Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der
Mathematik
HS 2011
Vorlesungsnotizen von
Gideon Villiger
Grundlagen der Mathematik
Seite |1
30.09.2011
1 Axiome und Beweise
Anhand der Peano-Arithmetik (PA) zeigen wir, wie eine mathematische Theorie aufgebaut ist.
1.1 Die Sprache der Peano-Arithmetik
Die nicht-logischen Zeichen von PA sind 0,+,⋅ ,s; wir schreiben
⋅
, welche folgende
Bedeutung haben:
Ebenen
syntaktische (formale/logische) Ebene
semantische Ebene (Semantik = Bedeutung)
0 ist ein Konstantensymbol, steht für ein
0 steht für die natürliche Zahl 0
bestimmtes Objekt
s ist ein einstelliges Funktionssymbol; ist z.B. t
s ist die „Nachfolgerfunktion“, d.h. s(n) ist die
ein Term, so ist auch st ein Term.
Zahl n+1
+, ⋅ sind 2-stellige Funktionssymbole, diese
+, ⋅ stehen für die Addition und die
werden zwischen Terme geschrieben
Multiplikation und ordnen jeweils irgend zwei
Zahlen eine Zahl zu.
1.2 Die Axiome der Peano-Arithmetik
Die Axiome regeln, wie die nicht-logischen Symbole gebraucht werden, bzw. was für Eigenschaften
sie haben.
(
ef.
{
und s
)
(
(
ef {
)
)
(
(
( ⋅
ef ⋅ {
semantisch: ist keine „Nachfolgerzahl“ (hat
keinen Vorgänger)
verschiedene Zahlen haben verschiedene
Nachfolger: →
→
(es wird nicht verlangt, dass + kommutativ ist)
))
)
( ⋅
( ⋅ )
)
(es wird nicht verlangt, dass ⋅ kommutativ ist)
Ist ( ) eine Formel (in der die Variable x
nicht durch einen Quantor gebunden ist), so
ist die folgende Formel ein Axiom:
( )
(
(
)
(
))
( )
Induktionsaxiom
Grundlagen der Mathematik
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1.3 Rechnen mit natürlichen Zahlen
Die Axiome
regeln das Rechnen mit natürlichen Zahlen.
Beispiele:
i)
(
⏟
⏟
ii)
)
(
⏟⋅
iii)
⋅ )
)
( ⋅ )
⋅
(
iv)
)
Induktionsbeweise:
Bei Beweisen haben wir Schlussregeln, eine davon ist Modus Ponens:
Schluss (MP)
Bei einem Induktionsbeweis wird das Induktionsaxiom zusammen mit Modus Ponens benutzt, um
( ) zu beweisen.
Aussagen der Form
Induktionsbeweise sind wie folgt aufgebaut:
0) Induktionsverankerung: ( ) wird bewiesen
1) Induktionsschritt: ( )
(
2) Induktionsschluss: ( )
wir haben also:
)
( )
( ( )
(
( ( )
(
))
( )
können wir mit MP schliessen:
Beispiele:
(
 Satz 0:
)
Beweis: ( ) sei die Formel
0) Induktionsverankerung: ( ) ist
( )
1) Induktionsschritt: ⏟
√ (mit
(
)
)
nnahme
(
) ist
⏟
(
)
)
((
(
( ), d.h.:
2) Induktionsschluss:
 Satz 1:
also ( )
nnahme:
(
( ) (
-
( )
(
)) (Assoz. von +)
mit
(
(
)
(
und (MP) folgt:
)
(
)
((
)
)
((
)
( ) (
)
(
-
)
)
)
Beweis: Induktion nach z, d.h. ( )
-
(
)
)
( )
)
(
(
nn
(
(
))
))
))
))
Grundlagen der Mathematik
(
 Hilfssatz 0:
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)
Beweis: ( ) ist
-
( )
-
( )
(
)
(
(
(
 Satz 2:
)
Beweis: ( ) ist
-
( )
-
( )
)
)
nn
(
)
(Komm. von +)
für alle y
atz
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
(
atz
))
(
)
( ))
(
)
07.10.2011
Formale Beweise:
Formale Beweise sind eine Sequenz von Formeln
(Voraussetzung), ein logisches Axiom, oder
, für die gilt:
ist entweder Axiom
ist durch eine Schlussregel aus früheren Formeln in der
Sequenz entstanden.
