Zwischentest Winter 2014 - D-MATH

MATH, PHYS, CHAB
Prof. Dr. E. Kowalski
Analysis I
HS 2013
Zwischentest Winter 2014
Bei einigen Aufgaben können auch mehrere Antworten richtig sein.
Einsendeschluss: Der Test wird nicht eingereicht. Am Montag, den 3.3.2014
wir eine Musterlösung veröffentlicht.
1. Für n ≥ 1, sei An =]1/n, 1 − 1/n2 [. Was ist die Vereinigung der Mengen An ?
(a)
]0, 1[
(b)
[0, 3/4[
(c)
]0, 1]
√
2. Für n ≥ 1, sei An =]1/n, 1 + n]. Was ist der Durchschnitt der Mengen An ?
(a)
]0, 1[
(b)
[1, 2]
(c)
]1, 2]
(d)
[1, +∞[
3. Seien An , für n ≥ 1, Teilmengen von R. Sei
\ [
C=
Am .
n≥1 m≥n
Wie kann man die Menge C beschreiben?
(a)
Die Menge der x ∈ R, sodass x in genau einem der An liegt.
(b)
Die Menge der x ∈ R, welche in allen An liegen.
(c)
Die Menge der x ∈ R, welche in keinem der An liegen.
(d)
Die Menge der x ∈ R, welche in unendlich vielen der An liegen.
1
4. Sei P (x) ein Prädikat in Abhängigkeit von einer reellen Zahl x. Welche der
folgenden Aussagen impliziert, dass P (x) für wenigstens drei verschiedene reelle
Zahlen wahr ist:
(a)
∀x P (x)
(b)
∃x P (x)
(c)
∀y, ∃x 6= y P (x)
(d)
∃x 6= 0, P (x) ∧ P (2x) ∧ P (x + 1)
(e)
P (x) ⇒ P (x + 1)
5. Betrachten Sie die Abbildungen
(
(
R → P(R)
R → P(Z)
,
g
f
x 7→ [x, x + 1[
x 7→ {n ∈ Z | |n| ≤ |x|}
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
(a)
f ist injektiv.
(b)
f ist surjektiv.
(c)
Wenn x ≤ y, dann ist f (x) ⊂ f (y).
(d)
∅ ist im Bild von g.
(e)
g ist nicht injektiv.
(f)
Falls 0 ≤ x ≤ y, dann gilt g(x) ⊂ g(y).
6. Welche der folgenden Definitionen definieren reelle Zahlen:
(a)
x = inf{x > 0 | sin(x) = 0}
(b)
x = inf{x > 0 | cos(x2 ) = 2}
(c)
x = max{x ∈ [0, 1] | x ∈ Q}
(d)
x = max{x ∈ [0, 1] | x2 ∈
/ Q}
(e)
x = inf{x ∈ R | cos(x) = 0}
2
,
7. Welche der folgenden Aussagen implizieren, dass eine gegeben Folge (an )n≥1
reeller Zahlen konvergiert:
(a)
∀ε ∈]0, 1[, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, |an − a| < 10ε.
(b)
∀ε ∈]1, +∞[, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, |an | < ε.
(c)
∃N ≥ 1 ∀ε > 0, ∀n ≥ 2N, ∀m ≥ 2N |an − am | < ε.
(d)
∃ε > 0, ∀N ≥ 1, ∃n ≥ N, ∃m ≥ N, |an − am | ≥ ε.
8. Sei (an )n≥0 eine Folge reeller Zahlen, so dass an+1 ≥ an > 0 für alle n ≥ 0.
Welche der folgenden Aussagen ist wahr:
(a)
Die Folge (an ) konvergiert gegen eine reelle Zahl α.
(b)
Die Folge (an ) konvergiert gegen eine reelle Zahl α, oder sie konvergiert
gegen ∞.
(c)
Die Folge bn = 1/an konvergiert.
(d)
Die Folge bn = cos(an ) konvergiert.
9. Sei (an )n≥1 eine Folge reeller Zahlen, sodass die Reihe
+∞
X
an
n=1
absolut konvergiert. Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
P
(a) Die Reihe n an cos(n) konvergiert absolut.
