Mathematik

T T T T T n r r " r ? Taschenbücher
XI U l
1 JH/ der Technik
Herausgegeben vom
Wissenschaftlichen Ausschuß des Akademischen Vereins Hütte e.V.
Mathematik
2. Auflage
von I. Szabö K. Wellnitz W.Zander
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1974
Inhaltsverzeichnis
1. Tabellen
1—1. Näherungsformcln
1
1-2. Potenzen, Wurzeln, natürliche Logarithmen, reziproke Werte, Kreisumfänge und Kreisflächen
2
t . . . .
1—3. Mantissen der gewöhnlichen (Briggsschen) Logarithmen . . . . . . .
32
1-4. Kreisfunktionen
34
1-5. Kreis-, Exponential-und Hypcrbelfunktionen
38
1-6. Kreis-, Exponential- und Hyperbelfunktionen (Zusatztabelle) für die Argumentwerte 71/4, 77/2, 3TT/4, 7T, 5~/4, 3TT/2, 7TT/4, 2TC
45
1—7- Kugelinhalte für die Durehmesser d = \ bis 200
45
1—8. Bogenlängen, Bogenhöhen, Sehncnlängen und Kreisabschnitte für den
Radius 1
46
1—9. Länge der Kreisbogen für den Radius 1
48
1-10. Elliptisches Integral I. Gattung F(<p, k), k = sin «
52
1-11. Elliptisches Integral I I . Gattung E{(p, k), k = sin x
53
1-12. Vollständige elliptische Integrale
54
I-13. Binomialkoeffizienten (
] bis ( )
\ 1 /
\15/
1-14. Quadrat- und Kubikwurzeln einiger Brüche
1—15- Wichtige Zahlenwerte von TU, g und e
I—16. Verwandlung von altem Gradmaß in neue Winkelteilung (gon) . . . .
1-17. Verwandlung von neuer Winkelteilung (gon) in altes Gradmaß . . . .
1—18. Primzahlen und die nicht durch 2, 3 oder 5 teilbaren zusammengesetzten
Zahlen mit ihren kleinsten Faktoren unter 1 000
1-19. Vielfache von - , 1/rcu.ä
1-20. Einige Potenzen, Fakultäten und reziproke Fakultäten
1-21. Pythagoreische Zahlen
1--22. Lösungen einiger wichtiger transzendenter Gleichungen
I-23. Nullstellen der Bessel-Funktionen Jn(xk) — 0
,.
