über konservierte Sequenzen

Mehr über konservierte
Sequenzen
Konservierte Globine
Wir wollen uns noch etwas mehr mit den beiden
Globinsequenzen beschäftigen, der humanen und
der aus dem Genom der Ratte.
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
Ein gemeinsamer Vorfahre der beiden Sequenzen
scheint noch sichtbar zu sein, das drückt sich in
auffallend vielen identischen Positionen aus.
Genomische Datenanalyse
7. Kapitel
Modell für konservierte
Sequenzen
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
Im letzten Kapitel hatten wir ein Modell konstruiert, daß die
Sequenzen als von einander abhängig modelliert.
In diesem Modell wurde die erste Sequenz als i.i.d. mit Verteilung
(0.25, 0.25, 0.25, 0.25) angenommen und die zweite Sequenz wurde
dann mit Hilfe einer Transitionsmatrix generiert:
Match & Mismatch
Alternativ zu diesem Evolutionsmodell hatten wir noch den naiven
Ansatz verfolgt, beide Sequenzen als voneinander unabhängige
i.i.d. Sequenzen zu modellieren. In beiden Fällen induzieren die
Modelle eine Folge Zi von Nullen und Einsen. Wobei 1 für eine
Matchposition und 0 für eine Mismatchposition steht.
X1(ω),...,X70(ω): GTTGAAGGGCTGTCCGTGCCCCCACAAAGTACCAGACAACGTAGCACAATAATAACGGAGCCCCGGTACT
Y1(ω),...,Y70(ω): AGGACATTCGTTCGTTGGTCTTAAATTTATATAGCTACTCAACACGGTCTCCATGCGGGGTACGTTGAAC
Z1(ω),...,Z70(ω): 0000010000100000010100010000011000000001000010000000000111010010000100
Die Randverteilung der Zi ist in beiden Fällen eine i.i.d. Folge von
Nullen und Einsen wobei:
1.
im Modell mit Unabhängigkeit (Nullmodell): P [ Zi = 1 ] = 0.25
2. im Evolutionsmodell: P [ Zi = 1 ] = 0.64.
Bernoulli-Verteilung
Interessiert man sich also nicht für die
beiden Sequenzen sondern nur für die
Abfolge von Match und
Mismatchpositionen, kann man jede
einzelne Position durch ein einfacheres
Zufallsexperiment realisieren:
1
Bernoulli-Verteilung
Sei X~Bernoulli(p)
Jakob Bernoulli 1654-1705
0
E[X]=
1 × p + 0 × (1-p) = p
0
p
1
Ein solches Experiment heißt Bernoulli-Experiment, und die
zugehörige Zufallsvariable hat eine Bernoulli-Verteilung mit
Erfolgsparameter p.
Var (X) =
p(1-p)2+(1-p)(0-p)2 = p(1-p)
Also X~Bernoulli(p) bedeutet das gleiche wie X~ (p, 1-p) mit
Werten (0,1).
Anzahl Erfolge
Binominalverteilung
In anderen Worten:
Hat man eine i.i.d. Sequenz von n Bernoulli-Variablen Z1,...,Zn,
dann ist die Anzahl der Erfolge (Einsen):
S ~ (b0,...,bn) mit Werten in (0,...,n)
wieder eine Zufallsvariable. S kann als Werte (0,...,n) annehmen.
P [ S=k ] =
Man sagt auch S ist binominal verteilt mit
Parameter (p,n)
S ~ Bin (p,n)
?
E [ S ] = E [ ∑ Zi ] = ∑ E [ Zi ] = np
?
