagen falsch sind. Sie ist wahr, wenn wenigstens eine Teilaussage wahr ist. Welche der folgenden Teilaussagen sind wahr, welche sind falsch? a) (7 ist Teiler von 28) ∨ (4 ist Teiler von 28) b) (7 ist Teiler von 49) ∨ (4 ist Teiler von 49) c) (7 ist Teiler von 36) ∨ (4 ist Teiler von 36) d) (7 ist Teiler von 43) ∨ (4 ist Teiler von 43) 12. Verknüpfen Sie folgende Aussageformen mit dem Zeichen ⇒! a sei die erste Aussageform, b die zweite. Stellen Sie fest, ob a ⇒ b oder b ⇒ a eine wahre Aussage ergibt! a) x ist durch 6 teilbar. x ist durch 3 teilbar. b) y ist durch 4 teilbar. y ist durch 8 teilbar. c) z ist durch 3 teilbar. z ist durch 9 teilbar d) x ist durch 10 teilbar. x ist durch 5 teilbar 13. Welche der folgenden Aussageformen sind äquivalent? Verwenden Sie das Äquivalenzzeichen ⇔! a) 7 ⫹ x ⫽ 11; x ⫹ 11 ⫽ 15; 4 ⫹ x ⫽ 7 b) 4x ⫽ 12; 9x ⫽ 18; 5x ⫽ 15 c) 8 ⫺ x ⫽ 7; x ⫺ 1 ⫽ 1; 7 ⫺ x ⫽ 5 d) 12 : x ⫽ 6; 7 ⫹ x ⫽ 9; 4x ⫽ 8 Weitere Zeichen und Begriffe der Mengenlehre und Aussagenlogik sind in der Zusammenfassung mathematischer Zeichen und Abkürzungen auf den Seiten 7 und 8 aufgeführt. 0.2 0.2.1 Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden Die Menge n der natürlichen Zahlen Beginnt man beim Abzählen irgendwelcher Gegenstände mit der Zahl 0, so gelangt man zu den natürlichen Zahlen. Die Zusammenfassung aller natürlichen Zahlen zu einem Ganzen ergibt die Menge n der natürlichen Zahlen; n ⫽ {0, 1, 2, 3, …}. Die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null bezeichnet man mit n*. Definition 11 n ⫽ {0, 1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen n* ⫽ {1, 2, 3, …} Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null. 11 0 Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Zeichen Zur Veranschaulichung der Zahlen der Menge n können wir jeder Zahl eine Längeneinheit (beliebiger Größe) zuordnen und diese wie bei einem Messstab auf einem Strahl abtragen. Wir beginnen am Anfangspunkt mit 0, tragen nacheinander dieselbe Strecke beliebig oft nach rechts ab und schreiben an die Teilpunkte die Zahlen 1, 2, 3 usw. Der Punkt auf dem Zahlenstrahl, zu dem eine bestimmte Zahl gehört, heißt Bildpunkt der Zahl. Wir können eine Zahl auch durch einen Bildpfeil darstellen, der die Entfernung der Zahl vom Nullpunkt angibt. Abb. 12.1 Eine Zahl b ist größer als eine Zahl a, wenn der Bildpunkt von b auf dem Zahlenstrahl rechts vom Bildpunkt der Zahl a liegt. Man schreibt dafür a ⬍ b (a kleiner als b) oder b ⬎ a (b größer als a). Abb. 12.2 Beispiel mit Lösung Aufgabe: Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus n der Größe nach! 67, 43, 0, 76, 34, 71, 17. Lösung: 0 ⬍ 17 ⬍ 34 ⬍ 43 ⬍ 67 ⬍ 71 ⬍ 76 AUFGABEN 1. Setzen Sie zwischen folgende Zahlen aus n das Zeichen ⬍ oder ⬎! a) 0 und 1 b) 1 und 0 c) 767 und 776 d) 4473 und 4437 2. Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus n der Größe nach! a) 172, 138, 113, 183, 131, 127 b) 787, 823, 778, 877, 832, 777 c) 1170, 1701, 1017, 1171, 1071, 1007 Beispiele mit Lösungen Aufgaben: Führen Sie in der Menge n nachstehende Grundrechenarten aus! a) Addition: 5 ⫹ 7 ⫽ x, 27 ⫹ 14 ⫽ y b) Subtraktion: 12 ⫺ 5 ⫽ x, 6⫺9⫽y c) Multiplikation: 4 · 8 ⫽ x, 2·2·2⫽y d) Division: 15:5 ⫽ x, 2:3 ⫽ y Lösungen: a) x ⫽ 12, y ⫽ 41 12 b) x ⫽ 7, y 僆 n c) x ⫽ 32, y ⫽ 8 d) x ⫽ 3, y 僆 n Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden 0.2 Wie man leicht erkennt, ergeben die Addition und die Multiplikation natürlicher Zahlen immer eine natürliche Zahl, die Subtraktion und die Division natürlicher Zahlen dagegen nicht immer. Dieser Sachverhalt wird allgemein als Abgeschlossenheit bzw. Nichtabgeschlossenheit einer bestimmten Zahlenmenge bezüglich einer bestimmten Rechenart bezeichnet. Satz 13 Die Menge n der natürlichen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation; sie ist nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion und Division. AUFGABEN 3. Stellen Sie fest, welche der nachstehenden Grundrechnungen in der Menge n nicht lösbar sind! a) d) g) j) 0.2.2 12 ⫹ 17 ⫽ x 16 ⫺ 0 ⫽ y 8·7⫽x 18:6 ⫽ y b) e) h) k) 24 ⫹ 0 ⫽ x 8⫺9⫽y 16 · 0 ⫽ x 4:8 ⫽ y c) f) i) l) 34 ⫹ 10 ⫽ x 0⫺7⫽y 3·3·3⫽x 14:3 ⫽ y Die Menge z der ganze Zahlen Die Subtraktion und die Division zweier Zahlen aus der Menge n ist nicht immer ausführbar. So ist zum Beispiel in den folgenden Aufgaben x keine Zahl aus der Menge n: 3⫺5 ⫽ x; 3:5 ⫽ x. Zur Lösung von Subtraktionsaufgaben wie 3 ⫺ 5 ⫽ x führen wir die negativen Zahlen ein. Zur Veranschaulichung verlängern wir den Zahlenstrahl wie bei einem Thermometer über 0 hinaus und schreiben nach links die Zahlen 1, 2, 3, … an. Aus dem Zahlenstrahl entsteht die Zahlengerade. Die nach links abgetragenen Zahlen erhaltene in Minuszeichen; die nach rechts abgetragenen kann man zur deutlichen Unterscheidung mit einem Pluszeichen versehen. Plus (⫹) und minus (⫺) sind in diesem Fall Vorzeichen, keine Rechenzeichen. Die Abstände zwischen aufeinander folgenden Zahlen sind gleich. Abb. 13 Der Bildpfeil einer negativen Zahl zeigt nach links, der einer positiven Zahl nach rechts. Auch in der Menge z gilt: Eine Zahl b ist größer als eine Zahl a, wenn der Bildpunkt