1 ¨Ubungen zu Integration WS11/12

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Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 1.1 Seien X, Y Mengen und f : X → Y . Zeigen Sie:
1. ∀ A, B ⊆ Y : f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) und f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B). Die
Operation f −1 kommutiert mit sämtlichen Mengenoperationen.
2. ∀ A, B ⊆ X: f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) und f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B). Ist f injektiv, so
gilt: f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
Beispiel 1.2 Zeigen Sie: die Abbildung f : N × N → N, (m, n) 7→ 2m 3n ist injektiv.
Beispiel 1.3 i. Jede Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. ii. Besitzt eine
Menge X eine überabzählbare Teilmenge, so ist X überabzählbar.
Beispiel 1.4 Sei X eine Menge, dann besitzen {0, 1}X und P(X) dieselbe Kardinalität.
1
1
, 2n
] und A =
Beispiel 1.5 Zu n ∈ N sei In : = ( 2n+1
P
S
In . Dann ist λ(A) = 1 − log 2.
−p und für alle n ∈ N: A = ((2n + 1)−p , (2n)−p )
Beispiel 1.6 Sei p > 1, s: = ∞
n
n=1 n
S
1−p
Zeigen Sie: λ( n An ) = 1 − s + 2 s.
Beispiel 1.7 Seien F, G : R2 → R2 die Abbildungen F (x, y) = (−x, y), G(x, y) =
(−y, x). Ist R ein Rechteck, so gilt: λ2 (F (R)) = λ2 (G(R)) = λ2 (R).
Beispiel 1.8 Seien a, b, h > 0 und P ⊆ C das Parallelogramm mit den Eckpunkten
0, a, (a + b) + ih und b + ih. Zeigen Sie: λ2 (P ) = ah.
Beispiel 1.9 Seien (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) zwei beliebige Punkte in R2 und D das Dreieck mit
den Eckpunkten (0, 0), (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ). Dann gilt: λ2 (D) = 21 |x1 y2 − y1 x2 |. Zeigen Sie
dies unter der Voraussetzung x1 ≥ x2 ∨ 0 und y2 ≥ y1 ∨ 0.
2. Seien z1 : = x1 + iy1 und z2 : = x2 + iy2 . Zeigen Sie: λ2 (D) = 12 |ℑ(z1 z̄2 )| = 21 |ℑ(z̄1 z2 )|.
Beispiel 1.10 Sei n ∈ N und Cn ⊆ C das “regelmäßige n-Eck” mit den Eckpunkten
zk : = exp(2πik/n), k = 0, . . . , n − 1 (wobei die Zahl π/2 definiert ist als die kleinste
positive Nullstelle der Funktion x 7→ cos(x)).
Zeigen Sie: 1. λ2 (Cn ) = 21 n sin(2π/n).
S
2. Sei D: = {z ∈ C : |z| < 1}, dann gilt: k∈N C2k = D.
3. Folgern Sie: λ2 (D) = π.
2
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Beispiel 2.1 Seien z1 , z2 ∈ C und h die Höhe auf die Strecke [z1 , z2 ], d.h. h ist der
Abstand des Punktes 0 von der durch z1 und z2 verlaufenden Geraden. Ist D das Dreieck
mit den Eckpunkten 0, z1 und z2 , so gilt: λ2 (D) = 12 h|z1 − z2 |.
Beispiel 2.2 Sei A die Menge aller reellen Zahlen in [0, 1], deren Dezimaldarstellung
keine 9 enthält. Zeigen Sie: A ist meßbar, überabzählbar und λ(A) = 0.
Beispiel 2.3 Sei p ≥ 1 und Bp2 : = {(x, y) ∈ R2 : |x|p + |y|p ≤ 1}. Zeigen Sie: B12 ⊆ Bp2 ⊆
[−1, 1]2 und folgern Sie: 2 ≤ λ2 (Bp2 ) ≤ 4.
Beispiel 2.4 Sei f : R → R monoton. Zeigen Sie: f ist Lebesgue-meßbar.
Beispiel 2.5 Sei A eine Lebesgue-meßbare Teilmenge von Rn mit λ(A) < ∞ und f :
Rn → R eine beschränkte Lebesgue-meßbare Funktion. Dann ist f über A integrierbar.
+
Beispiel 2.6 Seien N ∈ N und f : R+
0 → R0 eine Funktion, so daß f auf [0, N ] monoton
steigt und auf [N, ∞) monoton fällt. Zeigen Sie: f ist Lebesgue-meßbar und
−f (N ) +
∞
X
n=0
Z
f (n) ≤
R+
f (t) dt ≤ f (N ) +
∞
X
f (n) .
n=0
Beispiel 2.7 Sei K eine kompakte Teilmenge von Rn und f : K → R eine stetige Funktion. Dann ist f über K integrierbar und es gilt:
λ(K) min f (x) ≤
x∈K
Z
f dλ ≤ λ(K) max f (x) .
x∈K
K
Beispiel 2.8 Zeigen Sie: f (x) = sin(1/x) ist über (−1, 1) integrierbar.
Beispiel 2.9 Zeigen Sie: Ist f : R → [0, ∞] integrierbar und gilt
λ([f > 0]) = 0.
R
f dλ = 0, so ist
Beispiel 2.10 Ist f integrierbar auf R, so ist
F (x): =
Z
x
f (y) dy
0
gleichmäßig stetig auf R. Hinweis: F ist auf R stetig!
Beispiel 2.11 Für welche a ∈ R ist die Funktion f : x 7→ |x|a über [0, 1] integrierbar?
Für welche a ∈ R ist f über [1, ∞) integrierbar?
Beispiel 2.12 Für x ∈ R sei F (x): =
R∞
F (x) =
0
eixt−t dt. Zeigen Sie:
1 + ix
1
=
.
2
1+x
1 − ix
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Beispiel 3.1 Sei f : (0, 1) → [0, ∞] definiert durch f (x) = x falls Rin der Dezimaldarstellung von x eine 9 vorkommt und sonst f (x) = −x, Berechnen Sie 01 f (x) dx.
Beispiel 3.2 Auf jeder Teilmenge Y eines metrischen Raumes (X, d) ist durch dY : =
d|Y × Y eine Metrik definiert - (Y, dY ) heißt ein Teilraum von (X, d). Eine Teilmenge A
von Y ist genau dann offen (abgeschlossen), wenn eine offene (abgeschlossene) Teilmenge
B von X existiert, so daß A = B ∩ Y . Zeigen Sie ferner: Ist A eine beliebige Teilmenge
von Y , so ist A ∩ Y der Abschluß von A in Y .
Beispiel 3.3 1. Sei D: = {z ∈ C : |z| < 1} und ϕ : D → C die Abbildung z 7→ z/(1 − |z|).