Anzahl der mögliche
Positionen der Einsen
k Einsen ... und nicht mehr
Var (S) = Var (∑ Zi) = n Var (Zi) = np(1-p)
Erwartungswert der Summe
von Zufallsvariablen
Varianz der Summe von
Zufallsvariablen
Es gilt allgemein: E [ X + Y ] = E [ X ] + E [ Y ]
Es gilt:
E [ X ] := ∑i xi P [ X = xi ]
Var ( X+Y ) = E [ (X + Y – E [ X + Y ] )2 ]
= E [ ((X – EX) + (Y – EY))2 ]
= E [ (X – EX)2] + E [(Y – EY)2] + 2 E [ (X-EX)(Y-EY)]
E [ X + Y ] = ∑i,j (xi + yj) P [X=xi, Y=yj]
= Var ( X ) + Var ( Y ) + 2 E [ (X-EX)(Y-EY) ]
= ∑i,j xi P [X=xi, Y=yj] + ∑i,j yj P [X=xi, Y=yj]
= ∑i xi (∑j P [X=xi, Y=yj]) + ∑j yj (∑i P [X=xi, Y=yj])
= ∑i xi P [X=xi] + ∑j yj P [Y=yj]
= E[X]+E[Y]
Erwartungswert eines
Produktes unabhängiger
Zufallsvariablen
Sind X und Y unabhängig, dann gilt:
Unabhängige
Ereignisse
Varianz der Summe
unabhängiger
Zufallsvariablen
Unabhängige
Zufallsvariablen
Es gilt:
Var ( X+Y ) = Var ( X ) + Var ( Y ) + 2 E [ (X-EX) (Y-EY) ]
E [ X Y ] = ∑i ∑j xi yj P [ X=xi, Y=yj ]
= ∑i ∑j xi yj P [ X=xi ] P [ Y=yj ]
= Var ( X ) + Var ( Y ) + 2 E [ (X-EX) ] E [ (Y-EY) ]
= Var ( X ) + Var ( Y ) + 2 ( EX-E[ EX ]) (EY –E [ EY ] ]
= Var ( X ) + Var ( Y )
= ∑i ∑j xi P [ X=xi ] yj P [ Y=yj ]
E [ EX ] = EX
= ∑i xi P [ X=xi ] ∑j yj P [ Y=yj ]
Erwartungswert einer konstanten Zufallsvariablen
=E [ X ] E [ Y ]
Binominalverteilung
Also wirklich:
S ~ Bin (p,n)
E [ Zi ] =p für alle n
Summanden
Konservierten Sequenzen:
Nullmodel
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
1011010001111110010101111000011011111101101010111011011111110011010101
Bei diesem Sequenzvergleich beobachten wir 45 Matchpositionen
von 70 Möglichen.
Summe von BernoulliVariablen Zi
Wir haben n = 70
E [ S ] = E [ ∑ Zi ] = ∑ E [ Zi ] = np
Nullmodel: p=0.25, also S~Bin (0.25,70)
Wie wahrscheinlich ist die Beobachtung S=45?
Var (S) = Var (∑ Zi) = n Var (Zi) = np(1-p)
Summe von
unabhängigen BernoulliVariablen Zi
Var ( Zi ) = p(1-p) für alle n
Summanden
Konservierten Sequenzen:
Evolutionsmodel
Punktwahrscheinlichkeit
Im Evolutionsmodel gilt p=0.64: S~ Bin (0.64,70)
P [ S=45 ] =
Hat man die beiden Alternativen:
1. Die Sequenzen sind nicht verwandt (repräsentiert durch
das Nullmodell)
2. Die Sequenzen sind evolutionär verwandt (repräsentiert
durch das Evolutionsmodel)
Dann liefert die Beobachtung von 45 Matchpositionen eine
erschlagende Evidenz zugunsten von 2.
Die Beobachtung erscheint aber auch im Evolutionsmodell
nicht sonderlich wahrscheinlich, nur 10%. Woran liegt das?
Die Wahrscheinlichkeit, genau 45 Matches (Erfolge) zu
generieren ist in der Tat klein. Aber bei 46, 47 , ... Matches
haben wir ja immernoch Evidenz für evolutionäre
Konservierung ... dann erst recht.
Die Wahrscheinlichkeit punktgenau 45 Matche zu haben,
nennt man auch Punktwahrscheinlichkeit ...
... Sie ist wenig hilfreich, es empfiehlt sich, wieder ein
gröberes Maß anzulegen.
Extremalwahrscheinlichkeit
Betrachten wir an Stelle des Ereignisses S=45, das
Ereignis
Extremalwahrscheinlichkeit
S ≥ 45 ...
S=0, S=1, S=2,...,S=k sind disjunkte
Ereignisse.
