Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen - LS1

Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
WiSe 2016/17
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
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Struktur der DVEW
1
2
3
4
5
6
7
8
Einführung und Motivation
Klassische und regelbasierte Wissensrepräsentation
Qualitative Unsicherheit – Default-Logiken
Quantitative Unsicherheit – Wahrscheinlichkeiten & Co.
Wissenserwerb und Wissensentdeckung
Agenten, Aktionen und Planen
Wissensrevision
Wiederholung und Fragestunde
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Wissensrepräsentation
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
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DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Übersicht Kapitel 2
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der
klassischen Logik
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Was ist Logik?
Logical thinking empowers the mind in a way that no other kind
of thinking can. It frees the highly educated from the habit of
presuming every claim to be true until proven false. It enables
average Americans to stand up against the forces of political
correctness, see through the chicanery, and make independent
decisions for themselves. And it is the bulwark against
intellectual servitude for the underprivileged.
Marylin Vos Savant in The Power of Logical Thinking: Easy
Lessons in the Art of Reasoning . . . and Hard Facts about Its
Absence in Our Lives
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logik und kritisches Denken
Beispiel:
Für P osA benötigt man QualB.
Bewerber mit QualC weisen QualB nach.
Daniel hat nicht QualC.
Daniel ist nicht geeignet für P osA.
♣
• Ist dieser Schluss gerechtfertigt?
• Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logikbasierte Wissensverarbeitung
• Syntax: Vokabular, Term- und Formelbildung
Beispiel:
“Ein Mann geht über die Straße”
vs. “Über geht ein Straße die Mann”
♣
• Semantik: Bedeutung in der realen Welt
♣
Beispiel: “die warmherzige dezimale Vorlesung”?!
• Pragmatik der Wissensverarbeitung: Wie wird das repräsentierte
Wissen benutzt, um “neues” Wissen (Folgerungen) zu generieren?
• Zweck des logischen Rahmens
• sinnvolle Anwendung des logischen Rahmens
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Syntaktische und semantische Ebene
W
?
Semantik(W )
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-
B
Semantik
Welt
Semantik
Repräsentation
folgt logisch
?
folgt
notwendigerweise
- Semantik(B )
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Inferenzrelation . . .
. . . benötigt:
Formalisierung eines logischen Systems
• Syntax
• Semantik
• Inferenzregeln
• Korrektheitskriterien
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 1/2
• Signaturen Σ: Vokabular, mit dem syntaktische Beschreibungen zur
Repräsentation von Wissen gebildet werden
• Formeln Form(Σ): Syntax zur Darstellung von Wissen, Symbole in Σ
dienen als Basiselemente
• Interpretationen Int(Σ): liefern die Semantik
• Erfüllungsrelation |=: verknüpft Interpretationen und Formeln:
I |= F : “Die Interpretation I erfüllt die Formel F ”
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches System 2/2
Logisches System
Σ
• Signaturen: Σ
Z
• Formeln: Form(Σ)
• Interpretationen:
Int(Σ)
Z
Z
Z
Int(Σ)
• Erfüllungsrelation: |=Σ
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Z
~
Z
DVEW
|=Σ
Form(Σ)
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Aussagenlogik – Syntax
Signatur:
Σ = {A1 , . . . , An }
– Aussagenvariable Ai
– repräsentiert ein Faktum:
“Nero ist ein Hund”,
“Informatik macht Spaß”
Formeln:
¬
P
P
P
P
P
∧Q
∨Q
⇒Q
⇔Q
– Atomare Formeln A
– komplexe Formeln mit Junktoren
nicht P
Negation
P und Q
Konjunktion
P oder Q
Disjunktion
P impliziert Q
Implikation
P äquivalent zu Q
Äquivalenz
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Aussagenlogik – Semantik
I : Σ → {true, false}
Interpretationen:
–
I(A) = true : Das Faktum A gilt in der betrachteten Welt
–
I(A) = false : Das Faktum A gilt nicht in der betrachteten Welt
Erfüllungsrelation:
I |= F
gdw.1
[[F ]]I = true
wobei
[[A]]I
1
=
I(A)
falls A eine atomare Formel ist etc.
gdw = genau dann, wenn
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
Σ = (Func, Pred )
–
–
–
Menge von Funktionssymbolen Func
Menge von Prädikatensymbolen Pred
jedes Symbol hat eine Stelligkeit
PL1 Funktionssymbole:
– mit Stelligkeit 0:
– mit Stelligkeit ≥ 1:
Konstanten
zum Aufbau von Termen
Beispiel:
a, b, c, john, morning star, evening star
f ather of (john),
age(john),
f ather of (f ather of (john)),
distance(morning star, evening star)
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DVEW
♣
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Signaturen
PL1 Prädikatensymbole:
–
–
mit Stelligkeit 0, 1, 2, . . .
zum Aufbau atomarer Formeln
Beispiel: P rime(3)
Blue(sky)
M ortal(socrates)
F light(rf 75, dortmund, berlin)
Grandf ather(f ather of (f ather of (john)), john)
♣
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
– interpretieren die Symbole in Σ durch
* Objekte
* Funktionen
* Fakten
* Eigenschaften
* Relationen
–
–
–
Universum U
f ∈ Func
P ∈ Pred
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I(f )
I(P )
:
⊆
U × ... × U → U
U × ... × U
DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Interpretationen
Symbol
Funktionssymbol
Funktionssymbol
Prädikatensymbol
Prädikatensymbol
Prädikatensymbol
Beispiele:
Blue/1
Brother/2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Stell.
0
≥1
0
1
≥1
Interpretation
Element in U
Funktion über U
Wahrheitswert
Teilmenge von U
Relation über U
Menge aller blauen Elemente in U
(charles, edward ), (charles, andrew ),
(edward, andrew )} ⊆ U × U
♣
DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Terme
V = Menge von Variablen
Terme:
(1)
x
(2)
c
(3)
f (t1 , . . . , tn )
Variablenbelegung:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
falls x ∈ V
falls c ∈ Func und c hat Stelligkeit 0
falls f ∈ Func mit Stelligkeit n > 0
und t1 , . . . , tn Terme
α:V →U
(benötigt man für die Interpretation von
freien Variablen und Quantoren)
DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1 – Termauswertung
Termauswertung eines Terms t in einer Interpretation I unter einer
Variablenbelegung α
[[t]]I,α ∈ U
ist definiert durch
[[x]]I,α = α(x)
[[f (t1 , . . . , tn )]]I,α = fI ([[t1 ]]I,α , . . . , [[tn ]]I,α )
Terme repräsentieren Objekte in U
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DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Formeln
– atomare Formeln P (t1 , . . . , tn )
– komplexe Formeln mit Junktoren ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
– quantifizierte Formeln mit Quantoren und Variablen
∀xF
∃xF
“Für alle x gilt F ”
“Es gibt ein x, so dass F gilt”
All-Quantor
Existenz-Quantor
Beispiele:
∀x M ensch(x) ⇒ Sterblich(x)
¬¬Sterblich(sokrates)
∃x Großvater(x, sokrates)
∀x Großvater(vater von(mutter von(x)), x)
¬P rim(3)
∀x ∃y P rim(y) ∧ x < y
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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♣
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Prädikatenlogik PL1 – Erfüllungsrelation
[[P (t1 , . . . , tn )]]I,α = true gdw. ([[t1 ]]I,α , . . . , [[tn ]]I,α ) ∈ PI
[[∀xF ]]I,α = true gdw.
[[F ]]I,α
[[∃xF ]]I,α = true gdw.
[[F ]]I,α
wobei
αx/a (y) =
x/a
= true für jedes a ∈ U
x/a
= true für mindestens ein a ∈ U
α(y), wenn y 6= x,
a , sonst.
Formeln können wahr oder falsch in U sein
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1: Semantische Äquivalenzen
1.1
1.2
¬∀xF
¬∃xF
2.1
2.2
(∀ x F ) ∧ (∀ x G) ≡ ∀ x(F ∧ G)
(∃ x F ) ∨ (∃ x G) ≡ ∃ x(F ∨ G)
3.1
3.2
∀x ∀yF
∃x ∃yF
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
≡ ∃x¬F
≡ ∀x¬F
≡ ∀y ∀xF
≡ ∃y ∃xF
DVEW
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
PL1: Semantische Nicht-Äquivalenzen
(∀x F ) ∨ (∀x G) 6≡ ∀x(F ∨ G)
(∃x F ) ∧ (∃x G) 6≡ ∃x(F ∧ G)
Für verschiedene Quantoren ist die Reihenfolge entscheidend:
∀x ∃y F 6≡ ∃y ∀x F
Beispiel:
∀x ∃y Loves(x, y)
∃y ∀x Loves(x, y)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
: “Jeder liebt (irgend)jemanden”
: “Es gibt jemanden, den jeder liebt.”
DVEW
♣
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24 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 1/2
G folgt logisch aus F (geschrieben F |= G)
gdw.
jedes Modell von F ist auch ein Modell von G, d.h.
ModΣ (F) ⊆ Mod Σ (G)
wobei ModΣ (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F }.
F und G heißen logisch (auch: semantisch) äquivalent, wenn F |= G und
G |= F gilt, d.h., wenn Mod Σ (F ) = Mod Σ (G) ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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25 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logische Folgerung und logische Äquivalenz 2/2
Diese Begriffe lassen sich auch auf Formelmengen F, G ⊆ L anwenden:
• Modelle:
Mod (F) = {I ∈ Int(Σ) | I |=Σ F für alle F ∈ F}
\
Mod (F )
=
F ∈F
• Logische Folgerung:
F |= G gdw. Mod (F) ⊆ Mod (G)
gdw. F |= G für alle G ∈ G.
• Logische Äquivalenz:
F ≡ G gdw. Mod (F) = Mod (G)
gdw. F |= G und G |= F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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26 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Konsistenz
Eine Formel(menge) ist konsistent, wenn sie “stimmig” ist, d.h. wenn sie
sich “realisieren” lässt –
F ist konsistent gdw. Mod (F ) 6= ∅
Wissensbasen sind Mengen von Formeln und werden meistens als
konsistent vorausgesetzt, da sie reale Situationen modellieren sollen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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27 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassischer Inferenzoperator
klassisch-logischer Inferenzoperator:
Cn
:
2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) := {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
Cn ist monoton, d.h. aus F ⊆ G folgt Cn(F) ⊆ Cn(G)
Eine Menge von Formeln F ∈ Formel (Σ) ist (deduktiv) abgeschlossen
gdw. Cn(F) = F
Deduktionstheorem:
F |= G
gdw.
|= F ⇒ G
(Bei Formeln aus PL1 muss man voraussetzen, dass die Formeln
geschlossen sind, d.h. keine freien Variablen enthalten.)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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28 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 1/2
A
Green
not Green
B
C
Wissensbasis KB = {On(A, B) , On(B, C) , Green(A) , ¬Green(C)}
Anfrage:
Gibt es einen grünen Klotz, der direkt auf einem nichtgrünen Klotz steht?
ϕ : ∃x∃y
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Green(x) ∧ ¬Green(y) ∧ On(x, y)
KB |= ϕ ?
DVEW
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29 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel Blockwelt 2/2
Sei I Modell von KB
Fall 1:
also
also
Fall 2:
also
also
I |= Green(B)
¬Green(C), On(B, C) ∈ KB
I |= Green(B) ∧ ¬Green(C) ∧ On(B, C)
I |= ϕ
I |= ¬Green(B)
Green(A), On(A, B) ∈ KB
I |= Green(A) ∧ ¬Green(B) ∧ On(A, B)
I |= ϕ
Also KB |= ϕ, d.h. ϕ ∈ Cn(KB).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
30 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 1/2
Ein Kalkül besteht aus Axiomen und Inferenzregeln;
Inferenzregeln werden üblicherweise wie folgt notiert:
F1 ,
...,
F
Fn
Ist eine Formel F aus den Formeln F1 , . . . , Fn durch eine Folge von
Anwendungen von Inferenzregeln eines Kalküls K ableitbar, so schreiben
wir dafür
F1 , . . . , Fn `(K) F
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
31 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Kalkül 2/2
Ein Kalkül ist
• (logisch) korrekt, wenn (syntaktisch) abgeleitetes Wissen auch
(semantisch) logisch gefolgert werden kann, d.h. wenn für beliebige
Formeln F und G gilt
F ` G impliziert F |= G
• (logisch) vollständig, wenn alle logischen Folgerungen auch mittels
des Kalküls abgeleitet werden, d.h. wenn für beliebige Formeln F und
G gilt
F |= G impliziert F ` G
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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32 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassische Inferenzregeln
Modus ponens
A ⇒ B, A
B
Modus tollens
A ⇒ B, ¬B
¬A
Monotonie
A⇒B
A∧C ⇒B
Transitivität
A⇒B
B⇒C
A⇒C
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
33 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 1/3
• liefert effizientes Verfahren zum Überprüfen deduktiver Ableitungen;
• beruht auf folgendem Zusammenhang:
KB |= α
gdw. KB ∪ {¬α} unerfüllbar
• gibt es in aussagenlogischer und prädikatenlogischer Version;
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DVEW
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34 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 2/3
• benutzt konjunktive Normalformen (KNF)
(p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ r ∨ ¬s ∨ p) ∧ (¬r ∨ q)
die in Klauselformen transformiert werden
Klausel
z }| {
{[p, ¬q], [q, r, ¬s, p], [¬r, q]}
|
{z
}
Klauselform
wobei zu beachten ist
• [ ] leere Klausel ≡ ⊥ (falsum, FALSE)
• { } leere Klauselform ≡ > (verum, TRUE)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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35 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionskalkül 3/3
Grundidee der Resolution, um Anfrage KB |= α zu entscheiden:
1 die Formeln in KB und ¬α werden in KNF bzw. Klauselform
gebracht;
2
die entstehende Menge von Klauseln wird auf Erfüllbarkeit geprüft.
