Quadratische Formen und quadratische Zahlkörper

Quadratische Formen und quadratische Zahlkörper
Philippart Claudine
10.05.2007
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Einleitung
In diesem Seminarvortrag stellen wir die Haupttatsachen über quadratische Körper zusammen und zeigen, wie die Theorie von binären quadratischen Formen mit der Theorie
der Ideale in solchen Körpern äquivalent ist.
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Quadratische Zahlkörper
Zuerst wollen wir bemerken, dass ein Teilkörper K von C seinerseits den von 1 erzeugten
Körper, also Q, als Teilkörper enthält. Somit können wir K als Q-Vektorraum auffassen.
Seine Dimension wird mit [K : Q] abgekürzt und Grad von K genannt.
Definition 2.1 Ein Teilkörper K von
[K : Q]=2 ist.
C heißt quadratischer Zahlkörper, wenn sein Grad
Ab jetzt wird K immer ein quadratischer Zahlkörper sein.
Satz 2.2 Zu jedem quadratischen Zahlkörper K gibt √
es genau eine von 0 und 1 verschiedene quadratfreie Zahl d ∈ Z, die eine Quadratwurzel d in K besitzt.
√ Umgekehrt definiert
√
jede dieser quadratfreien Zahlen d ∈ Z durch die Menge K = {a + b d, a, b ∈ Q} = Q( d)
einen quadratischen Zahlkörper in C.
Beweis :
1) Sei 1 und ω ∈ K\Q eine Q-Basis von K. Durch Verschiebung von ω um eine rationale
Zahl kann man eine irrationale Zahl ω1 ∈ K finden, deren Quadrat in Q× liegt. Mit Hilfe
dieser Zahl kann man eine nichtrationale Zahl ω0 konstruieren, deren Quadrat ω02 = d ∈ Z
ist und das durch kein Primzahlquadrat geteilt werden
√ kann.
2)Ist d ∈ Z, d 6= 0, 1 und quadratfrei, dann ist 1 und d in C linear unabhängig über Q.
Nun braucht man nur noch die Körperaxiome zu überprüfen.
√
√
Definition 2.3 Eine Zahl α = a + b d, mit Konjungiertem α0 := a − b d, von K heißt
ganz wenn ihr Minimalpolynom X 2 − S(α)X + N (α) lauter Koeffizienten in Z hat. Hier
ist S(α) = α + α0 die Spur und N (α) = αα0 die Norm von α. Die Menge aller ganzen
Zahlen ist ein Ring und wird mit O bezeichnet.
1
√
Satz 2.4 Sei K = Q( d), dann gilt:
(
√
Z
+ Z √d falls d ≡ 2, 3 (mod 4)
O=
Z + Z 1+2 d falls d ≡ 1 (mod 4)
Beweis :
√
2a ∈ Z
Jedes α in K lässt sich als α = a+b d (a, b ∈ Q) schreiben. Es gilt dann, α ∈ O ⇔ √
0
0
0
0
und a2 − db2 ∈ Z. Hieraus schließt man 2b ∈ Z, also a = a2 , b = b2 , α = a +b2 d mit
a0 , b0 ∈ Z; a02 − db02 ≡ 0 (mod 4).
Ist d ≡ 2 (mod 4) oder d ≡ 3 (mod 4), so ist diese Kongruenz nur erfüllt wenn a0 und b0
gerade also a und b in Z sind. Ist d ≡ 1 (mod 4), so ist die Kongruenz zu a0 ≡ b0 (mod 2)
äquivalent. Dies führt uns zur gewünschten Formel.
Definition 2.5 Als Diskriminante
D(a) eines Ideals a von O bezeichnet man das Quadrat
α β
der Determinante von
wo α, β eine Basis von a bilden. Für a = O schreiben
α0 β 0
wir D(O) = D. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Basis.
p
Für K = Q( d) wie in Satz 2.4 finden wir zum Beispiel:
D = 4d falls d ≡ 2, 3 (mod 4) und D = d, falls d ≡ 1 (mod 4).
Die Aussagen 2.6 – 2.8 gelten für einen beliebigen Zahlkörper K
Definition 2.6 Sei a ein von Null verschiedenes Ideal im Ganzheitsring O eines Zahlkörpers
K (in diesem Fall nennt man a ein ganzes Ideal). Dann ist die Norm N (a) gegeben durch
die Ordnung der Faktorgruppe O/a also N (a) = [O : a].