Zeigen Sie: ϕ ist ein Homöomorphismus aber D ist nicht vollständig.
2. Bestimmen Sie eine Metrik d auf C, so daß (C, d) nicht vollständig ist.
Beispiel 3.4 Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X. Zeigen Sie: (A)c = Ac◦ , A◦c =
Ac und ∂A = ∂Ac .
Beispiel 3.5 Sei (X, d) ein metrischer Raum und D(x, y): = d(x, y)/(1 + d(x, y)). Zeigen
Sie, daß die identische Abbildung von (X, d) auf (X, D) ein Homöomorphismus ist. Ferner
ist eine Folge genau dann eine Cauchy Folge bezüglich d, wenn sie eine Cauchy Folge
bezüglich D ist
Beispiel 3.6 Ein Teilraum Y eines vollständigen Raumes X ist genau dann vollständig,
wenn Y in X abgeschlossen ist.
Beispiel 3.7 Zeigen Sie, daß c0 : = {x ∈ ℓ∞ : limn xn = 0} ein abgeschlossener Teilraum
von ℓ∞ ist und daß ℓ1 als Teilraum von ℓ∞ nicht abgeschlossen ist.
Beispiel 3.8 Sei (X, k.k) ein Banachraum und p : X → [0, ∞] eine weiter “Norm” auf
X, so daß kxk ≤ p(x) und [p ≤ 1] abgeschlossen in X ist. Zeigen Sie, daß Y : = [p < ∞]
mit der Norm p ein Banachraum ist.
Beispiel 3.9 Sei X ein metrischer Raum und f : X → R eine Funktion. Zeigen Sie, daß
f genau dann stetig ist, wenn f sowohl von unten als auch von oben halbstetig ist.
Beispiel 3.10 Sei A eine beliebige Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : A → R
Lipschitz stetig mit der Konstante L. Dann ist
F (x): = inf{f (y) + Ld(x, y) : y ∈ A}
eine Lipschitz stetige Funktion mit der Konstante L und F |A = f .
2. Bestimmen Sie F für X = R, A = [−1, 1] und f (x) = x2 .
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Beispiel 4.1 Für alle x ≥ 0 gilt: ex−x
2 /2
≤ 1 + x.
Beispiel 4.2 Sei Y eine Teilmenge eines metrischen Raumes X. Zeigen Sie, daß Y genau
dann kompakt ist, wenn jede Überdeckung von Y mit offenen Teilmengen von X eine
endliche Teilüberdeckung enthält.
Beispiel 4.3 Zeigen Sie: 1. Eine Teilmenge A eines kompakten Raumes X ist genau dann
kompakt, wenn sie abgeschlossen ist. 2. Ist X kompakt und f : X → Y stetig, so ist f (X)
kompakt. 3. Ist X präkompakt und f : X → Y gleichmäßig stetig, so ist f (X) präkompakt.
4. Eine Teilmenge von Rn ist genau dann präkompakt, wenn sie beschränkt ist.
Beispiel 4.4 Greben Sie eine offene Überdeckung des Intervalls (0, 1) mit offenen Kugeln
des Radius’ 1/2 an, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Beispiel 4.5 Sei X ein metrischer Raum. Ist X nicht präkompakt, so existiert eine Folge
xn ∈ X und ein ε > 0, so daß für alle n 6= m: d(xn , xm ) > ε.
Beispiel 4.6 Sei X ein normierter Raum und A : ℓ1 → X ein beschränkter linearer
Operator. Zeigen Sie: kAk = supn kAen k, wobei en (k) = 1 falls k = n und sonst en (k) = 0.
Beispiel 4.7 1. Sei A : ℓn1 → ℓm
1 die Abbildung ej 7→
kAk = sup
nX
k≤m
Pm
k=1 akj ek .
Zeigen Sie:
o
akj εk : εk ∈ {−1, +1}, 1 ≤ j ≤ n .
2. Sei A : ℓn1 → ℓm
∞ die Abbildung ej 7→
Pm
k=1 akj ek .
Zeigen Sie:
o
kAk = sup{|akj | : 1 ≤ k ≤ m, 1 ≤ j ≤ n .
Beispiel 4.8 Sei W : = {x ∈ ℓ2 : |xn | ≤ 1/n} der sogenannte Hilbertwürfel. Zeigen Sie,
daß W kompakt ist.
Beispiel 4.9 Sei X ein normierter Raum und Y ein Banachraum. Zeigen Sie, daß der
Raum L(X; Y ) der beschränkten linearen Operatoren A : X → Y (mit der Operatornorm)
ein abgeschlossener Unterraum von Cb (BX , Y ) ist und folgern Sie, daß L(X; Y ) (mit der
Operatornorm) ein Banachraum ist.
Beispiel 4.10 Sei X ein Banachraum A : X → X ein beschränkter linearer Operator.
Zeigen Sie: 1. Durch
exp(A): = eA : =
∞
X
1 n
n! A
n=0
ist ein beschränkter linearer Operator definiert und es gilt: keA k ≤ ekAk .
2. Seien s, t ∈ R As : ℓ22 → ℓ22 der lineare Operator As (e1 ) = −e1 und As (e2 ) = se1 − e2 –
e1 , e2 bezeichnet hierbei eine orthonormale Basis.
2a. Berechnen Sie die Operatornorm von As .
2b. Berechnen Sie Pt : = etAs sowie die Operatornorm von Pt .
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Beispiel 5.1 Sei 1 ≤ p < ∞ und q > 0, so daß 1/p + 1/q = 1.
1. Zeigen Sie, daß für alle a, b ≥ 0 gilt: ab ≤ ap /p + bq /q.
2. Für alle n ∈ N, alle x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Cn und y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Cn gilt die HölderUngleichung1 :
X
X
1/q
1/p X
|yj |q
= kxkp kykq
|xj |p
xj y j ≤
j
j
j
Hinweis: Seien o.B.d.A. xj , yj ≥ 0; wenden Sie die Ungleichung 1. auf die Paare x =
xj / kxkp und y = yj / kykq an und summieren Sie über j.
3. Für alle x, y ∈ Cn gilt die Minkowski-Ungleichung:2
kx + ykp ≤ kxkp + kykp .
Hinweis: Es gilt wegen |xj + yj | ≤ |xj | + |yj | sowie der Hölder-Ungleichung:
kx + ykpp ≤
X
X
(|xj | + |yj |)|xj + yj |p−1 ≤ (kxkp + kykp )
|xj + yj |q(p−1)
1/q
+
Beispiel 5.2 Sei Φ : R+
0 → R0 konvex, streng monoton steigend und Φ(0) = 0. Ist
n
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ C , so ist durch
kxkΦ : = inf{λ > 0 :
X
j
Φ(|xj |/λ) ≤ 1}
eine Norm auf Cn definiert.