von b auf der Zahlengeraden rechts vom Bildpunkt der Zahl a liegt. Die Zahlen …, ⫺3, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, 3, … bilden die unendliche Menge z der ganzen Zahlen. Die Menge der negativen ganzen Zahlen bezeichnet man mit z*⫺. Die Menge 傺 z. n ist in der Menge z enthalten, n ⫽ 13 0 Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Zeichen Definition 14 z ⫽ {…, ⫺3, ⫺2, ⫺1, 0, 1, 2, 3, …} Menge der ganzen Zahlen Menge der negativen ganzen Zahlen z*⫺ ⫽ {⫺1, ⫺2, ⫺3, ⫺4, …} Beispiel mit Lösung Aufgabe: Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus z der Größe nach! 3, ⫺5, 7, ⫺3, ⫺6, 5, ⫺1 Lösung: ⫺6 ⬍ ⫺5 ⬍ ⫺3 ⬍ ⫺1 ⬍ 3 ⬍ 5 ⬍ 7 AUFGABEN 1. Setzen Sie zwischen folgende Zahlen aus z das Zeichen ⬍ oder ⬎! a) 0 und 4 b) 0 und ⫺7 c) ⫺4 und ⫺9 d) ⫺8 und ⫺3 2. Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus z der Größe nach! a) 23, ⫺17, 14, ⫺23, ⫺14, 11, ⫺9 b) ⫺87, 0, 112, ⫺104, 63, ⫺45, ⫺78 Durch Einführung der negativen ganzen Zahlen ist die Subtraktion in der Menge z immer ausführbar. Die Division zweier Zahlen aus z ergibt aber nicht immer eine ganze Zahl. In der Aufgabe 5 : (⫺6) ⫽ x ist x keine ganze Zahl. Satz 14 Die Menge z der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Subtraktion und Multiplikation; sie ist nicht abgeschlossen bezüglich der Division. 0.2.3 Die Menge q der rationalen Zahlen Die Division zweier Zahlen aus der Menge z ist nicht immer ausführbar. So ist zum Beispiel in der Divisionsaufgabe 6:5 ⫽ x die Zahl x kein Element der Menge z. Um vorstehende Aufgabe zu lösen, benötigen wir Bruchzahlen, die Sie aus früheren Schuljahren kennen. Auch jede Bruchzahl lässt sich durch einen Bildpunkt auf der Zahlengeraden darstellen: Abb. 14 14 Zahlenmengen und Anordnung der Zahlen auf der Zahlengeraden Beachte: Zwei verschiedene Bruchzahlen, z.B. 4 6 0.2 und 2 , kann derselbe Bildpunkt 3 entsprechen. Die Bruchzahlen haben dann denselben Wert. Innerhalb einer Menge betrachten wir sie als gleich. Die Menge der ganzen Zahlen und die Menge der Bruchzahlen bilden die unendliche Menge q1 der rationalen Zahlen. Man sagt, die Bildpunkte von allen rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden überall dicht. Es gibt aber Stellen auf der Zahlengeraden, die nicht mit Punkten rationaler Zahlen belegt sind (vgl. Seite 102). Definition 15 冢 q ⫽ x兩x ⫽ Beachte: n p ; p 僆 z, q 僆 z* q 傺 ⫽ z 傺 ⫽ 冣 Menge der rationalen Zahlen q Beispiel mit Lösung Aufgabe: Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus q der Größe nach! ⫺3, 0, 3, ⫺5, 5, 3, ⫺5 4 8 4 8 4 8 