1—24. Besselsche Funktionen
1-25- Kugclfunktionen
1-26. Tschebyschcffschc Polynome
1—27. Gammafunktion
1-28. Fehlerfunktion
55
55
55
56
57
58
59
59
60
60
60
61
65
67
69
69
2. Arithmetik
2.1 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen
2.1.1 Potenzen
2.1.2 Binomischer Satz
2.1.3 Regeln über Binomialkoeffizienten
2.1.4 Wurzeln
2.1.5 Logarithmen
2.2 Komplexe Zahlen
2.3 Kombinatorik
2.3-1 Permutationen
2.3.2 Kombinationen
2.3.3 Variationen
70
70
70
70
71
72
72
73
73
75
76
VIII
Inhaltsverzeichnis
2.4 Algebraische Gleichungen
76
2.4.1 Quadratische Gleichungen
76
2.4.2 Gleichungen dritten Grades
77
2.4.3 Gleichungen vierten Grades
78
2.4.4 Gleichungen höheren Grades
782.4.5 Hurwitzsche Kriterien
78
2.4.6 Ganzzahlige Lösungen von Gleichungen (Diophantische Gleichungen)
79
2.5 Summenformeln
80
2.5-1 Arithmetische Reihen
80
2.5.2 Geometrische Reihen
80
2.5.3 Einige besondere Summen
80
2.6 Zinseszins- und Rentenrechnung
2.6.1 Zinseszins
2.6.2 Wiederholte Zahlungen
2.6.3 Tilgung einer Schuld
81
81
81
83
3. Kreis- und Hyperbelfunktionen
3.1 Kreisfunktionen (trigonometrische Funktionen)
3-1.1 Winkeleinheiten, Definitionen
3.1.2 Beziehungen zwischen den Funktionen desselben Winkels . . .
3.1.3 Beziehungen zwischen den Funktionen zweier Winkel
3-1.4 Funktionen von Vielfachen und Teilen eines Winkels
3-1-5 Potenzen von Sinus und Cosinus
3-1.6 Arcusfunktionen
3.1.7 Beziehungen zwischen den Funktionen dreier Winkel a, ß, y, für
die « + ß + y = 180° ist
3.2 Ebene Dreiecke
3.2.1 Allgemeine Formeln
3.2.2 Rechtwinklige Dreiecke
3.2.3 Näherungsformeln für ebene Dreiecke
3.2.4 Schiefwinklige Dreiecke
3.3 Kugeldreiecke
3.3.1 Allgemeine Formeln
3.3.2 Rechtwinklige Dreiecke
3.3.3 Näherungsformeln für Kugeldreiecke
3.3.4 Kürzeste Entfernung zweier Erdpunkte
3.4 Hyperbelfunktionen
3.5 Zusammenhänge zwischen Kreis-, Hyperbel-, Exponentialfunktionen und
ihren Umkehrungen im Komplexen
84
84
85
85
86
87
88
89
89
89
90
90
91
91
92
93
93
93
93
95
4. Differential- und Integralrechnung
4.1 Grenzwerte
4.1.1 Eine Folge von Zahlen
4.1.2 Limes einer Funktion
4.1-3 Besondere Grenzwerte
4.1.4 Asymptotische Näherungen
4.2 Unendliche Reihen
4.2.1 Konvergenz
4.2.2 Binomische Reihe und Sonderfälle
4.2.3 Exponential- und logarithmischc Reihen
97
97
97
97
97
98
98
99
100
Inhaltsverzeichnis
4-2.4
4.2.5
4.2.6
Reihen für Kreisfunktionen, Arcusfunktionen und Hyperbelfunktionen
. . . . .
Rechnen mit Potenzreihen
. 1 Produkt zweier Potenzreihen
.2 Quotient zweier Potenzreihen
.3 Potenzen einer Potenzreihe
.4 Umkehrung einer Potenzreihe
Einige andere unendliche Reihen und Produkte. Bernoullische und
Eulersche Zahlen
4-3 Differentialrechnung
4-3-1 Stetigkeit, Differenzierbarkeit
4-3.2 Differentiationsregeln
4.3.3 Ableitungen der elementaren Funktionen
4.3.4 Ableitungen höherer Ordnung
4.3.5 Partielle Ableitungen, totale Differentiale
4.3.6 Unentwickelte (implizite) Funktionen
4.3.7 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel
.1 Mittelwertsatz
.2 Taylorsche Formel
.3 Taylorsche Reihe
.4 Taylorsche Formel für zwei Veränderliche
4.3.8 Unbestimmte Formen
4.3.9 Maxima und Minima
.1 Funktion einer Veränderlichen
.2 Funktion zweier oder mehrerer Veränderlicher
IX
101
102
102
102
102
103
103
106
106
106
106
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107
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109
109
109
109
109
110
110
110
111
4-4 Integralrechnung
111
4.4.1 Allgemeine Integrationsregeln
111
4-4.2 Unbestimmte Grundintegrale
112
4.4.3 Integration rationaler Funktionen
112
.1 Integrationsmethode
112
.2 Besondere Integrale
. . . . . 1 1 3
4.4.4 Integrale einiger irrationaler Funktionen
115
4-4-5 Integrale transzendenter Funktionen
117
4-4.6 Bestimmte Integrale
122
.1 Definition
122
.2 Regeln
123
.3 Mittelwertsatz der Integralrechnung
123
.4 Uneigentliche Integrale
123
.5 Die Deltafunktion von Dirac
123
.6 Ungleichungen
124
.7 Spezielle bestimmte Integrale
124
4.4.7 Einige Integrale, die sich nicht auf elementare Funktionen zurückführen lassen. Integration durch Reihenentwicklung
132
.1 Integralsinus und Integralcosinus
132
.2 Hyperbolischer Integralsinus und Integralcosinus
132
.3 Integrallogarithmus und Exponentialintegral
133
.4 Gaußsches Fehlerintegral und Krampsche Transzendente . . 133
.5 Fresnelsche Integrale
133
.6 Gammafunktion und verwandte Funktion2n (Gaußsche Piund Psi-Funktion und Betafunktion)
135
. 7 Elliptische Integrale
136
.8 Legendresche Normalform
136
.9 Reduktion elliptischer Integrale
137
.10 Die elliptischen Integrale in der Legendreschen Normalform
138.11 Elliptische Funktionen von Jacobi
139
.12 Weierstraßsche Normalform und Weierstraßsche Funktionen 140
X
Inhaltsverzeichnis
.13 Thetafunktionen
Mehrfache Integrale, Differentiation nach einem Parameter . . .
