Wissenschaftliches Rechnen II Aufgabenblatt 6

Wissenschaftliches Rechnen II
Wintersemester 2008/09
Prof. Dr. Angela Kunoth, Roland Pabel
Aufgabenblatt 6
Ausgabe: 26.11.2008
Abgabe der Lösungen: 03.12.2008, 11:15
Aufgabe 17:
Es sei Ω ⊂ R2 offen und beschränkt mit polygonalem Rand und ΓD eine offene, nichtleere Teilmenge von
∂Ω mit positivem Randmaß. Wir betrachten das elliptische Randwertproblem
P2
− i,j=1 ∂i (aij ∂j u) = f
in Ω,
u = 0
auf ΓD ,
P2
auf ∂Ω\ΓD ,
i,j=1 νi ai,j ∂j u = 0
wobei f ∈ L2 (Ω) und aij ∈ L∞ (Ω). Es gelte weiterhin
2
X
aij (x)ξi ξj ≥ α0 kξk22
i,j=1
für x = (x1 , x2 )T ∈ Ω und ξ = (ξ1 , ξ2 )T ∈ R2 .
(a) Entwickeln Sie eine schwache Formulierung dieses Problems auf
©
ª
1
H0,D
(Ω) := v ∈ H 1 (Ω) : v = 0 auf ΓD ,
1
1
1
d.h. geben Sie die Bilinearform a(·, ·) : H0,D
× H0,D
→ R und das Funktional `(·) : H0,D
→ R an.
(b) Überprüfen Sie die Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram (Stetigkeit, Koerzivität der Bilinearform, Stetigkeit und Linearität des Funktionals der rechten Seite). Ist somit die Existenz und
Eindeutigkeit einer Lösung garantiert?
(6 Punkte)
Aufgabe 18:
Es sei
(
Tref :=
n
x ∈ R : xi ≥ 0,
n
X
)
xi ≤ 1
i=1
der Einheitssimplex im Rn , auch “Referenzdreieck” genannt. Weiterhin sei T ein allgemeines Dreieck/Simplex
im Rn mit Eckpunkten {z i }i=1,...,n .
Die baryzentrischen Koordinaten {λi = λi (z)}1≤i≤n+1 eines Punktes z ∈ T bezüglich der Ecken z i von T
sind definiert als die positiven Lösungen von
z=
n+1
X
i=1
λi z
i
mit
n+1
X
λi = 1.
i=1
(a) Berechnen Sie eine Darstellung der baryzentrischen Koordinaten λi (x1 , . . . , xn ) im Referenzdreieck
Tref . Welche Eigenschaften bzw. Form haben die baryzentrischen Koordinaten als Funktion von x ?
(b) Zeigen Sie (z.B. per Induktion), daß für alle ganzen Zahlen αi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n + 1, gilt
Z
α1 ! · · · αn+1 !n!
αn+1
1
λα
|Tref |,
1 (z) · · · λn+1 (z) dz =
(α1 + · · · + αn+1 + n)!
Tref
wobei |Tref | = 1/n! der Flächeninhalt/das Volumen von Tref ist.
(c) Es sei F : Tref → T die Basistransformation vom Referenzdreieck Tref auf das beliebige Dreieck T und
F −1 : T → Tref ihre Inverse. Berechnen Sie F allgemein und F −1 für den Fall n = 2.
(d) Wir definieren nun (µ1 (z), . . . , µn (z))T := F −1 (z) für alle z ∈ T . Zeigen Sie, daß sich diese Koordinaten
zu baryzentrischen Koordinaten durch Hinzunahme einer Funktion µn+1 (z) erweitern lassen.
(8 Punkte)
Aufgabe 19:
Es sei Ω ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand im Rn .
(a) Zeigen Sie, daß k · kH k (Ω) und | · |H k (Ω) äquivalente Normen für Funktionen aus H0k (Ω) sind.
(b) Folgern Sie aus Teil (a), daß für k ≥ 1 der Raum H k (Ω) echt grösser als H0k (Ω) ist.
(c) Zeigen Sie, daß die Poincaré-Ungleichung (Satz 2.2.2) für Funktionen aus H 1 (Ω) nicht erfüllt ist.
(6 Punkte)
2