Auf diese Weise lässt sich jedes Folgerungsproblem auf ein Problem der
Erfüllbarkeit von Formeln reduzieren.
Der Resolutionskalkül ist widerlegungsvollständig, d.h. mit Hilfe der
Resolution lässt sich aus einer Klauselmenge genau dann die leere Klausel
(d.h. ein Widerspruch) ableiten, wenn sie unerfüllbar ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
36 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Resolutionsregel
• aussagenlogisch:
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L, M1 , . . . , Mm ]
[K1 , . . . , Kn , M1 , . . . , Mm ]
• prädikatenlogisch:
[L, K1 , . . . , Kn ]
[¬L0 , M1 , . . . , Mm ]
σ(L) = σ(L0 )
[σ(K1 ), . . . , σ(Kn ), σ(M1 ), . . . , σ(Mm )]
wobei σ allgemeinster Unifikator von L und L0 ist.
Jede Resolvente ist Folgerung ihrer Elternklauseln.
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DVEW
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37 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
[ A, B, ¬D ]
[ A, ¬B, C ]
S
S
S
S
S
S
[ A, C, ¬D ]
[ ¬A ]
[A]
A
A
A
A
A
A
2
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
38 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 1/2
Anfrage:
Gilt
(∀x M ensch(x) ⇒ Sich-irren(x)) ∧ M ensch(max)
|= ∃y Sich-irren(y) ?
→ folgende Klauselmenge:
{[ ¬M ensch(x), Sich-irren(x) ], [ M ensch(max) ],
[ ¬Sich-irren(y) ]}
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
39 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (PL1) 2/2
[ ¬sich–irren(y) ]
[ ¬Mensch(x), sich–irren(x) ]
σ1
[ ¬Mensch(y) ]
[ Mensch(Max ) ]
σ2
2
σ1 = {x/y} und σ2 = {y/Max }
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
40 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Beispiel – Resolutionsregel (AL)
Resolution der Klauseln [ p, q ], [ ¬p, ¬q ] – 2 Möglichkeiten:
[ ¬p, ¬q ]
[ p, q ]
[ q, ¬q ]
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
[ ¬p, ¬q ]
[ p, q ]
[ p, ¬p ]
DVEW
WiSe 2016/17
41 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 1/3
implementiert (in seiner klassischen Variante) einen Resolutionskalkül auf
Hornklauseln
• Hornklauseln sind Klauseln, die höchstens ein nicht-negiertes Literal
enthalten;
• sie entsprechen Regeln, die in ihrem Bedingungsteil nur Atome
enthalten und deren Folgerungsteil aus höchstens einem Atom
besteht.
• Eine definite Klausel ist eine Hornklausel [H, ¬B1 , . . . , ¬Bn ] die
genau ein positives Literal H enthält; sie wird notiert als
H ← B1 , . . . , B n .
wobei ← als Implikationspfeil von rechts nach links zu lesen ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
42 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 2/3
• Ein (klassisches) logisches Programm P ist eine Menge von definiten
Klauseln.
• Eine Anfrage (oder Zielklausel, query) ist eine Hornklausel ohne ein
positives Literal, notiert als ← B1 , . . . , Bn .
• Zweck einer solchen Anfrage an ein logisches Programm P ist die
Beantwortung der Frage, ob gilt:
P |= ∃x1 . . . ∃xr (B1 ∧ . . . ∧ Bn )
• Diese Implikation wird im logischen Programmieren konstruktiv in
dem Sinne bewiesen, dass dabei Terme t1 , . . . , tr konstruiert werden,
die als Belegungen für die existenzquantifizierten Variablen x1 , . . . , xr
diese Folgerung verifizieren.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
43 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Programmieren 3/3
Programm und Anfrage
P 1:
Q1
P 4:
Q4 :
Antwortsubstitutionen
Even(zero).
σ1 = {x/zero}
Even(succ(succ(y))) ← Even(y).
σ2 = {x/succ(succ(zero))}
σ3 = {x/succ(succ(succ(succ(zero))))}
← Even(x).
..
.
Kante(a, b).
Kante(b, c).
Kante(b, d).
W eg(v, w) ← Kante(v, w).
W eg(v, w) ← Kante(v, z), W eg(z, w).
σ1 = {x/b}
σ2 = {x/c}
σ3 = {x/d}
← W eg(a, x).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WiSe 2016/17
44 / 222
Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle
P
Σ = ΣP
(klassisch) logisches Programm,
Signatur von P (Funktions- und Prädikatssymbole)
• Herbranduniversum: Menge der Grundterme über Σ;
• Herbrandbasis H(P) von P: Menge aller Grundatome über Σ;
• Herbrandinterpretation von P: M ⊆ H(P);
• Herbrandinterpretation M ist ein Herbrandmodell, falls M |=Σ P;
• M(P): Menge aller Herbrandmodelle von P;
• der Durchschnitt zweier Herbrandmodelle ist wieder ein
Herbrandmodell;
T
• ( M(P)) ∈ M(P) ist das kleinste Herbrandmodell von P.
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Herbrandmodelle – Beispiel
P:
V (Polly).
P (Tweety).
V (x) ← P (x).
F (x) ← V (x).
• Herbranduniversum: {Polly, Tweety};
• Herbrandbasis H(P) = {V (Polly), V (Tweety),
P (Polly), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety)};
• Herbrandinterpretationen:
M1 = { V (Polly), V (Tweety), P (Polly), P (Tweety)},
M2 = { V (Polly), V (Tweety), P (Tweety), F (Polly), F (Tweety),
P (Polly)}, . . .
• Herbrandmodell: M2 ist ein Herbrandmodell von P, M1 nicht;
• kleinstes Herbrandmodell ist
M = {V (Polly), P (Tweety), V (Tweety), F (Polly), F (Tweety)}.
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 1/4
¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A) ≡ >(Tautologie)
A
B
C
:
:
:
Er ist ein Delphin
Er ist ein Fisch
Er ist ein Teichbewohner
Delphin → A ∧ ¬B ∧ ¬C ≡ ¬(¬A ∨ B ∨ C) ≡ ¬(A ⇒ (B ∨ C))
(¬(A ⇒ (B ∨ C)) ⇒ ((B ∧ C) ⇒ A)
¬(A ⇒ (B ∨ C))
(B ∧ C) ⇒ A
Aussage (1):
Wenn er ein Fisch und ein Teichbewohner ist, dann ist er ein
Delphin. – ?!
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 2/4
Aussage (1) wird verstanden als prädikatenlogische Formel:
∀x
F isch(x) ∧ T eichbewohner(x) ⇒ Delphin(x)
→ Ist
(¬(∀x A(x) ⇒ (B(x) ∨ C(x)))) ⇒ (∀y (B(y) ∧ C(y)) ⇒ A(y))
allgemeingültig?
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 3/4
A(x) ≡ Delphin(x)
: x ist ein Delphin
B(x) ≡ F isch(x)
: x ist ein Fisch
C(x) ≡ T eichbewohner(x) : x ist ein Teichbewohner
flipper I , karl I ∈ UI
[[Delphin(flipper )]]I
= true
[[Delphin(karl )]]I
= false
[[F isch(flipper )]]I
= false
[[F isch(karl )]]I
= true
[[T eichbewohner(flipper )]]I
= false
[[T eichbewohner(karl )]]I
= true
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Delphin im Karpfenteich 4/4
[[∀x Delphin(x) ⇒ (F isch(x) ∨ T eichbewohner(x))]]I = false
=⇒
[[¬(∀x Delphin(x) ⇒ (F isch(x) ∨ T eichbewohner(x)))]]I = true
und
[[∀y (F isch(y) ∧ T eichbewohner(y)) ⇒ Delphin(y)]]I = false
Die prädikatenlogische Formel ist nicht allgemeingültig!
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Modelltheoretisch – beweistheoretisch
Es ist zu unterscheiden zwischen
• modellbasierter Argumentation:
• bezieht sich auf ein konkretes Modell, eine konkrete Struktur;
• beruht auf vollständiger Information;
• kann auch für Widerspruchsbeweise verwendet werden, um
Gegenbeispiel zu konstruieren;
• und beweistheoretischer Argumentation:
• abstrakte Behandlung der Wahrheit von Formeln;
• bezieht alle Modelle mit in die Überlegung ein;
• wird zum Nachweis der Allgemeingültigkeit einer Formel verwendet
(klassischer Beweis).
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 1/3
Logische Folgerung
• ist unabhängig von der Bedeutung der nichtlogischen Symbole
• führt nur auf Wissen, das implizit bereits vorhanden ist.
(“Wen interessiert’s?”)
Was man (außerdem noch) möchte . . .
• System, das auch inhaltlich schlussfolgern kann
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 2/3
Beispiel:
Hund (fido)
|= Hund (fido) ∨ Katze(fido)
|= ¬¬Hund (fido)
logische
Folgerung
(∗)
|≈ Säugetier (fido)
(∗∗)
|≈ Hat vier Beine(fido)
inhaltliche
Folgerung
(∗) : sichere Folgerung
(∗∗) : unsichere Folgerung
♣
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Jenseits der klassischen Logik 3/3
Für inhaltliche Folgerungen ist es wichtig, Verbindungen zwischen
nicht-logischen Symbolen herzustellen:
• bei sicheren Folgerungen (∗): durch materiale Implikation/sichere
Regel
Beispiel:
∀x
Hund (x) ⇒ Säugetier (x)
♣
Hund (x) ; Hat vier Beine(x)
♣
• bei unsicheren Folgerungen (∗∗): durch sog. Default-Regeln
Beispiel:
• Explizit repräsentiertes Wissen soll auch Regeln enthalten.
• (Logischer) Folgerungsmechanismus leitet mit Hilfe dieser Regeln
implizites Wissen ab.
• explizites Wissen → Wissensbasis
• implizites Wissen → Folgerungen aus Wissensbasis
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Logisches Schließen vs. unsicheres Schließen
Logische Folgerung |=
Konsequenzoperator
F |= G gdw. M od(F) ⊆ M od(G)
Cn
: 2Form(Σ) → 2Form(Σ)
Cn(F) = {G ∈ Form(Σ) | F |= G}
F |= G gdw. G ⊆ Cn(F)
Unsicheres Schließen |∼
?????
Inferenzoperator
C
: 2Form(Σ) → 2Form(Σ)
C(F) = {G ∈ Form(Σ) | F |∼ G}
F |∼ G gdw. G ⊆ C(F)
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Kontraposition
Aus A |= B folgere ¬B |= ¬A
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
¬Bird |= ¬Penguin Nicht-Vögel sind Nicht-Pinguine. :)
Human being
Millionaire
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|∼ ¬Millionaire
Menschen sind meistens keine Millionäre.
|∼ ¬Human being
Millionäre sind meistens keine Menschen. :(
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Transitivität
Aus A |= B und B |= C folgere A |= C
Penguin |= Bird
Bird |= Animal
Penguin |= Animal
Pinguine sind Vögel.
Vögel sind Tiere.
Pinguine sind Tiere.
Penguin |∼ Bird Pinguine sind Vögel.
Bird |∼ Fly
Vögel können fliegen.
Penguin |∼ Fly Pinguine können fliegen.
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:)
:(
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Klassisch-logische Eigenschaften: Monotonie
Aus A |= C folgere A ∧ B |= C
Penguin |= Bird
Pinguine sind Vögel.
Penguin ∧ Black |= Bird Schwarze Pinguine sind Vögel.
Bird |∼ Fly
Vögel können fliegen.
Bird ∧ Penguin |∼ Fly Pinguin-Vögel können fliegen.
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:)
:(
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Monotonie
F ⊆ H impliziert Cn(F) ⊆ Cn(H)
(denn F ⊆ H impliziert H |= F, also Cn(F) ⊆ Cn(H))
• Alle Modelle müssen für Cn berücksichtigt werden.
• Transitivität und Kontraposition basieren (im Wesentlichen) auf der
Monotonie-Eigenschaft.
• Monotonie erlaubt nur ein Erweiterung von Wissen, aber keine
Revision von Wissen.
→ Jede revidierbare Inferenzoperation muss nichtmonoton sein!