2. Für Φ(t) = tp folgt: k.kΦ = k.kp
Beispiel 5.3 Sei X kompakt und Aα , α ∈ I, eine Familie abgeschlossener Teilmengen mit
der endlichen Durchschnittseigenschaft, d.h. für alle endlichen Teilmengen J von I
T
T
ist j∈J Aj 6= ∅. Dann ist α∈I Aα 6= ∅.
Beispiel 5.4 Sei X ein metrischer Raum und A ⊆ X. Zeigen Sie, daß A genau dann
präkompakt ist, wenn es zu jedem r > 0 eine endliche Teilmenge E von X gibt, so daß
S
A ⊆ x∈E Br (x).
Beispiel 5.5 Sei A eine beschränkte Teilmenge von c0 , so daß
lim sup sup |xn | = 0 .
k x∈A n≥k
Dann ist A präkompakt.
Beispiel 5.6 Seien X, Y metrisch. Zeigen Sie, daß PrY : X × Y → Y offene Teilmengen
von X × Y auf offene Teilmengen von Y abbildet - man sagt PrY ist offen.
1
2
http://en.wikipedia.org/wiki/Hlder’s inequality
http://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski inequality
Beispiel 5.7 Sei L2 (R) der Raum der meßbaren Funktionen f : R
→ R, so daß |f |2
R
integrierbar ist. Wir versehen diesen Raum mit der Norm kf k2 : = ( |f (x)|2 dx)1/2 .
Zeigen Sie, daß Q : L2 (R) → [0, ∞],
Q(u): = sup
1>h>0
Z u(x + h) − u(x) 2
h
dx
l.s.c ist und daß für glatte Funktionen u mit u′ ∈ L2 (R) gilt: Q(u) ≤ ku′ k2 .
Beispiel 5.8 Ist Y kompakt, so ist f : X × Y → R genau dann stetig, wenn fb : X →
C(Y ), fb(x)(y) = f (x, y), stetig ist.
Beispiel 5.9 Sei K eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X, so daß zu
jedem x ∈ X genau ein p(x) ∈ K existiert mit d(x, K) = d(x, p(x)). Zeigen Sie, daß die
Abbildung p : X → K stetig ist.
Beispiel 5.10 Sei X ein normierter Raum, A, B ⊆ X und A+B: = {a+b : a ∈ A, b ∈ B}.
Zeigen Sie:
1. Ist A oder B offen, so ist A + B offen.
2. Sind A und B kompakt, so ist A + B kompakt.
3. Ist A abgeschlossen und B kompakt, so ist A + B abgeschlossen.
Die Summe √
zweier abgeschlossener Teilmengen muß hingegen nicht abgeschlossen sein:
z.B. ist Z + 2Z eine dichte Untergruppe von (R, +).
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Beispiel 6.1 Sei X ein Banachraum A : X → X eine lineare Abbildung mit kAk < 1.
Dann ist 1 − A ein Isomorphismus und es gilt:
(1 − A)−1 =
∞
X
An .
n=0
Beispiel 6.2 Seien b1 , . . . , bn linear unabhängige Vektoren in dem Hilbertraum E, F =
[b1 , . . . , bn ] und (gjk ) die inverse Matrix der Gramschen Matrix (gjk ): = (hbj , bk i). Dann
gilt:
PrF =
n
X
j,k=1
g jk bj ⊗ bk
wobei
bj ⊗ bk (x): = hx, bj ibk .
Beispiel 6.3 Sei E ein reeller Hilbertraum, kuk = 1, und t ∈ R. Dann ist der Abstand
des Punktes x von der Hyperebene H: = {x ∈ E : hx, ui = t} gegeben durch d(x, H) =
|hx, ui − t|.
Beispiel 6.4 Sei E ein reeller Hilbertraum, u1 , . . . , un Einheitsvektoren in E, t1 , . . . , tn ∈
R und A: = {x ∈ E : ∀ j = 1, . . . , nhx, uj i ≤ tj }. Zeigen Sie für x ∈
/ A: d(x, A) ≥
minj {|hx, uj i − tj |}.
Beispiel 6.5 Zeigen Sie, daß durch Sen = en+1 ein beschränkter linearer Operator S :
ℓ2 → ℓ2 definiert ist mit kSk = 1. Bestimmen Sie S ∗ sowie SS ∗ und S ∗ S.
Beispiel 6.6 Sei E ein Hilbertraum und A, B : E → E beschränkte, lineare Operatoren.
Zeigen Sie (AB)∗ = B ∗ A∗ und kA∗ k = kAk. 2. Ist F ein abgeschlossener Unterraum und
P : E → F die orthogonale Projektion, so gilt P ∗ = P .
Beispiel 6.7 Ein beschränkter, selbstadjungierter Operator P : E → E auf einem Hilbertraum E ist genau dann eine orthogonale Projektion, wenn P 2 = P .
Beispiel 6.8 Jeder separable Hilbertraum E besitzt eine orthonormale Basis en . en ist
genau dann eine Basis des Vektorraums E, wenn E endlich dimensional ist.
Beispiel 6.9 Seien K : N × N → R, K(n, m) = 1/(n + m) und b : N → R+ , b(n) =
√
1/ n. Zeigen Sie, daß für alle n, m ∈ N gilt:
X
m
|K(m, n)|b(m) ≤ πb(n) .
Hinweis: Schätzen Sie die Summe durch ein Integral ab! Schließen Sie daraus, daß durch
P
Af (n): = m K(m, n)f (m) ein stetiger linearer Operator A : ℓ2 → ℓ2 definiert ist mit:
kAk ≤ π.
Beispiel 6.10 Sei K(x, y) = 1/ max{x, y}. Zeigen Sie, daß durch Af (x): =
ein stetiger linearer Operator A : L2 (R+ ) → L2 (R+ ) definiert ist.
R
K(x, y)f (y) dy
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Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 7.1 Sei ajk = 0 falls |j − k| =
6 1 und aj,j+1 = aj+1,j = cj , |cj | < c.
P
1. Zeigen Sie, daß die Operatornorm der durch Aek : = k ajk ej definierten linearen Abbildung A : ℓ2 → ℓ2 stets kleiner als 2c ist.
2. Falls lim cn = 0, dann ist A kompakt.
Beispiel 7.2 Sei X eine (endliche) Menge p : X × X → R und µ : X → R+ strikt
positiv. Bezeichnen wir mit L2 (µ) den Hilbertraum aller reellwertigen Funktionen auf X
P
P
mit dem inneren Produkt hf, gi: = x f (x)g(x)µ(x), so ist durch P f (x): = y p(x, y)f (y)
ein linearer Operator P : L2 (µ) → L2 (µ) definiert und es gilt:
P ∗ f (x) =
X
q(x, y)f (y)
mit
q(x, y): = µ(y)p(y, x)/µ(x) .
y
Beispiel 7.3 Sei A : E → E ein beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum E
Ist F ein Unterraum von E, dann gilt: A∗ (F )⊥ = A−1 (F ⊥ ).
