Analysis I

Analysis I
Prof. Joachim Schöberl
WS 2010/11
(Stand 4. Oktober)
1
1.1
Grundlagen
Aussagen
Eine mathematische Aussage ist eine Behauptung, die wahr oder falsch sein kann:
5 < 7,
x = y+z
Einfach gesagt, beschäftigt sich die Mathematik mit der Aufstellung von Aussagen. Dabei werden unter Verwendung von vorhandenen Aussagen (vorhandenem Wissen) weitere
Aussagen bewiesen.
Aussagen können durch Operationen logisches und ∧, logisches oder ∨ und Negation ¬
verknüpft werden. Diese sind durch Wertetabellen definiert, f und w stehen dabei für falsche
Aussage bzw. wahre Aussage:
∧
f
w
f
f
f
∨
f
w
w
f
w
f
f
w
¬
f w
w f
w
w
w
Für die Aussagen A, B und C gelten folgende Rechenregeln, die durch einfaches Einsetzen aller Möglichkeiten bewiesen werden:
A∧B ⇔ B∧A
(Kommutativgesetz)
(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C)
(Assoziativgesetz)
(A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
(Distributivgesetz 1)
(A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
(Distributivgesetz 2)
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B
(de Morgan 1)
¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
(de Morgan 2)
Wir vereinbaren dass ¬ stärker bindet als ∧ und ∧ stärker bindet als ∨ (vgl. Punktrechnung vor Strichrechnung).
Weitere Verknüpfungen sind die soeben verwendete Äquivalenz von Aussagen ⇔. Die
Aussage
A⇔B
bedeutet, dass die Aussage A genauso wahr oder falsch ist wie die Aussage B.
Die Implikation
A⇒B
bedeutet, dass B mindestens so wahr ist wie A.
Auch die Äquivalenz und die Implikation werden über Wertetabellen definiert:
⇔ f
f w
w f
A⇒B
A=f
A=w
w
f
w
1
B=f
w
f
B=w
w
w
Im streng mathematischen Sinn muss die Implikation nichts mit der Ursache zu tun
haben, z.B.
2+2=4⇒5<8
ist eine wahre Aussage. Allerdings wird die Implikation meist im Sinne von aus A folgt B
verwendet, z.B.
(a > b) ∧ (c > d) ⇒ a + c > b + d.
Oft wird eine Implikation in negierter Form verwendet (Beweis: Übung):
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
Das bedeutet, aus der Wahrheit von A folgt die Wahrheit von B genau dann wenn aus der
Falschheit von B die Falschheit von A folgt.
1.1.1
Quantoren
Die Aussage
A(x) :⇔ x > 0
enthält die ungebundene Variable x, und ist damit noch nicht korrekt gestellt. Wenn ein
bestimmter Wert für x eingesetzt wird es zu einer konkreten Aussage (z.B. A(5) :⇔ 5 >
0 ⇔ w). Für allgemeine x aus einer Menge X ist A(.) eine Funktion von X nach {f, w},
auch Aussageform genannt. Durch Angabe für welche x die Aussage gelten soll wird die
Aussageform zur Aussage: Soll eine Aussage A(x) für alle Elemente x einer Menge X gelten,
verwendet man den für alle Quantor
∀ x ∈ X : A(x)
z.B. ∀ x ∈ N : x > 0. Dies ist nun eine korrekt gestellte (und wahre) Aussage.
Der existiert ein Quantor bedeutet, dass die Aussage für mindests ein Element gelten
soll:
∃ x ∈ X : A(x)
es gilt z.B. ∃ x ∈ R : x > 0.
Eine Variante ist der es exisitiert eindeutig Quantor ∃!x ∈ X : A(x), der besagt, dass
genau ein Element mit der Eigenschaft existiert.
Quantoren werden oft geschachtelt:
∀ (x ∈ R ∧ x > 0) ∃ y ∈ R : y 2 = x
Diese Aussage bedeutet: Für alle positiven, reellen Zahlen x gibt es mindestens eine reelle
Zahl y so dass y 2 = x ist.
Idente Quantoren dürfen vertauscht werden, oder auch zusammengefasst werden:
∀ x ∈ X : ∀y ∈ Y : A(x, y) ⇔ ∀ y ∈ Y : ∀x ∈ X : A(x, y) ⇔ ∀ x ∈ X, y ∈ Y : A(x, y)
∃ x ∈ X : ∃y ∈ Y : A(x, y) ⇔ ∃ y ∈ Y : ∃x ∈ X : A(x, y) ⇔ ∃ x ∈ X, y ∈ Y : A(x, y)
2
Unterschiedliche nicht. Z.B.
