Übungsblatt 10

Übungsblatt 10
Algebra I
Prof. Dr. Ulrich Görtz
WS 2011/12
Dr. Christian Kappen
Übungsblatt 10
Aufgabe 1
a)
Zeigen Sie, dass die Körpererweiterungen
dass jedoch
b)
√
4
Q((1 + i) 5)/Q
Ist die Körpererweiterung
√
Q(i 5)/Q
und
√
√
Q((1 + i) 4 5)/Q(i 5)
normal sind,
keine normale Erweiterung ist.
p
√
Q( 2 + 2)/Q
normal?
Aufgabe 2
Es seien
a, b ∈ Q
rationale Zahlen, derart dass die Polynome
a, b sind die Zerfällungskörper
von C überein?
irreduzibel sind. Für welche
stimmen sie als Teilkörper
f = X 2 + a und g = X 2 + b in Q[X]
f und g isomorph? Für welche a, b
von
Aufgabe 3
f ∈ K[X]
von
K ein
f.
a)
Zeigen Sie, dass die Abschätzung
b)
Zeigen Sie, dass
Sei
Körper, sei
f
ein Polynom vom Grad
[L : K] ≤ n!
n > 0,
und sei
L/K
ein Zerfällungskörper
gilt.
irreduzibel ist, falls die Gleichheit
[L : K] = n!
gilt.
Aufgabe 4
Sei
K ein Körper von positiver Charakteristik p, sei L/K eine Körpererweiterung,
K algebraisch. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
und sei
a∈L
über
a)
Das Element
b)
Es gilt
c)
Ist
a
ist separabel über
K.
K(a) = K(ap ).
u1 , . . . , ur ein über K linear unabhängiges
up1 , . . . , upr über K linear unabhängig.
System von Elementen aus
K(a),
so ist auch das
System
d)
Die Körpererweiterung
K(a)/K
ist separabel.
Hinweis: Zeigen Sie die Implikationen
a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ d) ⇒ a).
Für die Implikation
b) ⇒ c)
bietet
es sich an, das gegebene linear unabhängige System zu einer Basis zu ergänzen. Für die Implikation
c) ⇒ d)
lässt sich die Tatsache verwenden, dass das Minimalpolynom MinpolK
K inseparablen Elements
b ∈ K(a)
ein Polynom in
1/1
Xp
ist.
b ∈ K[X]
eines über