Übungsblatt 10

Universität Tübingen
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Andreas Prohl
Tübingen, den 20. Dezember 2010
10. Übungsblatt zur Numerik partieller und stochastischer Differentialgleichungen
Überprüfen Sie die Voraussetzungen des Theorems ueber die Existenz und EindeutigAufgabe 36:
keit einer starken Lösung X ∈ L2 (C([0, T ]; R)) für die folgenden stochastischen Differentialgleichungen:
a) dX = √
bX dt + σX dW ,
b) dX = X dt + dW ,
c) dX = X 3 dt + dW ,
b, σ ∈ R,
mit Anfangsbedingung X0 = ξ ∈ L2 (Ω).
Aufgabe 37:
Sei W eine Brown’sche Bewegung, ε ∈ [0, 1], und Π = {t0 , t1 , . . . , tm } eine Partition
von [0, t] wobei 0 = t0 < t1 < . . . < tm = t mit
max{ti − ti−1 } < δ,
i
δ > 0.
Betrachten Sie die Approximation
Rδ :=
m−1
X
Wτi (Wti+1 − Wti )
i=0
des Integrals
Rt
0
Ws dWs , wobei τi = (1 − ε)ti + εti+1 . Zeigen Sie
µ
¶
1 2
1
lim Rδ = Wt + ε −
t,
δ→0
2
2
wobei der Limes in L2 ist. Für welche Werte von ε ist der Limes ein Martingal?
Bemerkung: Für ε = 0 erhält man das Itô Integral. ε = 21 entspricht dem Fisk-Stratonovich Integral,
welches die üblichen Rechenregeln der Integralrechnung (z. B. Kettenregel) besitzt. Die Wahl ε = 1 führt
zu dem backward Itô integral (siehe McKean, Stochastic Integrals, 1969, Academic Press, New York).
Programmieraufgabe 38 (Freiwillig):
a) (Zufallszahlgenerator) Um Zufallszahlen zu erzeugen benutzt man die Rekursion
Xn+1 = (aXn + b)mod c ,
wobei a und c positive ganze Zahlen sind und b eine nichtnegative ganze Zahl ist. X0 wird “seed”
genannt. Falls die Koeffizienten a, b, c gut gewählt sind, sind die Zahlen
Un =
Xn
c
uniform verteilt im Intervall [0, 1]. Simulieren Sie 103 Punkte (U2n−1 , U2n ) im Einheitsquadrat
[0, 1] × [0, 1] mit Parametern a = 1229, b = 1, c = 2048 und X0 = 0.
Bitte wenden
b) (Irrfahrt) Simulieren Sie die Zufallsvariablen
1. ηi , i = 1, . . . , n mit P[ηi = −1] = P[ηi = +1] = 1/2,
2. ξi , i = 1, . . . , n mit P[ξi = −1] = 1 − P[ξi = +1] = p, p ∈ [0, 1].
Simulieren Sie dann Pfade von den Prozessen {Sji }m
j=0 , i = 1, 2 mit
Sj1
=
n
X
ηi ,
S01 := 0 ,
ξi ,
S02 := 0 ,
i=1
und
Sj2 =
n
X
i=1
und p = 1/3. Plotten Sie einige Realisierungen von (j, Sji ), i = 1, 2 für j = 0, . . . , m, mit m =
10, 50, 100. Berechnen Sie den Erwartungswert E[Sji ], i = 1, 2 mithilde der Monte-Carlo Methode,
d.h.
E[Sji ]
Np
1 X i
Sj (ωk ) ,
≈
Np
k=1
wobei mit Sji (ωk ) die k-te Realisierung des Prozesses gemeint ist. Plotten Sie Punkte (j, E[Sji ]) für
Np = 1000, 10000 und p = 1/3, 1/4.
c) (Approximation des Wienerprozesses) Betrachte die symmetrische Irrfahrt Sj1 aus der vorigen
Teilaufgabe. Definiere den Prozess
1
Yt := S[t]
+ (t − [t])η[t]+1 ,
t ≥ 0,
(n)
wobei [t] = max n ∈ N0 | n ≤ t . Wir erhalten ein Folge von Prozessen {Xt } definiert durch
(n)
(n)
Xt := √1n Ynt . Simulieren Sie ein Pfad des Prozess {Xt }1t=0 , für n = 10, 50, 100.
Besprechung der Aufgaben in der Übungsstunde am 09. 01. 2010.