∀ x ∈ R : ∃y ∈ R : y > x ⇔ w
∃y ∈ R : ∀x ∈ R : y > x ⇔ f
Negationen von quantifizierten Aussagen werden wie folgt gebildet:
¬∀x ∈ X : A(x) ⇔ ∃x ∈ X : ¬A(x)
¬∃x ∈ X : A(x) ⇔ ∀x ∈ X : ¬A(x)
Hängt eine Aussage nicht von der Variable ab, dann kann sie vorgezogen werden, z.B. :
∀ x ∈ X : (A(x) ∧ B) ⇔ B ∧ ∀ x ∈ X : A(x)
1.2
Mengen
Eine Mengen ist eine Zusammenfassung von Elementen. Mengen können durch Aufzählung
der Elemente definiert werden, z. B.
A := {1, 2, 3, 4},
B := {1, 2, . . . , 10},
C := {2, 4, 6, . . .}.
Mit den Fortsetzungspunkten ist die Definition oft anschaulicher, die Fortsetzung muss
aber (nach Hausverstand) klar sein.
Es kommt dabei nicht auf die Reihenfolge der Elemente an, d. h. {1, 2} = {2, 1}.
Mehrfach vorkommende Elemente werden nur einfach gewertet, d.h. {1, 2, 5, 2} = {1, 2, 5},
Q = {n/m : n ∈ Z, m ∈ N }. Die leere Menge ist
∅ := { }.
Die Aussage
x∈M
ist genau dann wahr falls die Menge M das Element x enthält, Gegenteil ist x 6= M .
Die natürlichen Zahlen sind
N := {1, 2, 3, . . .}.
Wir werden N später mathematisch sauber (d.h. ohne . . .) definieren. Ist est mal N definiert,
können die Fortsetzungspunkte vermieden werden:
B = {i ∈ N : 1 ≤ i ≤ 10},
C = {2i : i ∈ N}.
3
Offene bzw. abgeschlossene Intervalle sind
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(c, d) = {x ∈ R : c < x < d}
Die Bool’sche Menge ist
B = {f, w}
1.2.1
Mengenoperationen:
Für Mengen M und N sind folgende Operationen definiert:
M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N }
(Durchschnittsmenge)
M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N }
(Vereinigungsmenge)
M \ N := {x ∈ M : x 6∈ N }
(Komplementaritätsmenge)
Oft wird eine Grundmenge X vorab vereinbart. Dann ist auch die Notation
M C := {x ∈ X : x 6∈ M }
zulässig. Vergleichsrelationen sind folgende:
M ⊂ N :⇔ ∀ x ∈ M : x ∈ N
(M is Teilmenge von N )
M = N :⇔ M ⊂ N ∧ N ⊂ M
(Gleichheit)
Wir schreiben M $ N für M ⊂ N ∧ M 6= N .
Sei I eine Menge, genannt Indexmenge, und sei für jedes i ∈ I eine Menge Ai definiert.
Dann ist die Vereinigung bzw. der Durchschnitt definiert als
[
Ai := {x : ∃i ∈ I : x ∈ Ai },
i∈I
\
Ai := {x : ∀i ∈ I : x ∈ Ai }.
i∈I
Beispiel:
[
n∈N
[0, 1 −
1
] = [0, 1)
n
Die Produktmenge besteht aus geordneten Paaren
X × Y := {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y }.
Analog wird die Produktmenge von n Mengen, n ∈ N als
M1 × M2 × . . . × Mn := {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 ∈ M1 . . . xn ∈ Mn }
4
definiert. (x1 , . . . , xn ) wird dabei als n-Tupel bezeichnet. Für n ∈ N ist
Mn = M
| ×M
{z . . . M} .
n mal
Die Potenzmenge
P(M ) := {A : A ⊂ M }
einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M . Sie enthält sowohl die leere Menge
∅ als auch M selbst.
Die Kardinalität einer Menge ist
|M | := Anzahl Elemente von M .
|N| und |R| ist dabei unendlich. Wir werden sehen dass es Abstufungen von unendlich gibt.
Satz 1.1 (de Morganschen Komplementierungsregeln). Seien N, M ⊂ X. Dann gilt
(M ∩ N )c = M c ∪ N c
Beweis. Wir verwenden die Definitionen der Mengenoperationen, und die Rechenregeln
der Aussagenlogik. Für alle x ∈ X gilt:
x ∈ (M ∩ N )c ⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
¬(x ∈ M ∩ N )
¬(x ∈ M ∧ x ∈ N )
¬(x ∈ M ) ∨ ¬(x ∈ N )
x ∈ Mc ∨ x ∈ Nc
x ∈ (M c ∪ N c )
Definition 1.2 (Partition). Sei X eine Menge. Eine Partition von X liegt vor falls für
eine Indexmenge I und eine Familie von Mengen Mi gilt:
[
X=
Mi
und
∀ i, j ∈ I : i 6= j ⇒ Mi ∩ Mj = ∅
i∈I
Dadurch können die Elemente einer Menge in Äquivalenzklassen eingeteilt werden.
