1.¨Ubungsblatt zur ” Vorlesung Funktionalanalysis“

Institut für Mathematik
Prof. Dr. Helge Glöckner
Alexander Schmeding
WS 10/11
12.10.2009
1. Übungsblatt zur
Vorlesung Funktionalanalysis“
”
Gruppenübung
Aufgabe G1 (Topologien und Hausdorffeigenschaft)
(a) Sei (H, O) ein topologischer Raum und S ⊆ H eine Teilmenge versehen mit der
induzierten Topologie. Zeigen Sie: Ist H ein Hausdorffraum, so ist auch S mit der
induzierten Topologie hausdorffsch.
(b) Betrachten Sie eine nichtleere Menge M . Wir versehen M mit der indiskreten Topologie O := {∅, M }. Machen Sie sich klar, dass O eine Topologie ist und überprüfen
Sie, welche Eigenschaften M haben muss, so dass O (nicht) hausdorffsch ist.
(c) Betrachten Sie die natürlichen Zahlen N, versehen mit der koendlichen Topologie,
O := {S ⊆ N | N \ S ist endlich} ∪ {∅}. Zeigen Sie, dass O eine nicht hausdorffsche
Topologie auf N ist.
Aufgabe G2 (metrische Räume und Produkttopologien)
(a) Betrachten Sie R2 ∼
= R × R mit der Produkttopologie P die von R induziert wird.
Zeigen Sie, dass P mit der üblichen Topologie T auf R2 , welche durch die Maximumsnorm d∞ : R2 → [0, ∞[, d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := maxi=1,2 {|xi − yi |} induziert
wird zusammen fällt.
(b) Seien nun (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) zwei beliebige metrische Räume. Machen Sie sich
klar, dass auch für das Produkt X1 × X2 die Abbildungen M ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) :=
maxi=1,2 {di (xi , yi )} und S((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) := d1 (x1 , y1 )+d2 (x2 , y2 ) Metriken sind.
Zeigen Sie, dass auch in diesem Fall, die von M und S induzierten Topologien M
und S mit der Produkttopologie P auf X1 × X2 zusammenfällt.
Aufgabe G3 (Normierte Räume und topologische Vektorräume)
Zeigen Sie: Jeder normierte Raum (X, k·k) ist ein topologischer Vektorraum.
Aufgabe G4 (Quotiententopologien)
Seien X, Y topologische Räume. Eine stetige, surjektive Abbildung q : X → Y heißt
Quotientenabbildung, wenn für U ⊆ Y gilt:
U offen in Y ⇔ q −1 (U ) ist offen in X
Die Topologie O := {U ⊆ Y | q −1 (U ) offen in X} nennt man Quotiententopologie auf
Y . Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen Räumen heißt offene Abbildung,
falls für jede offene Menge U ⊆ X auch f (U ) in Y offen ist. Zeigen Sie: Jede surjektive,
stetige und offene Abbildung ist eine Quotientenabbildung.
Hausübung
Aufgabe H1 (Hausdorffeigenschaft)
Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind:
(a) X ist hausdorffsch.
(b) Die Diagonale ∆ := {(x, y) ∈ X × X | x = y} ist abgeschlossen in X × X bzgl. der
Produkttopologie.
Aufgabe H2 (Abgeschlossene Mengen)
Sei (X, O) ein topologischer Raum. Wir nennen eine Menge A abgeschlossen, wenn X \
A ∈ O gilt, A also das Komplement einer offenen Menge ist. Zeigen Sie:
(a) ∅, X sind abgeschlossen.
(b) beliebige Durchschnitte von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen.
(c) endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Mengen sind abgeschlossen. Finden
Sie ein Beispiel für eine unendliche Familie von abgeschlossenen Mengen, deren
Vereinigung nicht abgeschlossen ist.
Beschreiben Sie die abgeschlossenen Mengen aus (N, O), wobei O die koendliche Topologie aus Aufgabe G1 c) bezeichne.
Aufgabe H3 (Quotientenabbildungen)
(a) Sind qi : Xi → Yi , i = 1, 2 offene Abbildungen. Zeigen Sie, dass dann auch die
Abbildung q1 × q2 : X1 × X2 → Y1 × Y2 , (x1 , x2 ) 7→ (q1 (x1 ), q2 (x2 )) eine offene
Abbildung ist. Insbesondere ist q1 × q2 eine Quotientenabbildung, wenn qi , i = 1, 2
stetig, surjektiv und offen sind.
(b) Sei f : X → Y eine stetige, surjektive und abgeschlossene Abbildung (d.h. für jede abgeschlossene Teilmenge A ⊆ X ist auch f (A) in Y abgeschlossen) zwischen
topologischen Räumen. Zeigen Sie, dass dann f eine Quotientenabbildung ist.
(c) Sei q : X → Y eine Quotientenabbildung und f : Y → Z eine weitere Abbildung
zwischen topologischen Räumen. Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn
f ◦ q stetig ist.