„Mindestens 45 Matches oder noch mehr
Konservierung“
Unter dem Nullmodell (p=0.25) erhalten wir:
P [ S ≥ 45 ] = 1 – P [s < 45] = 1-F (45)
P [ S ≥ 45 ] ≈ 0 (immer noch extrem klein)
wobei F(k) die Verteilungsfunktion von S ist:
Unter dem Evolutionsmodell (p=0.64)
P [ S ≥ 45 ] ≈ 0.44 (... also ein typisches
Ergebnis)
Statt von Punktwahrscheinlichkeit sprechen wir hier
von Extremalwahrscheinlichkeit (tail probability)
Zusammenfassung
45 Match-Positionen scheinen eine sehr deutliche Sprache
zu sprechen:
Large Scale Effects
Könnte unsere Beobachtung so etwas ähnliches sein, wie wir sie bei den
Splice-Positionen hatten ...
... eine „Fata Morgana“, die man
beim Durchsuchen großer
Datenmengen ja haben kann
(Borel-Cantelli). Die Sequenzen
wurden ja erst in den riesigen
Genomsequenzen gefunden ...
Die Sequenzen sind verwandt ... haben vermutlich einen
gemeinsamen Vorfahren.
Wir haben zweierlei Evidenz:
1. Signifikanz:
45 Match-Positionen sind für nicht verwandte Sequenzen
(Nullmodell) sehr ungewöhnlich.
... GTGGTAAGT...
2. Modellvergleich: (Likelihood-Ratio)
45 Match-Positionen sind im Evolutionsmodell viel
wahrscheinlicher als im Nullmodell.
... ACGGTAAGC
...
...AAGGTAAAA...
...AGGGTAAGA..
.
... kann es da nicht mal zufällig
vorkommen, daß es nach
Konservierung aussieht obwohl
nichts dahinter steckt?
Statt von einer Fata Morgana
sprechen wir ab jetzt nüchterner
vom „Problem multipler Tests“
oder von einem Large Scale Effect.
Large Scale Effects
Zurück zu den Globinen
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
Diese Large Scale Effects sind ein generelles Problem in der
Bioinformatik und spielen auch bei der Einschätzung von
Sequenzähnlichkeiten eine entscheidende Rolle.
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
Zum Beispiel ist das Datenbank-Suchprogramm BLAST ein
Spezialist auf dem Gebiet.
Man kann in BLAST eine Querysequenz eingeben, und Blast sucht
dann ganze Datenbanken von Sequenzen (mit diversen
vollständigen Genomen darin) nach kleinen Segmenten ab, die
Ähnlichkeit zu einem Stück der Query haben.
Weitgehend mutierter
Bereich. Wenig selektiver
Druck.
Perfekt konservierter
Bereich. Mutationen
wurden von der Selektion
nicht toleriert.
Dabei muß BLAST so gut wie möglich zwischen zufälliger und
echter Ähnlichkeit unterscheiden.
Beobachten wir hier so etwas wie einen Unterschied im Ausmaß
des selektiven Drucks?
Mehr dazu später in der Vorlesung.
Konnte der rote Bereich nicht mutieren, da diese Mutationen
unvorteilhaft waren?
Wenn ja, dann muß dieser Bereich besonders wichtig sein.
Headruns
Headruns
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
1011010001111110010101111000011011111101101010111011011111110011010101
1011010001111110010101111000011011111101101010111011011111110011010101
In der Sequenz von Nullen und Einsen,
entsprechen dem roten Bereich 7 Einsen direkt
hintereinander.
7 Einsen direkt hintereinander:
Eine ununterbrochene Abfolge von Einsen nennt
man einen Headrun.
Also Z1,...,Zn i.i.d. mit Zi ~ Bernoulli (0.64)
Perfekt konservierte Sequenzabschnitte im
Alignment entsprechen also Headruns der Zi.
Ist das auffällig ?
Nehmen wir das Evolutionsmodell:
Die Länge des längsten Headruns in Z1,...,Zn nennen wir
Rn.
Wir sind an P [ Rn ≥ 7 ] interessiert.