2. Ist A : E → E selbstadjungiert oder unitär und A(F ) ⊆ F , so folgt: A(F ⊥ ) ⊆ F ⊥ .
Beispiel 7.4 Seien E, F Hilberträume und A : E → F ein beschränkter, linearer Operator. Dann gilt: (ker A)⊥ = im A∗ .
Beispiel 7.5 Sei E ein Hilbertraum und xn eine beschränkte Folge in E, die schwach
gegen x konvergiert, d.h. es gilt für alle y ∈ E: limn hxn , yi = hx, yi. Zeigen Sie: Die Folge
xn konvergiert genau dann gegen x, wenn die Folge kxn k gegen kxk konvergiert.
Beispiel 7.6 Sei H : E → E ein positiver, kompakter, selbstadjungier Operator. Dann
existiert ein positiver selbstadjungierter Operator R, so daß R2 = H.
Beispiel 7.7 Sei A : E → E ein kompakter, selbstadjungier Operator und t ∈ R. Dann
ist der Operator Pt : = eitA unitär und es gilt: Pt∗ = P−t .
Beispiel 7.8 Sei H : E → E ein positiver selbstadjungierter, kompakter Operator auf
dem Hilbertraum E und t ∈ R+ . Dann ist der Operator Pt : = e−tH ein positiver selbstadjungierter Operator und sin(tA), cos(tA) sind selbstadjungierte Operatoren; ferner ist
sin(tA) kompakt.
Beispiel 7.9 Sei E ein komplexer Hilbertraum und A ein kompakter Operator. Ist A
schiefsymmetrisch, d.h. A∗ = −A, dann existiert eine Nullfolge λn ∈ R sowie eine Folge
paarweise orthonormaler Vektoren xn ∈ E, so daß für alle x ∈ E:
Ax =
X
n
iλn hx, xn i xn .
Beispiel 7.10 Sei E ein separabler Hilbertraum, en eine orthonormale Basis von E und
A : E → E ein Hilbert-Schmidt Operator. Zeigen Sie:
P
1. kAk2HS = j,k |hAej , ek i|2 = kA∗ k2HS .
P
2. Ist xn eine weitere orthonormale Basis von E, so gilt: n kAxn k2 = kAk2HS .
√
3. kAk ≤ kAkHS . Falls dim E = n, dann gilt: kAkHS ≤ n kAk.
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Beispiel 8.1 Sei E ein Hilbertraum, A : E → E kompakt, linear und u : E → E,
v : E → E stetig linear. Zeigen Sie, daß vAu kompakt ist.
Beispiel 8.2 Sei (ajk ) die Matrix eines linearen Operators A : ℓ22 → ℓ22 bezüglich irgendeiner orthonormalen Basis. Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an die
Matrix (ajk ) an, so daß A normal ist.
Beispiel 8.3 Seien a < b ∈ R, I: = (a, b) und L = b − a. Dann gilt für alle f ∈ Cc∞ (I):
die Poincaré-Ungleichung:
Z
Hinweis: Benutzen Sie f (x) =
2
f (x) dx ≤ L
I
Rx ′
a f
2
Z
f ′2 (x) dx
I
sowie die Cauchy-Schwarz Ungleichung.
Beispiel 8.4 Seien −∞ < α < β < ∞ > 0, V : [α, β] → R stetig und w1 bzw. w2
Lösungen der Differentialgleichung −u′′ + V u = 0, so daß
w1 (α) = w2 (β) = 0
und
w1 w2′ − w2 w1′ = −1 .
i. Für jede stetige Funktion f : [α, β] → R ist die Funktion
u(x): =
Z
β
α
w1 (x ∧ y)w2 (x ∨ y)f (y) dy
die (eindeutig bestimmte) Lösung der Differentialgleichung −u′′ + V u = f mit u(α) =
u(β) = 0. Man nennt G(x, y): = w1 (x ∧ y)w2 (x ∨ y) die Greensche Funktion3 des Differentialoperators Hu: = −u′′ + V u.
Beispiel 8.5 Sei E ein Hilbertraum H : E → E ein beschränkter, positiver Operator
und Pt : = e−tH . Dann gilt: 1. Pt Ps = Pt+s , 2. limt↓0 kPt − 1k = 0, 3. Für alle t > 0:
d
limh→0 k h1 (Pt+h − Pt ) + HPt k = 0, d.h. dt
Pt = −HPt . 4. Für alle x ∈ E ist t 7→ kPt xk2
monoton fallend, also: kPt k ≤ 1. 5. Falls xn eine orthonormale Basis von Eigenvektoren
von H zu den Eigenwerten λn ≥ 0 ist, so besitzt Pt die Eigenwerte e−tλn .
Man nennt Pt eine normstetige Kontraktionshalbgruppe mit dem Generator −H.
Beispiel 8.6 Sei b1 , . . . , bn eine orthonormale Basis eines euklidischen Raumes E und
H : E → E eine lineare Abbildung. Für alle j, k = 1, . . . , n mit j 6= k sei akj = ajk ≥ 0
und
(
−a
falls k 6= j
hHbk , bj i = P jk
a
falls
k=j
l6=j jl
1. Zeigen Sie: für alle x ∈ E mit xj : = hx, bj i gilt:
hHx, xi =
1
2
X
j,k
ajk (xj − xk )2
Folgern Sie daraus, daß H positiv ist und daß x genau dann ein Eigenvektor von H zum
√
Eigenwert 0 ist, wenn ein α ∈ R existiert, so daß x = αe0 , wobei e0 : = (b1 + · · · + bn )/ n.
2. Ist λ1 > 0 der kleinste von 0 verschiedene Eigenwert von H, so gilt für alle x ∈ E mit
x⊥e0 und alle t > 0: ke−tH xk ≤ e−λ1 t kxk.
3
http://en.wikipedia.org/wiki/Green’s function
Beispiel 8.7 1. Seien A, B : E → E beschränkte lineare Operatoren auf dem komplexen
Hilbertraum E, so daß für alle x ∈ E: hAx, xi = hBx, xi. Dann gilt A = B. Hinweis:
Berechnen Sie für x, y ∈ E und λ ∈ C: hA(x + λy), x + λyi.
2. Geben Sie ein Beispiel eines linearen Operators A : ℓ22 → ℓ22 , so daß für alle x ∈ ℓ2 :
hAx, xi = 0 aber A 6= 0.