P
(b) Die Reihe n a2n konvergiert absolut.
(c)
Die Reihe
P
n
n (−1)
p
|an | konvergiert absolut
3
10. Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zu der Negation der gleichmässigen Konvergenz der Funktionen (fn ), welche auf [0, 1] definiert sind, gegen eine
Funktion f :
(a)
∀ε > 0, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, ∀x ∈ [0, 1], |fn (x) − f (x)| < ε.
(b)
∀x ∈ [0, 1], ∀ε > 0, ∃N ≥ 1, ∀n ≥ N, |fn (x) − f (x)| < ε.
(c)
∃ε > 0, ∀N ≥ 1, ∃n ≥ N, ∃x ∈ [0, 1], |fn (x) − f (x)| ≥ ε.
(d)
∃x ∈ [0, 1], ∃ε > 0, ∀N ≥ 1, ∃n ≥ N, |fn (x) − f (x)| ≥ ε.
11. Sei f : ]0, 1[→ R stetig. Welche der folgenden Funktionen g sind wohldefiniert und stetig:
(a)
(b)
(c)
g(x) = f (x)2 + exp(f (x)) for x ∈]0, 1[.
(
0
falls f (x) = 0
g(x) =
1/f (x) falls x ∈]0, 1[ und f (x) 6= 0
g(x) = f (f (x))
12. Sei f : [0, 1] → R stetig. Welche der folgenden Funktionen ist beschränkt:
(a)
x 7→ f (x2 )
(b)
x 7→
1
f (x)2 −1
13. Sei f eine Funktion auf R welche die folgende Bedingung erfüllt:
∀ε ∈]0, 1/100[, ∃δ > 0 (|x − y| ≤ δ =⇒ |f (x) − f (y)| < 2ε).
Ist f stetig?
(a)
Ja
(b)
Nein
14. Welche der folgenden Aussagen über Funktionen, welche auf R definiert
sind, sind wahr:
(a)
Wenn f nicht stetig ist, dann ist |f | auch nicht stetig.
(b)
Wenn f nicht stetig ist, dann ist exp(f (x)) nicht stetig.
4
15. Welche der folgenden für x ∈ R definierten Funktionen sind differenzierbar:
(a)
f (x) =
+∞
X
xn
.
(n!)n
n=0
(b)
f (x) = cos(|x|)
(c)
Die charakteristische Funktion von Q.
16. Sei f auf [0, 1] differenzierbar; welche Eigenschaften sind wahr:
(a)
f ist beschränkt.
(b)
Die Ableitung von f ist beschränkt.
(c)
Entweder f oder −f ist konvex.
17. Sei f (x) = exp(x2 /2) für x ∈ R. Welche der folgenden Polynome sind
Taylor-Polynome für f bei x = 0:
x2
2
+
x3
6
P3 (x) = 1 −
x2
2
+
x4
8
P3 (x) = 1 +
x2
2
+
x4
8
(a)
P1 (x) = 1 +
(b)
P2 (x) = 1
(c)
(d)
+
x6
48
18. Sei f von der Klasse C 3 auf [0, 1]. Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
(a)
Wenn f 0 (1/2) 6= 0, dann hat f kein lokales Extremum bei 1/2.
(b)
Wenn f 0 (0) 6= 0, dann hat f kein lokales Extremum bei 0.
(c)
Wenn f 0 (1/3) = 0 und f 00 (1/3) = 3, dann hat f ein lokales Minimum bei
1/3.
(d)
Wenn f 00 (1/10) = 0 und f (3) (1/10) < 0, dann hat f ein lokales Maximum
bei 1/10.
(e)
Wenn f (2/5) = f 0 (2/5) = f 00 (2/5) = 0 und f (3) (2/5) = 1, dann hat f ein
Minimum bei 2/5.
19. Sei f : [0, 1] →]0, +∞[ eine konvexe Funktion in C 2 ([0, 1]). Welche der
folgenden auf [0, 1] definierten Funktionen g sind konvex:
(a)
g(x) = 1/f (x)
(b)
g(x) = f (x)2
(c)
g(x) = x + f (x)
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