Schlussregeln:
( )
( )
Modus Ponens (MP)
Verallgemeinerungsregel ( )
Sei T („Theorie“) eine Menge von Formeln (in einer Sprache ); T ist üblicherweise eine Menge von
Axiomen. Wir sagen, dass eine -Formel
Sequenz von -Formeln
-
aus T beweisbar ist, in Zeichen
gibt, für die gilt:
ist
, falls es eine
und für alle mit
ist ein logisches Axiom oder eine Formel aus T, oder
-
es existiert ein
-
es existiert
⏟
⏟
, so dass
, so dass
ist
die Formel
( ) wurde angewandt, oder
(MP) wurde angewandt.
haben wir
Grundlagen der Mathematik
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Beispiel:
PA
s0 + s0 = ss0
(
(
⏟ (
))
(
(
( )
(
)))
(
(
(
))
⏟(
(
))
)
(
)
L12 x/s0
(MP)
(
)
)
(
))
)
(
(
PA4
L12 y/0
(MP)
(
)
(
)
⏟
und
PA3
L12 x/s0
(MP)
⏟(
und
)
und
L 8 …/s
⏟
(MP)
⏟
und
L16
L17 R/=
(
(
)
(
(
(
⏟
(
))
)
)
L5
(MP)
)
und
(MP)
und
(MP)
und
(MP)
und
Grundlagen der Mathematik
Seite |5
14.10.2011
Modelle
syntaktische Ebene
semantische Ebene
formale Sprache
Modelle
Terme: spezielle Zeichenketten, insbesondere
Konstantensymbole
Ein Modell M besteht aus Objekten; die Menge
der Objekte ist der Bereich des Modells M.
ist ein Element vom Bereich von M.
Sei c ein Konstantensymbol
Ist R ein Relationssymbol,
so ist
eine Relation auf dem Bereich.
z.B. ≤ ist ein 2-stelliges Relationssymbol
Ist A der Bereich von M, so ist
⟨
Formeln: spezielle Zeichenketten; werden wahr
⟩
.
Wird eine Formel
oder falsch wenn wir sie interpretieren
wahr in M, so schreiben wir
(M ist Modell von )
Die logischen Axiome garantieren, dass die
(
Symbole , ∨, ¬, , ∃, → richtig interpretiert
∨
werden. Zum Beispiel sagt
, d.h.
ahr in
∨
∃
Alles was wir aus den logischen Axiomen formal
beweisen können, gilt in allen Modellen.
, d.h.
gilt:
( falsch in
)
und
ist
wahr oder falsch.
z.B. gilt:
)
.
oder
( )
es e istiert ein
(
)
( )
f r alle
,
gilt
(
)
nicht-logische Axiome: spezielle, ausgewählte
Erfüllt ein Modell M alle Formeln einer Theorie T
Formeln. Meist Sätze, d.h. Formeln ohne freie
(„ ahr machen“), so sagen ir „M ist ein Modell
Variablen.
von T“,
Zum Beispiel:
(
:
Beispiel: Bereich
) (reflexiv)
≤M :
)
((
((
.
) (anti-symm.)
)
𝑀
) (transitiv)
<0,0>
⟨
⏟
⟩
(„teilt“)
(Übungsaufgabe)
Bezüglich Modellen und Theorien gilt Folgendes:
 Korrektheitssatz: Ist T eine Theorie (Menge von Sätzen) und
ist formal aus T beweisbar, so gilt für alle Modelle
Insbesondere sind alle log. Axiome wahr in jedem Modell.
ein Satz, und gilt:
.
, d.h.