Beispiele:
• X = { Autos }, I = { Farben }. Dann bestehen die Teilmengen Mi aus Autos einer
Farbe, z.B. Mblau .
• Sei m ∈ N. X = Z, I = {0, 1, . . . m − 1}. Mi = {mn + i : n ∈ Z}. Alle Elemente aus
der Menge Mi haben den gleichen Rest bei der Ganzzahldivision.
5
Definition 1.3 (Äquivalenzrelation). Eine Funktion ≡: X × X → B heißt
Äquivalenzrelation falls für alle x, y ∈ X folgendes gilt:
• Reflexivität
x≡x
• Transitivität
x≡y∧y ≡z ⇒x≡z
• Symmetrie:
x≡y⇔y≡x
Über eine Partition {Mi } von X wird eine Äquivalenzrelation auf X definiert:
x ≡ y :⇔ ∃i ∈ I : x ∈ Mi ∧ y ∈ Mi
Alle Elemente aus einer Äquivalenzklasse sind bezüglich einer bestimmten Eigenschaft
ident.
Die Festlegung von Mengen kann kann sehr allgemein sein. Z.B. kann eine Menge auch
sich selbst als Element enthalten (z.B. die Menge aller Mengen). Dabei kann es jedoch
zu überraschenden Widersprüchen, sogenannten Antinomien kommen. Ein Beispiel ist die
Russelsche Antinomie: Eine Menge soll normal heißen, wenn sie nicht sich selbst als Element
enthält. Sei M nun die Menge aller normalen Mengen. Ist M normal ? Angenommen M
sei normal. Damit enthlält sie sich (nach Definition von normal) nicht, andererseits wäre
sie in der Menge M aller normalen Mengen. Angenommen M sei nicht normal. Auch dies
führt zu einem Widerspruch !
Diese Widersprüche können nicht auftreten, wenn Mengen immer als Teilmengen eines
davor sauber definierten (!) Grundbereichs X definiert werden. Die Menge aller möglichen
Mengen ist zu groß.
1.3
Funktionen
Eine Funktion (= Abbildung = Operation)
f :X→Y
ist eine Zuordnung, die jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y zuordnet. X heißt Definitionsbereich,
Y heißt Bildbereich. Eine Funktion kann durch ihren Graphen
graph(f ) := {(x, y) ∈ X × Y : y = f (x)}
veranschaulicht, aber auch definiert werden. Beispiele sind
f : R → R : x 7→ x3
f : R × R → R : (x, y) 7→ sin(x) + exp(y)
f : {0, 1, 2} → {0, 1, 2} : graph(f ) = {(0, 1), (1, 2), (2, 0)}
6
Definition 1.4 (Graph einer Funktion). Eine Teilmenge G ⊂ X × Y ist genau dann der
Graph einer Funktion, falls zu jedem x mindestens ein y existiert, d.h.
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y : (x, y) ∈ G,
und dieses eindeutig ist, d.h.
∀ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ G : x1 = x2 ⇒ y1 = y2
Eine Funktion f heißt surjektiv falls
∀y ∈ Y ∃x ∈ X : (x, y) ∈ graph(f ),
d.h. es gibt zu jedem y ∈ Y mindestens ein x ∈ X so dass y = f (x) ist.
Eine Funktion f heißt injektiv falls
∀ (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ graph(f ) : y1 = y2 ⇒ x1 = x2
d.h. es gibt zu jedem y ∈ Y höchstens ein x gibt.
Falls f injektiv und surjektiv ist heißt f bijektiv. Werden die Rollen von X und Y
vertauscht, ist dies genau die Definition eines Graphen. Für bijektive Funktionen ist die
Umkehrfunktion f −1 : Y → X definiert über
graph(f −1 ) = {(y, x) ∈ Y × X : (x, y) ∈ graph(f )}.
Einem y ∈ Y wird das eindeutige x ∈ X zugeordnet so dass y = f (x).
Funktionen können durch Hintereinanderausführung verknüpft werden. Sei
f :X→Y
und
g : Y → Z,
dann ist
g ◦ f : X → Z : x 7→ g(f (x)).
Beispiel:
p
f : R → R × R : x 7→ (x, |x|),
g : R × R → R : (x, y) 7→ sin(x)y
dann ist
g ◦ f : R → R : x 7→ sin(x)
p
|x|.