Lösung: ⫺5 ⬍ ⫺ 3 ⬍ ⫺ 5 ⬍ 0 ⬍ 3 ⬍ 5 ⬍ 3 4 4 8 8 8 4 AUFGABEN 1. Setzen Sie zwischen nachstehende Zahlen aus q das Zeichen ⬍ oder ⬎! a) 3 und 4 e) 7 2 3 und b) ⫺ 3 und ⫺ 4 7 3 4 f) 5 2 ⫺ 3 und 5 3 ⫺ 4 c) ⫺ 1 und 0 6 g) 5 6 und 4 5 d) 1 und 0 6 h) ⫺ 5 und ⫺ 6 6 7 2. Setzen Sie zwischen nachstehende Zahlen aus q das Zeichen ⬍ oder ⬎! a) ⫺5 und ⫺7 e) 8 1 ⫺ 8 und b) ⫺2 und 0 8 1 ⫺ 7 7 f) 3 10 und 3 11 c) 2 und 0 d) 1 und 1 7 g) ⫺4 5 und ⫺4 7 h) 9 5 7 und 10 5 6 3. Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus q der Größe nach! a) ⫺5, 2, ⫺4, 5, 4, ⫺2, 7, ⫺7 6 3 3 6 3 3 6 6 b) ⫺3, 2, 3, ⫺3, 1, ⫺4, 3, ⫺2 4 5 4 5 4 5 5 5 4. Ordnen Sie mithilfe des Zeichens ⬍ folgende Zahlen aus q der Größe nach! a) ⫺3, 3 , ⫺1, 0, 9 , ⫺ 7 , ⫺1, 4 b) 5 10 2 10 10 5 5 1 11 2 1 7 5 ⫺ , ⫺ , ⫺ , , ⫺ , , ⫺5 , 1 3 12 3 2 12 12 6 3 Durch Einführung der Bruchzahlen ergibt die Division zweier Zahlen aus q stets eine rationale Zahl. Die Division durch null wird ausgeschlossen. 1 q soll an das Wort „Quotient“ erinnern. 15 0 Wiederholung wichtiger mathematischer Begriffe und Zeichen Satz 16.1 Die Menge q der rationalen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition, Subtraktion und Multiplikation; die Menge q* ist abgeschlossen bezüglich der Division. Beispiele mit Lösungen Aufgaben: Schreiben Sie als Dezimalzahl! a) 2 ; 1 ; 3 ; 7 ; b) 2 ; 1 ; 3 ; 5 Lösungen: a) b) 5 4 8 16 2 ⫽ 2:5 ⫽ 0,4 5 3 ⫽ 3:8 ⫽ 0,375 8 2 ⫽ 2:9 ⫽ 0,222… ⫽ 0,2 9 3 ⫽ 3:11 ⫽ 0,272727… ⫽ 0,27 11 9 6 11 27 1 ⫽ 1:4 ⫽ 0,25 4 7 ⫽ 7:16 ⫽ 0,4375 16 1 ⫽ 1:6 ⫽ 0,1666… ⫽ 0,16 6 5 ⫽ 5:27 ⫽ 0,185185… ⫽ 0,185 27 Satz 16.2 Jeder Bruch lässt sich entweder durch eine abbrechende Dezimalzahl oder durch eine periodische Dezimalzahl darstellen. Beispiele 9 16 7 11 ⫽ 9:16 ⫽ 0,5625 (abbrechende Dezimalzahl) ⫽ 7:11 ⫽ 0,636363… ⫽ 0,63 (periodische Dezimalzahl) AUFGABEN Verwandeln Sie in Dezimalzahlen! 16 5 a) 4 b) 3 c) 5 d) 9 e) 3 f) 7 g) 17 6 a) b) c) d) e) f) g) 5 2 3 4 5 9 8 10 11 16 1 33 25 8 15 125 5 12 32 4 7 1 1.1 Rechnen in der Menge z der ganzen Zahlen und in der Menge q der rationalen Zahlen Der Betrag einer Zahl Wir können ganze Zahlen auf der Zahlengeraden durch einen Bildpfeil oder durch einen Bildpunkt darstellen (vgl. S. 12): Abb. 17 Der Bildpfeil einer negativen Zahl zeigt nach links, der einer positiven Zahl nach rechts. Die Bildpunkte P⬘ und P der Zahlen ⫺3 und ⫹3 liegen symmetrisch zu 0. Zwei Zahlen, die an der Zahlengeraden punktsymmetrisch zu 0 liegen, die sich also nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen entgegengesetzte Zahlen oder Gegenzahlen: ⫺3 und ⫹3; ⫹5 und ⫺5. Die Zahl 0 fällt mit ihrer Gegenzahl zusammen. Setzen wir a als Platzhalter für eine beliebige ganze Zahl ein, so bezeichnen wir die Gegenzahl von a mit ⫺a. Ist zum Beispiel a ⫽ ⫹3, so ist ⫺a ⫽ ⫺3. Ist dagegen a ⫽ ⫺3, so ist ⫺a ⫽ ⫺(⫺3). Wir wissen aber, dass ⫺3 die Gegenzahl ⫹3 hat. Definition 17.1 Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, heißen Gegenzahlen: ⫹3 und ⫺3. Die Gegenzahl zu ⫺3 ist ⫹3 oder ⫺(⫺3); ⫺(⫺3) ⫽ ⫹3. Berücksichtigen wir bei einer ganzen Zahl nur die Länge ihres Bildpfeiles, also nicht seine Richtung, so spricht man vom Betrag der Zahl. Wir bezeichnen den Betrag der Zahl a mit 兩 a 兩 und lesen: „Betrag von a“. 兩 ⫹3 兩 ⫽ 3; 兩 ⫺3 兩 ⫽ 3 兩 a 兩 ist niemals negativ. Es ist demnach 兩a兩 ⫽ a bei a ⬎ 0; 兩 ⫹5 兩 ⫽ 5 兩 a 兩 ⫽ ⫺a bei a ⬍ 0; 兩 ⫺5 兩 ⫽ ⫺ (⫺5) ⫽ 5 兩a兩 ⫽ 0 bei a ⫽ 0; 兩 0 兩 ⫽ 0 Definition 17.2 兩 a 兩 ist diejenige der beiden Zahlen a und ⫺a, die nicht negativ ist (a 僆 z*). 兩 ⫹3 兩 ⫽ 3; 兩 ⫺3 兩 ⫽ 3 17 1 Rechnen in der Menge z der ganzen Zahlen … AUFGABEN (a, b, x, y 僆 n*) 1. Wie heißt die Gegenzahl zu ⫹9; ⫺7; ⫹16; ⫺19; 0; ⫹a; ⫺b; ⫹x; ⫺y ? 2. Bestimmen Sie 兩 ⫹8 兩; 兩 ⫺8 兩; 兩 ⫹15 兩; 兩 ⫺15 兩; 兩 ⫹21 兩; 兩 ⫺24 兩; 兩 0 兩; 兩 ⫹x 兩; 兩 ⫺x 兩! 1.2 Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen In der Algebra stehen in den Aussageformen die Variablen1 meist als Platzhalter für Zahlen, zum Beispiel 5 ⫹ a ⫽ 7, 8 ⫺ b ⫽ 3, a ⫹ b ⫽ c. Ausdrücke wie 5 ⫹ a, 8 ⫺ b, a ⫹ 3b usw. heißen Terme2. Terme, die keine Variablen enthalten, bedeuten Zahlen, zum Beispiel 5 ⫹ 4, 9 ⫺ 7. Terme, in denen Variablen vorkommen, gehen in Zahlen über, wenn man für die Variablen Zahlen einsetzt. Die Menge, aus der man Zahlen zum Einsetzen für die Variablen eines Termes nimmt, nennt man Grundbereich G. 1.2.1 Die Addition In der Aufgabe 4 ⫹ 3 ⫽ 7 heißen die Zahlen 4 und 3 Summanden, (4 ⫹ 3) unausgerechnete Summe und die Zahl 7 ausgerechnete Summe. Entsprechend bezeichnen wir (a ⫹ b) als Summe. 4 ⫹ 3 ⫽ 7 Summand plus Summand gleich Summe Beispiele mit Lösungen Aufgaben: Addieren Sie nachstehende ganze Zahlen! a) (⫹4) ⫹ (⫹3) b) (⫹4) ⫹ (⫺3) c) (⫺4) ⫹ (⫹3) d) (⫺4) ⫹ (⫺3) Unterscheiden Sie (⫹) und (⫺) als Vorzeichen und ⫹ als Additionszeichen! Wir lesen: a) plus 4 vermehrt um plus 3 b) plus 4 vermehrt um minus 3 c) minus 4 vermehrt um plus 3 d) minus 4 vermehrt um minus 3 Lösungen: Fassen wir die positiven Zahlen als Guthaben und die negativen Zahlen als Schulden auf, so finden wir schnell die Lösungen: a) (⫹4) b) (⫹4) c) (⫺4) d) (⫺4) ⫹ (⫹3) ⫹ (⫺3) ⫹ (⫹3) ⫹ (⫺3) ⫹7 ⫹1 ⫺1 ⫺7 Satz 18 1. Zwei ganze Zahlen