Grundlagen der Mathematik
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21.10.2011
odelle: (
f r alle
)
Gödel’scher Vollständigkeitssatz: Sei T eine Menge von -Sätzen (z.B. Axiome) und sei
Satz. Gilt in allen Modellen
auch
für alle Modelle: (
)
(d.h.
irgend ein -
ist wahr in M), so gilt:
.
.
(mit dem Gödel’schen Vollständigkeitssatz kann man mathematische Be eise in formale Be eise bertragen)
Beispiele:
1) Satz des Pythagoras: Modelle entsprechen den rechtwinkligen Dreiecken (d.h. jedes
konkrete rechtwinklige
ist ein Modell für ein rechtwinkliges Dreieck.)
Für jedes rechtwinklige
können wir den Satz von Pythagoras überprüfen. Der
mathematische Beweis funktioniert, indem wir Argumente finden, welche in jedem
rechtwinkligen
durchgeführt werden können.
in jedem rechtwinkligen
gilt der Satz von Pythagoras, also ist dieser Satz beweisbar
aus den Axiomen der Geometrie.
2) Jeder Körper ist ein Modell für die Körperaxiome.
In jedem Körper ist das Neutralelement bezgl. der Addition eindeutig, also ist dieser Satz
formal beweisbar aus den Körperaxiomen.
Beweismethoden (mathematische Beweise)
logische Äquivalenz:
zwei Formeln
und ψ heissen logisch äquivalent falls gilt:
d.h. für alle Modelle gilt:
.
logisch äquivalente Formeln haben dieselbe Wahrheitstafel.
∨
∨
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
(
∨ ) (logisch äquivalent)
Weiter gilt: ∃
∃
;
zum Beispiel: (
∃
)
(⏟
∨∃
)
(∃
∨∃
)
∃
Beweismethoden:
0) Sind
und ψ logisch äquivalent, so ist es gleichbedeutend, ob ir
oder ψ be eisen:
sei „es gibt keine grösste nat rliche Zahl“
d.h.: ∃
(
)
∃ (
)
(stimmt für
)
Grundlagen der Mathematik
1) Kontraposition: Soll
bewiesen werden, so können wir ebenso gut
beweisen, weil (
( ungerade
(
)
(
)
Seite |7
(
)
)
rim)
( ungerade
(
rim)
)
(
∨
)
( gerade ∨ nicht rim)
x gerade
x nicht prim
x gerade
eine Aussage ( ) gilt, so
2) Induktionsbeweise: Soll gezeigt werden, dass für alle
zeigen wir: (
) und
( ( )
(
))
( ( )).
Mit dem Induktionsaxiom PA7 und Modus Ponens erhalten wir
Grund: PA7 gilt in den natürlichen Zahlen .
3) Widerspruchsbeweise: Wir möchten einen Satz
bewiesen. Wir zeigen:
)
((
Grund:
be eisen und ir haben bereits ψ
, dann können wir
daraus schliessen.
) ist immer wahr, also
((
(
)
)
)
((
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
)
((
)
)
(
Bew. mit MP: ⏟
Beispiel:
)
)
ist „es gibt keine grösste nat rliche Zahl“
ist ∃
aus
Also: ⏟
(
)
) ⏟
folgt (
, wir wissen ⏟
; somit können wir
(ψ können ir be eisen)
schliessen.
Widerspruchsbeweise sind Umwege; eleganter sind direkte Beweise.
Bemerkung: Bei Widerspruchsbeweisen wird vorausgesetzt, dass wenn ¬ falsch ist, dann muss
sein, d.h. für eine Aussage gibt es nur wahr oder falsch (
Bsp.: ex irrationale Zahlen r und s mit
∨
Fall 1:
Fall 2:
⇒
(
)
∨
)
wahr
Grundlagen der Mathematik
Seite |8
2 Axiome der Mengenlehre
Entstehung der Mengenlehre: Georg Cantor hat Ende 19.Jh. entdeckt, dass es verschieden grosse
unendliche Mengen gibt.