Startruns
Verteilung von
Startruns
Betrachten wir zunächst nur Headruns, die gleich zu
Anfang der Sequenz auftreten:
Die Wahrscheinlichkeit, daß die ersten r Positionen alle
Einsen sind:
P [ Z1=1,...,Zr=1 ] = pr
SR ist eine Zufallsvariable. Wie ist sie verteilt?
P [ SR=r ] =
pr (1-p)
Als Länge des Startruns einer Sequenz SR bezeichnen
wir die Anzahl von Einsen zur Beginn der Sequenz:
Also: SR(„111010“) = 3
Die ersten r Positionen
sind Einsen
... und dann folgt eine Null,sonst wäre
der Startrun ja mindestens r+1 lang.
SR(„011111“) = 0
Geometrische Verteilung
Für eine unendlich lange Bernoulli-Sequenz und gr:=pr(1-p), ist der
Startrun: SR ~ (g0,g1,...) mit Werten in (0,1,...)
Eine Zufallsvariable X für die P [ X=r ] = pr (1-p) gilt, nennt man
geometrisch verteilt mit Parameter p ...
... und wir schreiben kurz X ~ Geo(p).
Signifikanz von
Startruns
Wir können damit Aussagen über die Verteilung der Länge des
Startruns machen. Für ein Alignment, das mit einem
konservierten Bereich beginnt, können wir entscheiden, ob diese
Beobachtung eine zufällige Fluktuation sein könnte oder erhöhte
Sequenzkonservierung widerspiegelt.
Es gibt eine Einschränkung:
Das Alignment hat nur eine endliche Länge n=70.
E[X]=
Eine Geo(p) verteilte Zufallsvariable kann aber auch größere
Werte annehmen.
Das würde in unserem Fall keinen Sinn machen (Randeffekt).
Ein Startrun größer als 70 ist aber sehr unwahrscheinlich.
Var (X) =
... kann man nachrechnen.
Deshalb vernachlässigen wir das Problem
Startruns vs. Headruns
Für ein Alignment, das mit einem konservierten Bereich beginnt,
können wir entscheiden, ob diese Beobachtung eine zufällige
Fluktuation sein könnte oder erhöhte Sequenzkonservierung
widerspiegelt.
Nur sind wir daran ja nicht interessiert:
Identische Ereignisse
Die folgenden zwei Ereignisse sind identisch:
A: Die (0-1) Sequenz startet nicht mit r Einsen.
B: SR < r.
A lautet im Kontext des Alignments auch:
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
1011010001111110010101111000011011111101101010111011011111110011010101
Unsere Beobachtung war ja nicht Konservierung am Beginn des
Alignments sondern in seinem Inneren.
Wir sind am längsten Headrun Rn und nicht am längsten
Startrun SR interessiert.
Signifikanz von
Headruns
(A‘)c ist genau das Ereignis, das zu unserer Beobachtung paßt:
Es gibt einen konservierten Bereich der Länge r oder länger.
HUM ...ACGTCAAGGCCGCCTGGGGCAAGGTTGGCGCGCACGGCGAGTATGGTGCGGAGGCCCTGGAGAATGTTCC...
RAT ...ATGTAAGCCCCGGCTCTGCCCAGGTCAAGGCTCACGGCAAGAAGGTTGCTGATGCCCTGGCCAAAGCTGC...
1011010001111110010101111000011011111101101010111011011111110011010101
Um festzustellen ob die Beobachtung weitere Aufmerksamkeit
rechtfertigt (Hypothesen-Generierung) müssen wir ...
P[
(A‘)c
] = 1 – P [ Rn < r ]
... berechnen.
Gesucht ist die Verteilung der Länge Rn des längsten Headruns.
A: Das Alignment startet nicht mit r identischen
Positionen
Die folgenden Ereignisse sind ebenfalls identisch:
A‘: Die (0-1) Sequenz enthält keinen Headrun der Länge r
B‘ : Rn < r. (Der längste Headrun ist kürzer als r).
Headrun = lokaler Startrun
Der Startrun ist ein Headrun, dessen Startpunkt wir kennen.
Er muß bei Position 1 starten.
Der längste Headrun, könnte theoretisch überall starten.
Es gibt damit n mögliche Startpunkte, wobei n die Länge des
Alignment ist.
