Lösungen - Steffen Haschler

Folgen und Reihen
Aufgaben aus dem Buch
Lösungen
S.44 A7
a) a2 = 0.5(1.4 + 2/1.4) ≈ 2.82857. Rekursionsgleichung: an+1 = 0.5(an + 2/an ).
b) (1) an+1 = 0.5(an√+ 3/an ), a1 = 2, allgemein: an+1 = 0.5(an + k/an ) mit einem
Startwert a1 findet k.
S.44 A8 (wobei hier die Rekursionen teils Schwachsinn sind. Und sie starten
meist mit a1 .)
(n+1)·1
1
1
a) an = − n+1
, an+1 = − n+2
= − (n+1)·(n+2)
=−
n+1
1
an · n+2 , a1 = − 2 .
1
(n+1)· n+2
n+1
1
= − n+1
·
n+1
n+2
=
b) an = n3 , an+1 = (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 = an + 3n2 + 3n + 1, a1 = 1.
P
c) an = nk=0 2n , an+1 = an + 2n , a1 = 1.
d) an = (−1)n+1 · n, an+1 = (−1)n − an , a1 = 1.
e) an+1 = an /(−2), a1 = 16.
f) an = −3 − 8n, an+1 = an − 8, a0 = −3.
S.51 A4 (auch hier ist die Startzahl n = 1, daher ist in der Potenz ein n − 1!)
a) an = a1 · q n−1 = 6 · 3n−1 ⇒ a1 = 6, a2 = 6 · 32−1 = 18, a3 = 54, ..., a10 = 118098.
b) - c): einfach in die allgemeine Formel aus (a) a1 und q einsetzen und die Formel
steht. Dann rechnen...
S.51 A7: verwendet die Form aus A4!
a) a1 = 30, q = 40% = 40/100 = 0.4. Einsetzen.
S.54 A1: Lösen wir das mit dem gerade gelesenen Satz 2. ACHTUNG: Der Satz 2
lautet anders als unsere Formel auf dem Formelblatt, weil die mit a1 beginnen und
wir mit a0 ! Nachdenken!
a) Es gilt
∞
X
1
1
10
10
3, 3 = 3
( )k = 3 ·
= .
1 = 3·
10
9
3
1 − 10
k=0
b) Wie oben:
(2) 9/10 + 9/100 + ... = 9(1/10 + 1/100 + ...) =
P∞
k
k=1 (1/10)
P
k
4 ∞
k=1 (1/10)
(1) 4/10 + 4/100 + ... = 4(1/10 + 1/100 + ...) = 4
= 1/10 ·
10
9
= 4/9.
= 9/10 ·
10
9
= 1.
(3) Wie in (5), welche ich zuerst gelöst hatte: 2, 8888... = P
2 + 0.8888...
k
0.8888... = 8/10 + 8/100 + ... = 8(1/10 + 1/100 + ...) = 8 ∞
k=1 (1/10) =
8/10 · 10
= 8/9. Jetzt addieren wir 2 + 8/9 = (18 + 8)/9 = 26/9.
9
1
Folgen und Reihen
Aufgaben aus dem Buch
(4) 15/100 + 15/10000 + ... = 15(1/100 + (1/100)2 + ...) = 15
15/100 · 100
= 15/99.
99
P∞
k
k=1 (1/100)
=
(5) Das zerlegen wir einfach; in 2.78 + 0.005555.... Die hintere Zahl ist eigentlich
0.5555..., nur das die ersten beiden Stellen nach dem Kommer fehlen. Also
schreiben wir die Zahl noch einmal um:
2.785555... = 0.5555... + 2.78 − 0.55 = 0.5555... + 2.23. 0.5555... ist aber wie in (1)
zu lösen:
P
10
k
0.5555... = 5(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...) = 5( ∞
k=1 (1/10) = 5/10 · 9 = 5/9. Also
haben wir 2.875555... = 5/9 + 2.23 = 5/9 + 9 · 2.23/9 = 25.07/9 = 2507/900.
In der Aufgabe ist noch nach dem allgemeinen Glied gefragt; wir haben hier schon
den Limes n → ∞ betrachtet. Doch die Summe ist dann halt nicht a1 · (1/(1 − q)),
sondern a1 · (1 − q n )/(1 − q).