.1 Doppelintegral
.2 Dreifaches Integral
.3 Vertauschung der Integrationsvariablen
.4 Linienintegrale, Flächehintegrale, Gaußscher und Stokesscher
Integralsatz
.5 Differentiation eines Integrals
4-5 Fouriersche Reihen
4-5-1 Periodische Vorgänge
4.5-2 Andere Formeln der Koeffizienten
4-5-3 Besondere Entwicklungen
4.5-4 Fourier-Entwicklungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher
4.4-8
142
143
143
143
143
143
143
143
143
144
145
148
5. Lineare Vektoralgebra
5.1 Vektoren
5.1.1 Ortsvektor
5.1.2 Freie Vektoren
5.1.3 Physikalische Begriffe
5.1.4 Addition
5.1.5 Multiplikation mit Skalaren
5.1.6 Lineare Abhängigkeit, Dimension
5.1.7 Inneres Produkt
5.1.8 Einheitsvektoren
5.1.9 Dreibeine
5.1.10 Äußeres Produkt
5.1.11 Spatprodukt
5.1.12 Formeln
5.1.13 Ebene Vektoren
149
149
149
149
149
149
150
150
151
151
151
152
152
153
5.2 Koordinaten
5.2.1 Koordinatensystem
5.2.2 Radiusvektor
5.2.3 Kartesische Koordinaten
5-2.4 Rechenoperationen in Koordinaten
5.2.5 Richtung im Raum
5-2.6 Koordinatentransformation
5.2.7 Koordinaten in der Ebene
153
153
153
153
154
154
154
155
•
5.3 Matrizen, Determinanten
5.3.1 Systeme von n Zahlen
5.3.2 Matrizen
5.3.3 Rechenoperationen mit Matrizen
5.j.4 Transponierte
5.3.5 Einheitsmatrix
5.3.6 Determinanten . . . . ;
5.3-7 Grundregeln
5.3.S Weitere Rechenregeln
5.3.9 Unterdeterminanten
5.310 Entwicklungssatz
5.3.H Inverse Matrix
5.3.12 Praktische Berechnung von Determinanten
5-4 Systeme von linearen Gleichungen
155
155
156
156
157
157
157
158
158
159
159
159
159
160
5-5 Tensoren
5-5-1 Linearformen
5-5-2 Tensoren höherer Stufe
161
161
161
Inhaltsverzeichnis
5-5-3
5.5.4
5.5.5
5.5.6
5.5.7
Transformation der Tensorkomponenten
Symmetrische Tensoren
Antisymmetrische Tensoren
Beispiele
Lineare Transformation
XI
161
161
162
162
162
6. Vektoranalysis
6.1 Differentialoperationen, Integrale
6.1.1 Vektorfunktionen
6.1.2 Differentiationsregeln
6.1.3 Skalare Felder
6.1.4 Vektorfelder
6.1.5 Tensorfelder
6.1.6 Linienintegral
6.1.7 Flächenintegral
6.1.8 Räumliches Integral
6.1.9 Differentiale von Feldern
6.1.10 Gradient
6.1.11 Divergenz
6.1.12 Rotation
6.1.13 V-Rechnung
6.1.14 Regeln
6.1.15 Mehrfache Anwendung der Differentiationsoperatoren
6.1.16 Weitere Formeln
6.2 Integralsätze
6.2.1 Satz von Stokes
6.2.2 Satz von Gauß
6.2.3 Greensche Sätze
6.2.4 Spezialfälle
6.2-5 Wirbelfreie Felder
6.2.6 Quellenfreie Felder
6.2.7 Helmholtzscher Vektorzerlegungssatz
6.3 Krummlinige Koordinaten
6.3.I Allgemeines
6-3-2 Transformation von dreifachen Integralen
6.3-3 Orthogonale Koordinaten
6-3-4 Linienelement, Volumenelement
6.3.5 Betrachtungen für die Ebene
6.3.6 Differentiationsoperationen
6.3.7 Zylinderkoordinaten
6.3.8 Kugelkoordinaten
163
163
163
163
163
164
164
164
164
164
165
165
165
165
166
166
166
167
167
167
167
167
167
168
168
168
168
168
169
169
170
170
171
172
7. Analytische Geometrie
7.1 Punkt
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.1.5
7.1.6
7.1.7
7.1.8
7.1.9
und Gerade in der Ebene
Abstand
Richtung
Teilpunkt
Gerade Linie
Bestimmung der Gleichung einer Geraden
Hessesche Normalform
Abstand
Schnittwinkel
Dreieck
173
173
173
173
173
174
174
174
174
175
XII
Inhaltsverzeichnis