Beispiel 8.8 Sei X ein kompakter metrischer Raum und E ein Unterraum von C(X)
mit der Eigenschaft, daß für alle f, g ∈ E gilt: f ∧ g, f ∨ g ∈ E. Falls 1 ∈ E und falls
E die Punkte von X trennt, dann ist E dicht in C(X). Hinweis: Beweis des Satzes von
Stone-Weiserstraß.
Beispiel 8.9 Sei π = {0 = a0 < · · · < an = 1} eine Zerlegungen des Intervalls [0, 1]
und E(π) der Raum der Funktionen, die an den Stellen aj , 0 ≤ j ≤ n beliebige Werte
annehmen und zwischen diesen Stellen linear interpolieren. Dann ist
[
{E(π) : π ist eine Zerlegung von [0, 1]}
ein dichter Unterraum von C[0, 1].
Beispiel 8.10 Sei D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} und P die von den RPolynomen aufgespannte
Unteralgebra von C(D, C). Zeigen Sie, daß für alle p ∈ P gilt: D p(z)z = 0 und folgern
Sie, daß P nicht dicht in C(D, C) ist.
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Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 9.1 Sei S : ℓ2 → ℓ2 , der durch Sek = ek+1 definierte beschränkte lineare Operator. 1. Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren von S. 2. Bestimmen Sie
sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren von S ∗ .
Beispiel 9.2 Sei A : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] der beschränkte lineare Operator
1
Af (x): =
x
Z
x
f (y) dy
0
Zeigen Sie: 1. Für alle λ ∈ C mit |λ − 1| < 1 ist λ ein Eigenwert mit der Eigenfunktion
x 7→ x1/λ−1 .
2. Bestimmen Sie A∗ : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] sowie AA∗ und A∗ A.
Beispiel 9.3 Sei Ω ein beschränktes Gebiet in Rn mit glattem Rand ∂Ω und C ∞ (Ω) die
Menge der in einer Umgebung von Ω definierten glatten Funktionen. Bezeichnet N ein
P
Normalvektorfeld zu ∂Ω und ∆: = − ∂j2 den Laplace-Operator, so gilt für alle f, g ∈
D0 : = {f ∈ L2 (Ω) : f ∈ C ∞ (Ω), h∇f, N i = 0}:
∀ f, g ∈ D0 :
h∆f, gi =
Z
Ω
h∇f, ∇gi .
Hinweis: Divergenzsatz! Folgern Sie, daß ∆ auf D0 symmetrisch und positiv ist.
Beispiel 9.4 Bestimmen Sie die Lösungen w1 bzw. w2 der Differentialgleichung −u′′ = 0
auf dem Intervall (0, 1), so daß w1 (0) = w2 (1) = 0 und w1 w2′ − w2 w1′ = −1.
ii. Sei B : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] der Operator
Bf (x): =
Z
0
1
w1 (x ∧ y)w2 (x ∨ y)f (y) dy
√
Zeigen Sie: kBk
HS = 1/ 90 und für alle f ∈ C[0, 1] gilt: Bf (0) = Bf (1) = 0 und
R
−(Bf )′ (x) = 0x f (y) dy.
iii. Erfüllt u die Eigenwertgleichung −u′′ = λu und gilt: u(0) = u(1) = 0, so ist λ = λn : =
(πn)2 mit n ∈ N und u(x) = un (x): = sin(nπx).
P
iv. Zeigen Sie: n≥1 n−4 = π 4 /90. Benutzen Sie die Tatsache, daß die Folge un , n ∈ N
eine orthogonale Basis des Hilbertraumes L2 [0, 1] bildet.
Beispiel 9.5 Sei C2π : = {f ∈ C([−π, π]) : f (π) = f (−π)} der Raum der stetigen und
2π-periodischen Funktionen. Zeigen Sie, 1. daß der von den Funktionen en (x): = einx ,
n ∈ Z, aufgespannte Unterraum dicht ist in C2π und daß 2. der von den Funktionen
sn (x): = sin(nx) und cn (x): = cos(nx), n ∈ N0 , aufgespannte Unterraum dicht ist in dem
reellen Raum C2π .
Beispiel 9.6 Für t > 0 sei pt (x) = exp(−tx). Dann ist [pt ; t > 0] ein dichter Teilraum
von C0 (R+
0 ).
2
Beispiel 9.7 Der von den Funktionen ϕt,z (x): = e−tkx−zk , t > 0, z ∈ Rn , aufgespannte
Unterraum von C0 (Rn ) ist dicht in C0 (Rn ).
Beispiel 9.8 Seien X, Y kompakte metrische Räume. Für f ∈ C(X) und g ∈ C(Y ) sei
f ⊗ g(x, y): = f (x)g(y). Bezeichnet dann A den von den Funktionen f ⊗ g, f ∈ C(X),
g ∈ C(Y ) erzeugten Unterraum, so ist A dicht in C(X × Y ).
Beispiel 9.9 1. Sei Ω eine offene, beschränkte und konvexe Teilmenge von Rn . Dann
besitzt jede Funktion f ∈ Cb1 (Ω) eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung auf Ω.
2. Besitzt jede auf einer offenen Teilmenge Ω von Rn definierte glatte Funktion mit
kdf (x)k ≤ 1 eine stetige Fortsetzung auf Ω?
Beispiel 9.10 Eine gleichgradig stetige und beschränkte Teilmenge M von C0 (Rn ) ist
genau dann präkompakt, wenn zu jedem ε > 0 eine kompakte Teilmenge Kε ⊆ Rn existiert,
so daß für alle f ∈ M und alle x ∈
/ Kε : |f (x)| < ε. Folgern Sie, daß die Menge der
2
−kxk
Funktionen f (x)e
wobei f ∈ Lip1 (Rn ) mit kf k1 ≤ 1 und |f (0)| ≤ 1 in C0 (Rn )
präkompakt ist.
10
Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 10.1 Sei X = [0, 1]N und P der Raum der Polynome auf X, i.e. P ist der von
den Funktionen x 7→ xα , α ∈ N(N) , erzeugte Unterraum von C(X). Zeigen Sie, daß P
dicht ist in C(X).
Beispiel 10.2 Sei Ω = [0, 1]N , Xn : Ω → [0, 1] die Projektion auf die n-te Komponente
und P die Menge aller Teilmengen A ⊆ Ω, mit der Eigenschaft, daß ein n ∈ N und
a1 < b1 , . . . , an < bn ∈ [0, 1] existieren, so daß A = [b1 ≥ X1 > a1 , . . . , bn ≥ Xn > a1 ].
Dann ist P eine Semialgebra.