Für jede beliebige Startposition i sei SR(i) die Länge des längsten
dort startenden Headrun.
Für unendlich lange (0-1) Sequenzen sind alle SR(i) ~ Geo(p).
Für eine endlich lange Sequenz taucht wieder das Problem der
Randeffekte auf.
Jetzt aber in verschärfter Form, da die Randeffekte für Startpunkte
nahe dem Ende der Sequenz erheblich sein können.
Erster Versuch
Zweiter Versuch
Es gibt keinen Headrun der Länge r.
Versuchen wir es anders:
Dann gibt es auch keinen Startpunkt für einen solchen Headrun.
Für eine feste Position i und eine feste Runlänge r definieren wir:
Es gilt SR(i) < r für alle i · n.
Xi = 1 falls Zi × ... × Zi+r-1 = 1
Sei Ai das Ereignis { SR(i) <r },
Xi = 0 sonst.
Dann ist P [ Rn < r ] = P [ A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ].
Wären die SR(i) i.i.d., dann wären wir fertig:
Xi zeigt an, ob in i ein Headrun beginnt, der mindestens r Positionen
lang ist.
P [ Kein konservierter Bereich der Läng r ] =
Sei W = ∑ Xi
W zählt wie häufig Headruns die länger als r sind auftreten:
= P [ A1 ] n
= ( pr (1-p) ) n
... nur sind sie das gerade nicht ! (überlappende Positionen)
Zi(ω): 0100100111010100111110101111111001010101010
Xi(ω): 0000000100000000111000001111000000000000000
Das war eine Sackgasse ... aber eine lehrreiche!
Abhängigkeit durch
überlappende Positionen in
der Runs
P[Xi=1]= pr ... also Xi ~ ( pr, 1-pr )
... aber die Xi sind auch hier nicht unabhängig!
z.B. P[ Xi=1 | Xi+1=1]
Abhängigkeit durch
überlappende Positionen in
der Runs
Aus dem gleichen Grund sind auch Xi und Xi+∆ genau
dann abhängig, wenn ∆ < r ist.
E[ Xi ]
= pr
=p
E[W]
P[ Xi=1]
= pr
Also sind Xi und Xi+1 abhängig.
= (n-r+1) pr
Approximation mit
Binominalverteilung
Analoges i.i.d. Modell
Die Xi sind zwar identisch verteilt: Xi ~ ( pr, 1-pr ) ...
... aber nicht unabhängig ( independent ) ...
Wie ist W‘ verteilt?
× Sequenz.
da fehlt ein i zur i.i.d.
W‘ ~ Bin(pr,n)
Definieren wir uns trotzdem die entsprechende i.i.d.
Sequenz:
W ist eine binominal verteilte
Zufallsvariable ...
Y1,...,Yn Yi i.i.d. mit Yi ~ Xi
mit Erfolgsparameter pr ...
( Achtung: Yi ~ Xi aber ( Xi, Xi+1 ) ¿ ( Yi, Yi+1 ) )
Im Globin-Alignment:
Sei W‘ = ∑ Yi
p=0.64, r=7 pr= 0.04
Wie ist W‘ verteilt?
Weniger als t:
Weniger als t Headruns der
Mindestlänge r
Poissonverteilung
Entweder 0 oder 1 ... oder t-1
( Disjunkte Ereignisse )
Mindestens i
Headruns ...
Eine Zufallsvariable W mit Werten 0,1,2,3, ... und
der Verteilung:
heißt poissonverteilt mit Intensität λ.
λx ...
i von n-r+1
möglichen
Startpunkten
P[ W‘ = i ]
... und nicht mehr
x! ...
e-λ ...
... und das alles in einer Formel
... wer denkt sich denn so was aus?
Simon Denis Poisson
(1781- 1840)
Ausgedünnte Erfolge
X binominal verteilt mit Erfolgsparameter p und n Versuchen
Binominalverteilung Æ
Poissonverteilung
λ= E [ X ] = n p
Legen wir eine Intensität λ fest ...