7.2 Punkt, Ebene und Gerade im Raum
7-2.1 Abstand
7.2.2 Richtung
7.2.3 Teilpunkt
7.2.4 Ebene
7.2.5 Hessesche Normalform
7-2.6 Bestimmung der Gleichung einer Ebene
7.2.7 Abstand
7.2.8 Winkel
7.2.9 Gerade
7.2.10 Gleichung der Geraden
7.2.11 Zwei Geraden
7.2.12 Tetraeder
175
175
175
175
175
175
176
176
176
176
176
177
177
7-3 Kegelschnitte
7.3.1 Allgemeine Sätze
.1 Kurven
.2 Artender Kegelschnitte
.3 Mittelpunkt
.4 Gleichung eines KS. ohne Mittelpunkt
.5 Halbachsen und Halbparameter
.6 Geometrische Erklärung der KS
7-3-2 Spezielle Gleichungen und Konstruktionen
.1 Kreis
.2 Ellipse und Hyperbel
.3 Parabel . . . "
177
177
177
177
178
178
178
178
179
179,
179
184
7.4 Flächen zweiter Ordnung
7.4.1 Flächen
7.4.2 Arten der Flächen
7.4.3 Mittelpunkt
7.4.4 Normalformen
7.4.5 Kegel
7-4.6 Kugel
7.4.7 Paraboloide
7.4.8 Zylinder
186
186
186
187
187
187
188
188
188
7.5 Kurven in der Ebene
7.5.1 Allgemeine Sätze
.1 Kurve
.2 Bogenlänge
.3 Tangente
.4 Normale
.5 Krümmung
.6 Evolute
.7 Wende-und Flachpunkt
.8 Singuläre Punkte
.9 Flächeninhalt
.10 Einhüllende Kurve
.11 Trajektorie
.12 Asymptote
7.5.2 Spezielle Kurven
.1 Kubische und semikubische Parabel
.2 Zykloiden (Radlinien)
.3 Epizykloide und Hypozykloide
.4 Kreisevolvente
.5 Kettenlinie und Schleppkurve (Traktrix)
.6 Archimedische Spirale
188
188
188
188
189
189
189
190
191
191
191
191
191
192
193
193
193
194
196
197
198
Inhaltsverzeichnis
.7
.8
.9
Hyperbolische Spirale
Logarithmische Spirale
Gleichungen einiger anderer Kurven
XIII
199
199
200
7-6 Kurven im Raum
7.6.1 Allgemeine Sätze
.1 Kurve
.2 Bogenlänge
.3 Tangente
.4 Begleitendes Dreibein
.5 Besondere Ebenen
.6 Torsion
• 7 Frenetsche Formeln
7.6.2 Gewöhnliche Schraubenlinie
.1 Definition
• 2 Projektionen der Schraubenlinie
• 3 Bogenelement
.4 Tangentenvektor
• 5 Krümmung
.6 Windung
.7 Konstruktion der Projektion der Schraubenlinie
202
202
202
202
203
203
203
203
203
204
204
204
204
204
204
204
204
7.7 Flächen im Raum
7.7.I Allgemeine Sätze
.1 Koordinatennetz
.2 Erste Fundamentalform
.3 Tangentialebene
.4 Winkel zweier Flächenkurven
.5 Flächeninhalt
.6 Zweite Fundamentalform
. 7 Satz von Meusnier
.8 Hauptkrümmungen
.9 Satz von Euler
.10 Theorema egregium von Gauß
. 11 Dupinsche Indikatrix
.12 Krümmungslinien
.13 Dreifaches Orthogonalsystem
7-7-2 Schraubenflächen
.1 Allgemeine Schraubenfläche
.2 Sonderfälle
• 3 Quadrat des Linienelements
.4 Wendelfläche
. 5 Vektor der Flächennormale
.6 Mittlere und Gaußsche Krümmung
• 7 Flächeninhalt
204
204
204
205
205
206
206
206
207
207
207
208
208
208
208
208
208
208
209
209
209
209
209
8. Funktionen einer komplexen Veränderlichen
8-1 Gaußsche Zahlenebene
8.1.1 Allgemeines
8.1.2 Einheitsvektoren
8.1.3 Rechenoperationen
8-1.4 Geometrische Deutung
8-1.5 Schwingungen
210
210
210
210
211
212
8-2 Analytische Funktionen einer komplexen Veränderlichen, konforme Abbildung
212
XIV
Inhaltsverzeichnis
8.2.1
Grundlagen
.1 Analytische oder reguläre Funktionen
.2 Konforme Abbildung
• 3 Riemannscher Abbildungssatz
8.2.2 Integration im Komplexen
.1 Erklärung des bestimmten Integrals
.2 Cauchyscher Integralsatz (Hauptsatz der Funktionentheorie)
• 3 Cauchysche Integralformel und das Poissonsche Integral .