Dabei ist
graph(g ◦ f ) = {(x, z) ∈ X × Z : ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ graph(f ) ∧ (y, z) ∈ graph(g)}
Die identische Funktion ist
idX : X → X : x 7→ x,
und besitzt den Graphen
graph(idX ) = {(x, x) : x ∈ X}.
7
Satz 1.5. Sei f bijektiv. Dann gilt
f −1 ◦ f = idX .
Beweis. Es gilt
graph(f −1 ◦ f )
=
=
=
{(x, z) ∈ X × X : ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ graph(f ) ∧ (y, z) ∈ graph(f −1 )}
{(x, z) ∈ X × X : ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ graph(f ) ∧ (z, y) ∈ graph(f )}
{(x, z) ∈ X × X : ∃y ∈ Y : y = f (x) ∧ y = f (z)}
da f injektiv
{(x, z) ∈ X × X : ∃y ∈ Y : y = f (x) ∧ y = f (z) ∧ x = z}
{(x, x) ∈ X × X : ∃y ∈ Y : y = f (x)}
da f surjektiv
{(x, x) ∈ X × X}
=
=
=
Die Anwendung einer Funktion auf Teilmengen A ⊂ X ist definiert als
f (A) := {f (x) : x ∈ A},
und ist damit eine Teilmenge von Y . Die mengenwertige Umkehrfunktion angewandt auf
Teilmengen B ⊂ Y ist
f −1 (B) := {x : f (x) ∈ B}.
Die mengenwertige Umkehrfunktion existiert auch für nicht bijektive Funktionen. Z.B. ist
für f : R → R : x 7→ x2 :
f −1 ({4}) = {−2, 2}
1.4
und
f −1 ({−1}) = ∅
Axiomatische Einführung der Zahlen
Die Zahlenbereiche
• natürliche Zahlen N = {1, 2, 3, . . .},
• ganze Zahlen Z = {. . . − 2, −1, 0, 1, 2, . . .},
• rationale Zahlen Q = {n/m : n ∈ Z ∧ m ∈ N},
• reellen Zahlen R = Q+???,
√
• komplexe Zahlen C = {a + b −1 : a, b ∈ R}
und die darauf geltenden Rechenregeln sind aus der Schule bekannt. Wir hinterfragen nun
wie man diese Rechenregeln erhält. Dabei gehen wir wie folgt vor:
1. Es werden einige Grundregeln vereinbart, die sogenannten Axiome.
2. Daraus werden mittels mathematischer Beweise die weiteren Rechenregeln abgeleitet.
Warum werden gerade bestimmte Regeln vorausgesetzt ? Die sich daraus ergebende mathematische Theorie hat sich einfach bewährt.
8
1.4.1
Die Körperaxiome
Definition 1.6 (Körperaxiome). Eine Menge K mit den Operationen ⊕ : K × K → K
und : K × K → K heißt Körper, falls für alle a, b ∈ K folgende Gesetze gelten:
(KA1) Kommutativgesetze:
a⊕b=b⊕a
und
ab=ba
a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c
und
a (b c) = (a b) c
(KA2) Assoziativgesetze:
(KA3) Distributivgesetz:
a (b ⊕ c) = a b ⊕ a c
(KA4) Es existieren zwei unterschiedliche neutrale Elemente 0 ∈ K und 1 ∈ K, so dass
a⊕0=a
a1=a
(KA5) Es existiert ein negatives Element −a so dass
a ⊕ (−a) = 0;
falls a 6= 0 existiert ein inverses Element a−1 so dass
a a−1 = 1.
Beispiel 1.7. Beispiele von Körpern sind:
• Q, R mit den üblichen Operationen a ⊕ b = a + b und a b = ab.
• Die Menge N3 = {0, 1, 2} mit den Operationen
⊕
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
0
1
2
−a
0
2
1
0
1
2
a−1
0
1
2
√
• Die Menge A := {a + b 2 : a, b ∈ Q} mit den üblichen Rechenregeln.
• Die Menge R2 mit (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) und (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad +
bc) bildet einen Körper. Dabei
ist 0 = (0, 0) und 1 = (1, 0). Dies ergibt (mit der
√
Identifikation (a, b) = a + −1 b) den Körper der komplexen Zahlen.
9
Im folgenden schreiben wir wieder einfach a + b anstelle von a ⊕ b und ab anstelle von
a b. Weiters definieren wir a − b = a + (−b) und a/b = ab−1 .
Trivial scheinende Regeln müssen durch formale Anwendung der Köperaxiome bewiesen
werden. Einige Beispiele sind:
Satz 1.8. Für alle a, b aus dem Körper K gilt
a) −(−a) = a
b) Das negative Element ist eindeutig und −0 = 0.
c) 0 a = 0
d) −a = (−1)a
e) ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
Beweis. a) Das negative vom negativen von a ist wieder a selbst. Mit Anwendung von
Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Definition des negativen Elements und des neutralen
Elements erhalten wir
a + (−a) + (−(−a)) = (a + (−a)) + (−(−a)) = 0 + (−(−a)) = −(−a) + 0 = −(−a),
als auch
a + (−a) + (−(−a)) = a + (−a + (−(−a))) = a + 0 = a.
