Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13

Fakultät IV ¨ Mathematik
Hannes Diener
Diskrete Mathematik für Informatiker, WS12/13
Übungsblatt 3, Besprechung in den Übungen vom 7.–12. Nov.
Aufgabe 1. Gegeben seien die Mengen A “ t1, 2, 4, 8, 16u, B “ t2, 4, 6, 8, 10u und C “ t1, 3, 7, 15u.
Berechnen Sie die folgenden Mengen:
(a) A Y B und A X B
(b) AzB
(c) A Y pB X Cq
(d) CzpBzAq
(e) pA Y Bq X pA Y Cq
Aufgabe 2. Finde Gegenbeispiele zu den folgenden Aussagen.
(a) A Y B Ď A X B
(b) A X pB Y Cq “ pA X Bq Y C
(c) A Ď B Y C impliziert, daß A Ď B oder A Ď C.
Aufgabe 3. Nicht alles, was überzeugend aussieht ist auch richtig! Geben Sie für jede der folgenden
Aussagen Beispiele von Mengen an, für die die Aussage falsch ist.
(a) Aus A Y B “ A Y C folgt, daß B “ C.
(b) Aus A X B “ A X C folgt, daß B “ C.
Aufgabe 4. Für zwei Mengen A und B ist die symmetrische Differenz A M B definiert durch
A M B “ pA Y Bq z pA X Bq .
1
(a) Bestimmen Sie A M B für die Mengen aus Aufgabe 1.
(b) Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B gilt A M B “ B M A.
(c) Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B und C gilt folgendes Distributivgesetz:
A X pB M Cq “ pA X Bq M pA X Cq .
(d) Zeigen Sie, daß für alle Mengen A, B gilt, daß A M B “ A genau dann wenn B “ H.
Aufgabe 5. Sei A “ t1, 2, 3u, B “ t n P N | n ist gerade u und C “ t n P N | n ist ungerade u
(a) Bestimmen Sie A X B, B X C, B Y C und B4C.
(b) Bestimmen Sie alle Teilmengen von A
(c) Welche der folgenden Mengen sind endlich? A4B, A4C, AzC und CzA.
Aufgabe 6. Beweisen Sie, daß für alle Mengen E, F gilt:
(a) PpEq X PpF q “ PpE X F q.
(b) PpEq Y PpF q Ď PpE Y F q.
(c) Finden Sie außerdem ein Beispiel, daß zeigt, daß Ě in der vorherigen Teilaussage nicht gilt.
Hinweis: Vergessen Sie nicht, daß M P PpAq Ø M Ď A
Aufgabe 7. Zeigen Sie, daß für eine (doppelt indizierte) Mengenfamilie gilt:
˜
¸
˜
¸
ď č
č ď
Ai,j Ď
Ai,j .
iPI
jPJ
jPJ
iPI
Geben Sie außerdem ein Beispiel an, das zeigt, daß die Umkehrung Ě nicht gilt.
Aufgabe 8.
1
Sei B Ď PpRq eine Menge von Teilmengen von R, induktiv definiert durch:
(a) Für reelle Zahlen x, y mit x ă y sind px, yq P B.
1
Diese Aufgabe verwendet die in der Mathematik üblich Schreibweise für Intervalle. Also
px, yq “ tz | x ă z ^ z ă yu
rx, ys “ tz | x ď z ^ z ď yu
und entsprechende Mischformen rx, yq und px, ys.
2
(b) Wenn A P B ist, dann auch A
(c) Sind A1 , A2 , . . . Mengen in B, so ist auch
ď
Ai
nPN
in B.
(Man beachte, daß dies nicht beliebige Vereinigungen, sondern nur solche von Mengenfamilien
sind, die die natürlichen Zahlen als Indexmenge haben.)
Zeigen Sie, daß dann auch die folgenden Mengen Elemente von B sind:
• R und H
• p´8, xq “ tz | z ă xu und px, 8q “ tz | x ă zu für jedes x P R
• txu für jedes x P R
• N und Z
• rx, ys, rx, yq und px, ys für reelle Zahlen x ă y.
ENDE
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