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Sichere Folgerungen?! – Beispiel: Tweety
• Pinguin(x) ⇒ Vogel(x) – Pinguine sind immer Vögel
Ausnahmen:
• Plastik- und Plüschpinguine
• Tux (Linux)
•
Krefeld Pinguine (Deutscher Eishockeymeister 2002/2003)
• Pinguin(x) ⇒ ¬Fliegt(x) – Pinguine fliegen nie
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Wissensrepräsentation
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Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
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Wissensrepräsentation
Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
Pinguine und Ernsthafteres . . .
Das berühmte Pinguin-Beispiel behandelt das zentrale
Subklassen-Superklassen- bzw. Ausnahmenproblem, ebenso wie im
folgenden – sehr ernsthaften – Beispiel:
Beispiel – menschliches Herz
Menschen haben das Herz auf der linken Brustseite.
Hans ist ein Mensch
Das Herz von Hans liegt auf der rechten Brustseite (Dextrokardie).
Tweety und Pinguine – intuitives Beispiel, bei dem man die Plausibilität
von Schlussfolgerungen sofort beurteilen kann, ohne an alle möglichen
gefährlichen Konsequenzen denken zu müssen.
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Übersicht Kapitel 2 – Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.2 Knowledge Engineering und
Ontologien
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Aufbau einer Wissensbasis
Vorarbeiten:
• Überlegungen zu Einsatzmöglichkeiten des Systems, abstrakter
Architektur, Schnittstellen und Interaktionsmöglichkeiten etc.
• Wahl eines geeigneten Repräsentationsrahmens für das zu
behandelnde Problem (Sprache und Folgerungsmechanismen)
Knowledge Engineering
• Strukturierung und Design der Wissensbasis auf der Wissensebene;
• umfasst meistens den Aufbau einer Ontologie
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 1/3
Philosophie:
Lehre vom Sein, vom Wesen der Dinge
Informatik:
pragmatische Sicht:
Ontologie = Konzeptualisierung eines Themenbereichs
mit folgenden Zielsetzungen:
• soll die Bedeutung von Begriffen, Objekten etc. und ihren
Beziehungen zueinander explizieren;
• spiegelt ein gemeinsames Verständnis dieses Themenbereichs wider
bzw. legt dieses fest;
• dient als Grundlage für die Kommunikation zwischen (humanen
und/oder maschinellen) Agenten.
→ nutzbar für die maschinelle Verwendung und Verarbeitung von
Information
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 2/3
Ontologien können in unterschiedlichen Größenordnungen konzipiert
werden:
• für eine konkrete Anwendung;
• für eine Einheit (z.B. eine Firma);
• für mehrere zusammenhängende Einheiten (z.B. für einen Konzern
mit Tochtergesellschaften);
• für ein Fachgebiet (z.B. Fachrichtung in der Medizin);
• für offene Bereiche, z.B.
• für Allgemeinwissen (CYC-Projekt [Lenat et al., 1990])
• für das Semantic Web
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Ontologie 3/3
Ontologien spezifizieren mit Hilfe von terminologischen Logiken bzw.
Beschreibungslogiken
• Objekte (und Begriffe)
• Klassen, Eigenschaften von Objekten
• Beziehungen zwischen Objekten
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Beispiel iXDHL
Eine Ontologie für den Postroboter iXDHL enthält z.B. Informationen zu
• Gebäudeplan
• Mitarbeitern
• Arbeitszeiten mit Pausen
mit
• Objekten: raumXY , mitarbeiterN N , caf eteria, treppenhaus1
Begriffe: mittagszeit
• Klassen: Räume, Mitarbeiter
Eigenschaften: In U rlaub sein
• Beziehungen zwischen Objekten: V erbindet(treppenhaus1, eg, e1)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Knowledge Engineering
Wenden wir uns zunächst der (allgemeineren) Aufgabe des Knowledge
Engineering zu . . .
Beispiel Soap Opera:
Merryville ist eine verträumte Kleinstadt im Nirgendwo. Hier
spielt unsere Geschichte, in der folgende Dinge eine Rolle spielen:
•
•
•
•
•
•
•
•
Leute
Orte
Firmen
Hochzeiten/Scheidungen
Verbrechen und Gaunereien
Tod
Skandale
Geld
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Planung 1/2
Ziel:
Wir wollen die Dinge und Vorgänge in Merryville im Rahmen der
Prädikatenlogik beschreiben und aus dem repräsentierten Wissen
Schlussfolgerungen ziehen bzw. Anfragen an die
Merryville-Wissensbasis beantworten können.
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Planung 2/2
1. Schritt: Sprache
Zunächst müssen wir eine geeignete logische Sprache festlegen (d.h.
geeignete Namen Objekte, Prädikate und Funktionen bestimmen).
2. Schritt: Wissen
In dieser Sprache werden wir dann relevantes Wissen über die Vorgänge in
Merryville ausdrücken, also eine Wissensbasis KBM erryville aufbauen.
3. Schritt: Folgerungen
An die Wissensbasis KBM erryville werden wir Anfragen stellen, die wir mit
Hilfe der klassisch-logischen Folgerungsrelation beantworten wollen.
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 1/4
In unserer Soap Opera-Welt wollen wir Aussagen über folgende Individuen
und Objekte (→ Konstantensymbole) machen:
• Personen
Soap Opera: maryJones, johnQSmith, joannaSmith
• Tiere, Roboter, Geister etc.
• Firmen
Soap Opera: faultyInsuranceCompany
• Regierungen
Soap Opera: evilvilleTownCouncil
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 2/4
Individuen und Objekte (Forts.)
• Restaurants
Soap Opera: rockAndRollRestaurant
• Orte
Soap Opera: tomsHouse, abandonedRailwayCar , norasJacuzzi
• andere Objekte
Soap Opera: earring35, butcherknife1
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 3/4
(Elementare) Typen und Attribute können durch einstellige Prädikate
spezifiziert werden:
• (elementare) Typen, z.B. Person(x)
Soap Opera: Man(x), Woman(x), Place(x),
Company(x), Jewelry(x), Knife(x),
Contract(x),
Restaurant(x), Bar (x), House(x),
SwimmingPool (x)
• Attribute
Soap Opera: Rich(x), Beautiful (x),
Bankrupt(x), Bloody(x)
ClosedForRepairs(x)
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Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Sprache 4/4
Beziehungen können durch (mehrstellige) Prädikate (bzw. Relationen) und
(ein- und mehrstellige) Funktionen ausgedrückt werden:
• Prädikate
Soap Opera: MarriedTo(x, y),
DaughterOf (x, y), LivesAt(x, y),
Blackmails(x, y), Loves(x, y),
LoveTriangle(x, y, z), ConspiresWith(x1 , · · · , xn )
• Funktionen
Soap Opera: fatherOf (x), bossOf (x)
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 1/3
Wir beginnen mit einfachen Fakten zur näheren Beschreibung der
Individuen in Merryville; solche Fakten lassen sich durch atomare Sätze (in
positiver oder negierter Form) ausdrücken:
Soap Opera: Man(john), Woman(jane),
Company(faultyInsuranceCompany),
Rich(john), ¬ HappilyMarried (jim),
WorksFor (jim, faultyInsuranceCompany),
Knife(butcherknife1 ),
Bloody(butcherknife1 ),
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 2/3
Soap Opera: john = johnQsmith,
john = bossOf (faultyInsuranceCompany),
john = bestFriendOf (jim)
insurance = faultyInsuranceCompany
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DVEW
♣
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Knowledge Engineering und Ontologien
Exkurs: Die Gleichheitsrelation “=” 1/2
Die Gleichheitsrelation = wird als zweistelliges Prädikat mit speziellen
Eigenschaften aufgefasst:
• es ist (als Relation)
• reflexiv: ∀x. x = x,
• symmetrisch: ∀x, y. x = y ⇒ y = x,
• transitiv: ∀x, y, z. x = y ∧ y = z ⇒ x = z;
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Knowledge Engineering und Ontologien
Exkurs: Die Gleichheitsrelation “=” 2/2
• “gleiche” Objekte spielen in allen auftretenden Prädikaten und
Funktionen exakt die gleichen Rollen, können also beliebig füreinander
substituiert werden:
• Substitutionsaxiome für Funktionssymbole f :
∀x1 , y1 ,
...,
xn , yn . x1 = y1 , . . . , xn = yn
⇒
f (x1 , . . . , xn ) = f (y1 , . . . , yn )
• Substitutionsaxiome für Prädikatssymbole P :
∀x1 , y1 ,
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...,
⇒
xn , yn . x1 = y1 , . . . , xn = yn
P (x1 , . . . , xn ) ≡ P (y1 , . . . , yn )
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Soap Opera-Welt – Wissen 3/3
Komplexe Fakten und Regeln über das Leben in Merryville lassen sich
durch zusammengesetzte PL1-Formeln ausdrücken:
• “Alle reichen Männer lieben Jane”
∀y. Rich(y) ∧ Man(y) ⇒ Loves(y, jane)
• “Alle Frauen - außer möglicherweise Jane - lieben John.”
∀y. Woman(y) ∧ y 6= jane ⇒ Loves(y, john)
• Auch ganz allgemeine Regeln können ausgedrückt werden:
∀x∀y. Loves(x, y) ⇒ ¬Blackmails(x, y)
“Keiner erpresst denjenigen/diejenige, den/die er liebt.”
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Feinheiten bei der Wissensrepräsentation 1/3
• ∀-Quantifizierung und Konjunktion:
Grundsätzlich könnte man allgemeines Wissen über das Universum
statt mittels ∀-Quantifizierung auch durch eine passende Konjunktion
über alle Konstanten ausdrücken – bei einem festen Universum ist
dies äquivalent!
[[∀x P (x)]]I = [[P (c1 ) ∧ P (c2 ) ∧ . . .]]I
wobei jedes der Konstantensymbole c1 , c2 , . . . ein Objekt des
Universums repräsentiert.
Bei einer Erweiterung des Universums (Spracherweiterung) ist die
∀-quantifizierte Formel jedoch der Aufzählung überlegen, da sie auch
neue Objekte mit abdeckt.
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Feinheiten bei der Wissensrepräsentation 2/3
• Auch unvollständiges Wissen lässt sich ausdrücken
• durch Disjunktionen
Soap Opera: Loves(jane, john) ∨ Loves(jane, jim)
• durch existentiell quantifizierte Formeln
Soap Opera: ∃x Adult(x) ∧ Blackmails(x, john)
• Man kann einen Bereichsabschluss (Domain closure) durch
Aufzählung aller entsprechenden Objekte (bzw. Konstanten)
modellieren:
Soap Opera: ∀x [Lawyer (x) ⇒ x = jane ∨ x = jack ∨ . . .]
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Knowledge Engineering und Ontologien
Feinheiten bei der Wissensrepräsentation 3/3
• Allgemein wird meistens die Gültigkeit der Unique Name Assumption
vorausgesetzt, dass nämlich unterschiedliche Namen auch
unterschiedliche Objekte bezeichnen, bzw. entsprechend formuliert
durch Axiome wie
jane 6= jim, jane 6= jack , . . .
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Knowledge Engineering und Ontologien
Terminologisches Wissen 1/2
Terminologische Fakten drücken Eigenschaften der Terminologie aus:
• Disjunktheit von Prädikaten:
∀x. Man(x) ⇒ ¬Woman(x)
• Untertypen:
∀x. Surgeon(x) ⇒ Doctor (x)
• Erschöpfende Darstellungen:
∀x. Adult(x) ⇒ (Man(x) ∨ Woman(x))
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Knowledge Engineering und Ontologien
Terminologisches Wissen 2/2
• Symmetrie:
∀x, y. MarriedTo(x, y) ⇒ MarriedTo(y, x)
• Inverse Prädikate:
∀x, y. ChildOf (x, y) ⇒ ParentOf (y, x)
• Typeinschränkungen:
∀x, y. MarriedTo(x, y) ⇒ Person(x) ∧ Person(y)
• Charakterisierungen:
∀x. RichMan(x) ⇔ Rich(x) ∧ Man(x)
Terminologische Fakten sind typischerweise allquantifizierte Implikationen
oder Koimplikationen.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Was geht vor in Merryville? 1/6
KBM erryville = Alle bisher gesammelten Fakten und Regeln
Anfrage an KBM erryville :
?
∃x Company(x) ∧ Loves(bossOf (x), jane) = ϕ1
(Gibt es eine Firma, deren Boss Jane liebt?)
Zu überprüfen:
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Gilt KBM erryville |= ϕ1 ?
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Knowledge Engineering und Ontologien
Was geht vor in Merryville? 2/6
Sei I ein Modell von KBM erryville .
I |= Rich(john), Man(john),
∀y Rich(y) ∧ Man(y) ⇒ Loves(y, jane)
Daraus kann nun abgeleitet werden
I |= Loves(john, jane)
|= john = bossOf (insurance)
|= Loves(bossOf (insurance), jane)
|= Company(insurance)
|= (Company(insurance)
∧Loves(bossOf (insurance), jane))
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Was geht vor in Merryville? 3/6
Also gilt
I |= ∃x (Company(x) ∧ Loves(bossOf (x), jane)) = ϕ1
für ein beliebiges Modell I von KBM erryville ; damit lautet die Antwort auf
die Anfrage ϕ1 : Ja!
