p - Georg-August-Universität Göttingen
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Skript zur Vorlesung Mikroökonomik II Prof. Dr. Robert Schwager Georg-August-Universität Göttingen Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät 1 Inhaltsübersicht Mikroökonomik I: Einzelwirtschaftliche Entscheidungen • Entscheidungen einzelner Wirtschaftssubjekte (Haushalte, Unternehmen) • Optimierungsprinzip Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten • Interaktion mehrerer Wirtschaftssubjekte (Anbieter und Nachfrager, zwei Anbieter, ...) • Optimierungsprinzip und Gleichgewichtsprinzip 2 Mikroökonomik II: Märkte und strategisches Verhalten C. Wettbewerbsmärkte 12. Wettbewerb und Monopol auf einem einzelnen Markt 13. Allgemeines Gleichgewicht 14. Ersparnis und Investition 15. Risiko und Versicherung D. Spieltheorie und oligopolistische Märkte 16. Spiele in Normalform 17. Sequenzielle Entscheidungen 18. Oligopoltheorie 19. Asymmetrische Information 3 Literatur Bergstrom, T. und H. Varian: Workouts in intermediate microeconomics, New York: Norton. Böhm, V. : Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band I, Berlin: Springer. Böhm, V. : Arbeitsbuch zur Mikroökonomik, Band II, Berlin: Springer. Chiang, A. und K. Wainwright: Fundamental methods of mathematical economics, Boston u.a.: McGrawHill. Feess, E.: Mikroökonomie: Eine spieltheoretisch- und anwendungsorientierte Einführung, Marburg: Metropolis. Pindyck, R. und S. Rubinfeld: Microeconomics, Upper Saddle River: Pearson. Varian, H.: Intermediate microeconomics: A modern approach, New York: Norton. In der Vorlesung werden die jeweils aktuellen Auflagen der verwendeten Literatur angegeben. 4 C. Wettbewerbsmärkte Mikroökonomische Markttheorie Gegenstand: Die Erklärung von Preisen und gehandelten Mengen auf Märkten. Unterscheidung verschiedener Ansätze ... danach, wie umfassend die Erklärung sein soll: • Gleichgewicht auf einem Markt, Partialmarkttheorie → Kap. 11 (Mikroökonomik I), 12 • Gleichgewicht auf allen Märkten, Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts → Kap. 13 ... nach der Marktform 5 Marktformen Marktform Zahl der Anbieter Verhaltensannahme Wettbewerb, „viele“ Konkurrenz, Polypol Jeder Anbieter wählt seine Menge für gegebenen Preis, „Preisnehmerverhalten“ Oligopol, bzw. Dyopol „wenige“, bzw. zwei Jeder Anbieter wählt seine Menge oder seinen Preis für gegebenes Verhalten der anderen Anbieter und unter Berücksichtigung der Nachfragekurve Monopol einer Der Anbieter wählt Menge und Preis unter Berücksichtigung der Nachfragekurve 6 12. Wettbewerb und Monopol auf einem einzelnen Markt Kurzfristiges Gleichgewicht → Kapitel 11, Mikroökonomik I Preis S p* D y* Menge Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 7 Komparative Statik Wie ändern sich der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, wenn sich eine exogene Größe ändert. Beispiele für exogene Größen: • Inputpreise • Einkommen der Konsumenten • Steuersatz Mengensteuer Der Staat erhält t Euro pro Einheit des Gutes, die verkauft wird. Beispiele: Mineralölsteuer, Tabaksteuer Verkäuferpreis, Produzentenpreis Käuferpreis, Konsumentenpreis ps pd pd = ps + t Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 8 Die Verkäufer bezahlen die Steuer. Preis t S pd* ps* D y* Menge y* sinkt pd* steigt ps* sinkt. Die Käufer tragen einen Teil der Steuerlast. Die Steuer wird teilweise auf die Käufer überwälzt. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 9 Die Käufer bezahlen die Steuer. Preis S pd* ps* t y* D Menge y*, pd* und ps* sind genau so groß wie im Falle der Steuerzahlung durch die Anbieter. Die Überwälzung der Steuer hängt nicht davon ab, wer sie bezahlt. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 10 Spezialfälle 1) Vollständige Überwälzung auf die Nachfrager b) a) p p D D ps+t ps S S t t y y 2) Vollständige Überwälzung auf die Anbieter p b) p a) S S t D D t y Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol y 11 Wohlfahrtswirkung der Mengensteuer p S t pd ps D y1 y0 y Durch Steuer geht die Menge von y0 auf y1 zurück. KR nach Einführung der Steuer PR nach Einführung der Steuer Steueraufkommen Wohlfahrtsverlust Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 12 Das langfristige Wettbewerbsgleichgewicht Unterschiede zwischen kurzfristiger und langfristiger Betrachtung • langfristige statt kurzfristige Kostenfunktion • langfristige statt kurzfristige Angebotsfunktionen der einzelnen Unternehmen • häufig: identische Kostenfunktionen, da Imitation möglich ist • Markteintritt und Marktaustritt Annahme: Es gibt keine Markteintritts- oder Marktaustrittskosten. Optimierungsprinzip Wenn auf dem Markt Gewinne erzielt werden, treten neue Unternehmen ein. Wenn Verluste gemacht werden, treten Unternehmen aus. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 13 Gleichgewichtsprinzip Die Zahl der Unternehmen ändert sich nicht mehr, wenn kein eintretendes Unternehmen einen Gewinn erzielen könnte und kein im Markt aktives Unternehmen Verluste macht. ⇒ Im langfristigen Gleichgewicht sind die Gewinne 0. ⇒ Im langfristigen Gleichgewicht ist der Preis so groß wie die Durchschnittskosten. Die notwendige Bedingung für ein GewinnMaximum gilt auch langfristig: p = MC. Deshalb gilt: p = MC=AC. Im langfristigen Gleichgewicht ist der Preis so groß wie das Minimum der Durchschnittskosten. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 14 Marktzutritt und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht Preis MC=S1 D S3 S2 ... AC S8 S langfristig p* y* Menge Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 15 Der Gewinn muss nicht exakt null sein, da die Unternehmensanzahl eine ganze Zahl sein muss. p D Sm Sm+1 min A C y Anwendung: Überwälzung einer Mengensteuer Langfristig tragen die Nachfrager einen größeren Teil der Steuerlast als kurzfristig, weil das Angebot elastischer reagiert. Im typischen Fall (waagerechte langfristige Angebotskurve) tragen die Nachfrager die Steuer langfristig alleine. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 16 Marktzutrittsschranken Die etablierten Unternehmen wollen Marktzutritt verhindern, um sich Gewinne zu sichern („Renten“). „Rente“ ist eine Zahlung an einen Anbieter, die nicht notwendig ist, um dessen Leistung hervorzubringen. Beispiele • nur beschränkt verfügbare Produktionsfaktoren. Hier ist der Gewinn, der langfristig verbleibt, eine Rente für diesen Faktor. • Absprachen der etablierten Anbieter; Drohungen an potentiell eintretende Unternehmen, z. B. „Preiskrieg“. Problem: Es ist oft nicht im Interesse eines etablierten Unternehmens, sich an die Absprachen zu halten und die Drohung wirklich wahr zu machen. • staatlicher Schutz, z. B. durch Lizenzen, Importquoten, Qualitätsstandards, ... Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 17 Monopol Auf dem Markt gibt es nur einen Anbieter. Der Monopolist kann den Marktpreis beeinflussen. Beschränkungen des Monopolisten bei der Gewinnmaximierung • technologische Beschränkungen (Kostenfunktion) • Marktbeschränkungen (Nachfragefunktion) D(p) = y, d. h., der Monopolist kann nur soviel verkaufen, wie die Nachfrager kaufen wollen. Äquivalente Formulierung mit der inversen Nachfragefunktion (oder Preis-Absatz-Funktion). p = p ( y ) Preis, den die Nachfrager zahlen, wenn y abgesetzt wird. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 18 Gewinnmaximierung des Monopolisten max y p ( y) ⋅ y − c ( y) 1 424 3 Erlös Notwendige Bedingung für ein inneres Gewinnmaximum y > 0 p ( y ) + p ′( y ) ⋅ y − c′( y ) = 0 Grenzerlös Grenzkosten Interpretation der Bedingung Grenzerlös = Grenzkosten Eine Erhöhung des Outputs um 1 Einheit verursacht zusätzliche Kosten in Höhe von c' ( y ) . Sie bringt zusätzlichen Erlös in Höhe von p ( y ), wenn sie verkauft wird. Der Preis sinkt aber um p '( y ) . Die Preissenkung betrifft alle y Einheiten, so dass der Erlös wegen der Preissenkung um y ⋅ p′( y ) zurückgeht. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 19 c ( y ) Kosten Erlös Kosten r ( y) = p ( y) ⋅ y Erlös y Preis Cournotscher Punkt p* D y* MC = c´ (y) Grenzkosten y MR = r´(y) Grenzerlös Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 20 Die Wohlfahrtswirkung des Monopols p D pm KR Wohlfahrtsverlust PR MC pc ym yc y MR Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 21 Die Summe aus KR und PR wird bei der Menge yc maximal. Dies würde erreicht, wenn das Unternehmen sich „wie unter vollständiger Konkurrenz“ verhalten würde, d. h. als Preisnehmer. Vergleich zwischen dem Monopol und einem repräsentativen Unternehmen. Beim Übergang zum Monopol • wird die grün umrandete Fläche von den Konsumenten zum Monopolisten umverteilt, d. h. sie wird von KR zu PR. • entsteht ein Wohlfahrtsverlust in Höhe der roten Fläche . Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 22 Ursachen für Monopole • Zunehmende Skalenerträge, z. B. durch Fixkosten und konstante Grenzkosten. Bei p = MC entstehen Verluste. Das Wettbewerbsgleichgewicht wird durch Marktaustritt zerstört: Natürliches Monopol Preis D „Wettbewerbspreis“ AC MC Verlust Wettbewerbsmenge • Menge Staatlicher Schutz z. B. Monopol der Deutschen Post für die Beförderung von Briefen bis 50g (bis 2007). Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 23 Zusammenfassung • • • • • • • Auf einem Wettbewerbsmarkt wird eine Mengensteuer in der Regel teilweise oder vollständig auf die Konsumenten überwälzt. Wenn eine Steuer auf ein Konsumgut erhoben wird, entsteht ein Wohlfahrtsverlust. Im langfristigen Marktgleichgewicht sind die Gewinne 0, wenn Marktzutritt und –austritt möglich sind und die beste Technologie imitiert werden kann. Unternehmen auf einem Markt, zu dem kein Marktzutritt möglich ist, erzielen eine Rente. Ein Monopolist setzt seinen Preis so, dass der Grenzerlös und die Grenzkosten gleich sind. Die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente ist bei monopolistischer Preissetzung nicht maximal. Monopole entstehen durch zunehmende Skalenerträge oder durch staatlichen Schutz. Mikroökonomik II: 12 Wettbewerbsgleichgewicht und Monopol 24 13 Allgemeines Gleichgewicht Gleichgewicht auf einem einzelnen Markt Unternehmen Geld Haushalte Gut Allgemeines Gleichgewicht Faktoren Kosten + Gewinn = Einkommen Unternehmen Haushalte Erlös = Konsumausgaben Konsumgüter Mengenströme Wertströme Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 25 In der Theorie des Gleichgewichts auf einem einzelnen Markt wird nur ein Preis endogen bestimmt; alle anderen Preise und das Einkommen jedes Konsumenten sind exogen. In der Theorie des allgemeinen Gleichgewichts sind alle Preise endogen. Es wird ein simultanes Gleichgewicht auf allen (Konsumgüter- und Faktor-) Märkten bestimmt. Reiner Tausch Gut 2 Ausgaben für Gut 2 Haushalt B Haushalt A Ausgaben für Gut 1 Gut 1 Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 26 2 Haushalte A, B 2 Güter 1, 2 Keine Produktion. ω 1A ω A2 Ausstattung des Haushalts A mit Gut 1 Ausstattung des Haushalts A mit Gut 2 ω 1B ω B2 Ausstattung des Haushalts B mit Gut 2 x1A Konsum des Haushalts A von Gut 1 x 2A Konsum des Haushalts A von Gut 2 x1B Konsum des Haushalts B von Gut 1 xB2 Konsum des Haushalts B von Gut 2 (x 1 A Ausstattung des Haushalts B mit Gut 1 , x A2 , x1B , xB2 ) Allokation x1A + x1B = ω1A + ω1B ⎫ erreichbare Allokation 2 2 2 2 ⎬ und x A + xB = ω A + ωB ⎭ Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 27 Grafische Darstellung erreichbarer Allokationen x A2 ω1B OB x1B ωB2 ω A2 x1A OA ω1A xB2 Edgeworth-Box Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 28 Pareto-Effizienz u A (x1A , x A2 ) Nutzenfunktion u B (x1B , x B2 ) Nutzenfunktion des Haushalts A des Haushalts B Definition: Eine erreichbare Allokation (x1A , x A2 , x1B , x B2 ) ist Pareto-effizient, wenn es keine erreichbare Allokation (x 1A , x A2 , x B1 , x B2 ) gibt, so dass u A ( x 1A , x A2 ) ≥ u A ( x1A , x A2 ) und u B ( x B1 , x B2 ) ≥ u A ( x1B , x B2 ), mit mindestens einem „>“. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 29 Gut 2 OB Gut 1 Y X Gut 1 OA Gut 2 Allokation X ist nicht Pareto-effizient. Wenn Haushalt A etwas von Gut 1 an Haushalt B abgibt und dafür etwas von Gut 2 von Haushalt B bekommt ( ), dann stellen sich beide besser. Der rote Pfeil illustriert eine ParetoVerbesserung. Allokation Y ist Pareto-effizient. Hier gilt MRSA = MRSB. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 30 Die Menge aller Pareto-effizienten Allokationen heißt Kontraktkurve. Gut 2 0B Gut 1 n tr o K a rv u k kt e Gut 1 0A Gut 2 Soweit die Kontraktkurve im Inneren der Edgeworth-Box verläuft (d. h., falls x1A , x A2 , x1B , x B2 > 0 ), gilt auf ihr ∂u A (x1A , x A2 , ) / ∂x1A ( ∂u A x1A , x A2 , ) / ∂x A2 = ∂u B (x1B , x B2 , ) / ∂x1B ( ∂u B x1B , x B2 , ) / ∂x B2 . MRSA = MRSB Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 31 Wettbewerbsgleichgewicht p1 Preis für Gut 1 p2 Preis für Gut 2. Jeder Haushalt maximiert seinen Nutzen unter seiner Budgetbeschränkung. Das liefert die Marshallschen Nachfragefunktionen beider Haushalte nach beiden Gütern. Im Gleichgewicht wird von jedem Gut soviel nachgefragt, wie vorhanden ist. Haushalt A : u.d.B. ⇒ max 1 2 xA , xA u A ( x1A , x A2 ) p1 x1A + p2 x A2 = p1ω 1A + p2ω A2 x1A ( p1 , p2 ; p1ω 1A + p2ω A2 ) x A2 ( p1 , p2 ; p1ω 1A + p2ω A2 ) Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 32 Ebenso für Haushalt B: x1B ( p1 , p2 ; p1ω 1B + p2ω B2 ) x B2 ( p1 , p2 ; p1ω 1B + p2ω B2 ) Definition des Gleichgewichts: * * Preise p1 , p2 , so dass die Markträumungs-Bedingungen x1A ( p1* , p2* ; p1*ω1A + p2*ω A2 ) + x1B ( p1* , p2* ; p1*ω1B + p2*ωB2 ) = ω1A + ω1B und x A2 ( p1* , p2* ; p1*ω1A + p2*ω A2 ) + xB2 ( p1* , p2* ; p1*ω1B + p2*ωB2 ) = ω A2 + ω B2 erfüllt sind. Walras-Gleichgewicht, Wettbewerbsgleichgewicht Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 33 Gesetz von Walras Für alle Preise p1 , p 2 ist der Wert der gesamtwirtschaftlichen Überschussnachfrage 0. [ ⋅ [x p1 ⋅ x1A ( p1 , p2 ) + x1B ( p1 , p 2 ) − ω 1A − ω 1B + p2 2 A ( p1 , p2 ) + x B2 ( p1 , p2 ) − ω A2 − ω B2 ] ]= 0. Beweis: Die Nachfragefunktionen erfüllen die Budgetgleichungen. Folgerung: Wenn Markt 1 geräumt ist, dann muss auch Markt 2 geräumt sein. Es genügt zur Bestimmung des Gleichgewichts, einen der beiden Märkte zu betrachten. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 34 Grafische Bestimmung des Wettbewerbsgleichgewichts Schnittpunkt der Preiskonsumkurven (offer curves) Gut 2 OB Gut 1 Gleichgewicht x A2 (⋅) − ω A2 Überschussnachfrage des Hh A, Gut 2 OCB OCA OA Ausstattung p1* − * p2 ω 1A − x1A (⋅) Überschussangebot des Hh A, Gut 1 Gut 1 Gut 2 Die rote Gerade ist die gemeinsame Budgetgerade beider Haushalte zum GleichgewichtsPreisverhältnis p1*/p2*. Gestrichelte Kurven: Indifferenzkurven durch die Gleichgewichts-Allokation. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 35 Gleichgewicht und Pareto-Effizienz Der erste Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik Die Allokation jedes Wettbewerbsgleichgewichts ist Pareto-effizient. Beweis: Es seien (x1A , x A2 , x1B , xB2 ) die Allokation im Gleichgewicht und p1* , p2* die Gleichgewichts-Preise. Entgegen der Behauptung gebe es eine erreichbare Allokation, die den einen besser und den anderen nicht schlechter stellt. Dann gibt es auch eine erreichbare Allokation (x 1A , x A2 , x B1 , x B2 ), die beide besser stellt, d. h. u A (x 1A , x A2 ) > u A (x1A , x A2 ) und u B (x B1 , x B2 ) > u B (x1B , x B2 ) . Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 36 Da Haushalt A das bessere Güterbündel ( x 1A , x A2 ) im Gleichgewicht nicht gewählt hat, konnte er es sich nicht leisten: p1* x 1A + p2* x A2 > p1*ω 1A + p1*ω A2 . Ebenso Haushalt B: p1* xB1 + p2* xB2 > p1*ω 1B + p2*ω B2 . Addieren der beiden Ungleichungen liefert: p1* (x 1A + xB1 − ω 1A − ω 1B ) + p2* (x A2 + xB2 − ω A2 − ω B2 ) > 0. Die Preise sind positiv. Deshalb muss eine der beiden Klammern positiv sein. Die Allokation (x 1A , x A2 , xB1 , xB2 ) ist also nicht erreichbar. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 37 Der zweite Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomik Wenn alle Haushalte konvexe Präferenzen haben, dann gibt es zu jeder Pareto-effizienten Allokation eine Verteilung der Anfangsausstattung, so dass diese Allokation ein Wettbewerbsgleichgewicht ist. Gut 2 Gut 1 0B Y Pareto-effiziente Allokation X Gut 1 0A Begründung: Gut 2 Die gemeinsame |MRS| einer Pareto-effizienten Allokation definiert das GleichgewichtsPreisverhältnis. Die Anfangsausstattung kann dann beliebig auf der so erzeugten Budgetgeraden gewählt werden, z. B. X oder Y. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 38 Produktion Bestandteile einer Produktionsökonomie • • • Anfangsausstattungen an Gütern und Produktionsfaktoren Technologiemengen der Unternehmen Präferenzen der Haushalte Erreichbare Allokationen • • Jedes Unternehmen führt einen technisch möglichen Produktionsplan aus. Die ursprünglich vorhandene und die produzierte Menge eines Gutes sind zusammen so groß wie die konsumierte und die als Input verwendete Menge dieses Gutes. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 39 Effizienz Pareto-effiziente Allokationen werden durch drei Teilaspekte charakterisiert. Tauschoptimum, effiziente Konsumstruktur Es ist nicht möglich, durch Tausch der vorhandenen Konsumgüter einen Haushalt besser zu stellen ohne einen anderen schlechter zu stellen (siehe Definition S. 34). Bedingung für jeweils zwei Haushalte A, B: MRS des Haushalts A = MRS des Haushalts B Produktionsmaximum Es ist nicht möglich, mit den vorhandenen Inputs mehr von einem Gut zu produzieren ohne von einem andern Gut weniger zu produzieren. Bedingung für jeweils zwei Unternehmen 1, 2: TRS in Unternehmen 1 = TRS in Unternehmen 2 Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 40 Effiziente Produktionsstruktur Es ist nicht möglich, durch Umschichtung der Produktion von einem Konsumgut zu einem anderen einen der beiden Haushalte besser zu stellen. Die Produktionsmöglichkeitenmenge gibt an, welche Outputkombinationen mit den vorhandenen Inputs möglich sind. Sie wird von der oder Transformationskurve begrenzt. Gut 2 Trans fo kurve rmations- Produktionsmöglichkeitenmenge MRT Gut 1 Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 41 Die Grenzrate der Transformation MRT gibt an, um wie viele Einheiten die von Gut 2 hergestellte Menge verändert (d. h. gesenkt) werden muss, wenn von Gut 1 eine Einheit mehr hergestellt werden soll. MRT = Steigung der Transformationskurve Bedingung für effiziente Produktionsstruktur: MRT = MRS Gut 2 Trans fo matio rns k u r ve Effiziente Allokation Indifferen z kurve Gut 1 Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 42 Produktionsökonomie mit Privateigentum Eigentumsrechte und Ziele • Die Anfangsausstattungen an allen Gütern (Produktionsfaktoren und Konsumgüter) gehören den Haushalten. • Die Eigentumsrechte an den Unternehmen sind zwischen den Haushalten aufgeteilt. • Unternehmen maximieren den Gewinn. • Haushalte maximieren den Nutzen. • Das Einkommen jedes Haushalts besteht aus dem Wert seiner Anfangsausstattung und den auf ihn entfallenden Anteilen an den Unternehmensgewinnen. Gewinnmaximierung Ein Unternehmen produziert mit vorgegebenen Inputs die Güter x1 und x2. Der Gewinn ist π = p1x1 + p2x2 – Kosten . Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 43 Isogewinnlinien x2 = π + Kosten p2 − p1 x1 p2 Der gewinnmaximierende Produktionsplan wird durch die höchste Isogewinnlinie bestimmt, die mit der Transformationskurve noch einen Punkt gemeinsam hat. Dort gilt MRT = p1 / p2 . Gut 2 π + Kosten p2 Is o ge w in n lin ien Gewinnmaximierender Produktionsplan − p1 p2 Gut 1 Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 44 Wettbewerbsgleichgewicht Preise, so dass auf allen Märkten Angebot und Nachfrage gleich sind. Das Wettbewerbsgleichgewicht in einer Produktionsökonomie mit Privateigentum ist Pareto-effizient. Gut 2 (Gewinn + Kosten) / p2 = Einkommen / p2 Effiziente Allokation = Gleichgewicht p1* − * p2 Gut 1 Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 45 Zusammenfassung • Die Theorie des allgemeinen Gleichgewichts beschreibt die simultane Preisbildung auf allen Märkten. • In der Edgeworth-Box werden erreichbare Allokationen dargestellt. • Die Transformationskurve begrenzt die Menge der Outputkombinationen, die mit gegebenen Inputs hergestellt werden können. • Die Grenzrate der Transformation gibt an, um wie viele Einheiten die Produktion eines Gutes eingeschränkt werden muss, wenn von einem anderen Gut eine zusätzliche Einheit produziert werden soll. • Pareto-effiziente Allokationen sind dadurch gekennzeichnet, dass - die Grenzraten der Substitution zwischen zwei Gütern bei allen Haushalten übereinstimmen, Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 46 - die Technischen Raten der Substitution zwischen zwei Inputs bei allen Unternehmen übereinstimmen, und - die Grenzrate der Transformation zwischen zwei Gütern mit der Grenzrate der Substitution zwischen diesen Gütern übereinstimmt. • Im Wettbewerbsgleichgewicht passen sich die Preise so an, dass alle Märkte geräumt sind. • Das Gesetz von Walras besagt, dass der Wert der gesamtwirtschaftlichen Überschussnachfrage für alle Preise gleich null ist. • Die Allokation jedes Wettbewerbsgleichgewichts ist Pareto-effizient. • Jede Pareto-effiziente Allokation ist eine Gleichgewichts-Allokation, wenn die Anfangsausstattungen passend umverteilt werden. Mikroökonomik II: 13 Allgemeines Gleichgewicht 47 14 Ersparnis und Investition Intertemporale Entscheidungen sind Entscheidungen, die Auswirkungen in mehreren Perioden haben. • Entscheidung eines Haushalts zwischen Konsum und Ersparnis. • Entscheidung eines Unternehmens über eine Investition. Haushaltsentscheidung Ein Haushalt lebt zwei Perioden 1 und 2 („heute und morgen“). In jeder Periode gibt es ein Konsumgut, dessen Preis 1 Geldeinheit ist. Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 48 • c1 • c2 • m1 > 0 • m2 ≥ 0 Konsum in Periode 1, „Gegenwartskonsum“ Konsum in Periode 2, „Zukunftskonsum“ Einkommen in Periode 1 Einkommen in Periode 2 Kaufkrafttransfer zwischen Perioden • r Zinssatz. Für jede in Periode 1 gesparte Geldeinheit erhält der Haushalt in der zweiten Periode r Geldeinheiten Zins; für jede Geldeinheit Kreditaufnahme in Periode 1 muss er in der zweiten Periode r Geldeinheiten Zins bezahlen. Budgetgleichung der Periode 1: c1 + s = m1 • s > 0 Ersparnis • s < 0 Kreditaufnahme Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 49 Budgetgleichung der Periode 2: c2 = m2 + s + rs • s Rückzahlung der Ersparnis, Tilgung des Kredits Auflösen der Budgetgleichung in Periode 1 nach s und Einsetzen in die Budgetgleichung der Periode 2 liefert die Intertemporale Budgetgleichung (1 + r )c1 + c2 = (1 + r )m1 + m2 c1 + c2 m2 = m1 + (1 + r ) (1 + r ) (1) (2) Vgl. Budgetgleichung mit m1, m2 als Anfangsausstattung (Kap. 6, Mikroökonomik I): p1c1 + p 2 c2 = p1m1 + p 2 m2 In (1) ist p1 = (1 + r ) , p 2 = 1. In (2) ist p1 = 1, p2 = 1 . 1+ r Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 50 p1 / p2 = 1+ r ist der Preis des Gegenwartskonsums relativ zum Preis des Zukunftskonsums. Der Zinsfaktor 1 + r ist das Tauschverhältnis zwischen zukünftigem und heutigem Konsum. Für eine zusätzliche Einheit Konsum in Periode 1 muss man in Periode 2 auf 1 + r Einheiten Konsum verzichten. (1) Intertemporale Budgetgleichung in Zukunftswerten. (2) Intertemporale Budgetgleichung in Gegenwartswerten. Auflösen nach c2 liefert die intertemporale Budgetgerade c2 = (1 + r ) m1 + m2 − (1 + r )c1 . Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 51 c2 (1 + r )m1 + m2 m2 Ausstattungspunkt m1 Steigung = − (1 + r ) m2 c1 m1 + (1 + r ) Vollkommener Kapitalmarkt: Der Haushalt kann zum Zinssatz r beliebig viel sparen oder Kredit aufnehmen. Beispiele für unvollkommenen Kapitalmarkt: • • Kreditrationierung: Eine Kreditaufnahme ist nur bis zu einer Obergrenze z möglich. Der Sollzinssatz rs ist größer als der Habenzinssatz rh. Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 52 Kreditrationierung c2 (1 + r )m1 + m2 m2 m1 m1+ z c1 Unterschiedliche Soll- und Habenzinsen c2 (1 + r ) m + m h 1 h Steigung = − (1 + r ) 2 m2 Steigung = − (1 + r s ) m1 m + m2 1 1+ rs Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition c1 53 Haushaltsoptimum Nutzenfunktion u (c1, c2) max ( c1 , c2 ) u (c1 , c2 ) u.d.B. c1 + c2 m2 = m1 + (1 + r ) (1 + r ) c2 Der Haushalt ist Sparer. Rückzahlung + Zinseinnahme c2* m2 c1* m1 c1 Ersparnis s* > 0 Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 54 c2 Tilgung + Zinsausgabe Der Haushalt ist Kreditnehmer. m2 c2* m1 c1* c1 Kredit s* < 0 Notwendige Bedingung für ein Nutzenmaximum mit c1*, c2* > 0: ∂u (c1* , c2* ) / ∂c1 | MRS | = = 1+ r * * ∂u (c1 , c2 ) / ∂c2 |Grenzrate der Substitution| = Zinsfaktor Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 55 Der Haushalt ist bereit, für eine Einheit zusätzlichen Konsum heute auf |MRS| Einheiten zukünftigen Konsum zu verzichten. Der Haushalt muss für eine Einheit zusätzlichen Konsum heute auf 1 + r Einheiten zukünftigen Konsum verzichten. > 1 + r ist, dann lohnt es sich für < den Haushalt, seine Kreditaufnahme auszuweiten einzuschränken zu verringern bzw. seine Ersparnis zu vergrößern Wenn |MRS| |MRS| - 1 heißt auch „subjektiver Zinssatz“ oder Zeitpräferenzrate. Übungsfrage: Ist es möglich, dass ein Haushalt bei negativem Zinssatz spart, d. h. s* = m1 - c1* > 0, obwohl r < 0? Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 56 Inflation Der Preis des Konsumgutes steigt im Zeitablauf. p1 Preis des Konsums in Periode 1 ⎡ Geldeinheiten der Periode 1 ⎤ ⎢⎣ Gütereinheiten der Periode 1 ⎥⎦ p2 Preis des Konsums in Periode 2 ⎡ Geldeinhei ten der Periode 2 ⎤ ⎢⎣ Gütereinhe iten der Periode 2 ⎥⎦ c1 , m1 Konsum, Ausstattung in Periode 1 [ Gütereinheiten der Periode 1] c2 , m2 Konsum, Ausstattung in Periode 2 [ Gütereinheiten der Periode 2] ρ Zinssatz ⎡ Geldeinheiten der Periode 2 ⎤ ⎢⎣ Geldeinheiten der Periode 2 ⎥⎦ Budget der Periode 1 p1c1 + s = p1m1 Budget der Periode 2 p2 c2 = p2 m2 + s (1 + ρ ) Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 57 Intertemporale Budgetgleichung c2 = m2 + p1 (1 + ρ ) (m1 − c1 ) p2 Der Relativpreis ist p1 (1 + ρ ) . p2 Für eine Mengeneinheit Konsumverzicht in Periode 1 erhält der Haushalt p1 (1+ ρ )/ p2 Einheiten zusätzlichen Konsum in Periode 2. Inflationsrate ϕ := p2 − p1 p1 Es folgt 1+ϕ = p2 / p1 und p1 (1 + ρ ) 1 + ρ = =:1 + r p2 1+ ϕ ⎡ Gütereinheiten Periode 2 ⎤ ⎢⎣ Gütereinheiten Periode 1 ⎥⎦ 1+r ist der Realzinsfaktor, r heißt Realzinssatz. Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 58 1+ ρ ist der Nominalzinsfaktor, ρ der Nominalzinssatz. Der Realzinsfaktor 1+r gibt das Tauschverhältnis zwischen dem Konsumgut der Zukunft und dem Konsumgut der Gegenwart an. Der Nominalzinsfaktor 1+ ρ gibt das Tauschverhältnis zwischen Geldeinheiten der Zukunft und Geldeinheiten der Gegenwart an. Es gilt 1+ ρ −1 1+ ϕ ρ −ϕ = 1+ ϕ r= Näherungsformel für kleine Inflationsraten ϕ : r = ρ −ϕ Realzinssatz = Nominalzinssatz - Inflationsrate. Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 59 Investition Eine Investition ist eine intertemporale Produktionsentscheidung: Gegenwärtiger Input liefert zukünftigen Output. Beispiel Ein Unternehmen kauft in Periode 1 Maschinen, die (nur) zur Produktion in Periode 2 eingesetzt werden können. Der Preis einer Maschine in Periode 1 ist 1 Geldeinheit, ebenso wie der Preis des Outputs in Periode 2. • k • • Investitionsausgaben in Periode 1, kreditfinanziert y = f (k) Output = Erlös in Periode 2, f ´>0, f ´´<0 r Realzinssatz Zahlungsströme Periode 1: Einzahlung aus der Kreditaufnahme: k Auszahlung für die Investition: -k = 0 ⇒ Nettoauszahlung Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 60 Periode 2: Einzahlung aus Umsatzerlös: Auszahlungen Tilgung: Zinsen: ⇒ Nettoauszahlung y -k - rk = y – (1+r)k Gewinnmaximierung max k π =f (k ) − (1 + r )k Notwendige Bedingung für ein positives optimales Investitionsniveau k: f ´(k) = 1+ r 1+ r sind die Kosten für eine Einheit Investition, d. h. der Preis des Kapitals. Um in Periode 1 den Kapitalbestand um eine Einheit erhöhen zu können, muss man in Periode 2 Zahlungen in Höhe von 1+ r leisten. Wie für den Haushalt ist auch für das Unternehmen 1+ r der Relativpreis zwischen heutigen und zukünftigen Gütern. Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 61 Interpretation der notwendigen Bedingung f ´(k) Grenzprodukt des Kapitals – 1 = r – Abschreibung = Zinssatz Nettogrenzprodukt des Kapitals = Zinssatz Grafische Lösung y 1+ r f (k) f (k*) (1+r)k* π* k* Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition k 62 Gleichgewicht auf dem Kapitalmarkt Es gibt einen Haushalt, der Eigentümer des Unternehmens ist. Seine Ausstattungen sind m1 > 0, m2 = 0. Im Gleichgewicht gilt | MRS | = 1+ r* = f ´(k*), also Zeitpräferenzrate = Nettogrenzprodukt des Kapitals. Gut der Per. 2 Gewinn + Zukunftswert der Ausstattung Gleichgewicht Indifferen z kurve c2* = f (k*) − (1 + r * ) m1 c1* k* = s* Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition Gut der Periode 1 63 Zusammenfassung • Intertemporale Entscheidungen betreffen mehrere Perioden. • Der Realzinsfaktor gibt an, zu welchem Verhältnis Güter verschiedener Perioden gegeneinander getauscht werden können. • Der Realzinssatz ist die Differenz zwischen Nominalzinssatz und Inflationsrate. • Die optimale Entscheidung über Konsum und Ersparnis ist dadurch gekennzeichnet, dass der Betrag der Grenzrate der Substitution zwischen zukünftigem und gegenwärtigem Konsum gleich dem Realzinsfaktor ist. • Bei einer optimalen Investitionsentscheidung ist das Nettogrenzprodukt des Kapitals gleich dem Realzinssatz. • Im Wettbewerbsgleichgewicht auf dem Kapitalmarkt gleichen sich Nettogrenzprodukt des Kapitals und Zeitpräferenzrate an. Mikroökonomik II: 14 Ersparnis und Investition 64 15 Risiko und Versicherungsmärkte Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen, die mehrere mögliche Auswirkungen haben. • Kauf eines Lotterieloses • Kauf einer Aktie • Mitnahme eines Regenschirms • Abschluss einer Versicherung Versicherung Ein Haushalt besitzt ein Vermögen in Höhe von m [€]. Er erleidet möglicherweise einen Schaden in Höhe von d [€]. Er kann eine Versicherung abschließen, die ihm im Schadensfall K [€] ersetzt. Dies kostet pro € des zu ersetzenden Schadens eine Prämie in Höhe von γ [€ pro € Versicherungssumme]. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 65 Bedingter Konsum Die beiden möglichen Ereignisse „Schaden“ und „Kein Schaden“ beschreiben zwei Naturzustände. Konsum in den beiden Naturzuständen wird als zwei unterschiedliche Konsumgüter betrachtet. Dieser Konsum ist bedingt darauf, dass der jeweilige Naturzustand eintritt. • m1 = m - d • m2 = m • c1 • c2 Ausstattung im Naturzustand „Schaden“ Ausstattung im Naturzustand „kein Schaden“ Konsum im Naturzustand „Schaden“ Konsum im Naturzustand „kein Schaden“ Die Versicherung erlaubt einen Kaufkrafttransfer zwischen beiden Naturzuständen: c1 = m1 − γK + K c2 = m2 − γK Elimination von K aus diesen Gleichungen liefert die Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 66 Budgetgleichung γc1 + (1 − γ )c2 = γm1 + (1 − γ )m2 Vgl. Budgetgleichung mit m1, m2 als Anfangsausstattung (Kap. 10): p1c1 + p 2 c2 = p1m1 + p 2 m2 Beide Formulierungen sind äquivalent, wenn p1 = γ ; p2 = 1-γ . c2 m2 Ausstattung Konsum bei Versicherungssumme K Prämie c2 = m2-γK Steigung = −γ /(1 − γ ) m1 c1 = m1-γK+K c1 Versicherungsleistung - Prämie Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 67 p1 / p2 = γ / (1-γ ) ist das Tauschverhältnis zwischen Konsum in beiden Naturzuständen. Für eine zusätzliche Einheit Konsum im Schadensfall muss man im Naturzustand ohne Schaden auf γ / (1-γ ) Einheiten Konsum verzichten. Präferenzen Die Wünsche des Haushalts über bedingten Konsum lassen sich ebenso wie beim Konsum anderer Güter allgemein durch eine Präferenzrelation oder eine Nutzenfunktion darstellen, die durch Indifferenzkurven im c1 – c2 – Diagramm illustriert wird. Es ist plausibel, dass die Bewertung des Konsums in verschiedenen Naturzuständen davon abhängt, für wie wahrscheinlich der Haushalt die Naturzustände hält. • π1 Wahrscheinlichkeit des Naturzustands 1 • π2 Wahrscheinlichkeit des Naturzustands 2 Bei nur zwei Naturzuständen gilt π1 + π2 =1. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 68 Dann hängt der Nutzen nicht nur von den in den beiden Naturzuständen konsumierten Mengen ab, sondern auch von den Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Naturzustände eintreten: U (c1 , c2, π1 , π2) Eine häufig verwendete spezielle Form von Präferenzen ist gegeben durch die Erwartungsnutzenhypothese Es gibt eine Funktion u (c), so dass die Präferenzen des Haushalts über bedingten Konsum c1 und c2 durch den erwarteten Nutzen dargestellt werden, d. h. U (c1 , c2, π1 , π2) = π1u(c1 ) + π2 u(c2) Die Funktion u (c) drückt die Bewertung sicheren Konsums aus. Sie heißt von-NeumannMorgenstern-Nutzenfunktion. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 69 Positiv affine Transformation v(u) = au + b mit a > 0 Die Funktion v drückt dieselben Präferenzen aus wie die Funktion u und genügt ebenfalls der Erwartungsnutzenhypothese. Diskussion der Erwartungsnutzenhypothese • Die Grenzrate der Substitution zwischen dem Konsum zweier Naturzustände hängt nicht vom Konsum in einem dritten Naturzustand ab. Beispiel: U (c1 , c2, c3, π1 , π2 , π3) = π1u (c1 ) + π2 u ( c2) + π3 u ( c3) ⇒ MRS 2,1 = ∂U / ∂c1 π 1u '(c1 ) = ∂U / ∂c2 π 2 u '(c2 ) hängt nicht von c3 ab. Motivation: Naturzustand 1 ist die Gegenwart, Naturzustände 2 und 3 sind zwei mögliche Zustände in der Zukunft. Dann schließen sich die Naturzustände 2 und 3 gegenseitig aus. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 70 • Was geschieht, wenn der Haushalt gar keine Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann? Die Entscheidung wird so getroffen, als seien alle Naturzustände gleich wahrscheinlich. „Prinzip des unzureichenden Grundes“ Risikoaversion Sicherer Konsum wird höher geschätzt als unsicherer Konsum mit demselben Erwartungswert: u(π1c1 + π2c2) > π1u(c1 ) + π2u( c2) Beispiel: π1 = π2 = ½ c1 = 500, c2 = 1500 ⇒ π1c1 + π2c2 = 1000 Ein risikoaverser Haushalt hat lieber € 1000 sicher als € 500 und € 1500 mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 50%. Die von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ist streng konkav, u´´ < 0. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 71 Risikoaversion: u´´ < 0 Nutzen u(c2) u(π1c1+π2c2) u(c) π1u(c1)+π2u(c2) u(c1) c1 Nutzen π1c1+π2c2 c2 Risikofreude: u´´ > 0 Konsum u(c) u(c2) π1u(c1)+π2u(c2) u(π1c1+π2c2) u(c1) c1 π1c1+π2c2 c2 Konsum (ohne Grafik:) Risikoneutralität: u´´ = 0 Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 72 Der Versicherungsmarkt • Vgl. S. 66-69 • Die Wahrscheinlichkeit des Schadens sei π . • Der Haushalt sei risikoavers und habe die vonNeumann-Morgenstern-Nutzenfunktion u. Die nachgefragte Versicherungssumme wird bestimmt durch den Optimierungsansatz max c1 , c2 π u ( c1 ) + (1 − π ) u ( c2 ) u.d.B. γc1 + (1 − γ ) c2 = γm1 + (1 − γ ) m2 Lösung: |MRS| = Preisverhältnis, also π u ' ( c1 ) γ = (1 − π ) u ' ( c2 ) (1 − γ ) Versicherungsunternehmen Erwarteter Gewinn = γK - πK - (1-π )·0 = (γ -π )K Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 73 Wenn das Versicherungsunternehmen Nullgewinne macht, folgt γ=π Die Versicherungsprämie ist fair. Einsetzen in die Optimalitätsbedingung des Haushalts liefert π u ' ( c1 ) π = π 1 u ' c − ( ) ( 2 ) (1 − π ) ⇒ u ' ( c1 ) = u ' ( c2 ) Da u´´ < 0 gilt, folgt für den optimalen Konsumplan c1 = c2 bzw. K=d Ein risikoaverser Haushalt versichert sich vollständig, wenn ihm eine faire Versicherung angeboten wird. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 74 Risikoteilung Versicherungsverein auf Gegenseitigkeit: Mehrere Individuen, die ähnlichen Risiken ausgesetzt sind, verpflichten sich vertraglich, gemeinsam für die bei allen Vertragspartnern auftretenden Schäden aufzukommen. Beispiel: • • • • 2 Teilnehmer π = 10% d = € 10 000 Die Schadensfälle bei beiden Teilnehmern sind unabhängige Ereignisse. Verteilung der Schäden • Mit Wahrscheinlichkeit 1% (= 10%×10%) tritt bei beiden ein Schaden auf, jeder trägt dann € 10 000. • Mit Wahrscheinlichkeit 81% (= 90%×90%) tritt bei keinem ein Schaden auf. • Mit Wahrscheinlichkeit 18% (= 2×10%×90%) tritt bei einem ein Schaden auf, jeder trägt dann € 5 000. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 75 Der erwartete Schaden ist nach wie vor 1% von € 10 000 + 18% von € 5 000 = € 1 000. Das Risiko, z. B. gemessen an der Varianz der Schadensverteilung, ist geringer. Wenn die Zahl der Vertragspartner groß ist und die Schadensfälle bei den einzelnen Vertragspartnern voneinander unabhängige Ereignisse sind, dann wird fast sicher der durchschnittliche Schaden eintreten. Deshalb kann ein Versicherungsverein eine faire Versicherung anbieten, auch wenn seine Mitglieder risikoavers sind. Grenzen der Risikoteilung • Größe des Marktes • Korrelierte Schäden (z. B. Naturkatastrophen) Abhilfe: Rückversicherungen versichern Versicherungen. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 76 Zusammenfassung • Entscheidungen bei Unsicherheit sind Entscheidungen mit mehreren möglichen Konsequenzen. • Konsum in verschiedenen Naturzuständen kann als Konsum verschiedener Güter angesehen werden. • Ein Versicherungsvertrag erlaubt den Tausch zwischen Konsum in verschiedenen Naturzuständen. • Präferenzen für bedingten Konsum erfüllen die Erwartungsnutzenhypothese, wenn der Nutzen durch den Erwartungswert des Nutzens des Konsums in den möglichen Naturzuständen gegeben ist. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 77 • • Risikoaverse Risikoneutrale Risikofreudige Konsumenten haben eine streng konkave lineare streng konvexe von-Neumann-MorgensternNutzenfunktion. Durch gegenseitige Übernahme des Schadens können Individuen ihr Risiko vermindern, wenn ihre Schäden unabhängig voneinander sind. Mikroökonomik II: 15 Risiko und Versicherungsmärkte 78 D Spieltheorie und oligopolistische Märkte Verhaltensannahmen in der Markttheorie, die bisher analysiert wurden • Konkurrenz: viele „sehr kleine“ Wirtschaftssubjekte, die für sich genommen keinen Einfluss auf das Marktergebnis haben. • Monopol: Ein Anbieter bestimmt das Marktergebnis alleine. Spieltheorie: • Das Verhalten der anderen Markteilnehmer ist relevant für die eigene Entscheidung und wird bei der Optimierung einbezogen. • Jeder Einzelne beeinflusst das Ergebnis für die anderen. • Strategische Interaktion von Wirtschaftssubjekten. 79 16 Spiele in Normalform Beispiel: Zwei Gemeinden wollen eine Kläranlage bauen. Diese hat eine für beide Gemeinden ausreichende Kapazität. Zahlungsbereitschaft jeder Gemeinde für die Kläranlage: 8 [Mio €] Kosten der Kläranlage: 10 [Mio €]. Entscheidungsregel: • Jede Gemeinde gibt an, ob sie für oder gegen die Kläranlage ist. • Wenn mindestens eine Gemeinde dafür ist, wird die Kläranlage gebaut, sonst nicht. • Die Kosten werden unter den Befürwortern aufgeteilt. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 80 Formulierung des Beispiels als Spiel in Normalform: Spieler = die Gemeinden Strategien = die Entscheidungsmöglichkeiten „dafür“ und „dagegen“ Auszahlungen = Zahlungsbereitschaft – Kostenanteil, falls die Kläranlage gebaut wird 0 sonst Auszahlungsmatrix Gemeinde 2 für Kl. gegen Kl. für Kl. 3, 3 -2, 8 gegen Kl. 8, -2 0, 0 Gemeinde 1 Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 81 Optimierung durch Gemeinde 1 Wenn Gemeinde 2 für die Kläranlage ist, dann erhält Gemeinde 1 • 3, wenn Gemeinde 1 auch dafür ist. • 8, wenn Gemeinde 1 dagegen ist. ⇒ Wenn Gemeinde 2 für die Kläranlage ist, dann ist es besser für Gemeinde 1, dagegen zu sein. Die Strategie „gegen Kläranlage“ ist beste Antwort der Gemeinde 1 auf die Strategie „für Kläranlage“ der Gemeinde 2. Wenn Gemeinde 2 gegen die Kläranlage ist, dann erhält Gemeinde 1 • -2 bei Wahl der Strategie „für Kläranlage“ • 0 bei Wahl der Strategie „gegen Kläranlage“ ⇒ Die Strategie „gegen Kläranlage“ ist auch beste Antwort auf die Strategie „für Kläranlage“. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 82 Ergebnis: Wie immer Gemeinde 2 sich entscheidet, für Gemeinde 1 ist es optimal, sich gegen den Bau der Kläranlage auszusprechen. Eine Strategie, die für jede mögliche Strategie des anderen Spielers optimal ist, heißt dominante Strategie. Gleichgewicht Wegen der Symmetrie des Spiels ist „gegen Kläranlage“ auch eine dominante Strategie für Gemeinde 2. (gegen Kläranlage, gegen Kläranlage) ist ein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Im Gleichgewicht wird die Kläranlage nicht gebaut. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 83 Gefangenendilemma Nach einer gemeinsam begangenen Straftat werden die beiden Täter getrennt voneinander verhört. Nur wenn einer gesteht, kann beiden die Tat nachgewiesen werden. Lohnt es sich, zu leugnen? Auszahlungsmatrix Gefangener 2 Leugnen Gestehen Leugnen -1, -1 -6, 4 Gestehen 4, -6 -4, -4 Gefangener 1 Im Gleichgewicht in dominanten Strategien gestehen beide Gefangenen und werden verurteilt. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 84 Nash-Gleichgewicht Viele Spiele haben kein Gleichgewicht in dominanten Strategien. Beispiel: „Kampf der Geschlechter“ Er Theater Kino Theater 2, 1 0, 0 Kino 0, 0 1, 2 Sie Beste Antwort auf „Theater“ ist „Theater“, beste Antwort auf „Kino“ ist „Kino“. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 85 Ihre optimale Entscheidung hängt von ihrer Erwartung über seine Strategie ab. Seine optimale Entscheidung hängt von seiner Erwartung über ihre Strategie ab. Wenn beide erwarten, dass der/die andere ins Theater geht und sich dementsprechend optimal verhalten, dann werden die Erwartungen bestätigt. Æ rationale Erwartungen Æ Gleichgewichtsprinzip (Theater, Theater) ist ein Nash-Gleichgewicht. Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination mit der Eigenschaft, dass jeder Spieler eine beste Antwort auf die Strategien der anderen wählt. Kein Spieler hat einen Anreiz, von einem NashGleichgewicht abzuweichen. Auch (Kino, Kino) ist ein Nash-Gleichgewicht. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 86 Gemischte Strategien Es gibt Spiele, in denen keine Strategiekombination ein Nash-Gleichgewicht ist. Beispiel: Spaltenspieler links rechts oben 0, 0 0, -1 unten 1, 0 -1, 4 Zeilenspieler Gemischte Strategie Mehrere (reine) Strategien werden mit positiver Wahrscheinlichkeit gespielt. Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien: Jeder Spieler wählt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien, die optimal ist, gegeben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der anderen Spieler. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 87 Bestimmung der Nash-Gleichgewichte Beispiel: Kampf der Geschlechter Es seien r die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Theater“ wählt und c die Wahrscheinlichkeit, dass er „Theater“ wählt. Ihre Auszahlung ist 2 · rc + 0 · r(1-c) + 0 · (1-r)c + 1 · (1-r)(1-c) = 1 - c + r(3c - 1). steigt > Wenn 3c – 1 0, dann fällt ihre Auszahlung, < wenn r steigt. Wenn 3c – 1 = 0, dann ist sie indifferent zwischen beiden reinen Strategien. Zwischenergebnis: Ihre beste Antwort auf c ist wenn 0 ⎧ ⎪beliebig zwischen ⎪ wenn br (c) = ⎨ und 0 1 ⎪ ⎪⎩ wenn 1 c < 1/ 3 c = 1/ 3 c > 1/ 3 Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 88 Analog ergibt sich für seine Auszahlung 1 · cr + 0 · c(1-r) + 0 · (1-c)r + 2 · (1-c)(1-r) = 2(1 - r) + c(3r - 2). Seine beste Antwort auf r ist wenn 0 ⎧ ⎪beliebig zwischen ⎪ wenn bc (r ) = ⎨ 0 und 1 ⎪ ⎪⎩ wenn 1 r < 2/3 r = 2/3 r > 2/3 Definition: (r*, c*) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn und br(c*) = r* bc(r*) = c* . Es gilt br(0) = 0 und bc(0) = 0, sowie br(1) = 1 und bc(1) = 1. Die Strategiekombinationen r* = c* = 0 und r* = c* = 1 sind also NashGleichgewichte. Ein weiteres Nash-Gleichgewicht ist gegeben durch r* = 2/3 und c*= 1/3 . Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 89 Grafische Darstellung der besten Antworten Beispiel: Kampf der Geschlechter c 1 bc(r) Nash-Gleichgewichte 1/3 br(c) 0 2/3 1 r Übung: Bestimme das Nash-Gleichgewicht im Spiel auf Seite 88. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 90 Anwendungen Wettrüsten UdSSR Abrüsten Aufrüsten Abrüsten 4, 4 1, 3 Aufrüsten 3, 1 2, 2 USA Im Gleichgewicht rüsten beide auf oder beide ab. Koordinationsspiel Elfmeter Der Schütze entscheidet sich, ob er in die linke oder rechte Ecke des Tores schießt. Der Torwart entscheidet sich, ob er sich in die linke oder rechte Ecke wirft. Die Auszahlungen ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeit eines Tores: Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 91 Torwart nach links nach rechts nach links 0,5; -0,5 0,8; -0,8 nach rechts 0,9; -0,9 0,2; -0,2 Schütze Es gibt kein Gleichgewicht in reinen Strategien. Es seien p bzw. q die Wahrscheinlichkeiten des Schützen bzw. des Torwarts für die Strategie „nach links“. Im Gleichgewicht in gemischten Strategien muss gelten: Indifferenz des Schützen: 0,5q + 0,8(1-q) = 0,9q + 0,2(1-q) ⇒ q* = 0,6 Indifferenz des Torwarts: -0,5p - 0,9(1-p) = -0,8p - 0,2(1-p) ⇒ p* = 0,7 Nullsummenspiel: Die Summe der Auszahlungen ist eine Konstante, d. h. der Gewinn des einen ist der Verlust des anderen. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 92 Spieltheorie in der Biologie Falken und Tauben Die Population einer Tierart bestehe aus Individuen, die genetisch entweder aggressiv („Falken“) oder defensiv („Tauben“) veranlagt sind. Wenn zwei Individuen aufeinander treffen, ergeben sich folgende Auszahlungen („Fitness“): Individuum 2 aggressiv defensiv aggressiv -2, -2 4, 0 defensiv 0, 4 2, 2 Individuum 1 Es sei p die Anzahl der Individuen, die sich aggressiv verhalten. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 93 Fitness der aggressiven Individuen H = -2p + 4(1-p) = 4-6p Fitness der defensiven Individuen D = 0 · p + 2(1-p) = 2-2p Fitness 4 H 2 0 D p* = 1/2 2/3 1 p Die Individuen mit der höheren Fitness vermehren sich schneller und vererben ihr Verhalten an die Nachkommen. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 94 Wenn der Anteil der aggressiven Individuen p* = 1/2 beträgt, ändert sich die Zusammensetzung der Population nicht mehr. Ausgehend von jeder anderen Zusammensetzung wird p* = 1/2 erreicht. Die Strategie p* = 1/2 ist eine evolutionär stabile Strategie: a) Wenn die Population die Strategie p* spielt, kann kein Mutant sie infiltrieren (d. h. keine andere Strategie erzielt eine höhere Fitness, wenn alle p* spielen). b) Wenn eine Population eine andere Strategie als p* spielt, die beste Antwort auf p* ist, dann setzt sich ein Mutant durch, der p* spielt (d. h. die Fitness von p* ist in einer solchen Population höher als die Fitness dieser Population) Jede evolutionär stabile Strategie ist ein NashGleichgewicht, aber nicht umgekehrt. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 95 Pareto-Effizienz und NashGleichgewicht Auszahlungen in einigen Beispielen • Gefangenendilemma Gleichgewicht: (-4,-4) wenn beide leugnen würden: (-1,-1) ⇒ Das Gleichgewicht ist nicht Pareto-effizient. • Kampf der Geschlechter Gleichgewichte: (2,1) oder (1,2) sonst: (0,0) ⇒ Beide Gleichgewichte in reinen Strategien sind Pareto-effizient. • Elfmeter Die Summe der Auszahlungen ist in jeder Strategiekombination 0 (Nullsummenspiel). ⇒ Alle Strategiekombinationen sind Paretoeffizient. Fazit Nash-Gleichgewichte sind manchmal Paretoeffizient, manchmal nicht. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 96 Zusammenfassung • Die Spieltheorie analysiert strategische Interaktionen zwischen Wirtschaftssubjekten aller Art. • Eine dominante Strategie ist optimal, unabhängig davon, welche Strategie die anderen Spieler wählen. • Im Nash-Gleichgewicht wählt jeder Spieler eine Strategie, die optimal ist, gegeben die Strategie der anderen Spieler. • In einem Gleichgewicht in gemischten Strategien wählen die Spieler Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die möglichen reinen Strategien. • Evolutionär stabile Strategien sind NashGleichgewichte. • Nash-Gleichgewichte können sowohl Paretoeffizient als auch ineffizient sein. Mikroökonomik II: 16 Normalformspiele 97 17 Sequenzielle Spiele Beispiel: Preiskrieg Ein alteingesessenes, marktbeherrschendes Unternehmen fürchtet den Markteintritt eines neuen Konkurrenten. Es droht damit, in diesem Fall den Konkurrenten aggressiv zu bekämpfen, z. B. durch eine massive Preissenkung, auch wenn dadurch für beide die Gewinne sinken. Auszahlungsmatrix des Normalformspiels: Altes Unternehmen falls falls Markteintritt: Markteintritt: kämpfen nachgeben Neues Unternehmen Markteintritt 0,0 2,1 kein Markteintritt 1,9 1,9 Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 98 Dieses Spiel in Normalform hat zwei NashGleichgewichte: („Markteintritt“, „falls Markteintritt: nachgeben“) und („kein Markteintritt“, „falls Markteintritt: kämpfen“). Diese Analyse nutzt die Information über die zeitliche Struktur der Entscheidungen nicht. Das alteingesessene Unternehmen weiß, ob Markteintritt stattgefunden hat, wenn es über die Preissenkung entscheidet. Dies wird durch die Extensivform des Spiels dargestellt. Neues Unternehmen Markteintritt Kein Markteintritt Altes Unternehmen kämpfen 0 0 nachgeben 2 1 1 9 Auszahlungen Neues Untern. Altes Untern. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 99 Sobald das neue Unternehmen in den Markt eingetreten ist, ist es nicht optimal für das alte Unternehmen, die Preissenkung durchzuführen. Es ist nicht glaubwürdig, mit der Preissenkung zu drohen, weil es nicht im Interesse des alten Unternehmens ist, die Drohung wahr zu machen. Das Nash-Gleichgewicht („kein Markteintritt“, „falls Markteintritt: kämpfen“) ist keine sinnvolle Beschreibung rationalen Verhaltens. An jedem Entscheidungsknoten der Extensivform beginnt ein neues Teilspiel. Ein Nash-Gleichgewicht, dessen Strategien in jedem möglichen Teilspiel wieder ein Nash-Gleichgewicht bilden, heißt teilspielperfektes NashGleichgewicht. Das Nash-Gleichgewicht („kein Markteintritt“, „falls Markteintritt: kämpfen“) ist nicht teilspielperfekt. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 100 Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte findet man durch Rückwärts-Induktion: • Suche einen Knoten, dessen Entscheidungen nur zu Endknoten führen. • Bestimme die optimalen Entscheidungen in diesem Teilspiel. • Streiche dieses Teilspiel und ordne dem so entstandenen Endknoten die Auszahlungen einer optimalen Entscheidung im gestrichenen Teilspiel zu. • Wiederhole dieses Verfahren, bis der Anfangsknoten erreicht ist. Beispiel (nächste Seite): Ein Unternehmen ist in der Krise. Durch eine Subvention kann der Staat Arbeitsplätze retten. Nach der Subvention entscheidet das Unternehmen, ob es kostspielige Umstrukturierungsmaßnahmen durchführt. Ohne diese kommt es zur nächsten Unternehmenskrise. Wird der Staat erneut subventionieren? Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 101 Anpassungs- und Erhaltungssubventionen Staat keine Subvention Subvention Umstrukturierung -3 0 Unternehmen keine Umstrukturierung Staat keine erneute Subv. 3 2 Staat erneute Subv. 2 3 keine erneute Subv. erneute Subv. -4 1 -1 4 Spielverlauf im teilspielperfekten Gleichgewicht: Subvention - keine Umstrukturierung - erneute Subvention Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 102 Übertragung der Extensivform in die Normalform Im Beispiel von S. 102 trifft der Staat drei Entscheidungen: 1. Subvention am Anfang des Spiels? nein: K, ja: S 2. Erneute Subvention, falls eine Umstrukturierung stattgefunden hat? nein: k, ja: s 3. Erneute Subvention, falls keine Umstrukturierung stattgefunden hat? nein: κ, ja: σ Jede Kombination dieser drei Entscheidungen ist eine mögliche Strategie. Beispiel: Die Strategie (K s σ) bedeutet, dass der Staat am Anfang keine Subvention zahlt: K. Wenn es dennoch dazu kommt, dass er nach einer Umstrukturierung nochmals um eine Subvention gebeten wird, dann zahlt er sie: s, ebenso wie im Falle der unterlassenen Umstrukturierung: σ . Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 103 Normalform zum Subventionsspiel von S. 102 Unternehmen Keine UmstrukUmstrukturierung turierung Staat Kkκ -3,0 -3,0 Kkσ -3,0 -3,0 Ksκ -3,0 -3,0 Ksσ -3,0 -3,0 Skκ 3,2 -4,1 Skσ 3,2 -1,4 Ssκ 2,3 -4,1 Ssσ 2,3 -1,4 Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 104 Selbstbindung Im Subventionsspiel würde sich der Staat gerne im vorhinein unwiderruflich darauf festlegen, keine erneute Subvention zu zahlen. In vielen sequenziellen Entscheidungssituationen ist es von Vorteil, wenn man seine späteren Handlungsmöglichkeiten einschränken kann. Dies nennt man Selbstbindung (commitment ). Beispiel: Entführung Der Entführer kann das Opfer freilassen oder töten. Wenn es freigelassen wird, entscheidet es darüber, ob es den Entführer identifiziert. Entführer freilassen töten Opfer identifizieren - 3 -10 nicht identifizieren -5 5 Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 5 3 105 Beispiel: Beziehungsspezifische Investition Ein Automobilzulieferer hat Maschinen gekauft, die speziell zur Produktion von Teilen für einen bestimmten Automobilhersteller geeignet sind. Nachdem die Investition getätigt ist, versucht der Automobilhersteller, eine Preissenkung für die zu liefernden Teile durchzusetzen. Der Zulieferer kann die Preissenkung akzeptieren oder mit hohen Kosten die Maschinen so umrüsten, dass er für einen anderen Abnehmer produzieren kann. Ausbeutung eines Partners: „hold- up - Problem“ Automobilhersteller beim vereinbarten Preis bleiben 500 500 Preissenkung fordern Zulieferer umrüsten 0 - 100 nachgeben 1000 0 Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 106 Folge des Ausbeutungsproblems: Der Zulieferer ist nicht bereit, die beziehungsspezifische Investition zu tätigen. Abhilfe: Vertrag, in dem genau die Umstände festgelegt sind, in denen der Preis verändert werden darf. Problem: Kosten einer detaillierten Beschreibung aller Umstände. Methoden der Selbstbindung • technologische Einschränkung der Handlungsmöglichkeiten • Austausch von „Geiseln“: Der Zulieferer erhält vom Automobilhersteller einen Wertgegenstand, den er zerstören kann, falls er ausgebeutet wird. • Delegation: Die zweite Subventionsentscheidung wird einer unabhängigen Wettbewerbsbehörde übertragen, die gesetzlich verpflichtet ist, Erhaltungs-subventionen zu verbieten. • vertikale Integration: Automobilhersteller und Zulieferer fusionieren. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 107 Bilaterale Verhandlungen Zwei Individuen erzielen gemeinsam einen Gewinn und stehen vor der Frage, wie sie diesen aufteilen sollen. Beispiele • Käufer und Verkäufer: Differenz zwischen Zahlungsbereitschaft und Mindestpreis • Zwei Kindern wurde eine Tafel Schokolade geschenkt. • Zwei siegreiche Koalitionsparteien verteilen Ministerposten. • Gewerkschaft und Arbeitgeberverband Das Ultimatum-Spiel Zwei Spieler verhandeln über € 1,1. Spieler A schlägt eine Aufteilung vor. 2. Spieler B kann diese Aufteilung annehmen oder ablehnen. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 108 Auszahlungen • Wenn B annimmt, wird das Geld entsprechend dem Vorschlag ausgezahlt. • Wenn B ablehnt, erhält keiner der beiden Spieler etwas. Lösung durch Rückwärts-Induktion • Für B ist jeder positive Betrag besser als nichts. • Unter der Annahme, dass B bei Indifferenz den von A gemachten Vorschlag annimmt, folgt, dass B jede Aufteilung annimmt. • Im teilspielperfekten Gleichgewicht schlägt deshalb A vor, dass er selbst € 1,- und B € 0,bekommt, und B nimmt an. Mehrere Verhandlungsrunden mit alternierenden Vorschlägen Es gibt drei Verhandlungsrunden, in denen die Spieler abwechselnd Vorschläge machen dürfen, beginnend mit A. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 109 • In der dritten Runde sind A und B in der gleichen Situation wie im Ultimatumspiel. Im Gleichgewicht des Teilspiels schlägt A € 1,- für sich selbst vor und B nimmt an. • In der zweiten Runde weiß A, dass er € 1,bekommt, wenn er ablehnt und bis Runde drei wartet. Er lehnt deshalb jeden Vorschlag ab, der ihm weniger als € 1,- zuspricht. • In der ersten Runde erwartet B, dass er in den folgenden Runden nicht mehr als € 0,- erhält. Deshalb ist es optimal für ihn, den Vorschlag € 1,- für A und € 0,- für B sofort anzunehmen. • Es kommt in Runde 1 zu derselben Einigung wie im Ultimatum-Spiel. Ergebnis In bilateralen Verhandlungen mit endlichem Zeithorizont, in denen der Zeitpunkt der Einigung keinen Einfluss auf den Nutzen hat, erhält derjenige den gesamten Verhandlungsgewinn, der zuletzt vorschlagen darf. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 110 Unendlicher Zeithorizont und Diskontierung (Rubinstein-Verhandlungen) Es wird über die Aufteilung eines Betrages von €1,verhandelt. Die Verhandlungen gehen solange weiter, bis es zu einer Einigung gekommen ist. Von Runde zu Runde sinkt der Wert des Verhandlungs- gewinns auf das δ -fache seines bisherigen Wertes, d. h. bei Einigung in Periode t ist der Verhandlungs-gewinn nur noch δ t-1 wert. δ = 1/(1+r) ist der Diskontfaktor, 0 < δ < 1. A schlägt in ungeraden Perioden 1,3,5,..., vor; B schlägt in geraden Perioden 2,4,6,..., vor. Lösung • Das Teilspiel, das in irgendeiner ungeraden Periode beginnt, ist identisch mit dem Spiel, das in Periode 1 beginnt. • Das Teilspiel, das in irgendeiner geraden Periode beginnt, ist identisch mit dem Spiel, das in Periode 2 beginnt. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 111 Konstruktion eines teilspielperfekten Gleichgewichts Definitionen a • πA die (undiskontierte) Auszahlung, die A im teilspielperfekten Gleichgewicht des Spiels erhält, das in einer ungeraden Periode beginnt. • π Ab die (undiskontierte) Auszahlung, die A im teilspielperfekten Gleichgewicht des Spiels erhält, das in einer geraden Periode beginnt. a • πB die (undiskontierte) Auszahlung, die B im teilspielperfekten Gleichgewicht des Spiels erhält, das in einer ungeraden Periode beginnt. b • πB die (undiskontierte) Auszahlung, die B im teilspielperfekten Gleichgewicht des Spiels erhält, das in einer geraden Periode beginnt. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 112 In einer geraden Periode kann A durch Ablehnung sicherstellen, dass er in der darauf folgenden Periode π Aa erhält, also π Ab ≥ δπ Aa . A kann andererseits durch Ablehnung auch nicht a mehr als δπ A erreichen. Deshalb ist es für A a optimal, ein Angebot anzunehmen, das ihm δπ A lässt und für B ist es optimal, dieses Angebot b a vorzuschlagen. Es gilt also auch π A ≤ δπ A , d. h. π Ab = δπ Aa (1) Da eine Einheit aufzuteilen ist, gilt zudem π Bb = 1 − π Ab = 1 − δπ Aa (2) In einer ungeraden Periode gilt ebenso π Ba = δπ Bb (3) π Aa = 1 − π Ba = 1 − δπ Bb (4) Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 113 Einsetzen von (2) in (4) ergibt π Aa = 1 − δπ Bb = 1 − δ (1 − δπ Aa ) = 1 − δ + δ 2π Aa a Auflösen nach π A liefert π Aa (1 − δ 2 ) = 1 − δ π Aa = 1 1+ δ (*) π Ab = 1 − π Aa = 1 − δ 1 = 1+ δ 1+ δ (**) Ergebnis In Periode 1 schlägt A die folgende Aufteilung vor: für A (*): für B (**): 1 1+ δ δ 1+ δ und B nimmt an. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 114 • Die Verhandlungspartner einigen sich in der ersten Periode. • Je niedriger der Diskontfaktor (d. h. je höher der Zinssatz), desto mehr erhält derjenige, der zuerst vorschlagen darf. Spezialfälle • Wenn δ → 0, dann erhält A den gesamten Verhandlungsgewinn. • Wenn δ → 1 bzw. r → 0, dann erhält jeder die Hälfte des Verhandlungsgewinns. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 115 Zusammenfassung • In einem sequenziellen Spiel ist die Reihenfolge der Entscheidungen wesentlich. • Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn es in jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht induziert. • Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte beinhalten keine leeren Drohungen. • In strategischen Situationen ist es oftmals von Vorteil, wenn man sich im vorhinein auf eine bestimmte Aktion festlegen kann. • In Verhandlungen mit endlichem Zeithorizont ohne Diskontierung des Verhandlungsgewinns erhält derjenige den gesamten Gewinn, der den letzten Vorschlag machen darf. • In Verhandlungen mit unendlichem Zeithorizont wird der Gewinn zwischen beiden Partnern gleich aufgeteilt, wenn beide zukünftige Gewinne mit demselben Zinssatz abdiskontieren und dieser sehr nahe bei 0 ist. Mikroökonomik II: 17 Sequenzielle Spiele 116 18 Oligopoltheorie Der Gewinn eines Unternehmens hängt von den Entscheidungen der anderen Unternehmen ab. Die optimale Entscheidung eines Unternehmens hängt von seiner Erwartung über die Entscheidungen der anderen Unternehmen ab. Im Gleichgewicht werden diese Erwartungen bestätigt: jedes Unternehmen verhält sich optimalerweise so, wie es die anderen erwartet haben. Jedes Oligopol-Modell ist ein Spiel → Nash-Gleichgewicht. Unterscheidung der Modelle nach den möglichen Strategien (Outputmengen, Preise) und der Reihenfolge der Entscheidungen (gleichzeitig, nacheinander). Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 117 Oligopol mit Mengenwettbewerb: Das Cournot-Gleichgewicht Zur Vereinfachung: Dyopol • Zwei Unternehmen i = 1, 2 • Outputmengen y1, y2 • Kostenfunktionen ci(yi). Der Preis richtet sich nach dem Gesamtoutput: y = y1 + y2. p (y) = p (y1 + y2 ) inverse Nachfragefunktion. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 118 Bestimmung der besten Antworten des Unternehmens 1: max π1 ( y1 , y2 ) = p ( y1 + y2 ) ⋅ y1 − c1 ( y1 ) y1 Notwendige Bedingung für eine gewinnmaximierende Angebotsmenge y1>0 ∂π ( y1 , y2 ) 1 = p y + y + p' y + y ⋅ y − c ' y = 0 1 2 1 2 1 1 1 ∂y 1 ( ) ( ) ( ) Diese Gleichung definiert die Reaktionsfunktion des Unternehmens 1: y1 = f1 ( y2 ) gibt den Output an, den Unternehmen 1 wählt, wenn es glaubt, dass Unternehmen 2 die Menge y2 verkauft. Entsprechend für Unternehmen 2: max y2 π y ,y = p ( y1 + y2 ) ⋅ y − c ( y2 ) 2( 1 2) 2 2 Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 119 liefert ∂π ( y ,y 2 1 2 ∂y 2 ) ( ) ( ) ( ) = p y1 + y2 + p' y1 + y2 y 2 − c2' y2 = 0 Die Lösung y2 dieser Gleichung ist die Reaktionsfunktion y2 = f2 ( y1 ) des Unternehmens 2. Gleichgewicht ⎛⎜ y* , y* ⎞⎟ Im Cournot-Nash-Gleichgewicht ⎝ 1 2⎠ gilt und f1 ( y2* ) = y1* f2 ( y1* ) = y2* also: f1 ( f2 ( y1* ) ) = y1*. Jeder verhält sich optimal, gegeben die Entscheidung des anderen. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 120 y2 y M 2 f1(y2) y*2 f2(y1) y1* y1M y1 y1M , y2M ... Menge die Unternehmen 1 (bzw. 2) als Monopolist wählen würde. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 121 Kartell Die beiden Unternehmen kooperieren, um die Summe der Gewinne zu maximieren. max p (y1 + y2) · [y1 + y2 ] - c1 (y1) - c2 (y2) y1 ,y2 Notwendige Bedingungen: ( ( p yˆ1 + p yˆ1 + ) ( ) ( yˆ 2 + p' yˆ1 + yˆ 2 + p' yˆ1 + ) ) ( ) ( ) yˆ 2 &[ yˆ1 + yˆ 2 ] = c1' yˆ1 yˆ 2 &[ yˆ1 + yˆ 2 ] = c ' yˆ 2 2 Es gilt im Kartell-Optimum: Grenzkosten des Unternehmens 1 = Grenzkosten des Unternehmens 2 = Grenzerlös (der Gesamtmenge) Das Kartell verhält sich wie ein Monopolist mit zwei Betriebsstätten. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 122 Die Kartell-Lösung ist kein NashGleichgewicht Wenn Unternehmen 1 annimmt, dass sich Unternehmen 2 an die Kartellvereinbarung hält (d. h. ŷ2 anbietet), dann hat Unternehmen 1 einen Anreiz, selbst von der Vereinbarung abzuweichen. ( ) ( ∂π yˆ ,yˆ 1 1 2 = p yˆ + yˆ + p' yˆ + yˆ ⋅ yˆ − c ' yˆ 1 2 1 2 1 1 1 ∂y 1 ) ( ( ) ( ) ) = − p' yˆ1 + yˆ 2 ⋅ yˆ > 0 2 wegen der notwendigen Bedingung für die Kartell-Lösung weil die inverse Nachfragefunktion fallend ist. Folgerung: Kartelle sind schwer aufrecht zu erhalten (vgl. OPEC). Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 123 Cournot-Oligopol mit mehr als zwei Unternehmen Unternehmen i = 1, 2, ..., m y i Output Unternehmen i m y = ∑ yi i =1 p ( y ) = a − by Marktangebot inverse Nachfragefunktion Kostenfunktion Unternehmen i c ( y ) = cy i i i π = p ( y ) ⋅ y − c ( yi ) i i i Bestimmung der Reaktionsfunktion : ∂πi = p ( y ) + p' ( y ) ⋅ y − c ' ( yi ) = 0 , i i ∂yi also a − by − by = c. i In einem symmetrischen Cournot-NashGleichgewicht gilt yi = yj für alle i, j. ⇒ y = myi ⇒ a - bmyi - byi = c. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 124 ⇒ yi = ⇒y= a−c b(m + 1) m (a − c ) ⋅ m + 1 b m ⋅ (a − c ) m + 1 m m +1− m ⇒ p = a⋅ +c⋅ m +1 m +1 1 a ⇒ p= +c⋅ 1 m + 1 1+ m ⇒ p = a − by = a − lim p = c. m→∞ Das Cournot-Gleichgewicht nähert sich dem Gleichgewicht bei vollkommener Konkurrenz an, wenn die Zahl der Unternehmen unbegrenzt steigt. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 125 Sequenzielle Entscheidungen: Das Stackelberg-Modell Inverse Nachfragefunktion p(y) = p(y1 + y2). Unternehmen 1 wählt zuerst sein Angebot y1. Unternehmen 2 erfährt dies und wählt dann sein Angebot y2. Unternehmen 1 („Führer“, leader) Unternehmen 2 y Unternehmen 2 („Nachfolger“, follower) y 1 2 y 2 π 1 = p ( y1 + y2 ) ⋅ y1 − c1 ( y1 ) π 2 = p ( y1 + y2 ) ⋅ y2 − c2 ( y2 ) Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 126 Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht: Lösung durch Rückwärts-Induktion Angenommen, Unternehmen 1 habe eine Menge y1 gewählt. Die optimale Menge für Unternehmen 2 erfüllt die notwendige Bedingung p(y1 + y2) + p' (y1 + y2) · y2 = c2' (y2). Unternehmen 2 entscheidet sich gemäß der aus dem Cournot-Modell bekannten Reaktionsfunktion f2 (y1). Unternehmen 1 sieht das voraus. Sein Gewinn ist dann p ( y1 + f 2 ( y1 ) ) ⋅ y − c ( y ) . 1 1 1 Im Gewinn-Maximum gilt p ( y1+ y2 ) + y ⋅ p' ( y1+ y2 ) ⋅ ⎡⎣1+ f2 '( y1)⎤⎦ = c ' ( y ) . 1 1 1 Unternehmen 1 bezieht die Reaktion des Unternehmens 2 auf eine Änderung von y1 mit ein. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 127 y2 ( ) f1 y2 Cournot-Gleichgewicht StackelbergGleichgewicht ( ) f 2 y1 y1 Grün: Isogewinnlinien des Unternehmen1, d. h. Paare von (y1, y2), die denselben Gewinn für Unternehmen 1 bringen. Weiter unten verlaufende Isogewinnlinien bedeuten höheren Gewinn. Die Isogewinnlinien des Unternehmens 1 haben auf der Reaktionsfunktion des Unternehmens 1 ihr Maximum. Das Stackelberg-Gleichgewicht ist durch die höchste Isogewinnlinie bestimmt, die mit der Reaktionsfunktion des Unternehmens 2 noch einen Punkt gemeinsam hat. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 128 Es ist willkürlich festgelegt worden, dass Unternehmen 1 Führer ist und Unternehmen 2 Nachfolger. Die umgekehrte Festlegung ergibt ebenfalls ein Stackelberg-Gleichgewicht. Ist Unternehmen 1 lieber Führer oder Nachfolger? Stackelberg-Gleichgewicht mit Unternehmen 2 als Führer: y2 f1 S2F C Für Unt. 1 gilt: Gewinn (S1F) > Gewinn (C) > Gewinn (S2F). S1F f2 Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie y1 129 Oligopolistischer Preiswettbewerb: Das Bertrand-Modell Zwei Unternehmen bieten ein homogenes Gut an. Jedes Unternehmen entscheidet über seinen Verkaufspreis. D (p) Marktnachfrage d1(p1 , p2) Nachfrage nach dem Output von Unternehmen 1 falls p < p ⎧ D ( p1 ) 1 2 ⎪⎪ 1 falls p = p d p1 , p 2 = ⎨ D ( p1 ) 1 2 1 2 ⎪ 0 falls p > p ⎪⎩ 1 2 ( ) Annahme: Konstante, identische Grenzkosten c. Gewinne: π1 (p1 , π2 (p1 , p2) = p1 · d1 (p1 , p2) - c·d1 (p1 , p2) p2) = p2 · d2 (p1 , p2) - c·d2 (p1 , p2) Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 130 Bertrand-Nash-Gleichgewicht: Jedes Unternehmen maximiert seinen Gewinn für gegebenen Preis des anderen. p1 = p2 = c ist ein Bertrand-NashGleichgewicht. Beweis: Angenommen, p2 = c . Mögliche Strategien des Unternehmens 1: a) p > c ⇒ d = 0 ⇒ π = 0 1 1 1 b) p < c ⇒ d > 0, aber π < 0 1 1 1 D D c) p = c ⇒ d = und π = ( p − c ) = 0. 1 1 2 1 2 p1 = c ist mindestens so gut wie p1 ≠ c. Deshalb ist p1 = c beste Antwort auf p2 = c. Symmetrie ⇒ (p1 , p2 ) = (c , c) ist ein Bertrand-Nash-Gleichgewicht. Beim Preiswettbewerb genügen zwei Unternehmen, um zur Konkurrenzlösung zu gelangen. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 131 Zusammenfassung • In der Marktform des Oligopols beachtet jedes Unternehmen die Entscheidungen der anderen Unternehmen. • Die Reaktionsfunktion eines Unternehmens gibt seine beste Antwort in Abhängigkeit der Entscheidungen der anderen Unternehmen an. • Das Cournot-Gleichgewicht ist ein NashGleichgewicht eines Spiels zwischen Unternehmen, die simultan ihre Verkaufsmenge festsetzen. • Wenn sehr viele identische Unternehmen auf dem Markt sind, nähert sich das CournotGleichgewicht dem Wettbewerbsgewicht an. • Ein Kartell ist nicht stabil, da jedes Unternehmen einen Anreiz hat, von sich aus die Menge zu erhöhen. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 132 • Das Stackelberg-Gleichgewicht ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht eines Spiels, in dem zwei Unternehmen nacheinander ihre Verkaufsmenge festsetzen. • Das Bertrand-Gleichgewicht ist ein NashGleichgewicht eines Spiels zwischen Unternehmen, die simultan ihre Preise festsetzen. • Im Bertrand-Gleichgewicht setzt jedes Unternehmen den Preis so hoch wie die Grenzkosten. Mikroökonomik II: 18 Oligopoltheorie 133 19 Asymmetrische Information Asymmetrische Information Ein Spieler ist besser informiert als der andere. Beispiele 1. Ein Versicherungsunternehmen weiß nicht, ob ein Schaden durch unvorsichtiges Verhalten des Versicherten entstanden ist. 2. Die Aktionäre eines Unternehmens wissen nicht, ob ein schlechtes Ergebnis auf mangelnden Einsatz des Managements oder auf die ungünstige Marktlage zurückzuführen ist. 3. Ein Krankenversicherungsunternehmen kennt die Vorerkrankungen eines potenziellen Kunden nicht. 4. Der Käufer eines Gebrauchtwagens kann die verborgenen Mängel des Fahrzeugs nicht vor dem Kauf feststellen. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 134 5. Der Arbeitgeber kennt die Produktivität eines Bewerbers nicht. 6. Die Beschaffungsabteilung eines Unternehmens kennt die Kostenstruktur eines Lieferanten nicht. In den Beispielen 1 und 2 ist ein Spieler über das Verhalten des anderen nicht informiert. Dieses Verhalten ist private Information. → unvollkommene Information (imperfect information) Problem: Da ihr Verhalten vom Vertragspartner nicht beobachtet werden kann, haben der Versicherungsnehmer bzw. der Manager keinen Anreiz, sich im Sinne der Versicherung bzw. der Aktionäre zu verhalten. → moralisches Risiko (moral hazard) Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 135 In den Beispielen 3 bis 6 ist ein Spieler über eine exogene Eigenschaft des anderen nicht informiert. Diese Eigenschaft ist private Information: → unvollständige Information (incomplete information) Problem: Vertragsangebote können nicht nach den unterschiedlichen Eigenschaften der Vertragspartner differenziert werden. → adverse Selektion (adverse selection) Prinzipal-Agenten-Beziehung: Wie kann der Prinzipal (z. B. Eigentümer, Beschaffungsabteilung) Anreizsysteme bzw. Vertragsangebote so wählen, dass der Agent (z. B. Manager, Lieferant) aus eigenem Interesse die gewünschte Aktion durchführt (moralisches Risiko) bzw. seine private Information preisgibt (adverse Selektion)? Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 136 Moralisches Risiko: Anreizverträge für Manager Der Eigentümer eines Unternehmens kann das Unternehmen nicht selbst leiten. Deshalb beschäftigt er einen Manager. Der Output des Unternehmens hängt vom Arbeitseinsatz a des Managers und einem exogenen, zufälligen Ereignis ab, z. B. dem Wetter oder der Weltkonjunktur. ah al hoher Arbeitseinsatz niedriger Arbeitseinsatz, ah > al Mögliche Realisationen des Outputs: ⎧ y1 y=⎨ ⎩ y2 mit Wahrschein lichkeit π mit Wahrschein lichkeit 1-π mit y1 > y2. Hoher Arbeitseinsatz erhöht die Wahrscheinlichkeit für den hohen Output: ⎧π h π =⎨ ⎩π l wenn a = ah wenn a = al mit πh > πl Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 137 Es wird angenommen, dass hoher Arbeitseinsatz effizient ist, d. h.: π h y1 + (1 − π h ) y 2 − a h > π l y1 + (1 − π l ) y 2 − al ⇔ (π h − π l )( y1 − y 2 ) > ah − al (1) Entlohnung und Opportunitätskosten des Managers w Lohn des Managers u(w) – a von-Neumann-MorgensternNutzenfunktion des Managers, mit u´(w) > 0, u´´(w) ≤ 0 Wenn der Manager nicht in dem Unternehmen arbeitet, erhält er einen Reservationsnutzen von Uo. Entlohnungsschema ⎧ w1 w=⎨ ⎩w2 wenn y = y1 wenn y = y 2 Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 138 Abfolge der Entscheidungen 1. Der Eigentümer bietet dem Manager einen Vertrag (d. h. ein Entlohnungsschema) an. 2. Der Manager kann den Vertrag annehmen oder ablehnen (vgl. Ultimatumspiel aus Kap. 17, S. 109). 3. Der Manager entscheidet über seinen Arbeitseinsatz. 4. Der Output wird realisiert und der Manager erhält den vereinbarten Lohn. Ziele des Eigentümers • stelle sicher, dass der Manager hohen Arbeitseinsatz leistet. • maximiere den erwarteten Gewinn, der bei hohem Arbeitseinsatz erzielt wird: π h ( y1 − w1 ) + (1 − π h )( y 2 − w2 ) Der Eigentümer ist risikoneutral. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 139 Annahme des Vertrages durch den Manager Der Manager wird nur Verträge annehmen, die ihm mindestens denselben erwarteten Nutzen bringen wie die Ablehnung des Vertrages: π h u (w1 ) + (1 − π h )u (w2 ) − ah ≥ U o (IR) (IR) ist die Teilnahmebedingung des Managers. Sie stellt sicher, dass es für den Manager individuell rational ist, in dem Unternehmen zu arbeiten. Beobachtbarer Arbeitseinsatz Es gelte zunächst, dass der Eigentümer den Arbeitseinsatz beobachten kann. Folgender Vertrag stellt sicher, dass der Manager hohen Einsatz bringt: Wenn a = ah, dann wird der Lohn w1 bzw. w2 ausgezahlt. Wenn a = al, dann zahlt der Manager dem Eigentümer eine exorbitante Vertragsstrafe. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 140 Optimierung des Eigentümers max π h ( y1 − w1 ) + (1 − π h )( y 2 − w2 ) w ,w 1 2 u.d.B. π h u (w1 ) + (1 − π h )u (w2 ) − a h = U o (2) Da der Eigentümer ein einmaliges Angebot machen darf, erfüllt die optimale Entlohnung die Teilnahmebedingung mit Gleichheit. Lagrangefunktion L = π h ( y1 − w1 ) + (1 − π h )( y 2 − w2 ) + λ [π h u (w1 ) + (1 − π h )u (w2 ) − ah − U o ] Notwendige Bedingungen für ein Gewinnmaximum: (2) und ∂L = −π h + λπ h u ' (w1 ) = 0 ∂w1 (3) ∂L = −(1 − π h ) + λ (1 − π h )u ' (w2 ) = 0 ∂w2 (4) Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 141 Aus (2) und (3) folgt λ= 1 1 = u ' (w1 ) u ' (w2 ) (5) Bei Risikoaversion des Managers bedeutet Gleichung (5): w1 = w2 = w. Der Lohn ist unabhängig vom realisierten Output. Er wird durch die Teilnahmebedingung (2) bestimmt: u(w) − ah = Uo Der Eigentümer trägt das gesamte Risiko, da er risikoneutral ist. Unbeobachtbarer Arbeitseinsatz Wenn der Eigentümer den Arbeitseinsatz nicht beobachten kann, ist eine auf den Arbeitseinsatz bedingte Vertragsstrafe nicht möglich. Deshalb müssen die Löhne w1 bzw. w2 so gesetzt werden, dass es im Interesse des Managers ist, den hohen Arbeitseinsatz zu leisten. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 142 π h u (w1 ) + (1 − π h )u (w2 ) − a h ≥ π l u (w1 ) + (1 − π l )u (w2 ) − al ⇔ (π h − π l )[u (w1 ) − u (w2 )] ≥ a h − al (IC) (IC) ist die Anreizverträglichkeitsbedingung (incentive compatibility). Risikoneutralität und unbeobachtbarer Arbeitseinsatz Wenn der Manager risikoneutral ist, d. h. u(w) = w, dann erfüllt folgender Vertrag (IC): Der Manager erhält den gesamten Output und zahlt eine feste Summe wo für den Vertragsabschluss, d. h. w1 = y1 – wo und w2 = y2 – wo. Begründung: Bei dieser Entlohnung gilt (π h − π l ) ⎡⎣u ( w1 ) − u ( w2 )⎤⎦ = (π h − π l ) ⎡⎣ y1 − wo − ( y2 − wo ) ⎤⎦ = (π h − π l )( y1 − y2 ) Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 143 (IC) ist also äquivalent zu (π h − π l )( y1 − y2 ) ≥ ah − al . Dies folgt aus (1). Die feste Zahlung wird durch die (IR)-Bedingung bestimmt: π h u (w1 ) + (1 − π h )u (w2 ) − ah = U o ⇔ wo = π h y1 + (1 − π h ) y 2 − a h − U o Ein risikoneutraler Manager wird vollständig am Erfolg beteiligt. Der Eigentümer sichert sich den Gewinn durch die feste Zahlung. Risikoaversion und unbeobachtbarer Arbeitseinsatz Aus (IC) folgt u(w1 ) − u(w2 ) > 0 ⇒ w1 > w2 Der Manager hat nur dann einen Anreiz, hohen Arbeitseinsatz zu leisten, wenn er bei höherem Output auch höheren Lohn erhält. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 144 Wenn der Manager risikoavers ist, gilt auch (IC) mit Gleichheit. Begründung: Wenn in (IC) „>“ gilt, dann bleibt (IC) auch nach einer kleinen Senkung von w1 und einer kleinen Erhöhung von w2 erfüllt. Diese Veränderungen dw1 < 0 und dw2 > 0 können so gewählt werden, dass der erwartete Nutzen des Managers unverändert bleibt, d. h. (IR) gilt weiterhin: π hu ' ( w1 ) dw1 + (1 − π h ) u ' ( w2 ) dw2 = 0 1 − π h ) u ' ( w2 ) ( ⇒ dw1 = − dw2 π hu ' ( w1 ) Der Gewinn des Eigentümers verändert sich durch diese Änderung der Entlohnung um ⎛ u ' ( w2 ) ⎞ −π h dw1 − (1 − π h ) dw2 = (1 − π h ) ⎜ − 1 dw ⎜ u ' ( w ) ⎟⎟ 2 1 ⎝ ⎠ Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 145 Dies ist positiv, da bei Risikoaversion u´(w1) < u´(w2) gilt. Wenn (IC) nicht mit Gleichheit gilt, kann der Eigentümer also seinen Gewinn steigern, ohne (IR) zu verletzen. Das optimale Entlohnungsschema w1,w2 wird bestimmt durch die Gleichungen π hu ( w1 ) + (1 − π h ) u ( w2 ) − ah = U o (IR) (π h − π l ) ⎡⎣u ( w1 ) − u ( w2 )⎤⎦ = ah − al (IC) Ergebnis Das optimale Entlohnungsschema muss zwei Wirkungen gegeneinander abwägen: • Das Risiko sollte vom risikoneutralen Eigentümer und nicht vom risikoaversen Manager getragen werden ⇒ Der Lohn sollte möglichst wenig vom zufälligen Output abhängen. • Der Manager muss Anreize erhalten, um hohen Arbeitseinsatz zu leisten ⇒ Der Lohn muss bei hohem Output höher sein. Das optimale Entlohnungsschema lässt auch dem risikoaversen Manager einen Teil des Risikos. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 146 Adverse Selektion: Versicherungsmarkt Auf einem Versicherungsmarkt gibt es viele potenzielle Versicherungsnehmer, deren voraussichtliche Schadenshöhe sich unterscheidet. erwarteter Schaden des Versicherungsnehmers i. • xi • xi • v Nutzengewinn jedes Versicherungsnehmers aufgrund der Risikoübernahme durch die Versicherung. ⇒ xi + v ist die Zahlungsbereitschaft der Person i für den Versicherungsvertrag. c Verwaltungskosten der Versicherung pro Einheit Versicherungssumme ⇒ (1+c)xi sind die Kosten der Versicherung • ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, x ] für den Versicherungsvertrag mit Person i. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 147 Effiziente Versicherung Es ist effizient, Person i zu versichern, wenn deren Zahlungsbereitschaft größer ist als die Kosten der Versicherung, d. h. falls xi + v ≥ (1 + c) xi ⇔ v ≥ cxi Annahmen 1. v > cx 2. v< (1 + c) x 2 Annahme 1 besagt, dass es effizient ist, jede Person zu versichern. Gemäß Annahme 2 sind in diesem Fall die durchschnittlichen Kosten der Versicherung größer als der Nutzen aus der Risikoübernahme. Nachfrage Person i fragt Versicherung nach, wenn der Preis p für einen Versicherungsvertrag nicht höher ist als der Nutzen aus der Versicherung: p ≤ xi + v Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 148 Angebot bei vollständiger Information Wenn der erwartete Schaden xi der Versicherung bekannt ist, dann ist sie bereit, Person i einen Vertrag anzubieten, wenn der Preis mindestens die von dieser Person verursachten Kosten deckt: p ≥ (1 + c) xi Wegen Annahme 1 kommt es zu einem Vertragsabschluss mit jedem Versicherungsnehmer i. Jeder Versicherte zahlt einen individuellen Preis pi zwischen seiner Zahlungsbereitschaft und den von ihm verursachten Kosten: (1 + c) xi ≤ pi ≤ xi + v Marktgleichgewicht bei unvollständiger Information Wenn der erwartete Schaden xi der Versicherung nicht bekannt ist, muss der Preis p für alle Versicherungsnehmer gleich sein. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 149 Zu diesem Preis schließen alle Individuen eine Versicherung ab, deren Zahlungsbereitschaft den Preis nicht übersteigt, d. h. p ≤ xi + v . Es schließen also alle Personen einen Vertrag ab, deren erwarteter Schaden mindestens so groß ist wie die Versicherungsschwelle x ≡ p - v. Dichte 1/ x Nachfrage nach Versicherung keine Nachfrage 0 x x+x 2 x xi Die durchschnittlichen Kosten der Versicherung sind x+x (1+ c) 2 Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 150 Reservationspreis der Versicherung: ps (x) = (1+ c) x+x 2 Zahlungsbereitschaft der Versicherungsnachfrager: pd ( x) = x + v Gleichgewicht pd (x) = ps (x) x+x x + v = (1 + c) 2 ⇒ [2 − (1 + c)]x = (1 + c)x − 2v (1+ c)x − 2v ⇒ x* = 1− c (1+ c)x − 2v + (1− c)v ⇒ p* = x * +v = 1− c 1+ c ( x − v) ⇒ p* = 1− c Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 151 p x +v pd(x) (1+ c)x ps(x) p* (1+ c) x / 2 v x* x x Ergebnis Im Gleichgewicht fragen nur die Personen mit hohem Schadensaufkommen die Versicherung nach. (Das ist die adverse Selektion). Es kommt es zu ineffizient niedrigem Versicherungsschutz. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 152 Versicherungspflicht Der Staat verpflichtet jedes Individuum, eine Versicherung abzuschließen. Das Versicherungsunternehmen ist dazu bereit, diese anzubieten, wenn der Preis die durchschnittlichen Kosten deckt: x pˆ = (1 + c) 2 Wohlfahrtswirkung der Versicherungspflicht Durch die Versicherung von Person i wird der Überschuss der Zahlungsbereitschaft über die Kosten in Höhe von xi + v − (1+ c)xi = v − cxi > 0 realisiert. Dieser ist wegen Annahme 1 für jedes Individuum positiv. Da bei adverser Selektion nur ein Teil der Individuen versichert wird, ist der gesamte Überschuss (= Konsumentenrente + Produzentenrente) bei Versicherungspflicht größer. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 153 Einzelne Individuen sind aber durch die Einführung der Versicherungspflicht unterschiedlich betroffen. p x +v pd(x) ps(x) (1+ c)x p* A B p̂ C Gewinner v Verlierer x̂ x* x Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information x 154 A: Diejenigen, die bereits bei adverser Selektion versichert waren, gewinnen, weil der Preis sinkt. B: Diese Individuen gewinnen, da sie beim neuen Preis p̂ die verpflichtende Versicherung auch freiwillig abschließen würden. C: Diese Individuen verlieren, da ihre Zahlungsbereitschaft unter dem Preis p̂ liegt. Ergebnis Durch die Versicherungspflicht werden die „guten Risiken“ gezwungen, die restlichen Versicherungsnehmer zu subventionieren. Diese gewinnen aber so viel, dass sie die Verlierer entschädigen könnten und sich selbst dennoch besser stellen würden als bei adverser Selektion. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 155 Zusammenfassung • Asymmetrische Information bedeutet, dass einige Marktteilnehmer besser informiert sind als andere. • Moralisches Risiko entsteht, wenn ein Spieler das Verhalten des anderen nicht beobachten kann. • Adverse Selektion entsteht, wenn ein Spieler eine wichtige Eigenschaft des anderen nicht beobachten kann. • Wenn der Prinzipal (Eigentümer) den Arbeitseinsatz des Agenten (Managers) nicht beobachten kann, dann ist die optimale Entlohnung erfolgsabhängig. • In einer Prinzipal-Agenten-Beziehung mit moralischem Risiko drückt der optimale Vertrag die Abwägung zwischen Risikoübernahme durch den Prinzipal und Leistungsanreiz für den Agenten aus. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 156 • Wenn ein Versicherungsunternehmen die voraussichtlichen Schäden der einzelnen Kunden weniger gut einschätzen kann als diese selbst, dann fragen nur diejenigen mit besonders ungünstigen Schadenserwartungen die Versicherung nach. • Durch die Einführung einer Versicherungspflicht verlieren die Personen mit günstiger Schadenserwartung. Die Personen mit ungünstiger Schadenswartung gewinnen durch die Versicherungspflicht so viel, dass sie die Verlierer entschädigen könnten. Mikroökonomik II: 19 Asymmetrische Information 157