Verdoppeln wir die Anzahl von Versuchen und halbieren die
Erfolgswahrscheinlichkeit:
... und betrachten immer größer werdende Versuchsgrößen:
X‘ ~ Bin(p/2,2n)
Dann konvergiert:
n =1,2,3, ... und dazugehörige pn= λ, λ\2, λ\3, ....
( pn = λ\n)
E [ X‘ ] = n p = λ
Wir erwarten wieder λ Erfolge, nur jetzt auf doppelt soviele
Versuche aufgeteilt.
Ausdünnen der Erfolge
Machen wir weiter so ...
... wir teilen λ erwartete Erfolge auf immer mehr Versuche auf.
Dazu müssen wir p auch im richtigen Verhältnis immer kleiner
machen.
Seltene Ereignisse
Was betrachten wir für große n?
Wir zählen Ereignisse:
•
die selten sind (pn klein) ...
•
... unter vielen (n groß) ...
•
bei mittel großer Gesamthäufigkeit (λ=const.)
Zusätzlich haben wir noch verlangt:
•
Das die Ereignisse unabhängig und gleich
wahrscheinlich sind.
•
Das pn proportional zu 1/n ist.
Also Xn ~ Bin( pn,n ) und Y ~ Poisson(λ): P [Xn=t] Æ P [ Y=t ]
Für große n und entsprechend kleines p ist eine
binominalverteilte Zufallsvariable einer poissonverteilten
Zufallsvariablen ähnlich.
Poissonapproximation
Man muß sich nicht auf den
Fall verdünnter binominal
Verteilungen beschränken.
Es gibt das allgemeine Prinzip
der Poissonapproximation:
Die Anzahl seltener
Ereignisse ist annähernd
poissonverteilt.
Poissonapproximation
Es gibt hunderte Lehrsätze in denen dieses Prinzip in speziellen
Situationen nachgewiesen wurde. Die Konvergenz der
Binonimalverteilung ist nur eines davon.
Die Voraussetzungen:
1. Das die Ereignisse unabhängig und gleich wahrscheinlich
sind.
2. Das pn proportional zu 1/n ist.
braucht man nicht in voller Strenge. Es genügt in der Regel:
1‘: Das die Experimente nicht zu sehr abhängig sind.
2‘: Das p hinreichend klein ist im Vergleich zu n.
Allgemeines Prinzip der
Wahrscheinlichkeitstheorie
Poissonapproximation
Es genügt in der Regel:
1‘: Das die Experimente nicht zu sehr abhängig sind.
2‘: Das p hinreichend klein ist im Vergleich zu n.
Das sind keine präzisen Auskünfte. Was ist zu abhängig und was
ist hinreichend klein?
Zum einen gibt es eine umfangreiche mathematische Literatur zu
diesem Thema.
Zum anderen kann man es anhand der Daten überprüfen, mehr
dazu später.
Mehr als nur ein Theorem:
Das Prinzip:
Seltene Ereignisse sind oft poissonverteilt ...
Das Prinzip:
Die Anzahl seltene Ereignisse sind poissonverteilt ...
... gehört zu den wichtigen Prinzipien der
Wahrscheinlichkeitstheorie, wie auch
- das Gesetz der großen Zahlen
- der zentrale Grenzwertsatz (Normalapproximation, später in
der Vorlesung)
Es ist auch unter dem Namen:
... ist sehr allgemein und geht auch über mathematische
Theorie hinaus.
Man hat auch bei statistisch erhobenen Daten häufig
Poissonverteilungen beobachtet, wenn seltene Ereignisse
gezählt wurden.
z.B.
-Tote durch Hufschlag in preußischen Kavallerieregimenten.
- Anzahl von Verkehrsunfällen in einem festen Zeitraum.
Gesetz der kleinen Zahlen
bekannt.
... und in der Bioinformatik?
Häufige Konzepte mit
selten Ereignissen in der
Bioinformatik
- Lange „Wörter“ im Genom
- Die selbe Sequenz in zwei Genomen
- Anzahl
von Mutationen in einem langen DNA-Abschnitt.
- Die Anzahl von Headruns ?
Zurück zum Alignment
Xi = 1 falls Zi × ... × Zi+r-1 = 1
Xi = 0 sonst.