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Wissensrepräsentation
Knowledge Engineering und Ontologien
Was geht vor in Merryville? 4/6
Neue Anfrage an KBM erryville :
Vorausgesetzt, dass kein Mann John erpresst, wird er
dann erpresst von jemandem, den er liebt?
Formal: Gilt
KBM erryville |=
∀x (Man(x) ⇒ ¬Blackmails(x, john))
⇒ ∃y (Loves(john, y) ∧ Blackmails(y, john))
?
Mit dem Deduktionstheorem gilt:
KB |= (α ⇒ β)
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gdw. KB ∪ {α} |= β
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Knowledge Engineering und Ontologien
Was geht vor in Merryville? 5/6
Sei also I ein Modell von KBM erryville , und es gelte ausserdem
I |= ∀x (Man(x) ⇒ ¬Blackmails(x, john))
Dann lässt sich ableiten
I |= ∃x (Adult(x) ∧ Blackmails(x, john)),
|= ∀x (Adult(x) ⇒ Man(x) ∨ Woman(x))
folglich
I |= ∃x (Woman(x) ∧ Blackmails(x, john))
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Knowledge Engineering und Ontologien
Was geht vor in Merryville? 6/6
Außerdem (s.o.)
I |= Loves(john,jane);
|= ∀y. (Woman(y) ∧ y 6= jane ⇒ Loves(y, john)),
|= ∀x∀y. Loves(x, y) ⇒ ¬Blackmails(x, y);
also
I |= ∀y. (Woman(y) ∧ y 6= jane ⇒ ¬Blackmails(y, john))
Insgesamt
I |= Blackmails(jane,john),
und wegen
I |= Loves(john,jane) ∧ Blackmails(jane,john)
kann die Anfrage nun mit Ja! beantwortet werden.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Abstrakte Individuen und Reifikation 1/3
Wir wollen den Vorgang
John kauft ein Fahrrad
repräsentieren:
• Purchases (john,bike)
• Wo? – Purchases (john,sears,bike)
• Wie teuer? Purchases (john,sears,bike,200$)
• ...
Problem: Es ist nicht von vorneherein bekannt, wie viele Details (→
Stelligkeit) benötigt werden. – Beachten Sie: Prädikate
können nicht geschachtelt werden!
Lösung: Wir reifizieren den Kauf als abstraktes Individuum p23.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Abstrakte Individuen und Reifikation 2/3
Abstrakte Individuen können durch einstellige Prädikate und Funktionen
mit beliebig vielen Details beschrieben werden:
Purchase(p23) ∧ agent(p23) = john
∧ object(p23) = bike
∧ source(p23) = sears
∧ amount(p23) = 200
∧ ...
Mittels abstrakter Individuen lassen sich auch komplexere Prädikate durch
einfachere Prädikate ausdrücken.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Abstrakte Individuen und Reifikation 3/3
Beispiel: M arriedT o(x, y), Divorced(x, y),
P reviouslyM arriedT o(x, y). ReM arriedT o(x, y)
→ Reifikation:
M arriage(m17) ∧ husband(m17) = x
∧ wif e(m17) = y ∧ date(m17) = . . . ∧ witness(m17) = . . .
PreviouslyMarriedTo kann nun mit Hilfe von Marriage und Divorce und
unter Ausnutzung der chronologischen Ordnung definiert werden.
♣
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Knowledge Engineering und Ontologien
Beispiel iXDHL
Klassen lassen sich auch als Objekte modellieren:
F unktion(silke, it-manager), P osition(silke, abteilungsleiter)
Das hat Vorteile, wenn es zwischen diesen beiden Klassen keine klaren
Beziehungen gibt.
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Knowledge Engineering und Ontologien
Jenseits der Prädikatenlogik . . . 1/2
Die Wahl der Sprache für die Modellierung eines Problems hängt
wesentlich davon ab, welche Typen von Fakten, Regeln und
Schlussfolgerungen für die Anwendung wichtig sind. Jenseits des
klassisch-logischen Rahmens sind das insbesondere
• statistische und probabilistische Fakten
Beispiel: Ein Viertel der Angestellten . . .
Die meisten Kinder ♣
• Default-Wissen und Prototypen
Beispiel: Manager haben meistens eine Sekretärin.
Vögel fliegen. ♣
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Knowledge Engineering und Ontologien
Jenseits der Prädikatenlogik . . . 2/2
• Intentionales Wissen (i.e. glauben, Absichten etc):
Beispiel: John glaubt, dass Henry versucht, ihn zu erpressen.
Jane möchte nicht, dass Jim weiß, dass sie ihn liebt. ♣
• Aktionen und Effekte:
Beispiel: Der Roboter nimmt das Buch auf und legt es auf den Tisch.
• Vagheit und Unschärfe:
Beispiel: Peter ist groß.
Es ist ungefähr 3 Uhr. ♣
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Beschreibungslogiken
Übersicht Kapitel 2 – Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.3 Beschreibungslogiken
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Beschreibungslogiken
Strukturierte Beschreibungen 1/2
Wir wollen die Beschreibungen von Objekten und ihrer Beziehungen
zueinander stärker strukturieren:
• Objekte gehören gewissen Kategorien an, wobei sie durchaus auch
mehreren Kategorien gleichzeitig angehören können.
Beispiel: Mein Haustier ist ein Hund.
Mein Hund ist eine Dackelhündin und hat Junge. ♣
• Unterkategorien I: Kategorien können allgemeiner oder spezieller sein
als andere Kategorien.
Beispiel: Dackel sind Hunde.
Chirurgen sind Ärzte.
Väter sind Elternteile. ♣
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Beschreibungslogiken
Strukturierte Beschreibungen 2/2
• Unterkategorien II: Unterkategorien können durch spezielle Attribute
beschrieben werden.
Beispiel: Ein Teilzeitbeschäftigter ist ein Beschäftigter.
Eine deutsche Familie ist eine Familie. ♣
• Objekte bestehen aus Teilen.
Beispiel: Ein Buch hat einen Titel.
Autos haben Räder. ♣
• Die Art und Weise, wie ein Objekt aus seinen Teilen zusammengesetzt
ist, kann entscheidend sein für seine Zugehörigkeit zu gewissen
Kategorien.
Beispiel: Ein Stapel Steine ist nicht das Gleiche wie ein
Haufen Steine. ♣
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Beschreibungslogiken
Beschreibungslogiken 1/3
Um diese Aspekte von Objekten, Kategorien etc. ausdrücken zu können,
benötigen wir (spezielle) Prädikate mit innerer Struktur, die in einer
festgelegten Art und Weise interpretiert werden.
Wir wollen insbesondere (zusammengesetzte) Prädikate zueinander in
Beziehung setzen:
• Ist Hunter Gatherer (jim) wahr, so erwarten wir auch, dass
Hunter (jim) und Gatherer (jim) wahr sind.
• Sind die Formeln Child (kim, jim) und FatherOfOnlyGirls(jim)
wahr, so erwarten wir, dass auch Girl (kim) wahr ist.
Solche strukturierten Beschreibungen und Zusammenhänge können in
einer Beschreibungslogik ausgedrückt werden.
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Beschreibungslogiken
Beschreibungslogiken 2/3
Beschreibungslogiken stehen nur gewisse Typen von Ausdrücken zur
Verfügung. Die üblicherweise zulässigen Ausdrücke sind2 :
• Konstanten (werden durch individuelle Objekte interpretiert)
• Konzepte (werden durch Objektmengen interpretiert)
• Rollen (werden durch binäre Relationen über Objekten interpretiert)
• Sätze (werden durch Wahrheitswerte interpretiert)
2
auch in der im Folgenden behandelten Beschreibungslogik DL
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Beschreibungslogiken
Beschreibungslogiken 3/3
Unterschiedliche Beschreibungslogiken unterscheiden sich in der
• Berücksichtigung von Konstanten,
• Auswahl von Konzept- und Rollenbildungsoperatoren,
• Auswahl von Junktoren zur Bildung von Sätzen
und damit in der Ausdrucksstärke bzw. Effizienz der Verarbeitung.
Die meisten Beschreibungslogiken sind (entscheidbare) Fragmente der
Prädikatenlogik erster Stufe.
Wir wollen im Folgenden eine einfache Beschreibungslogik DL definieren.
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Beschreibungslogiken
Beschreibungslogik DL – Syntax 1/3
Logische Symbole:
• Konzeptbildende Operatoren: ALL, EXISTS, FILLS, AND
.
• Junktoren: v, =, →
Hilfssymbole:
• Klammern: (, ), [, ]
• positive ganze Zahlen: 1, 2, 3, . . .
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Beschreibungslogiken
Beschreibungslogik DL – Syntax 2/3
Die Signatur besteht aus drei Arten nichtlogischer Symbole in DL:
• Atomare Konzepte (beginnen mit einem Großbuchstaben, z.B.
Person, Haustier ; es gibt außerdem ein ausgezeichnetes atomares
Konzept Thing)
• Rollen (beginnen mit einem “:”, gefolgt von einem Großbuchstaben,
z.B. :Friend , :Employer )
• Konstanten (beginnen mit einem Kleinbuchstaben)
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Beschreibungslogiken
DL – Syntax 3/3
Zulässige syntaktische Ausdrücke:
(wenn :R Rolle, K, K1 , . . . , Kn Konzepte, c Konstante und n ∈ N)
• Konstanten und Rollen (s. oben)
• Konzepte: Werden genau in der folgenden Weise gebildet:
• Jedes atomare Konzept ist ein Konzept
• [ALL :R K]
• [EXISTS n :R]
• [FILLS :R c]
• [AND K1 . . . Kn ]
• Sätze: Werden genau in der folgenden Weise gebildet:
.
• (K1 v K2 )
• (c → K)
• (K1 = K2 )
Ausdrücke in eckigen Klammern sind Konzepte,
Ausdrücke in runden Klammern sind Sätze!
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Beschreibungslogiken
DL – Interpretationen 1/3
Eine Interpretation von DL besteht aus einem Paar hD, Ii mit
• einem Universum D (domain) und
• einer Abbildung I, die die Symbole der Signatur auf Elemente aus D
und Relationen über D abbildet, so dass gilt:
•
•
•
•
für jede Konstante c ist I(c) ∈ D;
für jedes atomare Konzept K ist I(K) ⊆ D;
für jede Rolle :R ist I(:R) ⊆ D × D;
für das ausgezeichnete Konzept Thing gilt I(Thing) = D,
d.h. alle Objekte des Universums werden als Thing interpretiert.
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Beschreibungslogiken
DL – Interpretationen 2/3
Es lassen sich nun auch die nichtatomaren Konzepte interpretieren:
• I([ALL :R K]) = {x ∈ D | ∀ y, (x, y) ∈ I(:R) ⇒ y ∈ I(K)},
d.h. x ∈ I([ALL :R K]) gdw. alle y, für die x die Rolle :R spielt,
zum Konzept K gehören.
Beispiel: [ALL :ParentOf Girl ] beschreibt das Konzept der
Individuen, deren Kinder (falls sie existieren) Mädchen sind.
• I([FILLS :R c]) = {x ∈ D | (x, I(c)) ∈ I(:R)},
♣
d.h. x ∈ I([FILLS :R c]) gdw. x für c die Rolle :R spielt.
Beispiel: [FILLS :SisterOf jane] beschreibt das Konzept der
Schwestern von Jane.
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Beschreibungslogiken
DL – Interpretationen 3/3
• I([EXISTS n :R]) =
{x ∈ D | es gibt mind. n (verschiedene) y mit (x, y) ∈ I(:R)},
d.h. x ∈ I([EXISTS n :R]) gdw. es mindestens n verschiedene
Objekte gibt, für die x die Rolle :R spielt.
Beispiel: [EXISTS 1 :ChildOf ] beschreibt das Konzept aller
Individuen mit mindestens einem Elternteil.
♣
• I([AND K1 . . . Kn ]) = I(K1 ) ∩ . . . ∩ I(Kn ),
d.h. x ∈ I([AND K1 . . . Kn ]) gdw. x in allen von den Konzepten Ki
beschriebenen Kategorien liegt.
Beispiel: [AND Doctor Female] beschreibt das Konzept der
weiblichen Ärzte.
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♣
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Beschreibungslogiken
Notizen
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Beschreibungslogiken
DL – Erfüllungsrelation und Folgerung
Die Erfüllungsrelation |= spezifiziert, welche Sätze in einer Interpretation
hD, Ii wahr sind:
• I |= (c → K) gdw. I(c) ∈ I(K).
• I |= (K v K 0 ) gdw. I(K) ⊆ I(K 0 )
.
• I |= (K = K 0 ) gdw. I(K) = I(K 0 ).