.4 Entwicklung analytischer Funktionen
• 5 Laurent-Reihen
.6 Singularitäten
-7 Residuum
.8 Das Prinzip der analytischen Fortsetzung
8.2.3 Einige besondere konforme Abbildungen
212
212
213
213
214
214
214
.214
215
215
215
215
216
216
9. Differentialgleichungen
9.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
9.1.1 Allgemeine Sätze
.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen
.2 Differentialgleichung M-ter Ordnung
.3 Differentialgleichung erster Ordnung
9.1.2 Spezielle Fälle
.1 Trennung der Veränderlichen
.2 Exakte Differentialgleichungen
• 3 Integrierender Faktor
.4 Homogene Differentialgleichungen
.5 Lineare Differentialgleichung
.6 Bernoullische Differentialgleichung
.7 Riccatische Differentialgleichung
.8 Verfahren der wiederholten Differentiation
.9 Singuläre Lösungen
.10 Clairautsche Differentialgleichung
.11 Besondere Fälle
9.1.3 Lineare Differentialgleichungen
.1 Definition
.2 Homogene Differentialgleichung
.3 Reduktion der Ordnung
.4 Inhomogene Differentialgleichung
. 5 Variation der Konstanten
.6 Konstante Koeffizienten
.7 Eulersche Differentialgleichung
9.1.4 Systeme von Differentialgleichungen (gekoppelte Differentialgleichungen)
.1 Definition
.2 Das allgemeine Integral
.3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten
9.1.5 Spezielle lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung . . . .
.1 Potenzreihenansatz im allgemeinen
.2 Hypergeometrische Differentialgleichung
.3 Legendresche Differentialgleichung
.4 Differentialgleichung der Kugelfunktionen
.5 Differentialgleichung der Tschebyscheffschen Polynome . . .
.6 Differentialgleichung der Hermiteschen Polynome
.7 Differentialgleichung der Laguerreschen Polynome
.8 Konfluente hypergeometrische und Whittakersche Differentialgleichung
219
219
219
219'
219
220
220
220
220
220
220
221
221
221
221
221
221
222
222
222
222
223
224
224
225
226
226
226
226227
227
228
229
230
230
232
232
233.