Damit wurde gezeigt dass −(−a)) = a ist.
b) Angenommen, es gäbe negative Elemente a1 6= a2 die a + a1 = 0 und a + a2 = 0
erfüllen. Damit ist
a1 + a + a2 = a1 + (a + a2 ) = a1 + 0 = a1
als auch
a1 + a + a2 = (a1 + a) + a2 = (a + a1 ) + a2 = 0 + a2 = a2
Also ist doch a1 = a2 , und die Annahme war falsch. Da 0 + 0 = 0, ist 0 das negative
Element von 0.
c) Wir fügen zwei 0-Terme ein, und fassen zwei zusammen:
0 a = 0 a + 0 a + (−(0 a)) = (0 + 0)a + (−(0a)) = 0a + (−(0a)) = 0
d) Wir zeigen dass (−1)a die Eigenschaft des negativen Elements erfüllt:
a + (−1)a = 1a + (−1)a = (1 + (−1))a = 0a = 0
e) Wir müssen die Äquivalenz der beiden Aussagen zeigen, d.h. aus links folgt rechts
und aus rechts folgt links. Zeigen zuerst L ⇒ R: Falls a = 0 ist, ist somit die rechte Aussage
erfüllt. Also bleibt der Fall a 6= 0 zu betrachten:
b = a−1 ab = a−1 0 = 0,
und damit ist b = 0. Zeigen nun R ⇒ L: Sowohl falls a = 0 ist, ist ab = 0b = 0, also auch
falls b = 0 ist ist ab = a0 = 0.
10
1.4.2
Ordnungsaxiome
Definition 1.9 (Ordnungsrelation). Sei M 6= ∅. Eine Relation : M × M → B heißt
partielle Ordnung (oder Halbordnung) falls für alle a, b, c ∈ M gilt:
(OA1) Reflexivität:
aa
(OA2) Transitivität:
ab∧bc⇒ac
(OA3) Antisymmetrie:
ab∧ba⇒a=b
Eine Halbordnung heißt lineare Ordnung wenn zusätzlich gilt:
(OA4) Vergleichbarkeit
ab∨ba
Beispiel 1.10. Beispiele sind:
a) M = R und a b :⇔ a ≤ b
b) M = R und a b :⇔ a ≥ b
c) M = R und a b :⇔ a = b
d) M = P (X) und A B :⇔ A ⊂ B
e) M = N × N und (n1 , m1 ) (n2 , m2 ) :⇔ (n1 ≤ n2 ) ∧ (m1 ≤ m2 )
f ) M = N × N und (n1 , m1 ) (n2 , m2 ) :⇔ (n1 < n2 ) ∨ (n1 = n2 ) ∧ (m1 ≤ m2 )
(lexikographische Ordnung)
g) M = N3 und a b :⇔ a ≤ b
Alle Beispiele bilden Halbordnungen, Bsp. a), b), f ) und g) sind lineare Ordnungen.
Wir definieren a b :⇔ b a und a ≺ b :⇔ a b ∧ a 6= b.
Satz 1.11 (Trichotomiegesetz). Sei lineare Ordnung auf M . Dann gilt für alle a, b ∈ M
genau eine der Beziehungen
a ≺ b,
a = b,
ab
Beweis. einfache Übung
Definition 1.12 (Angeordneter Körper). Ein Körper K mit einer darauf definierten linearen Ordnung heißt angeordneter Körper, falls zusätzlich für alle a, b, c ∈ K gilt:
11
(OKA1)
ab⇒a+cb+c
(OKA2)
a 0 ∧ b 0 ⇒ ab 0
Die Körper Q und R mit der üblichen Definition von bilden angeordnet Körper. Der
Körper N3 ist kein angeordneter Körper.
Wir schreiben im folgenden ≤ für usw.