(K wird von K 0 subsumiert);
Die Folgerungsrelation wird mit Hilfe der Erfüllungsrelation definiert:
Sei S eine Menge von Sätzen in DL und α ein Satz in DL.
S |= α gdw. für alle Interpretationen hD, Ii gilt:
aus I |= S folgt I |= α
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Beschreibungslogiken
DL – Folgerung
Auch in DL gibt es Tautologien, die unabhängig von der Wissensbasis in
allen Interpretationen wahr sind, z.B.
• |= ([AND Doctor Female] v Doctor );
• |= (john → Thing)
Interessantere Ableitungen erhält man, wenn man spezielles Wissen der
Wissensbasis ausnutzt.
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Beschreibungslogiken
DL-Folgerung – Beispiel
Es enthalte die Wissensbasis KB z.B. den Satz
(Surgeon v Doctor );
dann können wir folgern
KB |= ([AND Surgeon Female] v Doctor )
Das AND-Konzept wird also von Doctor subsumiert.
Den gleichen Schluss könnten wir ziehen, wenn KB statt
(Surgeon v Doctor ) den Satz
.
(Surgeon = [AND Doctor [FILLS :Specialty surgery]])
enthält, wobei
I([FILLS :Specialty surgery]) =
{x ∈ D | (x, I(surgery)) ∈ I(:Specialty)}
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Beschreibungslogiken
DL-Modellierung – Beispiel iXDHL
Wenn man ausdrücken möchte, dass (in der Firma Giggle) IT-Manager,
die auch Abteilungsleiter sind, ein Gehalt der Stufe III bekommen, so kann
man das (z.B.) auf die folgenden beiden Weisen tun:
• ([AND IT-Manager Abteilungsleiter ] v GehaltIII )
• ([AND [FILLS :Funktion it-manager ]
[FILLS :Position abteilungsleiter ]]
v GehaltIII )
Die untere Variante ist aussagekräftiger, hier werden die Klassen
IT-Manager und Abteilungsleiter reifiziert.
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Typische Anfragen in DL
Typische Anfragen sind (mit c Konstante, K, L Konzepte):
• Gilt KB |= (c → K) ?
• Gilt KB |= (K v L) ?
Zur effizienten Beantwortung benötigen wir eine Art Kalkül, mit dem wir
auf der syntaktischen Ebene argumentieren können.
Da sich Erfüllungsanfragen (i.e. Anfragen vom ersten Typ) auf
Subsumptionsanfragen (i.e. Anfragen vom zweiten Typ) zurückführen
lassen, konzentrieren wir uns zunächst auf Subsumptionsanfragen.
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Beschreibungslogiken
Vereinfachung der Wissensbasis 1/2
Zur Beantwortung einer Anfrage
Gilt KB |= (K1 v K2 ) ?
werden wir die Wissensbasis KB vereinfachen:
• Entferne alle Sätze der Form (c → K) aus KB. (Man kann zeigen,
dass diese nichts zur Klärung einer Subsumptionsanfrage beitragen.)
• Ersetze Sätze der Form (K v L) durch
.
(K = [AND L A])
wobei A ein neues Symbol für ein atomares Konzept ist.
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Vereinfachung der Wissensbasis 2/2
Der Einfachheit halber nehmen wir weiterhin Folgendes an:
.
• Die linke Seite von =-Sätzen besteht grundsätzlich aus einem
(atomaren) Konzeptnamen 6= Thing.
• Jedes Atom tritt genau einmal als linke Seite eines solchen Satzes auf.
• Die Menge der Sätze in KB ist azyklisch, d.h. es gibt z.B. in KB
keine Sätze der Form
.
.
.
(K1 = [AND K2 . . .]), (K2 = [ALL :R K3 ]), (K3 = [AND K1 . . .])
Die Annahmen beeinträchtigen die Ausdrucksmächtigkeit von DL
(z.B. sind Zykel grundsätzlich erlaubt), ermöglichen aber eine effiziente
Verarbeitung.
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Beschreibungslogiken
Notizen
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Beschreibungslogiken
Strategie für Subsumptionsanfragen
Um eine Subsumptionsanfrage KB |= (K v L) zu klären, werden wir
folgende Strategie verfolgen:
• Bringe K und L in eine normalisierte Form.
• Führe einen Strukturabgleich durch, d.h. prüfe, ob es zu jedem Teil
des normalisierten Konzepts L einen entsprechenden Teil im
normalisierten Konzept K gibt.
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Beschreibungslogiken
Normalisierung von Konzepten 1/6
Zusammengesetzte Konzepte können durch die folgenden Schritte
(wiederholt und in beliebiger Reihenfolge ausgeführt) in Normalform
gebracht werden:
• Expandieren von Konzepten:
.
Jedes durch einen =-Satz definierte atomare Konzept wird in
zusammengesetzten Konzepten durch seine Definition ersetzt.
Beispiel: Der folgende Satz sei in KB enthalten:
.
(Surgeon = [AND Doctor [FILLS :Specialty surgery]])
Dann expandiert das Konzept
[AND . . . Surgeon . . .]
zu [AND . . . [AND Doctor [FILLS :Specialty surgery]] . . .]
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♣
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Beschreibungslogiken
Normalisierung von Konzepten 2/6
• Entschachtelung der AND-Operatoren:
Ein (Teil)Konzept der Form
[AND . . . [AND L1 . . . Ln ] . . .]
wird vereinfacht zu
[AND . . . L1 . . . Ln . . .]
• Kombination von ALL-Operatoren:
Ein (Teil)Konzept der Form
[AND . . . [ALL :R L1 ] . . . [ALL :R L2 ] . . .]
wird vereinfacht zu
[AND . . . [ALL :R [AND L1 L2 ]] . . .]
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Beschreibungslogiken
Notizen
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Normalisierung von Konzepten 3/6
• Kombination von EXISTS-Operatoren:
Ein (Teil)Konzept der Form
[AND . . . [EXISTS n1 :R] . . . [EXISTS n2 :R] . . .]
wird vereinfacht zu
[AND . . . [EXISTS n :R] . . .], n = max{n1 , n2 }
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Beschreibungslogiken
Normalisierung von Konzepten 4/6
• Entfernung von Redundanzen:
Folgende Argumente aus AND-Ausdrücken können entfernt werden:
•
•
•
•
Thing;
[ALL :R Thing];
AND-Ausdrücke ohne Argumente;
Exakte Duplikate von Ausdrücken innerhalb desselben AND-Ausdrucks.
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Beschreibungslogiken
Notizen
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Normalisierung von Konzepten 5/6
Das Ergebnis einer Normalisierung ist
• entweder Thing,
• oder ein atomares Konzept,
• oder ein Konzept der folgenden (normalisierten) Form:
[AND A1 . . . Am1
[FILLS :R1 c1 ] . . . [FILLS :Rm2 cm2 ]
[EXISTS n1 :S1 ] . . . [EXISTS nm3 :Sm3 ]
[ALL :T1 L1 ] . . . [ALL :Tm4 Lm4 ]]
wobei gilt
• Ai sind atomare Konzepte, Ai 6= Thing;
• :Ri , :Si , :Ti sind Rollen; ci sind Konstanten;
• ni ∈ N; Li sind normalisierte Konzepte.
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Beschreibungslogiken
Normalisierung von Konzepten 6/6
Bemerkungen zur Normalisierung:
• Zu jedem Konzept K gibt es ein normalisiertes Konzept K n .
• Jeder Normalisierungsschritt bewahrt Konzeptäquivalenz, d.h. die
Extension des Konzeptes ändert sich nicht.
• Nach der Normalisierung wird die Wissensbasis KB nicht mehr
benötigt, d.h. es gilt
KB |= (K v L)
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gdw.
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|= (K n v Ln )
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Normalisierung – Beispiel 1/5
KB enthalte die folgenden Definitionen:
.
(TopFirma =
[AND Firma [ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 1 :TechnAb]]]])
.
(HiTechFirma =
[AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]])
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])
Beachten Sie die
BusinessGrad
:Manager (x,y)
:TechnAb(x,y)
:Börse(x,y)
Bedeutung der Konzepte und Rollen:
Konzept aller Individuen mit einem Wirtschaftsabschluss
x hat Manager y
x hat technischen Abschluss y
x ist an Börse y notiert
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126 / 222
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Beschreibungslogiken
Normalisierung – Beispiel 2/5
.
(TopFirma = [ANDFirma [ALL:Manager [ANDBusinessGrad [EXISTS 1 :TechnAb]]]])
.
(HiTechFirma = [AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]])
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])
Das folgende Konzept ist zu normalisieren:
[AND TopFirma HiTechFirma]
Expandieren von Konzepten:
[AND [AND Firma
[ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 1 :TechnAb]]]]
[AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]]]
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127 / 222
Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Normalisierung – Beispiel 3/5
.
(TopFirma = [ANDFirma [ALL:Manager [ANDBusinessGrad [EXISTS 1 :TechnAb]]]])
.
(HiTechFirma = [AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]])
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])
Entschachtelung von AND-Operatoren:
[AND Firma
[ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 1 :TechnAb]]]
Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]]
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128 / 222
Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Normalisierung – Beispiel 4/5
.
(TopFirma = [ANDFirma [ALL:Manager [ANDBusinessGrad [EXISTS 1 :TechnAb]]]])
.
(HiTechFirma = [AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]])
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])
Kombinieren von ALL-Operatoren:
[AND Firma
[ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 1 :TechnAb]
[EXISTS 2 :TechnAb]]]
Firma [FILLS :Börse nasdaq]]
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Beschreibungslogiken
Normalisierung – Beispiel 5/5
.
(TopFirma = [ANDFirma [ALL:Manager [ANDBusinessGrad [EXISTS 1 :TechnAb]]]])
.
(HiTechFirma = [AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]])
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])
Kombinieren von EXISTS-Operatoren:
[AND Firma
[ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 2 :TechnAb]
Firma
[FILLS :Börse nasdaq]]
Elimination des redundanten Firma-Konzeptes:
[AND Firma
[ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 2 :TechnAb]
[FILLS :Börse nasdaq]]
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Beschreibungslogiken
Subsumptionsalgorithmus 1/3
Es bleibt nun, noch festzulegen, wie ein Strukturabgleich zwischen
normalisierten Konzepten zur Klärung einer Subsumptionsanfrage erfolgen
soll. Dazu dient der folgende Algorithmus:
Subsumptionsalgorithmus für normalisierte Konzepte:
Input:
Zwei normalisierte Konzepte K = [AND K1 . . . Kn ]
und L = [AND L1 . . . Lm ]
Output:
Yes, wenn gilt KB |= (K v L)
No, sonst.
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Beschreibungslogiken
Subsumptionsalgorithmus 2/3
Return Yes genau dann, wenn es für jede Komponente Lj von L eine
Komponente Ki von K gibt, so dass gilt:
• Ist Lj ein atomares Konzept, so muss Ki identisch mit Lj sein.
• Ist Lj von der Form [FILLS :R c], so muss Ki identisch mit Lj sein.
• Ist Lj von der Form [EXISTS n :R], so muss das entsprechende Ki
von der Form [EXISTS n0 :R] mit n0 ≥ n sein;
ist n = 1, so kann Ki auch von der Form [FILLS :R c] für eine
beliebige Konstante c sein.
• Ist Lj von der Form [ALL :R L0 ], dann muss das entsprechende Ki
von der Form [ALL :R K 0 ] mit KB |= (K 0 v L0 ) sein (rekursiver
Aufruf).
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Beschreibungslogiken
Notizen
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Beschreibungslogiken
Subsumptionsalgorithmus 3/3
Das Subsumptionsverfahren ist korrekt und vollständig, d.h.
KB |= (K v L)
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gdw.
–
K normalisiert zu K n
–
L normalisiert zu Ln
–
der Subsumptionsalgorithmus
gibt bei der Eingabe von
K n und Ln Yes zurück
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Subsumption – Beispiel 1/2
KB sei die Wissensbasis des obigen Normalisierungsbeispiels:
.
{(TopFirma = [ANDFirma [ALL:Manager [ANDBusinessGrad [EXISTS 1 :TechnAb]]]]),
.
(HiTechFirma = [AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]]),
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])} = KB
Anfrage an KB: Wird das Konzept
[AND Firma
[ALL :Manager [AND BusinessGrad
[EXISTS 2 :TechnAb]]]
[FILLS :Börse nasdaq]]
von
[AND Firma
[ALL :Manager BusinessGrad ]
[EXISTS 1 :Börse]]
subsumiert?
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Subsumption – Beispiel 2/2
.
{(TopFirma = [ANDFirma [ALL:Manager [ANDBusinessGrad [EXISTS 1 :TechnAb]]]]),
.
(HiTechFirma = [AND Firma [FILLS :Börse nasdaq] [ALL :Manager HiTechn]]),
.
(HiTechn = [EXISTS 2 :TechnAb])} = KB
KB |= ([AND Firma [ALL :Manager [AND BusinessGrad [EXISTS 2 :TechnAb]]]
[FILLS :Börsenasdaq]]
v [AND Firma [ALL :Manager BusinessGrad] [EXISTS 1 :Börse]])?