Beispiele: Die reellen Zahlen lassen sich nicht durch natürliche Zahlen abzählen.
Annahme: es gibt eine Abzählung der reellen Zahlen im Intervall (0,1]. Wir schreiben die
reellen Zahlen in der Dezimaldarstellung mit periodisch 9 für rationale Zahlen.
D.h. 0.5 schreiben wir als
.
+1
(
Wir konstruieren eine reelle Zahl
, welche nicht in unserer Abzählung vorkommt.
r
.83 …
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
r kommt nicht in unserer Abzählung vor, d.h. die Abzählung ist nicht surjektiv.
Wir schreiben
d.h.
hat eine kleinere Mächtigkeit als
. (Andererseits | |=| |).
28.10.2011
Es existiert keine Surjektion von
-
(
Zwei Mengen A,B heissen gleichmächtig,
gibt. Ferner gilt
, falls es eine Bijektion zwischen A und B
, falls es eine Injektion von
gibt.
(
Zum Beispiel:
↦
Gilt
und
Weiter gilt:
, so schreiben wir
(
(
(
(
𝑦
) wie folgt:
( )
)
)
𝜋
( )
(𝑥)
-
ist bijektiv
Somit gilt:
(
.
also (
↦
Wir konstruieren eine Injektion
(
. z.B.
𝜋
.
Satz von Cantor-Bernstein: Gilt
Mit dem Satz von Cantor-Bernstein folgt:
und (
), so ist
(
.
.
𝑥
Grundlagen der Mathematik
Seite |9
Nun zu den Axiomen der Mengenlehre:
Das einzige nicht-logische Zeichen der Mengenlehre ist das binäre Relationssymbol .
2.0 Axiom der leeren Menge:
Axiom 0 besagt unter anderem, dass es mindestens eine Menge gibt.
(
∃
)
(
(
))
2.1 Extensionalitätsaxiom:
Eine Menge ist durch ihre Elemente bestimmt, d.h. zwei Mengen, die genau dieselben Elemente
besitzen, sind gleich.
(
(
)
)
(„ “ folgt aus den log.
iomen f r „ “)
Aus Axiom 1 folgt, dass die Menge, deren Existenz in Axiom 0 postuliert wurde, eindeutig ist. Diese
eindeutig bestimmte Menge bezeichnen wir mit ∅.
Wir können nun die binären Relationssymbole ,
(
einführen:
)
(
)
∃ (
)
2.2 Das Paarmengenaxiom
Sind x und y Mengen, dann existiert die Menge
∃ (
welche nur x und y als Elemente besitzt.
)
y
(
(
(
x
))
∨
)
∨
{x,y}
Für
existiert
es ex. z
; für jede Menge x existiert die Menge {x}.
Insbesondere existieren die Mengen: ∅ {∅ ∅ } {{ ∅ }}, …
04.11.2011
Um geordnete Paare ⟨
⟨
⟩
⟩ zu erhalten, definieren wir:
{
}
{
(3-mal das Paarmengenaxiom:
erhalten wir ⟨
Im Fall
⟩
{
}. Es gilt: ⟨
⟩
⟨
})
⟩
2.3 Das Vereinigungsaxiom
∃
(
∃
(
))
Mit anderen Worten: für jede Menge
ex.
, welche aus allen
Elementen besteht, die in einem Element von x drin sind.
Ist z.B.
insbesondere ist
konkret:
, so ist
𝑤
;
𝑤
𝑥
.
{
}
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 10
Wir können nun natürliche Zahlen als Mengen schreiben:
∅
∅
∅
∅
∅
{∅}
{∅ ∅ }
{{∅ ∅ }}
∅
[Zermelo:
{∅ ∅ },
∅
{∅ ∅ {∅ ∅ }}
{∅}
{{ ∅ }}
]
Allgemein:
, dann ist
Um die
enge ω aller natürlichen Zahlen zu definieren, brauchen wir noch weitere Axiome.
2.4 Das Unendlichkeitsaxiom
(
Eine Menge I heisst induktiv, falls gilt:
)
⏟
Zum Beispiel ist ∅ induktiv.
