Programmierpraktikum Einführung in die

Technische Universitat Munchen
Institut für Informatik
Lehrstuhl Informatik IX
Prof. Dr. Bernd Radig
SS 05
15. Juni 2005
Aufgabenblatt 8
Programmierpraktikum
Einführung in die Bildverarbeitung
Achtung: Die Bearbeitungszeit für dieses Blatt beträgt 2 Wochen, Abgabetermin ist
folglich der 6. Juli 2005.
Technische Universität München
Institut für Informatik
Lehrstuhl Informatik IX
Prof. Dr. Bernd Radig
SS 05
22. Juni 2005
Aufgabenblatt 8
Programmierpraktikum
Einführung in die Bildverarbeitung
Auf diesem Blatt behandeln wir die Filterung im Frequenzraum. Wir haben bereits einige Filter im Ortsraum kennengelernt, welche wir durch die Faltungsoperation implementiert haben (siehe Aufgabenblatt 5). Diese haben allerdings den Nachteil, daß sie
bei grossen Bildern und Filterkernen relativ langsam laufen und, daß sie z.B. bei Tiefpassoperationen keine Information darüber geben, bis zur welche Frequenzen gefiltert
werden. Diese Nachteile kann man umgehen, wenn man die entsprechende Filterung im
Frequenzraum durchführt. Die Faltung im Ortsraum entspricht der Multiplikation im
Frequenzraum. D.h. Eine entsprechende Filterung erhält man, wenn man Bild und Filterkern in den Frequenzraum transformiert, dort komponenetenweise miteinander multipliziert und das Resultat in den Ortraum wieder zurücktransformiert. Glücklicherweise
ist man nicht gezwungen den Filterkern zu transformiren, sondern kann im Frequenzraum einfachere und effektivere Filtermasken erstellen, so daß sich der Aufwand auf die
Transformation, inverse Transformation und einer komponentenweise Multiplikation reduziert. Die Transformation des Bildes in den Frequenzraum erfolgt durch die diskrete
Fourier-Transformation (DFT) entsprechend ist die inverse Transformation (also vom Frequenzraum in den Bildraum/Ortsraum) die inverse DFT (IDFT).
Sei B(x) die Bildfunktion im Ortsraum; die 1 dimensionale diskrete Fouriertransformation
ist wie folgt definiert:
N
−1
n·u
F (u) =
B(n) · ei·−2π N
n=0
wie man hier deutlich sehen kann, ist ei·−2π
und kann somit umgeformt werden zu:
N
−1
n·u
N
die Eulerdarsellung einer komplexen Zahl
N
−1
n·u
n·u
n·u
n·u
) + i · sin(−2π
)) =
) − i · sin(2π
))
F (u) =
B(n) · (cos(−2π
B(n) · (cos(2π
N
N
N
N
n=0
n=0
Entsprechend ist die 1 dimensionale inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) gegeben durch:
B(x) =
N −1
N −1
n·x
1 n·x
1 n·x
·
·
) + i · sin(2π
))
F (n) · ei·2π N =
F (n) · (cos(2π
N n=0
N n=0
N
N
Die 2 dimensionale DFT F (u, v) kann durch 2 aufeinanderfolgende 1 dimensionale DFT’s
berechnet werden. Zuerts werden die Zeilen transformiert und das Ergebnis als Complexe
Werte in einem Array gespeichert (Realteil und Imaginärteil). Danach werden die Spalten
des neu gewonnenen Arrays transformiert und man erhält die 2D-DFT des Ursprungbildes.
Bei der ersten DFT sind die Werte von B(x) (Zeile) reel, bei der zweiten DFT sind diese
Werte complex und müssen in der Berechnung des Produktes (innerhalb der Summe)
entsprechend richtig multipliziert werden! Entsprechend funktioniert die 2D-IDFT: zuerst
berechnet man die IDFT der Spalten; dann die IDFT über die Zeilen des Resultats (und
erhält hoffentlich das richtige Ergebnis).
Filtern im Frequenzraum:
Wie bereits oben erwäht erfolgt eine Filterung im Frequenzraum durch komponentenweise
Multiplikation der Fourieretransformierten F (u, v) und der Filtermaske H(u, v). Üblicherweise liegen die Werte der Filtermaske zwischen 0 und 1, und die Maske hat die selben
Ausmaße wie die Fouriertransformierte.
Aufgaben
1. Erstellen Sie die Klasse FourierImage, abgeleitet von DataObject. Diese kapselt
das Ergebnis einer Fouriertransformation, also eine zweidimensionale Matrix mit
Elementen aus C, deren Grösse der des Urbildes entspricht (also gleichviele Spalten/Zeilen besitzt). Wählen Sie hierfür eine effiziente Darstellung1 !
Die Klasse FourierImage existiert somit parallel zur Klasse Image. Die Umwandlung von Image nach FourierImage wird durch den Operator Fourier vorgenommen, die einen Eingabeport vom Typ Image und einen Ausgabeport vom Type
FourierImage besitzt. Die Rückwandlung wird von InverseFourier durchgeführt.
Filter im Frequenzraum haben FourierImage sowohl als Eingabe, als auch als Ausgabe.
2. Erstellen Sie die Klasse FourierImageViewerPanel, auf dem ein Fourierbild
angezeigt werden kann. Eine Instanz dieses Panels wird von der Methode
getViewPanel() der Klasse FourierImage zurückgegeben.
Die Elemente des Fourierbildes F (u, v) = a + bi sind komplexe Zahlen, und können
somit nicht unmittelbar dargestellt werden. Auf dem Panel soll daher wahlweise das
Powerspektrum oder das Phasenbild des Fourierbildes zu sehen sein. Beachten Sie
folgendes:
• Das Powerspektrum
√ zeigt für jeden Bildpunkt den Betrag des zugeordneten
Elements an, also a2 + b2 . Damit das Powerspektrum besser sichtbar wird,
muss dieser Wert logarithmisch skaliert werden:
c · ln(1 +
√
a2 + b2 )
Die Konstante c ist dabei vom Bild abhängig us muss so gewählt werden, dass
der zur Verfügung stehende Bereich von 0 bis 255 optimal ausgenutzt wird.
1
Eine Darstellung wie z.B. Complex[][], wobei Complex ein selbst definierter Datentyp zur Repräsentation komplexer Zahlen wäre, ist nicht effizient, also denken Sie sich etwas anderes aus :-)
• Zur intuitiveren Darstellung des Powerspektrums sollen beim Anzeigen die
Quadranten des Bildes vertauscht werden:
2
1
4
3
3
4
1
2
• Das Phasenbild zeigt den der komplexen Zahl a + bi zugeordneten Winkel φ an,
d.h. den Winkel, den der Vektor (a, b)T mit der x-Achse bildet. Dieser Winkel
liegt im Intervall [0; 2π[ und muss zur Anzeige auf den Bereich von 0 bis 255
abgebildet werden.
3. Erstellen Sie den Operator FourierTransform, welcher als Eingabe ein Grauwert-Bild
erwartet und als Ausgabe die 2D-Fouriertrandformierte des Bildes zurückgibt.
4. Erstellen Sie den Operator InverseFourierTransform, welcher als Eingabe ein
FourierImage erwartet und als Ausgabe die inverse Fourier-transformierte
(Grauwert-Bild) zurückgibt.
5. Erstellen Sie den Operator FreqFilter, welcher eine Vielzahl von Filtern im Frequenzraum anbietet. Der Operator erwartet als Eingabe ein FourierImage und
gibt als Ausgabe wiederum ein FourierImage zurück. Die Filterung erfolgt durch
Erstellen einer Filtermaske H(u, v) und Anwenden dieser Filtermaske auf die Fouriertransformierte F (u, v). Vorsicht: Die Filtermasken sind hier so definiert, daß
die Quadranten wie bei dem Powerspektrum vertauscht sind und der Ursprung in
der Mitte angenommen wird: Richtig umrechnen! Dieser Operator hat die beiden
integer-Parameter param1 und param2 und einen enum Parameter mit folgenden
Einträgen:
Tiefpass: Filtert die FourierTransformierte mit einer Filtermaske, welche wie folgt
definiert ist:
1 falls x2 + y 2 < param12
H(u, v) =
0 sonst
Hochpass: Filtert die FourierTransformierte mit einer Filtermaske, welche wie folgt
definiert ist:
1 falls u2 + v 2 > param12
H(u, v) =
0 sonst
Bandpass: Filtert die FourierTransformierte mit einer Filtermaske, welche wie
folgt definiert ist:
1 falls u2 + v 2 > param12 ∧ u2 + v 2 < param22
H(u, v) =
0 sonst
Richtung: Dieser Filter erzeugt eine Filtermaske entsprechend der Abbildung:
param1
param2
param1 und param2 sind in Grad angegeben und entsprechen dem Winkel in
welcher der Doppelkegel liegt bzw. dem Öffnungswinkel des Doppelkegels.
BWTief: Filtert die FourierTransformierte mit einer Filtermaske, welche wie folgt
definiert ist:

 1 falls √ 2 12 2·param2
u +v
1+ param1
H(u, v) =

0 sonst
Dieser Filter ist der Butterworth-Tiefpass-Filter. (weitere Infos kann man zu
genüge im Internet finden.)
BWHoch: Filtert die FourierTransformierte mit einer Filtermaske, welche wie folgt
definiert ist:

1
2·param2
 1 falls param1
1+ √ 2 2
H(u, v) =
u +v

0 sonst
Dieser Filter ist der Butterworth-Hochpass-Filter. (weitere Infos kann man zu
genüge im Internet finden.)
6. Zusatzaufgabe: Die DFT hat eine Zeitkomplexität von O(n4 ). Es gibt eine schnellere Variante, die diese Transformation in O(n2 ·log(n)) erledigt; die Schnelle Fourier
Transformation (Fast Fourier Transform: FFT). Die Implementierung der DFT wie
sie oben beschrieben ist, ist pflicht! Wer aber darüberhinaus Lust und Zeit hat, kann
zusätzlich die FFT implementieren, oder eine bereits vorhandene Implementierung
(wie sie zu genüge im Internet zu finden sind) verwenden, und die Operatoren erweitern, daß die FFT auch zur Auswahl steht. Der Geschwindigkeitvorteil ist enorm
gengeüber der DFT.
Viel Spaß!