Xi zeigt an, ob in i ein Headrun beginnt, der mindestens r
Positionen lang ist.
Für r groß (lange Headruns) ist P [Xi=1] klein. Das Zählen von
langen Headruns ist also ein Zählen von seltenen Ereignissen.
Das ist schon mal gut im Hinblick auf eine Poissonapproximation.
Die Xi sind aber nicht unabhängig, ...
deswegen folgt die Poissonapproximation nicht automatisch.
Vielleicht sind sie aber doch nicht zu abhängig.
Simulation
Antwort: Nein
500 i.i.d. (0-1) Sequenzen der Länge 1000
p=0.64 (für eine 1)
Headruns mit mindest Länge 15 wurden gezählt.
Die Wahrscheinlichkeit, daß an einer festen Position ein Headrun
länger als 15 startet ist gleich pr=0.0012 (seltenes Ereignis)
Intensität: λ =
(0.64)15*1000
≈ 1.2
Frage: Ist die Anzahl Headruns mit einer Mindestlänge von 15
poissonverteilt?
Woran liegt das?
Woran liegt das?
Zi(ω): 0100100111010100111110101111111001010101010
Xi(ω): 0000000100000000111000001111000000000000000
Clumping
Zi(ω): 0100100111010100111110101111111001010101010
Xi(ω): 0000000100000000111000001111000000000000000
Die entscheidende Sequenz sind die Xi
Xi ist 1 falls in i ein Headrun länger als r startet (oben r=3)
Das sind seltene Ereignisse
Es fällt auf, daß die Einsen in der Sequenz gehäuft hinter einander
auftreten
P [ Xi+1=1 | Xi=1 ]
=p
Im Vergleich zur Randverteilung P[ Xi=1 ] =
pr
Die Abhängigkeit ist zu stark.
Die Xi zeigen ein Clumping.
Ein Headrun der Länge 6 führt zu gleich 4 Headruns
der Mindestlänge 3.
Die Headruns sind zwar seltene Ereignisse, wir zählen
sie teilweise aber öfters als einmal.
Startend mit Xi+1 gibt es auf alle Fälle bereits Einsen auf den r-1
nächsten Positionen. Zum Erfolg fehlt nur noch eine weitere Eins.
Die Poissonapproximation ist fehlgeschlagen.
Declumping
Hilft Declumping bei der
Poissonapproximation?
Zi(ω): 0100100111010100111110101111111001010101010
Xi(ω): 0000000100000000111000001111000000000000000
Yi(ω): 0000000100000000100000001000000000000000000
Wir wollen jeden Headrun von 3 Einsen und mehr nur einmal
zählen, auch wenn er 5 oder 10 Positionen lang ist.
Für die Sequenz Zi wollen wir also 3 Headruns zählen und nicht 8.
Wir wollen die Position i nur dann als Beginn eines Headruns
zählen, wenn er auch wirklich dort beginnt ... und nicht schon
früher.
Definiere Y1=1 falls X1=1
Für i>1 definiere Yi=1 falls Xi=1 und Xi-1=0
W‘‘= ∑ Yi ist die Anzahl der Headrun-Clumps
Den Übergang von Xi zu Yi nennt man Declumping
Ja!
Die Anzahl von
Headrun Clumps ist
in der Tat annähernd
poissonverteilt.
Zusammenfassung:
- Bernoulliverteilung
- Erfolgsparameter
- Binominalverteilung
- geometrische Verteilung
- Randeffekten
- Poissonverteilung
- Intensität
- seltene Ereignisse
- Poissonapproximation
- Headruns
- Declumping
- Large scale Effekt
Erwartungswert der Summe
von Zufallsvariablen
Es gilt allgemein: E [ X + Y ] = E [ X ] + E [ Y ]
E [ X ] := ∑i xi P [ X = xi ]
= ∑i ∑ω:X(ω)=x ) xi P [ ω ]
i
= ∑ω X(ω) P[ ω ]
E [ X + Y ] = ∑ω X+Y (ω) P [ ω ]
= ∑ω ( X(ω) + Y(ω)) P [ ω ]
= ∑ω X(ω) P [ ω ] +∑ω Y(ω) P [ ω ]
= E[X]+E[Y]