⏟(
Unendlichkeitsaxiom: ∃ (∅
))
ist induktiv
2.5 Das Aussonderungsaxiom (Axiomen-Schema)
Ist ( ) eine Formel und x eine Menge, so existiert die Menge
( )
d.h. wir können aus der Menge x diejenigen Elemente aussondern, auf welche
( ) bilden:
Bemerkung: Wir können keine Mengen der Form
z.B. ( ) sei
( )
,
zutrifft.
,
( )
( )
{
⏟
mengentheoretische Differenz:
( )
⏟
Durchschnitt:
(
)
( )
wie oben ist:
.
2.6 Das Potenzmengenaxiom
∃
(
)
d.h. zu jeder Menge x ex. die Menge ( ) aller Teilmengen.
z.B.
( )
{∅
}
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 11
11.11.2011
ie
enge der nat rlichen Zahlen ω
Wir wissen:
 Es gibt eine induktive Menge mit ∅
(Unendlichkeitsaxiom)
 Es gibt die Potenzmenge ( ) (Potenzmengenaxiom)
( )
 Es existiert
∅
ist induktiv
(Aussonderungsaxiom)
; das ist die kleinste induktive Menge, welche ∅ enthält
 Es existiert
(Aussonderungsaxiom)
enthält auch ∅, also auch ⏟
∅
∅
ω ist unendlich, jedes Element von ω ist aber endlich.
it ω können ir
bilden,
⏟
analog
⋅
Cartesische Produkte
Seien A und B beliebige Mengen.
⟨
⟩
{
Um
( (
}
));
( )
(
)
zu bilden, brauchen wir: Vereinigungsaxiom, Paarmengenaxiom,
Potenzmengenaxiom, Aussonderungsaxiom.
(
⏟
Analog können wir definieren
)
, viel einfacher mit Relationen, d.h. mit
Teilmengen cartesischer Produkte zweier Mengen: Für
(
⏟
)
(⟨
∃
definieren wir:
⟩
)
⏟
n-mal
(
Beispiel:
( )
( )
)
∃
(⟨
( )
( )
( )
( )
⟩
( )
)
}
Der Funktionsbegriff
∅.
Seien A und B Mengen,
Eine Funktion
ist eine Teilmenge von
(⟨
⏟
∃
⟩
(
) mit folgenden Eigenschaften:
)
( )
Für
heisst:
 A der Definitionsbereich von f
 B der Wertevorrat von f

[

( )
 für
∃
( ( )
) ist das Bild von A unter der Funktion f.
y ist Funktionswert, Bild von x.
ist ⏟
( )
die Menge der Urbilder von y.
Grundlagen der Mathematik
Die Menge aller Funktionen
und
S e i t e | 12
bezeichnen wir mit
. Für
identifizieren:
können wir die Mengen
A
⟨ ( )
(
B
)⟩
Der Mächtigkeitsbegriff
Zwei Mengen A und B haben dieselbe Kardinalität (Mächtigkeit),
, falls eine Bijektivon
zwischen A und B existiert.
Wir sagen
, falls
für ein
.
A
B‘
das ist gleichbedeutend zu: es ex. eine Injektion von A in B.
B
ie Relation „ “ ist refle iv und transitiv.
Satz von Cantor-Bernstein: ie Relation „ “ ist antisymmetrisch.
nj.
nj.
Bijektion
Varianten: mit Surjektionen
es e . urjektion
„
“ ist refle iv und transitiv, aber (ohne us ahla iom) nicht antisymmetrisch.
Definitionen von endlich:
 Eine Menge M heisst D-endlich (Dedekind-endlich), falls es keine Injektion gibt von M in eine
echte Teilmenge von M (ohne us ahla iom e istieren „unendliche“
engen elche -
endlich sind).
 Eine Menge M heisst endlich, falls es ein
gibt und eine Bijektion
( )
Satz von Cantor: Für alle Mengen A gilt:
(d.h.
