8 Gleichgewicht mit Produktion.

Mikroökonomie I für VWL
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Gleichgewicht mit Produktion.
36. Robinson verfügt über 12 Stunden Zeit (Z) täglich. Er kann seine Zeit entweder als
Freizeit verbringen, oder er kann arbeiten. Wenn er arbeitet, produziert er Brot (B).
Täglich entscheidet er, wie viel er arbeitet, und wie viel er ißt.
Robinsons Nutzenfunktion lautet uR (Z, B)√= ZB. Brot wird aus Arbeit produziert laut
der (Produktions-)Funktion B = f (Z) = 2 Z.
(a) Betrachten Sie die Brotproduktionaktivität als eine (fiktive) Firma, deren einziger
Besitzer Robinson ist. Bezeichnen Sie den Preis der Arbeit als w, und den Preis
einer Einheit Brot als p. Schreiben Sie das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens und berechnen Sie die Angebotsfunktion BU (w, p), die Inputnachfragefunktion nach (Robinsons) Zeit ZU (w, p) und die Gewinne im Optimum Π(p, w).
Sind alle diese Funktionen homogen von Grad null in w, p?
(b) Schreiben Sie die Butgetbeschränkung Robinsons als Konsument (d.h.: Wenn er für
die Firma arbeitet, kriegt er ein Stundenlohn w; wenn er Brot essen will, muss er es
kaufen, zum Preis p). Achten Sie darauf: Robinson besitzt die Firma!
(c) Schreiben Sie das Nutzenmaximierungsproblem Robinsons. Berechnen Sie seine
Nachfragefunktionen nach Brot und (Frei)Zeit, BR (w, p) und ZR (w, p). Sind Sie
homogen von Grad null in w, p?
(d) Nehmen wir an, es gilt p = w. Wie viel möchte Robinson als Konsument arbeiten,
und wie viel Brot möchte er essen? Wie viel Brot möchte Robinson als Firmenbesitzer
produzieren, und wie viel Arbeit würde er dafür benötigen? Passt es zusammen?
Was bedeutet es?
(e) Wie viele “Märkte” gibt es in der Ökonomie? Schreiben Sie alle Markträumungsbedingungen. Finden Sie das (tägliche) Gleichgewicht. Wie viel wird Robinson
arbeiten, und wie viel Brot wird er essen?
(f) Illustrieren Sie gleichzeitig Robinsons Problem und das Problem seiner Firma in
einem einzigen Diagramm (Freizeit/Brot). Zeichnen Sie den Gleichgewichtspunkt.
(g) Nehmen Sie an, Robinson ist kein Ökonom und gründet keine fiktive Firma. Er
maximiert einfach seinen Nutzen, unter
√ der Nebenbedingung, dass er Brot aus Arbeit
durch die Funktion B = f (Z) = 2 Z produzieren kann. Wie viel wird Robinson
arbeiten, und wie viel Brot wird er essen?
(h) Ist das Gleichgewicht in 36e Paretoeffizient?
37. Robinson (siehe Bsp. 36) findet Freitag, der auch 12 Stunden Freizeit hat, und dessen
Nutzenfunktion uF (Z, B) = Z 3 B 5 ist.
(a) Am Anfang ist Robinson noch der einzige Besitzer der Firma. Finden Sie jetzt das
(tägliche) Gleichgewicht. Wie viel werden Robinson und Freitag jetzt arbeiten, und
wie viel Brot wird jeder essen? Ist Robinson besser oder schlechter gestellt, nachdem
er Freitag gefunden hat?
(b) Nach einem Aufstand wird Freitag zum Halbbesitzer der Firma. Finden Sie jetzt
das (tägliche) Gleichgewicht. Wie viel werden Robinson und Freitag jetzt arbeiten,
und wie viel Brot wird jeder essen? Ist Freitag jetzt besser oder schlechter gestellt?
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38. In einer Ökonomie gibt es zwei Güter: Zeit (x1 ), und ein Konsumgut (x2 ). Die Preise sind
mit p1 , p2 gegeben. Es gibt zwei Konsumenten, A,B beide mit Nutzenfunktion u(x1 , x2 ) =
x1 x2 und Anfangsaustattung (24, 0). Jeder Konsument besitzt die Hälfte einer Firma, die
Gut 2 aus Gut 1 laut der Produktionsfunktion x2 = f (x1 ) = 2 · x1 produziert.
(a)
i. Überprüfen Sie, dass die Firma konstante Skalenerträge hat.
ii. Können Sie allein aus dieser Angabe eine Aussage über das Gleichgewichtspreissystem machen? Wenn ja, welche?
iii. Wie hoch sind die Gewinne dieser Firma?
(b) Wie lautet die Budgetbeschränkung der beiden Konsumenten?
(c) Schreiben Sie das Optimierungsproblem der Konsumenten an und berechnen Sie
H
deren Nachfragefunktionen xH
1 (p1 , p2 ) und x2 (p1 , p2 ) (H = A, B).
(d) Wie viele Märkte gibt es in dieser Ökonomie? Schreiben Sie alle Markträumungsbedingungen.
(e) Finden Sie ein Gleichgewicht: Bestimmen Sie das Gleichgewichtspreissystem p∗ =
(p∗1 , p∗2 ) und die Gleichgewichtsallokation (alle Nachfragen und Angebote bei p∗ ).
39. In einer Ökonomie gibt es drei Güter: Zeit (x1 ), ein ZwischenGut (x2 ), und ein Konsumgut
(x3 ). Die Preise sind mit p1 , p2 bzw. p3 gegeben. Es gibt zwei Konsumenten, A,B
H
H
beide mit Nutzenfunktion uH (x1 , x2 , x3 ) = xH
= (8, 0, 0),
1 x3 und Anfangsaustattung ω
H = A, B. Es gibt zwei Firmen. Firma 1 ist eine Kooperative (jeder Konsument besitzt 21
davon), die Gut 2 aus Gut 1 laut der Produktionsfunktion x2 = f (x1 ) = 2 · x1 produziert.
Firma 2, deren einziger Besitzer Konsument A ist, produziert Gut 3 aus Gut 2 laut
√
x3 = g(x2 ) = 2 · x2 .
(a) Überprüfen Sie, dass Firma 1 konstante Skalenerträge hat. Können Sie allein aus
dieser Angabe eine Aussage über das Gleichgewichtspreissystem machen? Wenn ja,
welche? Wie hoch sind die Gewinne dieser Firma?
(b) Berechnen Sie die Angebots- und Gewinnfunktion der Firma 2.
(c) Schreiben Sie die Optimierungsprobleme beider Konsumenten und geben Sie ihre
Nachfragefunktionen.
(d) Wie viele Märkte gibt es in diese Ökonomie? Schreiben Sie alle Markträumungsbedingungen.
(e) Finden Sie ein Gleichgewicht. Berechnen Sie alle Nachfragen und Angebote, und
überprüfen Sie alle Markträumungsbedingungen.