Ja, denn
• [AND BusinessGrad [EXISTS 2 :TechnAb]] wird von
BusinessGrad subsumiert, und
• zu [EXISTS 1 :Börse] gibt es die Entsprechung
[FILLS :Börse nasdaq].
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung 1/3
Es bleibt noch zu klären, wie Anfragen des Typs
KB |= (c → L) ?
mit einer Konstanten c und einem Konzept L beantwortet werden können.
Beispiel: Gilt (c → K) ∈ KB und KB |= (K v L), so gilt sicherlich auch
KB |= (c → L).
♣
Idee: Man könnte alle Sätze der Form (c → Ki ) in der Wissensbasis
sammeln und dann überprüfen, ob das Konzept [AND K1 . . . Kn ] von L
subsumiert wird.
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung 2/3
Beispiel: KB enthalte die folgenden Sätze:
(iXDHL → Robot)
(giggle → [AND Firma
[ALL :Robot Service]
[FILLS :Robot iXDHL]])
Dann gilt KB |= (iXDHL → Service), allerdings lässt sich das nicht nach
dem obigen Ansatz ableiten.
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Beschreibungslogiken
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung 3/3
Das folgende Verfahren berechnet zu jeder Konstanten c das spezifischste
Konzept K mit KB |= (c → K) (vereinfachende Voraussetzung: KB
enthält keine Konzepte mit EXISTS-Termen):
• Bilde eine Liste S von Paaren (b, K), so dass b eine Konstante ist, die
in KB vorkommt, und K das normalisierte Konzept der
AND-Verknüpfung aller Konzepte K 0 mit (b → K 0 ) ∈ KB.
• Wenn es Konstanten b1 , b2 gibt mit (b1 , K1 ), (b2 , K2 ) in S so, dass
für eine Rolle :R sowohl [FILLS :R b2 ] als auch [ALL :R L]
Komponenten von K1 sind, ohne dass KB |= (K2 v L) gilt
• dann ersetze (b2 , K2 ) in S durch (b2 , K 0 2 ), wobei K 0 2 die normalisierte
Version von [AND K2 L] ist.
Um die Konzepterfüllungsanfrage KB |= (c → L)? zu beantworten, muss
man dann nur prüfen, ob L das in S genannte, zu c gehörige Konzept
subsumiert.
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Beschreibungslogiken
Notizen
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel
Wir wollen überprüfen, ob dieses Verfahren das obige Problem löst:
(iXDHL → Robot)
(giggle → [AND Firma
[ALL :Robot Service]
[FILLS :Robot iXDHL]])
S = { (iXDHL, Robot),
(giggle, [AND
Firma
[ALL :Robot Service]
[FILLS :Robot iXDHL]])}
Ersetze (iXDHL, Robot) in S durch (iXDHL, [AND Robot Service]).
Nun können wir auch KB |= (iXDHL → Service) ableiten,
da [AND Robot Service] von Service subsumiert wird.
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 1/7
.
(iHiTechFirma = [AND HiTechFirma [EXISTS 1 :Iequip]])3
(giggle → HiTechFirma)
(giggle → [AND Firma
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL]])
Anfrage:
3
KB |= (giggle → iHiTechFirma)
?
:Iequip(x,y) : x hat iEquipment y
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 2/7
S 3 (giggle, [ AND HiTechFirma
[AND Firma
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL ]]
[AND Firma
[ALL :Robot Service]
[FILLS :Robot iXDHL]]])
Wir normalisieren zunächst das in S genannte Konzept.
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 3/7
Expandieren von Konzepten:
[ AND [AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]]
[AND Firma
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL ]]
[AND Firma
[ALL :Robot Service]
[FILLS :Robot iXDHL]]]
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 4/7
Entschachtelung von AND:
[ AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]
Firma
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL ]
Firma
[ALL :Robot Service]
[FILLS :Robot iXDHL]]
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 5/7
Elimination redundanter Konzepte:
[ AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL ]
[FILLS :Robot iXDHL]]
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Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 6/7
Zur Beantwortung der Anfrage
KB |= (giggle → iHiTechFirma)
?
müssen wir nun klären, ob iHiTechFirma dieses normalisierte Konzept
subsumiert:
[ AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL ]
[FILLS :Robot iXDHL]]
v iHiTechFirma ?
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Konzepterfüllung – Beispiel iXDHL 7/7
Wir gleichen die beiden (normalisierten) Konzepte ab:
[ AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]
[ALL :Robot Service ]
[FILLS :Iequip iXDHL ]
[FILLS :Robot iXDHL]]
wird subsumiert von
[AND Firma
[FILLS :Börse nasdaq]
[ALL :Manager [EXISTS 2 :TechnAb]]
[EXISTS 1 :Iequip]]
Also gilt KB |= (giggle → iHiTechFirma)
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Wissensrepräsentation
Beschreibungslogiken
Beschreibungslogiken in Anwendungen
• DL ist eine einfache, fiktive Beschreibungslogik.
• Gebräuchliche Beschreibungslogiken sind z.B. ALC und SHOIN .
• Wichtigste Anwendungen von Beschreibungslogiken sind
• Anwendungen in Unternehmen (Knowledge Engineering);
• Semantic Web.
• Bekannteste Sprache zur Implementierung von Beschreibungslogiken:
OWL – Web Ontology Language
• Bekanntester Ontologie-Editor: Protégé
(http://protege.stanford.edu/).
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Übersicht Kapitel 2 – Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.4 Frames und Vererbungsnetze
(Inheritance Networks)
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Objekte und Frames
Wissen sollte so organisiert und strukturiert werden, dass es einerseits
flexibel für Erweiterungen ist, andererseits aber auch so, dass inhaltlich
zusammengehörige Dinge in einer gemeinsamen “Struktur” abgespeichert
werden.
Die objektorientierte Sicht stellt das Objekt des Wissens in den
Mittelpunkt und ordnet ihm Beschreibung, Beziehungen zu anderen
Objekten und Prozeduren zu.
Beispiel: → Reifikation
♣
Eine passende abstrakte Struktur für diese objektorientierte Sicht von
Wissen ist der Frame.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Frames
Man unterscheidet zwei Typen von Frames:
• individuelle Frames repräsentieren einzelne Objekte,
• generische Frames repräsentieren Klassen von Objekten.
Der Aufbau beider Frame-Typen ist im Prinzip der gleiche:
(Frame-name
<slot-name1 filler1 >
<slot-name2 filler2 >
...)
Vereinbarung: Die Namen generischer Frames beginnen mit einem
Großbuchstaben, die Namen individueller Frames mit einem
Kleinbuchstaben; Slot-Namen haben einen führenden Doppelpunkt :.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Individuelle Frames
Beispiel:
(dortmund
< :INSTANCE-OF DeutscheStadt >
< :Bundesland nrw >
< :Fußball bvb >
...)
♣
Individuelle Frames haben einen ausgezeichneten Slot mit dem Namen
:INSTANCE-OF, dessen Füllwert der Name des generischen Frames ist,
dessen Klasse das entsprechende Objekt angehört. Der individuelle Frame
ist dann eine Instanz des generischen Frames.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Generische Frames 1/2
Beispiel:
(DeutscheStadt
< :IS-A Stadt >
< :Bundesland DeutschesBundesland >
< :Land deutschland >
< :Kontinent europa >
...)
♣
Slot-Füllwerte sind hier die Namen entweder von generischen Frames oder
von individuellen Frames. Generische Frames können einen
ausgezeichneten Frame namens :IS-A haben, dessen Wert auf einen
allgemeineren generischen Frame hinweist.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Generische Frames 2/2
Die Slots generischer Frames können auch Prozeduren enthalten:
• IF-ADDED-Prozeduren werden ausgeführt, sobald ein bestimmter
Slot einen bestimmten Wert erhalten hat;
• IF-NEEDED-Prozeduren werden nicht automatisch, sondern nur bei
Anforderung eines Füllwertes ausgeführt.
Beispiele: (Tisch
< :Höhe [IF-NEEDED BerechneHöhe] > . . . )
(Vorlesung
< :Tag Wochentag >
< :Datum [IF-ADDED BerechneWochentag] > . . . )
♣
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Vererbung 1/2
Frames sind weit mehr als eine strukturierte Speicherung von Wissen. Sie
erlauben vor allem eine flexible Nutzung von Wissen durch Vererbung von
Werten, wobei den :INSTANCE-OF-Slots und den :IS-A-Slots eine
besondere Rolle zukommt:
Bildet man einen individuellen Frame als Instanz eines
generischen Frames, so werden alle Slot-Werte, die nicht explizit
in der Instanz gefüllt werden, vom generischen Frame geerbt.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbung – Beispiel: Dortmund
Beispiel: (DeutscheStadt
< :IS-A Stadt>
< :Bundesland DeutschesBundesland>
< :Land deutschland >
< :Kontinent europa>
...)
(dortmund
< :INSTANCE-OF DeutscheStadt >
< :Bundesland nrw >
< :Fußball bvb >
...)
dortmund erbt von DeutscheStadt z.B. den Slot-Füllwert deutschland für
das Attribut :Land.
♣
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbung 2/2
Die Frame-Vererbung ist praktisch, da man sich nicht um die Weitergabe
von Default-Werten kümmern muss.
Sie erlaubt aber vor allen Dingen eine flexible (d.h. revidierbare) Nutzung
von Wissen, da die vererbten Slot-Werte durch explizite Angaben in den
Instanzen und Spezialisierungen überschrieben werden können.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbung – Beispiel: Elefanten
(Elefant
< :IS-A Säugetier >
< :Ohren groß >
< :Farbe grau > . . . )
(raja
< :INSTANCE-OF Elefant >
< :Ohren klein > . . . )
(KönigsElefant
< :IS-A Elefant >
< :Farbe weiß > . . . )
(clyde
< INSTANCE-OF Königselefant >. . . )
raja erbt die graue Farbe der Elefanten, hat aber kleine Ohren; clyde erbt
die großen Ohren der Elefanten, aber die weiße Farbe der Königselefanten;
beide sind jedoch Elefanten und Säugetiere.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbung – Probleme
Frame-Systeme bieten keine Kontrollmöglichkeiten an, um Vererbungen zu
kontrollieren und Konflikte zu lösen:
• (parISerlohn
ist zulässig!
< :INSTANCE-OF DeutscheStadt >
< :Land frankreich >)
• Individuen können Instanzen mehr als eines generischen Frames sein:
Beispiel: (tweety
< :INSTANCE-OF Vogel >
< :INSTANCE-OF Pinguin >)
– kann Tweety fliegen?
♣
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Frames und Vererbungsnetze
Hierarchien und Vererbung 1/2
• Objekte und Hierarchien sind wichtige Strukturen, um Wissen zu
organisieren (→ Beschreibungslogiken, Frames).
• Um innerhalb solcher Hierarchien (neues) Wissen abzuleiten, benutzt
man die Methode der Vererbung: Objekte/Klassen auf unteren
Hierarchiestufen erben (prinzipiell) die Eigenschaften der Klassen auf
höheren Hierachiestufen,
• und zwar in jedem Fall in einem klassisch-logischen Rahmen (strikte
Vererbung, z.B. bei Beschreibungslogiken),
• oder nur defaultmäßig (revidierbare Vererbung, z.B. bei den Frames).
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Frames und Vererbungsnetze
Hierarchien und Vererbung 2/2
• Revidierbare Vererbung mit Frames benötigt zusätzliche Strukturen
und/oder Kontrollmechanismen, um Konflikte zwischen Vererbungen
vorauszusehen und zu lösen.
• Hierarchien lassen sich gut durch (gerichtete) Graphen darstellen,
• wobei Vererbung entlang von Pfaden erfolgt.
• Solche Graphen heißen Vererbungsnetze.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbungsnetze – Beispiel 1
s Gray (Eigenschaft)
s Elephant (Konzept)
s clyde (Objekt)
Clyde ist ein Elefant, Elefanten sind grau, also ist Clyde auch grau.
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Frames und Vererbungsnetze
Strikte Vererbung
• Die strikte Vererbung lässt keine Ausnahmen zu – die
Schlussfolgerungen basieren auf klassischer Logik, wie z.B. bei den
Beschreibungslogiken.
• In strikten Vererbungsnetzen repräsentiert jeder Pfad eine gültige
Schlussfolgerungskette, die immer zum selben Ergebnis kommt.
• Hat ein Knoten mehrere Eltern, so erbt er die Eigenschaften von allen
Eltern.
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Frames und Vererbungsnetze
Strikte Vererbung – Beispiel 1
s Gray
s Elephant
Rat s
ben s
s clyde
Ben und Clyde sind beide grau.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbungsnetze 1/3
Vererbungsnetze sind gerichtete, azyklische Graphen mit folgenden
Eigenschaften:
• Die Knoten von Vererbungsnetzen entsprechen Objekten,
objektähnlichen Konzepten oder Eigenschaften;
• die Kanten in einem Vererbungsnetz repräsentieren
Verallgemeinerungen bzw. Spezialisierungen/Instanziierungen
((Default-)is-a-Kante); eine Kante vom Knoten v zum Knoten w
bezeichnen wir mit v · w.