Beispiel 10.3 Sei An eine Folge von Teilmengen von Ω, dann definieren wir die Menge
lim supn An als die Menge aller Elemente von Ω, die in unendlich vielen An liegen, und
lim inf n An als die Menge aller Elemente von Ω, die in fast allen An zu finden sind.
lim supn An und lim inf n An können durch die Ausdrücke
∞ \
[
Ak
∞ [
\
bzw.
n=1 k≥n
Ak
n=1 k≥n
definiert werden. Welche dieser beiden Formeln gilt für lim sup An , welche für lim inf An ?
Beispiel 10.4 Zeigen Sie: IA∩B = IA IB , IA∆B = |IA − IB | und Ilim sup An = lim sup IAn
bzw. Ilim inf An = lim inf IAn .
Beispiel 10.5 Sei An eine Folge von Teilmengen von Ω. Man sagt, die Folge An konvergiert gegen eine Menge A, wenn gilt: A = lim supn An = lim inf n An . Man schreibt dann
analog zur Konvergenz reeller Zahlen limn→∞ An = A oder An → A. Zeigen Sie:
1. Ist die Folge An monoton steigend, d.h. An ⊆ An+1 für alle n ∈ N (i.Z. An ↑), dann
gilt
lim An =
n→∞
∞
[
An .
∞
\
An .
n=1
2. Ist die Folge An monoton fallend, d.h. An+1 ⊆ An für alle n ∈ N (i.Z. An ↓), dann
gilt:
lim An =
n→∞
n=1
3. An konvergiert genau dann gegen A, wenn die Funktionenfolge IAn punktweise gegen
IA konvergiert.
Beispiel 10.6 Sei An eine Folge meßbarer Teilmengen von Ω. Zeigen Sie, daß lim supn An
und lim inf n An meßbar sind. Ist µ ein endliches Maß auf (Ω, F), so gilt:
µ(lim inf An ) ≤ lim inf µ(An ) ≤ lim sup µ(An ) ≤ µ(lim sup An ) .
n
n
n
n
Schließen Sie hieraus, daß – falls A = limn An existiert – gilt: limn→∞ µ(An ) = µ(A).
T
Beispiel 10.7 Seien Fα σ-Algebren. Zeigen Sie, daß Fα eine σ-Algebra ist.
S
Seien F1 ⊆ F2 ⊆ · · · σ-Algebren. Zeigen Sie, daß Fn eine Algebra aber nicht notwendigerweise eine σ-Algebra ist.
Beispiel 10.8 Seien 1 ≤ m ≤ n, Ω = {−1, 1}n und µ({ω}) = 2−n . Berechnen Sie das
P
Maß der Menge {ω ∈ Ω : ωj = m}.
Beispiel 10.9 Sei rn eine Durchnummerierung der rationalen Zahlen des Intervalls [0, 1]
P
S
und εn > 0. Falls n [rn , rn + εn ] = [0, 1], dann ist εn ≥ 1.
Beispiel 10.10 Zu jedem ε > 0 existiert eine kompakte Teilmenge K von [0, 1], so daß
S
K ◦ = ∅ und λ(K) > 1 − ε. Hinweis: K = ( n B(rn , ε/2n+1 ))c .
11
Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 11.1 Sei µ eine additive Mengenfunktion auf einer Algebra A.
1. µ ist genau dann ein Maß, wenn µ von unten stetig ist.
2. Ist µ endlich, so ist µ genau dann ein Maß, wenn für jede Folge An ↓ ∅ in A gilt:
µ(An ) → 0.
Beispiel 11.2 Sei A: = {A ⊆ N : A oder Ac endlich} und µ(A) = 1 falls Ac endlich,
µ(A) = 0 falls A endlich. Zeigen Sie, daß µ keine Fortsetzung auf σ(A) besitzt.
Beispiel 11.3 Sei µ eine additive monotone Mengenfunktion auf einem Mengensystem
C. Dann ist
µ∗ (A): = inf
∞
nX
n=1
µ(Cn ) : Cn ∈ C,
[
o
Cn ⊇ A
stets subadditiv und monoton auf P(Ω).
Beispiel 11.4 Sei µ ein Maß auf einer Algebra A mit µ(Ω) = 1 und
F ′ : = {A ⊆ Ω : µ∗ (A) + µ∗ (Ac ) = 1} .
Dann gilt: F ∗ = F ′ . Hinweis: Zu allen A ⊆ Ω gibt es B, C ∈ Aσδ mit A ⊆ B, Ac ⊆ C und
µ∗ (A) = µ(B), µ∗ (Ac ) = µ(C). Ist A ∈ F ′ , so ist B \ A Teilmenge der Nullmenge B ∩ C.
Beispiel 11.5 Zeigen Sie, daß für jede Borelmenge B von C gilt: 1. λ(B̄) = λ(B) (wobei
B̄: = {z̄ : z ∈ B} und 2. λ(wB) = |w|2 λ(B).
Folgern Sie, daß das Lebesguemaß auf R2 unter Drehungen und Spiegelungen invariant
ist.
Beispiel 11.6 Sei F (x) = log x, dann ist für alle 0 < a < b durch µ(a, b]: = F (b) − F (a)
ein Maß definiert. Zeigen Sie, daß für alle x > 0 und alle Borelmengen A von R+ gilt:
µ(xA) = µ(A) – µ heißt das Haarmaß auf der multiplikativen Gruppe (R+ , ·).
Beispiel 11.7 Sei A eine Algebra, µ ein Maß auf A und B ∈ F: = σ(S) mit µ(B) < ∞.
Dann existiert zu jedem ε > 0 ein A ∈ A, so daß µ(B∆A) < ε. Hinweis: Definition von
µ∗ .
Beispiel 11.8 Sei F : R2 → R, so daß erstens F in jeder Komponente monoton steigt
und zweitens für alle Folgen xn ↓ x und yn ↓ y gilt: F (xn , yn ) ↓ F (x, y). Zeigen Sie, daß
durch
µ((a1 , a2 ] × (b1 , b2 ]): = F (a2 , b2 ) − F (a2 , b1 ) − F (a1 , b2 ) + F (a1 , b1 )
ein Radonmaß auf R2 definiert ist.
Beispiel 11.9 Seien I = I0,1 = [0, 1]. Aus I0,1 entfernen wir jenes offene Intervall J0,1 ,
dessen Mittelpunkt mit jenem von I0,1 übereinstimmt und dessen Länge das 1/3 der Länge
von I0,1 beträgt. Es verbleiben zwei Intervalle I1,1 bzw. I1,2 , aus denen wir die offenen,
mittleren Drittel J1,1 bzw. J1,2 entfernen um vier Intervalle I2,1 , . . . , I2,4 zu erhalten, u.s.w.
S
Sei ∆n : = k In,k mit k = 1, . . . , 2n , ∆ die Cantormenge und F |J n,k : = 2−n−1 (2k − 1).