Satz 1.13. In einem angeordneten Körper K gilt für alle a, b, c, d ∈ K:
a) a < b ⇒ a + c < b + c
b) a ≤ b ∧ c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d
c) x > 0 ⇔ −x < 0 und x ≥ 0 ⇔ −x ≤ 0
d) x 6= 0 ⇒ x2 > 0
e) 1 > 0
Beweis. a) Per Definition ist a < b ⇔ a 6= b ∧ a ≤ b. Da aus a 6= b auch a + c 6= b + c und
aus a ≤ b mittels (OKA1) auch a + c ≤ b + c folgt, ist damit a + c < b + c erfüllt.
b) Aus (OKA1) folgen
a≤b ⇒ a+c≤b+c
c≤d ⇒ b+c≤b+d
Mit (OA2), Transitivität, gilt damit a + c ≤ b + d.
c) Sei x > 0. Damit ist −x 6= 0. Angenommen −x > 0. Damit wäre
0 = x + (−x) > 0 + 0
also 0 > 0, ein Widerspruch zur Annahme −x > 0. Daher bleibt nur −x < 0. Für x ≥ 0
gilt x = 0 ∨ x > 0, und damit −x = 0 ∨ −x < 0, und daher −x ≤ 0. Der Fall x < 0 geht
analog.
d) Für x ≥ 0 gilt mit (OKA2) xx ≥ 0. Für x ≤ 0 gilt −x ≥ 0 und damit xx =
(−x)(−x) ≥ 0. Damit ist xx ≥ 0. Wäre nun xx = 0, so würder aus Satz 1.8 e) auch x = 0
folgen, ein Widerspruch zur Annahme x 6= 0.
e) Mit 1 6= 0 gilt 1 = 11 > 0
Satz 1.14. Es gibt keine lineare Ordnung um den Körper C zu einem angeordneten Körper
zu machen.
Beweis. Sei x = (0, 1), dann ist x2 = (−1, 0) = −1 < 0. Ein Widerspruch zu Satz 1.13 d).
12
1.4.3
Vollständigkeitsaxiom
Bisher haben wir gesehen, dass Q, R (und einige weitere) Körper angeordnete Körper sind.
Was zeichnet nun R gegenüber Q aus ?
√
Aus der Schule ist wahrscheinlich bekannt, dass 2 eine reelle Zahl, aber keine rationale
Zahl ist:
√
Satz 1.15. 2 6∈ Q
Beweis. (unter Verwendung von Schulwissen) Eine Zahl n ∈ N ist genau dann gerade falls
∃p : n = 2p. Für n ∈ N ist n2 genau
√ dann gerade, wenn auch n gerade ist. Angenommen,
es gäbe n ∈ N und m ∈ N sodass 2 = n/m. Solange n und m gerade sind wird durch 2
gekürzt. Es gilt n2 = 2m2 , also ist n2 und damit auch n gerade. Daher ist n2 = 22 p2 , und
2p2 = m2 , und damit auch m2 , und somit m gerade.
Der Raum Q hat damit Lücken. Als nächstes wird die Eigenschaft der Vollständigkeit
(d.h. Lückenlosigkeit) eines angeordneten Körpers formuliert:
Definition 1.16 (Dedekindscher Schnitt). Ein Dedekindscher Schnitt (A|B) in einem
angeordneten Körper K liegt vor, wenn
• A und B sind nicht-leere Teilmengen von K so dass A ∪ B = K.
• Es gilt
∀ a ∈ A, b ∈ B : a ≤ b
Eine Zahl c heißt Trennungszahl des Schnittes (A|B), wenn
∀ a ∈ A, b ∈ B : a ≤ c ≤ b
gilt.
Definition 1.17 (Vollständigkeitsaxiom). Ein angeordneter Körper K heißt ordnungsvollständig genau dann wenn für jeden Dedekindschen Schnitt eine Trennungszahl c ∈ K
existiert.
Satz 1.18. Die Trennungszahl ist eindeutig.
Beweis. Angenommen, es gäbe Trennungszahlen c1 6= c2 . Wegen Vergleichbarkeit gilt c1 <
c2 ∧ c2 < c1 ; o.B.d.A. nehmen wir c1 < c2 an. Setzen c := (c1 + c2 )/2 ∈ K. Da K = A ∪ B,
gehört gilt c ∈ A ∨ c ∈ B. Fall 1: c ∈ A. Es gilt
c ≥ c1 ⇔ (c1 + c2 )/2 > c1 ⇔ c1 + c2 > 2c1 ⇔ c2 > c1 ⇔ wahr.
Damit kann c1 keine Trennungszahl sein. Fall 2, c ∈ B ist analog. Wir haben damit die
Existenz unterschiedlicher Trennungszahlen widerlegt.
Definition 1.19. Sei K angeordneter Körper, und M ⊂ K.
13
• Eine Zahl c ∈ K heißt obere Schranke für M falls gilt:
∀a ∈ M : a ≤ c.
Existiert eine obere Schranke, dann heißt M nach oben beschränkt.
• Eine Zahl d ∈ K heißt Supremum von M , geschrieben d = sup M , falls gilt: d ist
obere Schranke von M und
∀c ∈ K, c ist oberer Schranke : d ≤ c
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke.