• Normale Kanten sind positive Kanten; durchgestrichene Kanten sind
negative Kanten ((Default-)is-not-a-Kante) und werden in der Form
v · ¬w denotiert.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbungsnetze 2/3
• Pfade repräsentieren Schlussfolgerungsketten (die grundsätzlich
transitiv funktionieren); ein Pfad vom Knoten v0 zum Knoten vn über
die Knoten v1 , . . . , vn−1 und positive Kanten wird in der Form
v0 · v1 · . . . · vn−1 · vn geschrieben; er unterstützt die Schlussfolgerung
v0 → vn
d.h. v0 ist ein vn .
• Negative Kanten repräsentieren eine Schlussfolgerung, die gerade die
Negation des Endknotens zur Folge hat; sie dürfen nur am Ende einer
Schlussfolgerungskette stehen.
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Frames und Vererbungsnetze
Vererbungsnetze 3/3
• Positive Pfade bestehen ausschließlich aus positiven Kanten.
• Negative Pfade bestehen aus einer Folge von 0 oder mehr positiven
Kanten und genau einer negativen Kante, mit der sie auch enden; ein
negativer Pfad v0 · v1 · . . . · vn−1 · ¬vn unterstützt die Schlussfolgerung
v0 6→ vn ,
d.h. v0 ist kein vn
• Wir betrachten nur positive oder negative Pfade.
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Frames und Vererbungsnetze
Strikte Vererbung – Beispiel 2
Illiterate s
Academic s
l
l
l
l
Student s
george
s
s Salaried
s Taxpayer
A
A
A
A
A
A A
s Employee
S
S
S
S
S
S
S
s ernie
Ernie ist sowohl Student als auch Beschäftigter; er ist demzufolge ein
Akademiker, ein Steuerzahler und Gehaltsempfänger, aber er ist nicht
ungebildet.
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Frames und Vererbungsnetze
Revidierbare Vererbung
In Frame-Systemen ist Vererbung grundsätzlich revidierbar.
In revidierbaren Vererbungsnetzen kann es zu Konflikten kommen, d.h.
verschiedene Pfade mit gemeinsamen Anfangs- und Endpunkten
unterstützen widersprüchliche Schlussfolgerungen.
Man benötigt also zusätzlich noch eine Strategie, um Konflikte zu lösen.
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Frames und Vererbungsnetze
Revidierbare Vererbung – Beispiel 1
s Gray
s Elephant
s clyde
Konflikt: Ist Clyde nun grau oder nicht?
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Frames und Vererbungsnetze
Die Kürzester Pfad-Heuristik
Ein möglicher Ansatz zur Konfliktlösung ist, diejenige
Schlussfolgerung vorzuziehen, die über dem kürzesten Pfad
erreichbar ist. Die Idee dahinter ist, die Vererbung von
Eigenschaften nur von der spezifischsten Oberklasse zuzulassen.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Kürzester Pfad-Heuristik – Beispiele
r Gray
r AquaticCreature
r Elephant
r Mammal
r RoyalElephant
r Whale
r FatRoyalElephant
r WhiteWhale
r clyde
r babyBeluga
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Kürzester Pfad-Heuristik – Problemfall 1
r Gray
r Elephant
RoyalElephant
r
q
FatRoyalElephant
r
r clyde
Durch die (redundante) Kante q: clyde → Elephant führt die
Kürzester Pfad-Heuristik hier zum Schluss, dass Clyde grau ist.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Kürzester Pfad-Heuristik – Probleme
Die Heuristik, den kürzesten Pfad für Schlussfolgerungen zu nutzen, ist
intuitiv, aber zu simpel – Probleme können folgendermaßen entstehen:
• Redundante Kanten können das Bild verfälschen und zu fast
beliebigen Schlussfolgerungen führen.
• (Unter)Hierarchien können unterschiedlich detailliert beschrieben sein,
ohne dass die Stärke der Schlussfolgerung beeinflusst wird.
• Bei sehr langen Schlussfolgerungsketten (Pfaden) fallen kleine
numerische Unterschiede nicht mehr wirklich ins Gewicht.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Kürzester Pfad-Heuristik – Problemfall 2
r
@
@
@
@
@
@ r
r
856 edges
857 edges
r
r
@
@
@
@
@
@ r
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Argumente und Schlussfolgerungen 1/4
Sei Γ ein Vererbungsnetz.
• (Positive oder negative) Pfade in Γ spielen die Rolle von Argumenten,
die Schlussfolgerungen unterstützen:
• ein positiver Pfad a · . . . · x unterstützt die Schlussfolgerung a → x
((ein) a ist ein x);
• ein negativer Pfad a · . . . · ¬x unterstützt die Schlussfolgerung a 6→ x
((ein) a ist kein x).
Um nun entscheiden zu können, welche Argumente (Pfade) besser sind als
andere, präzisieren wir die Attribute redundant und zulässig und führen
den Begriff des Präemptors ein. Für die Schlussfolgerungen könnte man
sich dann auf zulässige Pfade beschränken:
Γ unterstützt eine Schlussfolgerung a → x (bzw. a 6→ x), wenn
es einen zulässigen Pfad in Γ von a nach x gibt.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Argumente und Schlussfolgerungen 2/4
Informell:
Eine Kante v·w in Γ ist zulässig bzgl. a, wenn es einen zulässigen Pfad
a · . . . · v · w in Γ gibt ohne redundante Kanten und ohne präemptive
Knoten
the edge under
consideration
s
a
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s
s
si
v
DVEW
s
w
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Argumente und Schlussfolgerungen 3/4
• Ein Pfad a · v1 · . . . · vn · (¬)x ist zulässig, wenn jede seiner Kanten
zulässig bzgl. a ist.
• Eine Kante v · (¬)w ist zulässig bzgl. a, wenn es (in Γ) einen positiven
Weg a · v1 · . . . vn · v (n ≥ 0) gibt mit folgenden Eigenschaften:
• jede Kante in a · v1 · . . . vn · v ist zulässig bzgl. a;
• keine Kante in a · v1 · . . . vn · v ist redundant bzgl. a (s. unten);
• keiner der Knoten a, v1 , . . . , vn , v ist ein Präemptor für v · (¬)w bzgl.
a, wobei ein Knoten y auf einem Pfad a · . . . · y · . . . · v ein Präemptor
für v · w (v · ¬w) bzgl. a ist, wenn die Kante y · ¬w (y · w) in Γ liegt.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Zulässige Pfade – Spezialfälle
Ein Pfad / eine Kante a · v ist zulässig (bezgl. a) gdw. gilt:
• die Kante a · ¬v liegt nicht in Γ.
Ein Pfad a · v · w ist zulässig gdw. gilt:
• a · v ist zulässig bezgl. a (s.o.);
• v · w ist zulässig bezgl. a:
• a · v ist zulässig bezgl. a (s.o.);
• a · v ist nicht redundant bezgl. a;
• a, v sind keine Präemptoren für v · w bzgl. a,
d.h. die Kanten a · ¬w, v · ¬w liegen nicht in Γ.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Präemptive Knoten – Beispiel
r AquaticCreature (= w)
r Mammal (= v)
Whale (= y)
r
q
r BlueWhale
Der Knoten Whale ist ein präemptiver Knoten für die negative Kante
von Mammal nach AquativCreature bzgl. Whale and BlueWhale.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Argumente und Schlussfolgerungen 4/4
Es bleibt noch, den Begriff der Redundanz zu definieren:
Eine positive Kante b · w ist redundant in Γ bzgl. a, wenn es einen
positiven Pfad b · t1 · . . . · tm · w (m ≥ 1) in Γ gibt, so dass gilt:
• jede Kante in b · t1 · . . . · tm · w ist zulässig bzgl. a;
• es gibt keinen Knoten c und keinen Index i, so dass c · ¬ti zulässig
bzgl. a ist;
• es gibt keinen Knoten c, so dass c · ¬w zulässig bzgl. a ist.
Redundanz für negative Kanten wird analog definiert.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Redundanz – Beispiel
r AquaticCreature
r Mammal
Whale
r
q
r BlueWhale
Die Kante q ist redundant bzgl. BlueWhale.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Extensionen
Eine Extension X eines Vererbungsnetzes Γ ist ein Teilnetz von Γ mit
gewissen Eigenschaften; es veranschaulicht eine Menge möglicher
Schlussfolgerungen (beliefs), die von Γ unterstützt werden.
Sei a ein Knoten in Γ, X ein Teilnetz von Γ.
• X heißt a-zusammenhängend, wenn es für jeden Knoten x in X einen
(positiven/negativen) Pfad von a nach x gibt, und es zudem zu jeder
Kante v · (¬)x einen positiven Pfad von a nach v gibt (jeweils in X).
• X ist (potentiell) zweideutig bzgl. a in einem Knoten x, wenn sowohl
a · s1 · . . . · sn · x als auch a · t1 · . . . · tm · ¬x Pfade in X sind.
• Eine leichtgläubige Extension X von Γ bzgl. a ist ein maximales, bzgl.
a unzweideutiges, a-zusammenhängendes Teilnetz von Γ.
Ist X eine leichtgläubige Extension von Γ, so wird X durch Hinzufügen
einer Kante (von Γ) entweder zweideutig oder nicht mehr
a-zusammenhängend.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Extensionen – Beispiel 1/3
r MilkProducer
FurryAnimal r
r Mammal
@
@
@
@ r EggLayer
@
@
@
@ r Platypus
Ein (bezgl. Platypus) zweideutiges Netzwerk mit zwei leichtgläubigen
Extensionen . . .
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Extensionen – Beispiel 2/3
FurryAnimal r
r Mammal
@
@
@
@ r EggLayer
@
@
@
@ r Platypus
Nach Hinzufügen der Kante Mammal · Milkproducer wäre das Netz nicht
mehr Platypus-zusammenhängend; nach Hinzufügen der Kante
FurryAnimal → Mammal wäre das Netz zweideutig.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Extensionen – Beispiel 3/3
r MilkProducer
r Mammal
FurryAnimal r
r EggLayer
@
@
@
@ r Platypus
Nach Hinzufügen der Kante Egglayer 6→ Mammal wäre das Netz
zweideutig.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Bevorzugte Extensionen 1/2
Leichtgläubige Extensionen repräsentieren mögliche Argumentations- und
Schlussfolgerungsketten.
Sie blenden Konflikte aus, lösen sie aber nicht.
Wir wollen nun den Begriff der Zulässigkeit benutzen, um die Qualität von
leichtgläubigen Extensionen zu beurteilen.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Bevorzugte Extensionen 2/2
Seien X und Y leichtgläubige Extensionen bzgl. eines Knotens a; X wird
gegenüber Y bevorzugt genau dann, wenn es Knoten v und x gibt, so dass
gilt:
• es gibt eine Kante v · x (oder v · ¬x), die in Γ unzulässig bezgl. a ist;
• X und Y stimmen auf allen Kanten, deren Endpunkte topologisch vor
v liegen, überein;
• diese Kante liegt in Y , aber nicht in X.
Eine leichtgläubige Extension ist eine maximal bevorzugte Extension, wenn
es keine andere leichtgläubige Extension gibt, die ihr vorgezogen wird.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Bevorzugte Extensionen – Beispiel
s Gray
s Gray
s Gray
s Elephant
s Elephant
s Elephant
s clyde
s clyde
s clyde
Ein Netz mit einer bevorzugten Extension (Mitte).
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Ein schwieriger Fall – die Nixon-Raute
Quaker
s Pacifist
@
@
@
@
@
@
@
s
@
@
@
@
@
@
@
s Republican
s nixon
Konflikt: Ist Nixon ein Pazifist oder nicht ?
Das Netz ist zweideutig, und es gibt keine bevorzugte Extension.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Inferenzen bei Vererbungsnetzen
Ein zweideutiges Vererbungsnetz kann auch mehrere bevorzugte
Extensionen haben – was soll der Agent schlussfolgern? Hier kann man
mehrere Ansätze verfolgen:
• leichtgläubiges Schlussfolgern: Der Agent wählt (beliebig) irgendeine
bevorzugte Extension und glaubt alle Schlussfolgerungen, die von
dieser Extension unterstützt werden.
• skeptisches Schlussfolgern: Der Agent glaubt alle Schlussfolgerungen,
die von allen Pfaden unterstützt werden, die in allen bevorzugten
Extensionen liegen.
• ideales skeptisches Schlussfolgern: Der Agent glaubt alle
Schlussfolgerungen, die von allen bevorzugten Extensionen unterstützt
werden.
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Wissensrepräsentation
Frames und Vererbungsnetze
Vererbungsnetze – Vorteile und Nachteile
Vorteile von Vererbungsnetzen:
• sehr anschaulich;
• gute Strukturierung von Wissen, explizite Behandlung
widersprüchlicher Schlussfolgerungen.