.
( ))
(es ex. keine Bij.
( ))
Beweis:
für
∅ ist ⏟
∅
⏟(∅)
𝒫(A)
A
∅
( )
ist eine Injektion für
∅;
x
g
( ).
also:
( ) irgend eine Funktion.
Sei
‘
Wir zeigen: g ist nicht surjektiv:
Sei
, also
( )
( ). Wäre g surjektiv, so würde es ein
geben mit ( )
.
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 13
Annahme: ( )
( )
1.
2.
( )( )
mit ( )
Also ex. kein
und somit ist g nicht surjektiv.
∎
Beispiel:
( )
∅
∅
“Primzahlen“
Beispiel:
(Abzählung der rationalen Zahlen)
⟨
⟩
falls
⟨
⟩
(
,
sonst.
)⋅(
)
(
∑
)
18.11.2011
2.7 Das Ersetzungsaxiom
(∅)
Wir möchten Mengen bilden wie z.B.
(∅)
Also
(∅)
(∅)
∅, und allgemein
(∅)).
(
(∅)
, wobei
(∅)
( (∅))
Um solche Mengen zu bilden, brauchen wir das Ersetzungsaxiom, welches von Fraenkel eingeführt
wurde.
-
Eine Formel (
) hat Funktionscharakter, falls gilt:
(∃ ( (
z.B.:
))
∃
( (
)))
(
)
(
) hat Funktionscharakter; Definitionsbereich von
wäre die
Zusammenfassung aller Mengen, also keine Menge.
[Die Zusammenfassung aller Mengen ist keine Menge:
onst: sei V die „ enge aller
engen“; mit ussonderungsa iom bilden ir die
. Frage:
enge
]
Ersetzungsaxiom (Axiomenschema):
Für jede Formel (
(
∃ ( (
) mit Funktionscharakter ist folgendes ein Axiom:
))
∃
∃
( (
)))
𝜑
[
„ ie Bilder einer Menge bilden wieder eine
Menge A
enge“
Klasse
Menge B
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 14
2.8 Das Fundierungsaxiom
(
∅
{
z.B.:
(
∃
∅))
}
{
}
∅
Konsequenzen:
(

)
Bew.:
∅, also müsste gelten:
und
∅
 Das Folgende ist unmöglich:
i)
ii)
Die Klasse aller Mengen sieht wie folgt aus:
(∅)
(∅)
(
(∅))
(∅)
(∅)
({∅ ∅ }) {∅ ∅ {∅ ∅ } { ∅ }}
(∅)
( ∅ ) {∅ ∅ }
(∅)
∅
(∅)
(∅)
(∅)
(∅)
∅=0
jede Menge der Mengenlehre erscheint auf irgend einem Level.
(∅) und
(∅)
2.9 Das Auswahlaxiom
„Cartesische Produkte nicht-leerer
A
B
⋅
C
⋅
engen sind nicht leer.“
Z
⋅
ist von der Form ⟨
⋅
⟩
es gibt eine Funktion welche aus beliebig vielen nicht-leeren Mengen jeweils ein Element
auswählt.
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 15
25.11.2011
3. Aufbau der Zahlen
3.1 Die natürlichen Zahlen
 syntaktische Ebene:
Peano Arithmetik
{ ⏟
⏟
konst.
ymbol
stelliges
⏟
⋅ }
2stellige
unkt. ymb.
PA-Axiome:
 semantische Ebene:
M Modell der Peano-Arithmetik

M hat einen Bereich ω (der Bereich ist immer eine nicht-leere Menge in der Mengenlehre). ω ist die kleinste, unendliche, induktive Menge (Konstr. in ZF mit Axiomen 1-6)

ist ein Objekt aus ω; ir inter retieren
∅ (∅
).

ist eine 1-stellige unktion auf ω; ir inter retieren
( )
( ( )
∃
Satz:
( (
⏟
( ))
( ( ))))
[ ( )
[
ist die Menge aller Funktionen
( )
{
Bew.: Sei
o
Die Menge
o
Jede Funktion
( )
( ( )))}
existiert wegen dem Aussonderungsaxiom.