Satz 2.7 (Fundamentalsatz der Arithmetik in Zahlkörpern)
Jedes ganze Ideal a 6= {0} von K lässt sich eindeutig bis auf Reihenfolge der Faktoren als
Produkt von Potenzen paarweise verschiedener Primideale pk 6= {0} darstellen.
Satz 2.8 Seien a, b zwei von {0} verschiedene ganze Ideale von K, dann gelten folgende
Gleichungen: N (ab) = N (a)N (b), D(a) = N (a)2 D und N ((ξ)) = |N (ξ)| wobei (ξ) =
{λξ|λ ∈ O} das von ξ erzeugte Hauptideal ist.
Mit angepasster Definition der Norm gelten die Aussagen 2.7-2.8 auch für gebrochene
Ideale, d.h für Ideale a, die Untergruppen von K sind.
Definition 2.9 Zwei gebrochene Ideale a und b heißen äquivalent, falls ein ξ ∈ K, ξ 6= 0,
mit a = (ξ)b existiert . Sie heißen äquivalent im engeren Sinne, falls es eine Zahl ξ ∈ K,
mit N (ξ) > 0 gibt, so dass obige Gleichung gilt.
Wir kommen jetzt zur Korrespondenz zwischen Idealen und Formen.
√
Satz 2.10 Sei D 6= 1 eine Fundamentaldiskriminante und K = Q( D). Wir können mit
Hilfe folgender Korrespondenz jeder Idealklasse im engeren Sinne von K eine Aequivalenzklasse von binären quadratischen Formen der Diskriminante D zuordnen:
a = Zα + Zβ → f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 , a =
2
αβ 0 + α0 β
ββ 0
αα0
,b =
,c =
N (a)
N (a)
N (a)
0
0
√
wobei (α, β) eine orientierte Basis von a ist, das heisst, α β−αβ
> 0. Diese Korrespondenz
D
ist bijektiv, wobei die umgekehrte Zuordung gegeben ist durch:
√
b+ D
2
2
f (x, y) = ax + bxy + cy → a = Zλ + Z
λ
2a
mit λ ∈ K so, dass N (λ) dasselbe Vorzeichen hat wie a.
Beweis :
1)Sei a ein Ideal mit Basis α, β und ξ ∈ a. Dann nimmt die Funktion φ : a → Q,
ξξ 0
Werte in Z an, da N (a)|N (ξ). Wir können sie als Funktion f auf Z2 auffassen
φ(ξ) = N(a)
und somit erhalten wir die gewünschte binäre quadratische Form f . Ihre Diskriminante
ist: b2 − 4ac = D(a)/N (a)2 = D. Wählen wir eine andere Basis für a, dann erhalten
wir eine quadratische Form die zu f äquivalent ist. Wenn wir nun a durch (λ)a ersetzen,
wobei λ ∈ K und N (λ) > 0 ist, dann ist (λα, λβ) eine orientierte Basis für (λ)a und
N ((λ)a) = |N (λ)|N (a) = N (λ)N (a). Somit ist die dem Ideal (λ)a zugeordnete Form
(x, y) →
N (xλα + yλβ)
N (λ)N (xα + yβ)
N (xα + yβ)
=
=
N ((λ)a)
N (λ)N (a)
N (a)
also wiederum f .
2) Sei
f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
a, b, c ∈ Z, b2 − 4ac = D, positiv-definit falls D < 0. Sei zunächst a > 0. Wir setzen
√
√
b+ D 0 b− D
w=
,w =
2a
2a
und a = Z + Zw.Dann ist a ein gebrochenes Ideal und die Basis 1, w orientiert. Die a
zugeordnete quadratische Form ist dann gegeben durch
(x, y) →
x2 + ab xy + ac y 2
N (x + yw)
=
= f (x, y)
1
N (a)
a
Somit haben wir ein Ideal konstruiert mit f als zugeordneter quadratischer Form. Ist
umgekehrt a ein Ideal mit orientierter Basis α, β und αα0 > 0, so ist mit a, b, c wie oben
√
b+ D
β
=
2a
α
√
also Z + Z b+2a D = Z + Z αβ = (α−1 )a zu a im engeren Sinn äquivalent. Für a < 0 geht
der Beweis analog. Wir nehmen das Ideal Zλ + Zλ wobei λ ∈ K eine Zahl mit negativer
Norm ist.
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Referenzen
[1] D. ZAGIER,Zetafunktionen und quadratische Körper,Eine Einführung in die höhere
Zahlentheorie,Springer-Verlag,Berlin Heidelberg New York 1981
[2]A. LEUTBECHER,Zahlentheorie:eine Einführung in die Algebra,Springer-Verlag,Berlin
Heidelberg 1996
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