12 KP–Modulprüfung Aufgabe 1 (40 Punkte)

Universität Regensburg
Soziale Sicherung
durch Markt und Staat
Wintersemester 2009/2010
12 KP–Modulprüfung
(Prof. Dr. Wolfgang Buchholz)
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Aufgabe 1
(40 Punkte)
Auf einem Markt für Krankenversicherungen gebe es 2 verschiedene Risikotypen: Gute Risiken mit einer Erkrankungswahrscheinlichkeit von πg = 0, 2, schlechte Risiken mit einer
Erkrankungswahrscheinlichkeit von πs = 0, 5. Jedes Individuum hat ein Anfangsvermögen
von W0 = 10. Die Nutzenfunktion der Individuen sei u(W ) = ln W . Die Behandlungskosten
im Krankheitsfall betragen L = 5.
1. Berechnen Sie das Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt bei symmetrischer Information über das Erkrankungsrisiko.
2. Berechnen Sie das Trenngleichgewicht nach Rothschild & Stiglitz bei asymmetrischer
Information über das Erkrankungsrisiko. Unter welcher Bedingung ist diese Lösung
tatsächlich ein Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt?
3. Vergleichen Sie die jeweiligen Erwartungsnutzen der Versicherten in beiden Gleichgewichten und erklären Sie Ihr Ergebnis.
4. Stellen Sie beide Gleichgewichte im üblichen 2–Zustände–Diagramm dar.
Aufgabe 2
(30 Punkte)
Ein Individuum√habe Präferenzen über Konsum c und Freizeit F , die durch die Nutzenfunktion u(c, F ) = cF beschrieben werden. Das Individuum habe ein exogenes Einkommen in
Höhe von M = 68 und erhalte pro Arbeitsstunde einen Lohn von w = 10. Sein gesamtes
Zeitbudget sei F̄ = 24.
1. Wie viel arbeitet das Individuum und wie hoch ist sein Nutzen?
2. Nun wird eine Krankenversicherung eingeführt, deren Beitrag 15% des Bruttolohnes
betrage. Auf M muss das Individuum keine Beiträge zahlen. Wieviel arbeitet das Individuum nun? Wie hoch ist sein Nutzen? Welchen Betrag zahlt das Individuum an die
Krankenversicherung?
3. Wie hoch wäre der Nutzen des Individuums, wenn es den gleichen Betrag als Kopfpauschale zahlen müsste, dafür jedoch keinerlei lohnabhängige Beiträge mehr anfielen?
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Situation in 2. Erklären Sie den Unterschied.
4. Verdeutlichen Sie die Situationen aus 1., 2. und 3. in ein und derselben Grafik.
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durch Markt und Staat
Aufgabe 3
Wintersemester 2009/2010
(20 Punkte)
Wir betrachten ein 2–Perioden–Modell. Mit der Wahrscheinlichkeit von 20% erkranken die
Individuen in der ersten Periode. Mit der Wahrscheinlichkeit von 30% steigt dieses Erkrankungsrisiko in der zweiten Periode auf 50%. Die Behandlungskosten der Krankkeit in einer
Periode betragen 1000 Geldeinheiten.
1. Wie hoch ist das Prämienrisiko in diesem Fall?
2. Wie sähe ein Krankenversicherungsvertrag aus, der alle Risiken abdeckt und in beiden
Perioden eine gleiche Prämienhöhe vorsieht? Weshalb ist nicht zu erwarten, dass sich
ein solcher Vertrag am Markt durchsetzt?
3. Wie hoch ist die Prämienvorauszahlung in der ersten Periode mindestens anzusetzen,
damit ein entsprechender Krankenversicherungsvertrag anreizkompatibel und somit
durchsetzbar ist? Erläutern Sie stichwortartig, welche Probleme sich bei der Prämienvorauszahlung ergeben.
Aufgabe 4
(30 Punkte)
Nehmen Sie an, die Nachfrage nach einem Gesundheitsgut x sei durch die folgende inverse
Nachfrage p(x) = 16−4x gegeben. Das Angebot sei durch die Angebotsfunktion q(x) = 4x beschrieben. Analysieren Sie bitte anhand der folgenden Teilaufgaben, wie sich unterschiedliche
Ausgestaltungen von Versicherungsverträgen auswirken.
1. Welche Menge von diesem Gesundheitsgut wird zu welchem Preis auf dem Markt gehandelt, wenn die Individuen keinerlei Versicherungsleistungen in Anspruch nehmen?
2. Jetzt wird den Individuen von ihrer Krankenversicherung ein Festbetrags–Zuschuss von
4 Euro pro Einheit des Gesundheitsgutes gezahlt. Wie verändern sich a) der Preis, den
der Hersteller erhält und b) der Preis, den die Individuen aus eigener Tasche bezahlen
müssen? Was fällt Ihnen auf? Erklären Sie Ihre Ergebnisse in einer Grafik.
3. Nun nehmen Sie bitte an, die Individuen erhalten für dieses Gesundheitsgut 75% an
Zuschuss von der Versicherung, den Rest müssen sie selbst bezahlen (Selbstbehalt). Wie
verändern sich a) der Preis, den der Hersteller erhält, und b) der Preis, den die Individuen im Gleichgewicht aus eigener Tasche bezahlen müssen im Vergleich zur Ausgangslage
in 1.? Erklären Sie auch hier bitte Ihre Ergebnisse in einer Grafik.
4. Zuletzt soll der Vertrag nun so ausgestaltet sein, dass der Versicherungsnehmer bis zu
einem Betrag i.H.v. F = 24 (Abzugsfranchise) alle Kosten selbst trägt, darüber hinaus
anfallende Kosten übernimmt die Versicherung. Berechnen Sie den Schwellenpreis p̂, ab
welchem die Individuen die Sättigungsmenge nachfragen. Wie hoch ist diese? Zeichnen
Sie die durch die Abzugsfranchise veränderte Nachfragefunktion.
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durch Markt und Staat
Wintersemester 2009/2010
Aufgabe 5
(30 Punkte)
Gegeben sei das Einkommensprofil (1, 2, 3, 3, 6).
1. Berechnen Sie den Atkinson–Index für = 2.
2. Berechnen Sie den relativen Headcount–Index, die Poverty–Gap und den Foster–Index
für α = 2, falls als relative Armutsschwelle 50% des Durchschnittseinkommens angesetzt
werden. Was ändert sich bei Benutzung des Medianeinkommens.
3. Welche Probleme ergeben sich generell bei Verwendung relativer Armutskonzepte?
Aufgabe 6
(30 Punkte)
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Im symmetrischen Status–Spiel mit 2 Individuen sei u(yi ) = yi2 , h(yi − yj ) = 2 (yi − yj ) und
c(yi ) = 3 yi .
1. Welches individuelle Einkommensniveau ergibt sich, wenn die Individuen unkoordiniert
handeln?
2. Was ändert sich durch die Einführung einer proportionalen Einkommensteuer mit Steuersatz t = 74 , deren Aufkommen gleichmäßig an die Individuen zurückverteilt wird?
3. Wie ist der Steuereffekt unter Wohlfahrtsgesichtspunkten zu beurteilen?
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