(für ein
( (
und
), welche die obigen Bedingungen erfüllt, d.h.
( ))
Sind
mit
( )
( ))
(
( ( )).
mit ( )
, so existiert kleinstes
( ), ist
Dann ist aber ( )
( ). Weil
. Somit ist
(
Widerspruch zu ( )
( ))
( ( ))
, gilt: ( )
( ( ))
( )
(
, dann ist:
⟨⟨
⟩ ⟩
, z.B.:
(
(
( ).
( ))
( ).
), weil dann + durch sich selbst definiert wird]
(
Wir interpretieren das 2-stellige Funktionssymbol + durch
wobei
( ). Weil
()
Interpretation von +: [nicht zulässig:
[
( )
( ( ))), kann zu einer Funktion
∅.
Daraus folgt, dass

( ))
( (
erweitert werden, so dass gilt:
o
]
)
)
, dann ist:
( )
(
)
(ex. wegen Aussonderungsaxiom)
( )
einfacher:
Wir können zeigen, dass diese Interpretation des Funktionssymbols + die Axiome
und

erfüllt.
Analog interpretieren wir ⋅ mit einer 2-stelligen Funktion
, welche
und
erfüllt.

Ferner zeigen wir, dass (
∅
) auch
erfüllt; d.h.: (
∅
)
.
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 16
Bemerkung: Modelle einer Theorie werden vielfach mit ihrem Bereich identifiziert
ist ein Körper, G eine Gruppe (
z.B.:
), oder
(wobei
)
02.12.2011
Repetition: n der
engenlehre haben ir ω konstant, und auf ω eine -stellige Nachfolgeroperation
s, sowie 2-stellige Operationen + und ⋅ definiert. Somit haben wir mit Hilfe der Mengenlehre ein
Modell konstruiert für die Peano-Arithmetik:
( ∅
⏟
⋅)
3.2 Die ganzen Zahlen
In Aufgabe 19 (Serie 5) wurde auf
Sei
⟨
⟩ ⟨
(
)
folgende Äquivalenz-Relation eingeführt:
⟩
(bzw. ⏟
)
die Menge aller Äquivalenzklassen ⟨
⟩
.
Auf Z definieren wir zwei binäre Funktionen „ “ und „ “ ie folgt:
 ⟨
⟩
(
)
 ⟨
⟩
(
⟨
⟩
(
⟨
)
⟨
)⋅(
(
⟩
)
⟩
)
(
)
⟨ ⋅
⋅
( ⋅
⋅ )
⋅ ⟩
⋅
( ⋅
⋅ )
Zuerst zeigen ir, dass „ “ und „ “ wohldefiniert sind:
⟨
⏟
⟩ ⟨
⟩
diese Elemente gehören derselben quivalenzklasse an
⏞
⟨ ⟩ ⟨
⟨
: ⏟
 zu
⟩
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
(
⏟
⟩
⟨
⟨
⟩
⟩
⟨
⟩
(
: ⟨⏟
 zu
⟩
⟨
⟩
⟨
⟨
⟩
(
-
Für alle ⟨
⟨
-
⟩
)⋅
⟩
⟩
⟨
(
gilt: ⟨
⟨
⟩
)⋅
⟩
)
⟨
(
⟩
)⋅
⟨
(
)⋅
⟩
⟩ ist Neutralelement bez glich der ddition „ “.
Für alle ⟨
⟩
gilt: ⟨
⟩
⟨
⟩
⟨
⟩
d.h. jedes Element aus Z hat ein Inverses bez glich „ “.
-
erner haben ir ein Neutralelement bez glich „ “, nämlich ⟨
-
chliesslich lässt sich ω einbetten in Z mittels:
Somit ist ( ⟨
⟩ ⟨
⟩
) isomorph zu (
⟨
⋅).
⟩ .