Inhaltsverzeichnis
XV
.9 Besselsche Differentialgleichung und Besselsche Funktionen . 233
.10 Mathieusche Differentialgleichung
241
9-2 Partielle Differentialgleichungen
9-2.1 Allgemeine Sätze
.1 Begriff der partiellen Differentialgleichung
.2 Partielle Differentialgleichung m-ter Ordnung
.3 Besondere Formen der partiellen Differentialgleichungen
9.2.2 Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
.1 Quasilineare Gleichungen
.2 Allgemeine Gleichung
.3 Anfangswertproblem
9.2.3 Partielle Differentialgleichungen
.1 Normalformen
.2 Verfahren der Trennung der Variablen
.3 Anfangs- und Randbedingungen
.4 Besondere partielle Differentialgleichungen
• 5 Operatorenrechnung und Laplace-Transformation
245
245
245
245
. . 245
245
245
245
246
246
246
247
247
248
253
9.3 Randwertprobleme, Variationsrechnung
9.3.1 Rand- und Eigenwertprobleme
.1 Grundlagen
.2 Homogene und inhomogene Randwertprobleme
.3 Alternativsatz
.4 Eigenwertprobleme und Eigenfunktionen
.5 Das Sturm-Liouvillesche Randwertproblem und die Greensche
Funktion
9.3.2 Variationsrechnung
.1 Grundaufgabe
.2 Eulersche Differentialgleichung
• 3 Legendresche Bedingung
.4 Nebenbedingungen
.5 Allgemeine Eulersche Differentialgleichung
.6 Ritzsches Verfahren
.7 Zurückführung von Eigenwertproblemen auf Variationsprobleme
256
256
256
256
256
256
258
259
259
259
260
260
261
261
262
9.4 Integralgleichungen
263
9.4.1 Allgemeine Sätze
263
.1 Grundlagen
263
.2 Einfache Arten
263
• 3 Auflösung und Alternativsatz Fredholmscher Integralgleichungen
263
.4 Rand- und Eigenwertprobleme
264
9.4.2 Spezielle Fälle
265
10. Praktische Mathematik
101 Zahlenrechnen
268
10.1.1 Allgemeine Regeln zur Ausführung längerer Berechnungen . . . 268
10.1.2 Rechenhilfsmittel
268
10.1.3 Multiplikation und Division
268
10.1.4 Quadratwurzeln
268
10.1.5 n-te Wurzeln
268
10.1.6 Näherungsformeln
268
10.1-7 Fehlerrechnung
268
XVI
Inhaltsverzeichnis
10.2 Nomographie
10.2.1 Aufgabe der Nomographie
10.2.2 Funktionsnetze
10.2.3 Netztafeln
10.2.4 Fluchtlinientafeln
269
269
270
270
270
10.3 Interpolations- und Differenzenrechnung, analytische Darstellung tabellarischer Funktionen
272
10.3.1 Lagrangesche Interpolationsformel
272
10.3.2 Newtonsche Interpolationsformel
272
10.3.3 Differenzenschema
273
10.3.4 Newtonsche Formel bei gleichen Argumentabständen
273
10.3-5 Newtonsche Formel bei aufsteigenden Differenzen und andere
Formeln
273
IO.3.6 Spline-Interpolation
274
1O-3-7 Glätten einer Beobachtungsreihe
274
10.3.8 Tabellarische Differentiation und Integration
274
10.3.9 Berechnung des Wertes eines Polynoms
275
10.4 Rechnerische, zeichnerische und instrumenteile Verfahren der praktischen
Analysis
10.4.1 Zeichnerische und instrumenteile Verfahren
.1 Konstruktion des Wertes eines Polynoms
.2 Messungen und Konstruktionen an gezeichneten Kurven.
Bogenlänge
.3 Flächeninhalt
.4 Andere Maßbestimmungen durch bestimmte Integrale . . .
.5 Zeichnerische Integration
.6 Zeichnerische Differentiation
.7 Zweite Integralkurve
.8 Verfahren der zweifachen Integration unter Benutzung von
Schwerpunkten
.9 Zeichnerische Integration von Differentialgleichungen (DG)
I.Ordnung
.10 Gekoppelte Differentialgleichungen 1. Ordnung
.11 Differentialgleichungen 2. Ordnung
10.4.2 Auf lösung von Gleichungen
. 1 Lösung durch Näherungswert
.2 Zeichnerische Auflösung
.3 Verbesserung durch Interpolation (Regula falsi)
-4 Newtonsches Näherungsverfahren
-5 Verfahren des wiederholten Einsetzens (Iterationsverfahren) .
.6 Verfahren von Graeffe
.7 Eliminationsverfahren
10.4-3 Angenäherte Berechnung bestimmter Integrale
.1 Eulersche Summenformel
.2 Spezialfall
.3 Simpsonsche Regel
.4 Gaußsche Quadraturformel
.5 Tschebyscheff-Integration
.6 Romberg-Integration
10.4.4 Numerische Integration von Differentialgleichungen
. 1 Verfahren von Runge-Kutta
.2 Verfahren von Adams-Störmer
.3 Differenzenverfahren
.4 Systeme von Differentialgleichungen und Differentialgleichungen höherer Ordnung
275
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287
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288
289
289
292
Inhaltsverzeichnis
10.4.5
10.4.6
Approximation von analytisch bestimmten Funktionen
.1 Grundproblem
.2 Approximation kleinsten Aufwandes
.3 Allgemeinere Probleme
Harmonische Analyse
.1 Allgemeines
.2 Besselsche Formeln
.3 Verfahren von Runge
.4 Zeichnerisches Verfahren
.5 Verfahren von Eagle
XVII
. . . .