Nachteile von Vererbungsnetzen:
• keine Weiterverarbeitung negativer Informationen;
• Ableitung von Wissen sehr technisch, graphenorientiert.
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Übersicht Kapitel 2 – Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.1 Grundlagen und Grenzen der klassischen Logik
2.2 Knowledge Engineering und Ontologien
2.3 Beschreibungslogiken
2.4 Frames und Vererbungsnetze (Inheritance Networks)
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Kapitel 2
2. Klassische und regelbasierte
Wissensrepräsentation
2.5 Regelbasierte Wissensverarbeitung
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel – Geldautomat 1/3
Aufgabe:
Es soll ein (einfacher) Geldautomat implementiert werden.
Alternative Ansätze:
• Prozedural: Schreib ein Programm!
• Deklarativ: Formuliere das Wissen und implementiere ein
regelbasiertes System!
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel – Geldautomat 2/3
Variable
mögliche Werte
Karte
PIN
Versuche
Kontostand
Betrag
Auszahlung
Kartenrückgabe
{gültig, ungültig}
{richtig, falsch}
{überschritten, nicht überschritten}
{ausreichend, nicht ausreichend}
{≤ Maximalbetrag, > Maximalbetrag}
{soll erfolgen, soll nicht erfolgen}
{ja, nein}
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel – Geldautomat 3/3
R1:
if
Karte
PIN
Versuche
Betrag
Kontostand
=
=
=
≤
=
gültig
richtig
nicht überschritten
Maximalbetrag
ausreichend
Auszahlung
=
soll erfolgen
and
and
and
and
then
R2:
if
Versuche
=
überschritten
Kartenrückgabe
=
nein
then
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Regelbasierte Systeme
Regeln sind formalisierte Konditionalsätze der Form
if A then B
mit der Bedeutung
wenn A wahr (erfüllt, bewiesen) ist dann schließe auf B.
Die Folgerung einer Regel kann mit einer Aktion verbunden sein:
if der Druck hoch ist then öffne das Ventil.
→ Produktionsregeln.
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198 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Repräsentation von Regeln
Ziel: syntaktisch einfache Regeln
• keine Disjunktion im Regelrumpf
• ein einziges Literal im Folgerungsteil
−→ benutze semantische Äquivalenzen der klassischen Logik zur
Regelumformung
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199 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Regelumformungen
• Ersetze die Regel
if A = K1 ∨ . . . ∨ Kn then B = D1 ∧ . . . ∧ Dm
durch die n · m Regeln
if Ki then Dj ,
• Ersetze die Regel
i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}.
if K then L1 ∨ . . . ∨ Lp
(wobei K eine Konjunktion von Literalen ist) durch die p Regeln
^
if K ∧ (
¬Lk ) then Lk0 , k0 ∈ {1, . . . , p}.
k6=k0
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Regelverarbeitung
Grundlegende Inferenzregel in einem regelbasierten System ist der Modus
ponens:
if A then B
A true
B true
(Regel)
(Faktum)
(Folgerung)
Beispiel:
if Kontostand = nicht ausreichend
then Auszahlung = soll nicht erfolgen
Kontostand = nicht ausreichend
Auszahlung = soll nicht erfolgen
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♣
201 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Regeln und Kontraposition
In der klassischen Logik entsprechen (deterministische) Regeln der
(materialen) Implikation:
A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B
Aber: klassisch-logische Äquivalenzen lassen sich nicht immer auf
(Produktions)Regeln übertragen !
Die Regeln
if A then B
und
if ¬B then ¬A
zeigen ein unterschiedliches Ableitungsverhalten.
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202 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Inferenz mit Regeln
Wissensverarbeitung durch Regelverkettung:
• Vorwärtsverkettung (datengetrieben)
• Rückwärtsverkettung (zielgerichtet)
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203 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Vorwärtsverkettung
Datengetriebene Inferenz:
Eingabe: Eine Regelbasis,
eine Menge F von Fakten.
Ausgabe: Die Menge der gefolgerten Fakten.
1.
2.
3.
Sei F die Menge der gegebenen (evidentiellen) Fakten.
Für jede Regel if A then B der Regelbasis überprüfe:
Ist A erfüllt, so schließe auf B;
F := F ∪ {B}
Wiederhole Schritt 2,
bis F nicht mehr vergrößert werden kann.
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel – Regelnetzwerke 1/3
Variable:
Regeln:
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M
R1:
if
A∧B
then H
C ∨D
then I
R2:
if
R3:
if E ∧ F ∧ G then J
R4:
if
H ∨I
then K
R5:
R6:
if
if
I ∧J
K ∧L
then L
then M
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
R2a:
R2b:
if C then I
if D then I
R4a:
R4b:
if H then K
if I then K
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205 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel – Regelnetzwerke 2/3
A ``
````
R1
H HH
HR4A
B
H
HH
K bb
b
b
C ```R2A
`
R4B
b `
`
b
I
Q
R6 " M
Q
"
D
Q
R2B
"
Q
"
Q "
Q
"
L
R5
E aa
a
aa R3 a
J F
!
!
!
!!
!
G !
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206 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel – Regelnetzwerke 3/3
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
TRUE
A ``
````
R1
H HH
HR4A
B
H
HH
K bb
b
b
C ```R2A
`
R4B
b `
`
b
I
Q
R6 " M
Q
"
D
Q
R2B
"
Q
"
Q "
Q
"
L
R5
E aa
a
aa R3 a
J F
!
!
!
!!
!
G !
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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207 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückwärtsverkettung
Zielorientierte Inferenz für Regeln in Normalform:
Eingabe: Eine Regelbasis, eine (evidentielle) Faktenmenge F,
eine Liste von Zielen (atomaren Anfragen) [q1 , . . . , qn ].
Ausgabe: Yes, wenn alle qi ableitbar sind, sonst No
Procedure SOLVE[q1 , . . . , qn ]
if n = 0 then return Yes
for jede Regel r der Regelbasis do
if r = (p1 ∧ . . . ∧ pm → q1 )
and SOLVE[p1 , . . . , pm , q2 , . . . , qn ]
then return Yes
end for
return No
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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208 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückwärtsverkettung – Suchstrategien 1/5
Bei der Rückwärtsverkettung von Regeln kann die syntaktische
Form der Regeln entscheidenden Einfluss auf die Größe des
Suchraumes und damit auf Dauer und Speicherbedarf der
Antwortprozedur haben!
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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209 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückwärtsverkettung – Suchstrategien 2/5
Beispiel:
1
2
3
Ancestor (x, y) ← Parent(x, y)
Ancestor (x, y) ← Parent(x, z) ∧ Ancestor (z, y)
Ancestor (x, y) ← Parent(x, y)
Ancestor (x, y) ← Parent(z, y) ∧ Ancestor (x, z)
Ancestor (x, y) ← Parent(x, y)
Ancestor (x, y) ← Ancestor (x, z) ∧ Ancestor (z, y)
Anfrage: ? – Ancestor (sam, sue)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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210 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückwärtsverkettung – Suchstrategien 3/5
1
Ancestor (x, y) ← Parent(x, y)
Ancestor (x, y) ← Parent(x, z) ∧ Ancestor (z, y)
Anfrage: ? – Ancestor (sam, sue)
Bei dieser Variante startet das Verfahren bei sam und sucht im
Stammbaum abwärts nach Kindern von sam, die Vorfahren von sue sind.
Vorteilhaft, wenn die Leute beispielsweise durchschnittlich nur 1 Kind
haben.
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211 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückwärtsverkettung – Suchstrategien 4/5
2.
Ancestor (x, y) ← Parent(x, y)
Ancestor (x, y) ← Parent(z, y) ∧ Ancestor (x, z)
Anfrage: ? – Ancestor (sam, sue)
Bei dieser Variante startet das Verfahren bei sue und sucht im
Stammbaum aufwärts nach Elternteilen von sue, deren Vorfahr sam ist.
Vorteilhaft, wenn die Leute durchschnittlich viele Kinder haben.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
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212 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückwärtsverkettung – Suchstrategien 5/5
3.
Ancestor (x, y) ← Parent(x, y)
Ancestor (x, y) ← Ancestor (x, z) ∧ Ancestor (z, y)
Anfrage: ? – Ancestor (sam, sue)
Bei dieser Variante sucht das Verfahren den Stammbaum in beiden
Richtungen nach Eltern-Kind-Beziehungen ab.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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213 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Unsichere Regeln
Die wenigsten Regeln sind wirklich sicher –
Regeln, die meistens gelten, sind viel häufiger!
Idee: Die Sicherheit von Regeln (und Fakten) könnte durch geeignete
numerische Werte quantifiziert werden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
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214 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
MYCIN
MYCIN Projekt [1970]
Ziel: Entwicklung eines Systems, das Ärzte bei der Diagnose und
Antibiotika-Therapie bakterieller Infektionen beraten sollte.
Besonderheit: Unsicheres Wissen wurde repräsentiert und verarbeitet
mittels Sicherheitsfaktoren (certainty factors)
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215 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Sicherheitsfaktoren
Sicherheitsfaktor CF ∈ [−1, 1]
≈
Grad des Glaubens
bzw. Nichtglaubens
Regeln:

=1 :B




 >0 :A
=0 :A
CF (A → B)


<0 :A



= −1 : B
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
ist sicher wahr, gegeben A
unterstützt B
hat keinen Einfluss auf B
liefert Evidenz gegen B
ist sicher falsch, gegeben A
DVEW
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216 / 222
Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
MYCIN-Regel
RULE035
PREMISE: ($AND
(SAME CNTXT GRAM GRAMNEG)
(SAME CNTXT MORPH ROD)
(SAME CNTXT AIR ANAEROBIC))
ACTION: (CONCL. CNTXT IDENTITY BACTEROIDES
TALLY .6)
IF:
1)
2)
3)
THEN:
The gram stain of the organism is gramneg, and
The morphology of the organism is rod, and
The aerobicity of the organism is anaerobic
There is suggestive evidence (.6) that the identity
of the organism is bacteroides
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel MYCIN
A
C
B∧D
E∨F
H
A
1.0
→ B[0.8]
→ D[0.5]
→ E[0.9]
→ G[0.25]
→ G[0.3]
0.8 B
0.9 H Q
@
@
B∧D
C
0.5
A[1.0]
C[0.5]
F [0.8]
H[0.9]
0.9 E
@
@
0.5 D
E∨F
Q 0.3
Q
Q
Q
sG
3
0.25
0.8 F
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Propagationsregeln
1
2
3
Konjunktion: CF [A ∧ B] = min{CF [A], CF [B]}.
Disjunktion: CF [A ∨ B] = max{CF [A], CF [B]}.
serielle Kombination:
CF [B, {A}] = CF (A → B) · max{0, CF [A]}.
4
parallele Kombination: Für n > 1 ist
CF [B, {A1 , . . . , An }] = f (CF [B, {A1 , . . . , An−1 }], CF [B, {An }]),
mit

 x + y − xy
x + y + xy
f (x, y) :=

x+y
1−min{|x|,|y|}
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wenn x, y > 0
wenn x, y < 0
sonst
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Regelbasierte Wissensverarbeitung
Beispiel MYCIN (Forts.)
A
1.0
0.8 B 0.8
@
@
0.25 B ∧ D
C
0.5
0.5 D 0.25
0.9 H Q
0.9 E 0.225
@
@
0.8 E ∨ F Q 0.3
Q
Q
Q
sG 0.416
3
0.25
0.8 F
f (0.3 · 0.9, 0.25 · 0.8) = 0.27 + 0.2 − 0.27 · 0.2 = 0.416
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
War MYCIN ein Fehlschlag?
MYCIN wurde nie für seinen eigentlichen Verwendungszweck –
medizinisches Expertenwissen breit zur Verfügung zu stellen – eingesetzt,
denn
• Ärzte reagierten misstrauisch, waren nicht bereit, MYCIN’s
Vorschläge zu akzeptieren (Akzeptanzproblem);
• MYCIN war “zu gut”;
aber –
• MYCIN war ein Meilenstein in der Enwicklung von Expertensystemen:
es setzte Maßstäbe in Bezug auf Interaktionsmöglichkeiten und
Benutzerfreundlichkeit;
• es gab wichtige Anstöße für die gesamte Entwicklung der
wissensbasierten Systeme;
• und es zeigt grundlegende Möglichkeiten und Probleme bei der
Verarbeitung (quantifizierter) unsicherer Information.
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Wissensrepräsentation
Regelbasierte Wissensverarbeitung
Rückblick auf Kapitel 2 – Klassische und
regelbasierte Wissensrepräsentation
• Von den klassischen Logiken über die Beschreibungslogiken bis hin zu
den ersten Ansätzen revidierbaren Schlussfolgerns;
• dabei Schwerpunkt auf der Repräsentation und Strukturierung von
Wissen.
• Verallgemeinerungen und Spezialisierungen bilden den Grundtypus des
(un)sicheren Schlussfolgerns.
• Erste Ansätze quantifizierter Unsicherheit in MYCIN.
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