Zeigen Sie, daß F : (0, 1) → R stetig und monoton steigend ist. Ferner gilt F (0+) = 0,
F (1−) = 1 und µF (∆) = 1 und µF (I \ ∆) = 0. F ist also eine stetige Funktion, die
die Lebesguesche Nullmenge ∆ auf das Intervall [0, 1] abbildet. Hinweis: möglichst genaue
Skizze!! Die Stetigkeit von F folgt dann aus der Tatsache, daß Jn+1,4k−1 zwischen den
Intervallen Jn−1,k und Jn,2k liegt und das gilt:
1
2 (F |Jn−1,k
+ F |Jn+1,4k−1 ) = F |Jn,2k .
Beispiel 11.10 Sei f : R → R Lipschitz stetig. Zeigen Sie: ist A eine Lebesguesche
Nullmenge, so ist auch f (A) eine Lebesguesche Nullmenge.
12
Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 12.1 Sei F : R+ × S n−1 → Rn \ {0} die Abbildung (r, z) 7→ rz. Zeigen Sie, daß
F ein Homöomorphismus ist und schließen Sie daraus, daß das Mengensystem
C: = {F ((0, r]) × A) : r > 0, A ∈ B(S n−1 )}
die Borelsche σ-Algebra auf Rn erzeugt.
Beispiel 12.2 Zeigen Sie: 1. Ist f : R → R differenzierbar, so ist f ′ Borel meßbar.
2. Ist f : R → R monoton, so ist f Borel meßbar.
Beispiel 12.3 Sei λ das Lebesguemaß auf (0, 1]. Für n = 0, 1, . . . und 1 ≤ k ≤ 2n sei
fn,k (x): =
(
1 falls k−1
2n < x ≤
0 sonst
k
2n
Setzen wir g0 = f0,1 , g1 = f1,1 , g2 = f1,2 , g3 = f2,1 usw., so konvergiert die Folge gn zwar
im Maß gegen 0 aber nicht fast überall.
Beispiel 12.4 Sei X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) und µ ein Maß auf (Ω1 , F1 ). Zeigen Sie:
µX (B): = µ(X ∈ B) ist ein Maß auf F2 (das sogenannte Bildmaß, denn µX ist ein Maß
im Bildraum von X).
2. Sei f : (0, 1) → (0, 1), f (t) = 4t(1 − t) und λ das Lebesguemaß auf (0, 1). Berechnen
Sie für alle 0 < x < 1: λf ((0, x]).
Beispiel 12.5 Sei T der Torus {z ∈ C : |z| = 1} und h : (−1/2, 1/2] → T die Abbildung
t 7→ exp(2πit). Zeigen Sie, daß sowohl h wie h−1 Borel meßbar sind und daß das Bildmaß
σ: = λh translationsinvariant ist, d.h. für alle A ∈ B(T) und alle z ∈ T gilt: σ(zA) = σ(A).
σ heißt das normalisierte Haarmaß auf T.
+
Beispiel 12.6 Bezeichnet ϕ : R0 → [0, 1] die Funktion t 7→ t/(1 + t), so definieren wir
für X ∈ M (Ω, F):
kXk0 : = inf{ϕ(t + µ(|X| > t)) : t > 0} .
Anstelle der Funktion ϕ könnten wir irgendeine stetige, streng monoton steigende und
beschränkte Funktion ϕ wählen, mit den Eigenschaften ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0 und ϕ(x + y) ≤
ϕ(x) + ϕ(y). Zeigen Sie: Für alle X, Y ∈ M (Ω, F) gilt: kX + Y k0 ≤ kXk0 + kY k0 und
folgern Sie, daß (X, Y ) 7→ kX − Y k0 eine Halbmetrik auf M (Ω, F, µ) und eine Metrik
auf M (Ω, F, µ) ist – diesen metrischen Raum bezeichnen wir mit L0 (µ). Hinweis: Seien
s, t > 0, dann ist [|X + Y | > s + t] ⊆ [X > s] ∪ [Y > t];
Beispiel 12.7 Eine Folge Xn konvergiert genau dann in L0 (µ) gegen X, wenn Xn im
Maß gegen X konvergiert.
Beispiel 12.8 Sei Ω abzählbar, F = P(Ω) und µ ein endliches Maß auf (Ω, F).
1. Eine Folge Xn : Ω → R konvergiert genau dann f.ü., wenn sie im Maß konvergiert.
2. Falls für alle ω ∈ Ω: µ({ω}) > 0, dann konvergiert eine Folge Xn : Ω → R genau dann
im Maß, wenn sie in RΩ konvergiert.
Beispiel 12.9 Seien Ω1 , Ω2 separable metrische Räume. Dann gilt: B(Ω1 ×Ω2 ) = B(Ω1 )⊗
B(Ω2 ). Hinweis: Jede offene Teilmenge von Ω1 ×Ω2 ist Vereinigung von höchstens abzählbar
vielen offenen Kugeln.
Beispiel 12.10 Sei Xn : Ω → R eine Folge meßbarer Funktionen auf einem endlichen
Maßraum (Ω, F, µ). Xn konvergiert genau dann f.ü., wenn für alle t > 0:
lim µ sup |Xk − Xn | > t = 0 .
n
k≥n
Hinweis: 1. Xn konvergiert genau dann f.ü., wenn Xn f.ü. eine Cauchy-Folge ist und 2.
µ(|X + Y | > t) ≤ µ(|X| > t/2) + µ(|Y | > t/2) cf. Beispiel 12.6.
13
Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 13.1 Sei P das normalisierte Haarmaß auf Ω: = {0,R 1}N und Rfür n ∈ N sei
X die Projektion auf die n-te Komponente. Berechnen Sie Xn dP, X1 X2 dP und
R n
X1 · · · Xn dP.
Beispiel 13.2 1. Für welche a ∈ C ist f (t): = ta auf [0, 1] integrierbar (bzgl. des Lebesguemaßes)?
2. Für welche Werte von a, b ∈ R+ ist die Funktion t 7→ ta | log t|b auf [0, 1] integrierbar
(bzgl. des Lebesguemaßes)?
Beispiel 13.3 Zeigen Sie mithilfe der Taylorreihe für log(1 − x):
Z
1
0
X
log(1/x)
k−2 .
dx =
1−x
k∈N
Beispiel 13.4 1. Seien f : Ω × R → R, so daß ω 7→ f (ω, x) undR ω 7→ ∂x f (ω, x) integrierbar sind. Ist x 7→ f (ω,
x) für alle ω ∈ Ω konvex, so ist F (x): = f (., x) dµ differenzierbar
R
′
und es gilt: F (x) = ∂x f (., x) dµ.