10.5 Parallelprojektion
299
299
301
301
302
302
303
303
304
304
304
11. Inhalte von Flächen und Körpern
11.1 Flächeninhalte F ebener Gebilde
11.2 Inhalte und Oberflächen von Körpern
307
310
12. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
12.1 Definitionen der mathematischen Wahrscheinlichkeit
12.1.1 Folgen der absoluten und relativen Häufigkeiten
12.1.2 Wahrscheinlichkeit
,,a posteriori" (nach E. Kamke)
12.1.3 LTnabhängigkeitsdefinition (nach E. Kamke)
12.1.4 Zulässige Stellenauswahl (nach R. v. Mises)
12.1.5 Regellosigkeit und Kollektiv (nach R. v. Mises)
12.1.6 Diskrete Wahrscheinlichkeit ,,a priori" (Klassische Definition) .
12.1.7 Vergleich der Wahrscheinlichkeit ,,a priori" mit der Wahrscheinlichkeit ,,a posteriori"
12.1.8 Kontinuierliche Wahrscheinlichkeit ,,a priori"
12.2 Grundgesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
12.2.1 Alternativwahrscheinlichkeit
12.2.2 Merkmalmischung
12.2.3 Additionsgesetz (,,Entweder-oder")
12.2.4 Folgenverbindung
12.2.5 Merkmalverbindung
12.2.6 Multiplikationsgesetz („Sowohl-als auch")
12.2.7 Teilung einer Ereignisfolge an einem Merkmal und Relativwahrscheinlichkeit
12.2.8 Divisionsgesetz (Bayessche Regel) und allgemeines Multiplikationsgesetz
12.3 Abgeleitete Sätze
12.3.1 Mathematische Hoffnung oder Mittelwert
12.3.2 Gesetz der großen Zahlen
12.3.3 Gaußsche Verteilung
12.3.4 Bernoullisches Theorem
12.3.5 Markoffsches Lemma
12.3.6 Poissonsches Theorem
12.4 Statistik und Fehlerrechnung
124-1 Anwendung der Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . .
12-4.2 Genauigkeit einer Messung
12.4-3 Systematische und zufällige Fehler
12.4.4 Fehlerarten
12.4.5 Mittelwert und Standardabweichung
12.4.6 Methode der kleinsten Quadrate
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333
334
334
337
XVIII
Inhaltsverzeichnis
12.4-7
12.4-8
12.4-9
12.4.10
12.4.11
Anwendungen
Die Laxissche Dispersionstheorie
Anwendung der Gauß-Laplaceschen Integralformel
Kontrollen
Weitere Hinweise
337
338
338
339
340
13. Rechnen auf digitalen Rechenautomaten
13.1 Algorithmus, Programm
13.2 Zahlensysteme
13.2.1 Darstellung von Zahlen
13.2.2 Spezielle Rechenoperationen
13.3 Rechenprozeß und Rechenautomat
13-4 Programmierung
13.4.1 Programmablauf, Programmsprachen, Übersetzung
13.4.2 Einiges zum Verständnis von ALGOL- und FORTRAN-Programmen
13.5 Sammlung einiger Algorithmen
13.5.1 ALGOL-Programm zur Berechnung eines Polynoms und seiner
Ableitung mittels des Horner-Schemas
13.5.2 FORTRAN-Programm zur Romberg-Integration
13.5.3 ALGOL-Programm zur Auflösung linearer Gleichungssysteme . .
13.5.4 ALGOL-Programm zur Matrizeninversion
13-5-5 ALGOL-Programm zum Jacobi-Verfahren
13.5.6 FORTRAN-Programm zum Graeffe-Verfahren
13.5.7 FORTRAN-Programm zum Verfahren von Runge-Kutta . . . .
13.5.8 ALGOL-Programm zur Lagrangeschen Interpolation
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Literaturverzeichnis
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Sachverzeichnis
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