• Ist eine Menge nicht nach oben beschränkt wird sup M = +∞ definiert. Für die leere
Menge wird sup ∅ = −∞ definiert.
• Gilt für c := sup M auch c ∈ M , dann heißt c Maximum von M .
Analog wird untere Schranke, und das Infimum als größte untere Schranke definiert.
Satz 1.20. Ein angeordneter Körper ist genau dann ordnungsvollständig, wenn jede nicht
leere und nach oben beschränkte Menge M ein Supremum in K besitzt.
Beweis. Teil 1: Zeigen aus vollständig folgt ∃ sup :
Definieren B := {b : b ist obere Schranken von M }. Alle x ∈ M 6 ∅ sind untere Schranken
zu B. Daher ist A := {a : a ist untere Schranke von B } nicht leer und enthält M . Die
Mengen bilden einen Dedekindschen Schnitt (A|B). Mit der Annahme der Vollständigkeit
folgt die Existenz einer Trennungszahl c. c ist eine obere Schranke für A und damit M ⊂ A.
Für alle b ∈ B gilt c ≤ b, und daher ist c die kleinste obere Schranke.
Teil 2: Zeigen aus ∃ sup folgt vollständig:
Sei (A|B) ein Dedekindscher Schnitt. Da B 6, ist A nach oben beschränkt und besitzt ein
Supremum c. Es gilt ∀a ∈ A : a < c und ∀b ∈ B : c < b, und somit ist eine Trennungszahl
c gefunden.
1.4.4
Zahlenbereiche
Bisher haben wir die Zahlenbereiche mit Schulwissen verwendet. Ab jetzt definieren wir
Definition 1.21. Die reellen Zahlen R sind ein ordnungsvollständiger, angeordneter
Körper.
Damit werden genau die Eigenschaften der Axiome 1.6, 1.9, 1.12, und 1.17 vorausgesetzt. Diese Eigenschaften werden nicht bewiesen, sondern werden als gegeben akzeptiert.
Mittels mathematischer Beweise werden weitere Aussagen, d.h. mathematisches Wissen
daraus generiert. Im folgenden dürfen nur Rechenregeln verwendet werden, die auf diese
Axiome zurückgeführt werden (können).
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Es mag schockieren, dass die Existenz von R nicht bewiesen, sondern nur postuliert
wird. Ein alternativer Zugang stellt Axiome über die natürlichen Zahlen auf, und postuliert
die Existenz von N. Darauf aufbauend werden die anderen Zahlenbereiche konstruiert. Man
könnte noch tiefer gehen und N mittels (fortgeschrittener) Mengenlehre konstruieren. Doch
egal wie tief man geht, an einer Stelle werden Axiome über Rechenregeln angenommen.
Dies ist der axiomatische (deduktive) Zugang zur Analysis.
Weitere Zahlenbereiche werden als Teilmengen definiert:
Definition 1.22 (Induktive Menge). Eine Mengke M ⊂ R heißt induktiv falls
1∈M
und
∀x ∈ M : x + 1 ∈ M
Beispiele induktiver Mengen sind R, {x ∈ R : x > 0}.
Die natürlichen Zahlen sind als die kleinste induktive Menge definiert:
Definition 1.23 (Natürlichen Zahlen). N ist eine induktive Menge, so dass für alle induktiven Mengen M gilt: N ⊂ M .
Definition 1.24 (Ganzen Zahlen).
Z := {z ∈ R : ∃n ∈ N : z + n ∈ N}
Definition 1.25 (Rationalen Zahlen).
Q := {q ∈ R : ∃n ∈ N : qn ∈ Z}
Es ist zu zeigen, dass diese Teimengen bzgl. gewissen Rechenregeln abgeschlossen sind:
Satz 1.26. Für n, m ∈ N gilt n + m ∈ N und nm ∈ N.
Beweis. Wir fixieren ein beliebiges m ∈ N. Definiere die Menge
M = {n ∈ N : n + m ∈ N}
und zeigen sie ist induktiv:
1. Zeigen 1 ∈ M : Da m ∈ N und N induktiv ist, gilt auch m + 1 ∈ N. Damit ist 1 ∈ M .
2. Zeigen: Aus n ∈ M folgt n + 1 ∈ M : Es sei n ∈ M . Damit ist n + m ∈ N. Daher auch
(n + 1) + m ∈ N, was gleichbedeutend zu n + 1 ∈ M ist.
Einerseits gilt M ⊂ N, andererseits gilt (weil M induktiv ist) N ⊂ M . Es folgt N = M .
Daher gilt ∀ n ∈ N : n + m ∈ N. Da m ∈ N beliebig war, gilt die Aussage für alle m ∈ N.
Produktbildung ist analog.