2. Sei f : R+ → R integrierbar (bezüglich des RLebesguemaßes), so daß y 7→ yf (y)
integrierbar
ist. Ferner sei für x > 0: F (x): = 0∞ f (y)e−xy dy. Zeigen Sie: F ′ (x) =
R∞
− 0 yf (y)e−xy dy. Man nennt F die Laplace-Transformierte von f .
R
∞
e−(t−z) dt.
Beispiel 13.5 Sei F : C → C definiert durch F (z) = −∞
2 R∞
2
2
e−t cos(2ty) dt.
1. Zeigen Sie, daß für z = x + iy gilt: F (x + iy) = ey G(y): = ey −∞
2. Zeigen Sie: G′ (y) = −2yG(y) und folgern Sie, daß F auf C konstant ist.
2
Beispiel 13.6 Sei f : R+ × (0, π/2] → R die Abbildung (t, x) 7→ sint x und F : R+ → R
die Funktion
Z π/2
f (t, x) dx .
F (t): =
0
Dann ist F stetig differenzierbar und
F ′ (t)
=
R π/2
0
sint x log(sin x) dx.
Beispiel 13.7 Seien 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞ und X ∈ Lp0 (µ) ∩ Lp1 (µ) Zeigen Sie mithilfe
θ
der Hölder-Ungleichung die Interpolations-Ungleichung: kXkp ≤ kXk1−θ
p0 kXkp1 , wobei 1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 .
Beispiel 13.8 Seien 1 ≤ p ≤ ∞, 1/p + 1/q = 1 und E der Raum aller einfachen integrierbaren Funktionen. Dann gilt für alle X ∈ Lp (µ):
kXkp = sup
nZ
o
XY dµ : Y ∈ E, kY kq ≤ 1 .
Beispiel 13.9 Seien fn,k und gn wie in Beispiel 12.3. Zeigen Sie, daß die Folge gn für
alle p < ∞ in Lp [0, 1] gegen 0 konvergiert.
Beispiel 13.10 Zeigen Sie mithilfe der
Jensen-Ungleichung,
daß für alle
integrierbaren
R1
R 1 f (x)
Rπ
Funktionen
f
:
[0,
1]
→
R
gilt:
exp(
f
(x)
dx)
≤
e
dx
und
sin(
0
0
0 f (x) dx/π) ≥
Rπ
0 sin(f (x)) dx/π.
14
Übungen zu Integration WS11/12
Beispiel 14.1 Ein Unterraum
E von L2 (µ) ist genau dann nicht dicht,
wenn eine FunkR
R
tion Y ∈ L2 (µ) existiert mit |Y |2 dµ = 1, so daß für alle X ∈ E: XY dµ = 0.
Beispiel 14.2 1. Sei Ω ein Polnischen Raum und Lip(Ω): = {f ∈ Cb (Ω) : Lip(f ) <
∞}. Zwei endliche Borelmaße µ, ν auf (Ω, B) stimmen
genauR dann überein, wenn für alle
R
beschränkten Lipschitz-Funktionen f : Ω → R gilt: f dµ = f dν.
2. Zwei
Radonmaße
µ, ν auf Rn stimmen genau dann überein, wenn für alle f ∈ Cc∞ (Rn )
R
R
gilt: f dµ = f dν.
Beispiel 14.3 1. Zeigen Sie, daß sn (x): = sin(nx), n ∈ N, eine orthogonale Basis von
L2 [0, π] ist. Hinweis: erweitern Sie jede Funktion f ∈ L2 [0, π] zu einer antisymmetrischen
Funktion in L2 [−π, π].
2. Zeigen Sie, daß cn (x): = cos(nx), n ∈ N0 , eine orthogonale Basis von L2 [0, π] ist.
Hinweis: erweitern Sie jede Funktion f ∈ L2 [0, π] zu einer symmetrischen Funktion in
L2 [−π, π].
Beispiel 14.4 Sei D: = {z ∈ C : |z| < 1} und λ das Lebesguemaß auf D. Zeigen Sie, daß
1, z, z̄, z 2 , z̄ 2 , . . ., eine orthogonale Basis von L2 (D) ist.
Beispiel 14.5 Sei Fn die dyadische σ-Algebra der Stufe n auf [0, 1] und für n ≥ 0 und
k = 0, . . . , 2n−1 − 1 sei h0,0 (t) = 1 und für :
hn,k (t): =

(n−1)/2

 2


−2(n−1)/2
0
falls 2k/2n < t < (2k + 1)/2n
falls (2k + 1)/2n < t < (2k + 2)/2n
sonst
Zeigen Sie, daß für alle N ∈ N die Familie {hn,k : 0 ≤ n ≤ N, 0 ≤ k < 2n−1 } eine
orthonormale Basis von L2 (FN , λ) ist. {hn,k } heißt das Haar System auf [0, 1].
2. Zeigen Sie, daß das Haar System eine orthonormale Basis von L2 (0, 1) ist. Hinweis:
S
σ( Fn ) = B.
Beispiel 14.6 Sei A : ℓn2 → ℓn2 eine bijektive lineare Abbildung und γ das standardisierte
Gaußmaß auf Rn , i.e.
2
γ(dx) = (2π)−n/2 e−kxk /2 dx .
1. Berechnen Sie die Dichte des
Bildmaßes γA bezüglich des Lebesguemaßes.
R
2. Berechnen
Sie für p > −n: Rn kxkp γ(dx) mithilfe der Gamma-Funktion: Γ : R+ → R:
R ∞ x−1 −t
Γ(x): = 0 t e dt.
Beispiel 14.7 Seien
f ∈ L1 (RnR), x ∈ Rn und t > 0. Zeigen Sie: 1.
R
R
f (y) dy und 2. f (ty) dy = t−n f (y) dy.
R
f (x + y) dy =
n eine lineare Abbildung mit | det T | = 1. Dann gilt für
Beispiel 14.8 Seien
T : Rn → R
R
R
alle f ∈ L1 (Rn , λ): f ◦ T dλ = f dλ. Insbesondere ist das Lebesguemaß invariant unter
Isometrien.
Beispiel 14.9 Zeigen RSie mithilfe des Transformationssatzes,
daß für alle
a > 0 und
R
R
alle f ∈ L1 (R+ ) gilt: f (|x − a/x|) dx = f (x) dx. Berechnen Sie damit R exp(−x2 −
1/x2 ) dx.
Beispiel 14.10 Zeigen Sie mithilfe der geometrischen Reihe für (1 − x2 y 2 )−1 :
3
4
∞
X
n=1
n
−2
=
∞
X
−2
(2n + 1)
n=0
=
Z
0
1Z 1
0
(1 − x2 y 2 )−1 dy dx
Berechnen Sie das Integral mittels der Substitution (x, y) = (sin s/ cos t, sin t/ cos s).