Gleichgewicht mit Produktion

UE Mikrooekonomie I - Martin Obradovits - WS 11/12
Gleichgewicht mit Produktion
1. Robinson verfügt über 12 Stunden Zeit (Z) täglich. Er kann seine Zeit entweder als Freizeit verbringen, oder er kann arbeiten. Wenn er arbeitet, produziert er Brot (B). Täglich entscheidet er,
wie viel er arbeitet, und wie viel er ißt.
Robinsons Nutzenfunktion lautet uR (Z,
√ B) = ZB. Brot wird aus Arbeit produziert laut der
(Produktions-)Funktion B = f (Z) = 2 Z.
(a) Betrachten Sie die Brotproduktionaktivität als eine (fiktive) Firma, deren einziger Besitzer
Robinson ist. Bezeichnen Sie den Preis der Arbeit als w, und den Preis einer Einheit Brot als
p. Schreiben Sie das Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens und berechnen Sie die
Angebotsfunktion BU (w, p), die Inputnachfragefunktion nach (Robinsons) Zeit ZU (w, p) und
die Gewinne im Optimum Π(p, w). Sind alle diese Funktionen homogen von Grad null in w, p?
(b) Schreiben Sie die Butgetbeschränkung Robinsons als Konsument (d.h.: Wenn er für die Firma
arbeitet, kriegt er ein Stundenlohn w; wenn er Brot essen will, muss er es kaufen, zum Preis
p). Achten Sie darauf: Robinson besitzt die Firma!
(c) Schreiben Sie das Nutzenmaximierungsproblem Robinsons. Berechnen Sie seine Nachfragefunktionen nach Brot und (Frei)Zeit, BR (w, p) und ZR (w, p). Sind Sie homogen von Grad null
in w, p?
(d) Nehmen wir an, es gilt p = w. Wie viel möchte Robinson als Konsument arbeiten, und wie
viel Brot möchte er essen? Wie viel Brot möchte Robinson als Firmenbesitzer produzieren,
und wie viel Arbeit würde er dafür benötigen? Passt es zusammen? Was bedeutet es?
(e) Wie viele “Märkte" gibt es in der Ökonomie? Schreiben Sie alle Markträumungsbedingungen.
Finden Sie das (tägliche) Gleichgewicht. Wie viel wird Robinson arbeiten, und wie viel Brot
wird er essen?
(f) Illustrieren Sie gleichzeitig Robinsons Problem und das Problem seiner Firma in einem einzigen
Diagramm (Freizeit/Brot). Zeichnen Sie den Gleichgewichtspunkt.
(g) Nehmen Sie an, Robinson ist kein Ökonom und gründet keine fiktive Firma. Er maximiert
einfach seinen √
Nutzen, unter der Nebenbedingung, dass er Brot aus Arbeit durch die Funktion
B = f (Z) = 2 Z produzieren kann. Wie viel wird Robinson arbeiten, und wie viel Brot wird
er essen?
(h) Ist das Gleichgewicht in 1e Paretoeffizient?
2. Robinson (siehe Bsp. 1) findet Freitag, der auch 12 Stunden Freizeit hat, und dessen Nutzenfunktion
uF (Z, B) = Z 3 B 5 ist.
(a) Am Anfang ist Robinson noch der einzige Besitzer der Firma. Finden Sie jetzt das (tägliche)
Gleichgewicht. Wie viel werden Robinson und Freitag jetzt arbeiten, und wie viel Brot wird
jeder essen? Ist Robinson besser oder schlechter gestellt, nachdem er Freitag gefunden hat?
(b) Nach einem Aufstand wird Freitag zum Halbbesitzer der Firma. Finden Sie jetzt das (tägliche)
Gleichgewicht. Wie viel werden Robinson und Freitag jetzt arbeiten, und wie viel Brot wird
jeder essen? Ist Freitag jetzt besser oder schlechter gestellt?
3. In einer Ökonomie gibt es zwei Güter: Zeit (x1 ) und ein Konsumgut (x2 ). Die Preise sind mit p1 , p2
gegeben. Es gibt zwei Konsumenten, A und B, beide mit Nutzenfunktion u(x1 , x2 ) = x1 x2 und
Anfangsaustattung (24, 0). Jeder Konsument besitzt die Hälfte einer Firma, die Gut 2 aus Gut 1
laut der Produktionsfunktion x2 = f (x1 ) = 2 · x1 produziert.
(a)
i. Überprüfen Sie, dass die Firma konstante Skalenerträge hat.
ii. Können Sie allein aus dieser Angabe eine Aussage über das Gleichgewichtspreissystem
machen? Wenn ja, welche?
iii. Wie hoch sind die Gewinne dieser Firma?
(b) Wie lautet die Budgetbeschränkung der beiden Konsumenten?
(c) Schreiben Sie das Optimierungsproblem der Konsumenten auf und berechnen Sie deren NachH
fragefunktionen xH
1 (p1 , p2 ) und x2 (p1 , p2 ) (H = A, B).
(d) Wie viele Märkte gibt es in dieser Ökonomie? Schreiben Sie alle Markträumungsbedingungen.
(e) Finden Sie ein Gleichgewicht: Bestimmen Sie das Gleichgewichtspreissystem p∗ = (p∗1 , p∗2 ) und
die Gleichgewichtsallokation (alle Nachfragen und Angebote bei p∗ ).
4. In einer Ökonomie gibt es drei Güter: Zeit (x1 ), ein Zwischengut (x2 ) und ein Konsumgut (x3 ).
Die Preise sind mit p1 , p2 bzw. p3 gegeben. Es gibt zwei Konsumenten, A und B, beide mit
H
H
Nutzenfunktion uH (x1 , x2 , x3 ) = xH
= (8, 0, 0), H = A, B. Es gibt
1 x3 und Anfangsaustattung ω
zwei Firmen. Firma 1 ist eine Kooperative (jeder Konsument besitzt 21 davon), die Gut 2 aus Gut
1 laut der Produktionsfunktion x2 = f (x1 ) = 2 · x1 produziert. Firma 2, deren einziger Besitzer
√
Konsument A ist, produziert Gut 3 aus Gut 2 laut x3 = g(x2 ) = 2 · x2 .
(a) Überprüfen Sie, dass Firma 1 konstante Skalenerträge hat. Können Sie allein aus dieser Angabe
eine Aussage über das Gleichgewichtspreissystem machen? Wenn ja, welche? Wie hoch sind
die Gewinne dieser Firma?
(b) Berechnen Sie die Angebots- und Gewinnfunktion der Firma 2.
(c) Schreiben Sie die Optimierungsprobleme beider Konsumenten auf und geben Sie ihre Nachfragefunktionen an.
(d) Wie viele Märkte gibt es in diese Ökonomie? Schreiben Sie alle Markträumungsbedingungen
auf.
(e) Finden Sie ein Gleichgewicht. Berechnen Sie alle Nachfragen und Angebote, und überprüfen
Sie alle Markträumungsbedingungen.