Wir haben soeben folgendes fundamentale Beweisprinzip entdeckt:
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Definition 1.27 (vollständige Induktion). Eine Familie von Aussagen A(n) soll für alle
n ∈ N bewiesen werden. Man zeigt dazu
{n : A(n)}
ist induktiv. Konkret geht man dabei wie folgt vor:
• man beweist die Aussage für n = 1.
• man beweist dass für alle n ∈ N gilt: A(n) ⇒ A(n + 1).
Satz 1.28. Für x, y ∈ Z gilt auch −x, x + y, xy ∈ Z
Beweis. Die Definition is äquivalent zur Darstellbarkeit als Differenz natürlicher Zahlen.
Für x, y, ∈ Z existieren daher Darstellungen x = n − m und y = p − q mit n, m, p, q ∈ N.
Damit haben
−x = m − n
x + y = (n + p) − (m − q)
xy = (np + mq) − (nq + mp)
die geforderte Darstellung als Differenz natürlicher Zahlen.
Ähnlich zeigt man dass Q bzgl. den Körperoperationen abgeschlossen ist.
Welche Eigenschaften haben diese Teilmengen von R ?
Satz 1.29 (Archimedes - Eudoxos). Es gilt:
a) Die Menge N ist nach oben unbeschränkt
b) ∀ε > 0 ∃n ∈ N :
1
n
≤ε
Beweis. a) Angenommen, N wäre nach oben beschränkt. Da R ordnungsvollständig ist,
existiert damit das Supremum s := sup N mit s ∈ R. Da s die kleinste obere Schranke ist
gilt
∃n ∈ N : n > s − 1
(sonst wäre s − 1 eine kleinere obere Schranke). Mit diesem n gilt n + 1 > s, und es gibt
doch eine natürliche Zahl größer als s, ein Widerspruch zur Annahme. b) Annahme, es
gäbe ein ε > 0 so dass ∀n ∈ N : 1/n > ε. Dies ist äquivalent zu ∀ n ∈ N : n < 1/ε, also der
Beschränktheit von N. Widerspruch !
Bemerkung 1.30. Es gibt angeordnete Körper K, so dass
∃s ∈ K ∀ n ∈ N : |1 + 1 +
{z. . . + 1} < s
n mal
gilt. Diese werden nicht-Archimedische Körper genannt.
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Beispiel: Die Menge der rationalen Funktionen (mit n, m ∈ N0 )
g=c
xn + an−1 xn−1 + . . . a0
xm + bm−1 xm−1 + . . . b0
mit der Ordnung g > 0 :⇔ c > 0. Für alle n ∈ N gilt x > n
Satz 1.31. Sei n ∈ N. Es gibt kein m ∈ setN so dass n < m < n + 1.
Beweis. Übung !
Satz 1.32 (Wohlordnungsprinzip). Jede nichtleere Teilmenge M ⊂ N besitzt ein kleinstes
Element.
Beweis. Wir nehmen an, M besitze kein kleinstes Element. Sei K = {k ∈ N : ∀ m ∈ M :
k < m}. Da M 6= ∅, ist K nach oben beschränkt. Wir zeigen jetzt K ist induktiv. Wäre
1 ∈ M , dann wäre 1 kleinstes Element von M , das existiert jedoch nicht. Also ist 1 ∈ K.
Wir zeigen k ∈ K ⇒ k + 1 ∈ K. Da für alle m ∈ M : k < m gilt, und es keine natürliche
Zahl zwischen k und k + 1 gibt, gilt für alle m ∈ M : k + 1 ≤ m. Wäre k + 1 ∈ M , wäre es
das Minimum von M . Gibt es nicht, daher k + 1 6∈ M , und k + 1 ∈ K. Induktive Mengen
sind nicht nach oben beschränkt, Widerspruch !
Jede reelle Zahl kann beliebig gut durch eine rationale Zahl angenähert werden. Man
sagt dass Q dicht in R liegt:
Satz 1.33. Für jedes x ∈ R und ε ∈ R, ε > 0 existiert ein q ∈ Q so dass
x−ε<q <x+ε
Beweis. Fixiere x und ε. Nehmen zunächst an x > 0. Nach Satz 1.29 existiert ein m ∈ N
so dass m1 < ε. Wir fixieren dieses m. Weiters existiert ebenfalls nach Satz 1.29 ein n ∈ N
so dass n > xm. Nach Satz 1.32 existiert ein kleinstes n mit dieser Eigenschaft. Also gilt
n − 1 ≤ xm < n
bzw.
1
n
<x+
< x + ε.
m
m
Damit ist q := n/m eine solche rationale Zahl. Für x < 0 bestimme zuerst ein rationales p
so dass (−x) − ε < p < (−x) + ε, und setze q := −p.
x<
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