mit gleichen Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert und der Summe das gemeinsame Vorzeichen gibt. 2. Zwei ganze Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge subtrahiert und der Differenz das Vorzeichen derjenigen Zahl gibt, die den größeren Betrag hat. 1 2 18 variabilis (lat.), veränderlich term (engl.), Ausdruck Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen 1.2 Für die Addition ganzer Zahlen gelten folgende Rechengesetze: 1. Die Addition ganzer Zahlen ergibt eine ganze Zahl: Die Menge z ist bezüglich der Addition abgeschlossen. 2. Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz (KG): 4 ⫹ 3 ⫽ 3 ⫹ 4; a ⫹ b ⫽ b ⫹ a 3. Verbindungsgesetz oder Assoziativgesetz (AG): (4 ⫹ 3) ⫹ 5 ⫽ 4 ⫹ (3 ⫹ 5); (a ⫹ b) ⫹ c ⫽ a ⫹ (b ⫹ c) 4. Die Zahl 0 ist das neutrale Element (NE) der Addition: 3 ⫹ 0 ⫽ 3; a ⫹ 0 ⫽ a AUFGABEN (a, b, c, … 僆 z) 1. a) (⫹5) ⫹ (⫹6); (⫹7) ⫹ (⫺5); (⫹9) ⫹ (⫺12); (⫺8) ⫹ (⫺6); (⫹3) ⫹ (0) b) (⫺9) ⫹ (⫹9); (⫺8) ⫹ (⫹3); (⫺7) ⫹ (⫺6); (⫹6) ⫹ (⫺6); (⫺4) ⫹ (0) c) (⫹14) ⫹ (⫺23); (⫺18) ⫹ (⫺13); (⫹28) ⫹ (⫺17); (⫺14) ⫹ (⫹23); (⫺15) ⫹ (0) 2. a) (⫹4 a) ⫹ (⫺6 a); (⫺9 a) ⫹ (⫺5 a); (⫹7 a) ⫹ (⫺a); (⫹a) ⫹ (⫺a); (⫺4 a) ⫹ (0) b) (⫺12 b) ⫹ (⫺4 b); (⫹ 5 b) ⫹ (⫺11 b); (⫺16 b) ⫹ (⫹16 b); (⫹17 b) ⫹ (0) c) (⫹18 c) ⫹ (⫺27 c); (⫺11 c) ⫹ (⫺22 c); (⫹14 c) ⫹ (⫹9 c); (⫺18 c) ⫹ (⫹18 c) 3. a) (⫹6 a) ⫹ (⫺5 b) ⫹ (⫹7 b) ⫹ (⫺3 a) ⫹ (⫹ 8 b) ⫹ (⫺b) ⫹ (⫹a) b) (⫺9 m) ⫹ (⫹8 n) ⫹ (⫺4 n) ⫹ (⫹ 5 m) ⫹ (⫺6 n) ⫹ (⫺m) ⫹ (⫺4 n) c) (⫹12 x) ⫹ (⫺14 y) ⫹ (⫹16 z) ⫹ (⫺11 x) ⫹ (⫹13 y) ⫹ (⫺15 z) 1.2.2 Die Subtraktion Die Rechenregeln über die Subtraktion ganzer Zahlen stehen in enger Verbindung mit den Additionsregeln. Den Unterschied zweier Zahlen können wir durch Ergänzen oder „Aufzählen“ berechnen. 2 ⫹ 3 ⫽ 5 führt zu 3 ⫽ 5 ⫺ 2. In der Aufgabe 5 ⫺ 2 ⫽ 3 heißt die Zahl 5 Minuend1, die Zahl 2 Subtrahend2, (5 ⫺ 2) die unausgerechnete Differenz3 und die Zahl 3 die ausgerechnete Differenz. Entsprechend bezeichnen wir (a ⫺ b) als Differenz. 5 ⫺ 2 ⫽ 3 Minuend minus Subtrahend gleich Differenz Bei der Addition sind die beiden Summanden gegeben, die Summe wird gesucht. Bei der Subtraktion durch Aufzählen ist die Summe und ein Summand gegeben, der andere Summand wird gesucht. Wir können also sagen: Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Die Probe zur Subtraktion führen wir als Addition durch: 5 ⫺ 2 ⫽ 3, Probe: 2 ⫹ 3 ⫽ 5; a ⫺ b ⫽ d, Probe: b ⫹ d ⫽ a; a ⫺ 0 ⫽ a, Probe: 0 ⫹ a ⫽ a 1 2 3 numerus minuendus (lat.), die zu vermindernde Zahl numerus subtrahendus (lat.), die abzuziehende Zahl differentia (lat.), der Unterschied 19