⟩
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 17
3.3 Die rationalen Zahlen
(
In Aufgabe 20, Serie 5 wurde auf
⟨
⟩ ⟨
⟩
⋅
) folgende Äquivalenz-Relation definiert:
⋅
(
⋅
Wie in 3.2 erhalten wir dann die nicht-negativen Brüche
⋅ )
.
3.4 Die reellen Zahlen
Wir betrachten die reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden mit zwei ausgezeichneten Punkten 0
und 1:
r
1 s
0
Gegeben seien zwei Strecken r und s; gesucht ist die grösste Strecke d, welche ganzzahlig in r und s
enthalten ist (Euklid’sche lgorithmus):
r
s
t
d teilt s
}
d teilt r
d teilt s
}
d teilt t
⋅
d teilt
( ⋅ )
d teilt
s
t
t
d teilt t
}
d teilt t
t
(
⋅
)
t‘
( ⋅ )
d teilt
weiter mit t‘ und t‘‘ … bis Reststrecke
oder unendlich so eiter
Mit Zahlen berechnen wir so den ggT:
z.B.: ggT(299, 78)
⋅
⋅
⋅
⏟
(
)
Allgemein:
reelle Zahlen
⋅
,
(mit
⋅
,
(mit
⋅
)
)
…
bis
oder unendlich oft
Bsp.:
⋅
(
(
)
⋅(
)
)
⋅(
(
)
)
(
)
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 18
konkret:
⋅
⋅
⋅
Allgemein:
[
im Bsp.:
(
Bsp.:
)
(
(
[
)
[
)
09.12.2011
Jede reelle Zahl
lässt sich in einen Kettenbruch (endlich oder unendlich) verwandeln:
[
mit
(für alle
Rationale Zahlen entsprechen endlichen Kettenbrüchen [
Begründung:
falls
, so könnte man schreiben:
[
[
[
Beispiele:
[
]
⏟ ⏟ ⏟
⏟
]
).
mit
(falls
).
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 19
Näherungsbrüche:
[
Ist
, so heissen die rationalen Zahlen [
[
[
Näherungsbrüche von r.
Berechnung der Näherungsbrüche (am Beispiel e):
…
e
⋅ 2
⋅
1
⋅
⋅
1
1
2
1
1
4
1
…
8
11
19
87
106
…
3
4
7
32
39
…
(fix)
Die Brüche
sind die Näherungsbrüche von e.
Die Näherungsbrüche
bilden eine Cauchy-Folge.
⋅
Dafür zeigen wir zuerst, dass
⏞
⏞
⏟
⏟
(
⋅
)
…
…
mit Induktion nach n:
⋅
(
⋅
)
⋅
Annahme:
)
(
⋅
⋅
Wir müssen zeigen:
(
(
⋅
)
)
(
)
⋅(
)
⋅
⋅
⋅(
)
⋅
⋅
⋅(
(
⋅
Behauptung: Die Folge
)
⋅
)⋅(
)
(
)
ist eine Cauchy-Folge.
(
∃
Beweis: Wir müssen zeigen:
⋅
(
⋅
)
)
⋅
⋅
⋅
und somit wird das Produkt
beliebig gross, insbesondere
grösser als .
(
)
|
⋅
(
)
⋅
(
|
)
⋅
Grundlagen der Mathematik
S e i t e | 20
und ( ):
Bijektion zwischen
[
∑
{
∑
f r
f r
mit
Endliche Kettenbrüche [
werden ersetzt durch [
und ( )
Das ist eine Bijektion zwischen
(weil
∅.
Wir „verschieben“ nun die -elementigen Teilmengen von ω wie folgt:
falls
∅ sonst
Mit dieser Verschiebung haben wir eine Bijektion
{
Mit Satz von Cantor:
, also:
( )
→ es gibt keine bzählung der reellen Zahlen mit rationalen Zahlen.
Beispiele:

⏟
[
⏟
⏟

0
4
4
2
9
0
1
0
1
4
1
0
1
4
17 38
⏟
⏟
⏟

[
[
⏟
(
)
).