S.64 A4
3
a) an = n n+n
→
4
n3
n4
=
1
n
→ 0.
b) Zaehler → 3, N enner → 4 ⇒ a = 3/4.
c) Zaehler → n, N enner → n ⇒ a = n/n = 1.
d) Zaehler → 4n2 , N enner → 2n2 ⇒ a = 4n2 /2n2 = 2.
e) Zaehler → 5n2 , N enner → 2n2 ⇒ a = 5n2 /2n2 = 2.5.
f) Zaehler → 8n2 , N enner → 2n3 ⇒ mit 8n2 /2n3 → 4/n ⇒ a = 0.
g) Zaehler → 15n3 , N enner → 3n3 ⇒ a = 15n3 /3n3 = 5.
h) Zaehler → 12n4 , N enner → 6n4 ⇒ a = 12n4 /6n4 = 2.
S.64 A5: geht wie A4.
a) Zaehler → n, N enner → n2 ⇒ Bruch → 1/n ⇒ a = 0.
b) Zaehler → n2 , N enner → n ⇒ Bruch →⇒ a = ∞.
c) Zaehler → 2n, N enner → n2 ⇒ Bruch → 2/n ⇒ a = 0.
d) Zaehler → 1, N enner → 3 ⇒ Bruch → 1/3 ⇒ a = 1/3.
e) Zaehler → 2n2 , N enner → n2 ⇒ Bruch → 2n2 /n2 ⇒ a = 2.
f) Zaehler → 2n, N enner → n2 ⇒ Bruch → 2/n ⇒ a = 0.
√
√
g) Zaehler → n, N enner → n ⇒ Bruch → 1/1 ⇒ a = 1.
h) Zaehler → n, N enner → n2 ⇒ Bruch → 1/n ⇒ a = 0.
i) Zaehler → 2n , N enner → 2n ⇒ Bruch → 1/1 ⇒ a = 1.
j) an = n2 /n3 ⇒ Bruch → 1/n ⇒ a = 0.
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Folgen und Reihen
Aufgaben aus dem Buch
S.65 A1
Zählt man die Anzahl von Zeitintervallen, dann hat die Schildkröte scheinbar
immer einen Vorsprung. Das Problem ist, dass die Zeitintervalle selbst immer
kleiner werden. Praktisch ist es nicht ausführbar und theoretisch konvergiert die
Summe dieser Zeitintervalllängen gegen eine endliche Zahl, nach der Achill bei der
Schildkröte ist. Rechnung bitte selbst, die ist einfach.
S.70 A7: (streng) monoton wachsend = (s)mw, (streng) monoton fallend = (s)mf.
a) smf, b) smw, c) weder noch, d) smw,
e) weder noch: a1 = 4 − 1 = 3, a2 = 8 − 4 = 4 und dann geht es abwärts,
f) smw, g) weder noch, h) smw, i) smf, j) smw,
k) wegen a1 = 1 weder noch, sonst smf, l) smw.
S.70 A9
a) Also gegeben eine Folge an = a0 ∗ q n . Nun kann q > 1 sein, dann wächst die
Folge, bei 0 < q < 1 fällt sie. Aber bei negativem q haben wir ein alternierendes
Vorzeichen und die Folge hüpft. Bestes Beispiel: q = −1 ⇒ an = (−1)n .
b) Das hatten wir ja auch schon festgestellt; einfach an die Definition halten!
c) Für positive Zahlen ist das irgendwie klar. Für negative auch? nehmen wir mal
..., −5, −3, −1, 1, .... Dann ist diese Kehrwertfolge −1/3, −1/2, −1/1 = −1, 1/1 = 1,
was nicht mehr hinhaut. Der Satz ist so nicht richtig.
S.70 A13: bei diesen Aufgaben hilft Euch der GTR zum Anschauen der Folgen.
Versucht das mal ab und an.
(k)os = (kleinste) obere Schranke, (g)us= (größte) untere Schranke
a) −2 < an < 2, wobei 2, −2 die gefragten kleinste obere/größte untere Schranken
sind. Weitere obere bsp. 5,10,100.
b) kos = 5, os = 10, 100, 1000; gus = 0, us = -10, -100, -1000
n
c) Das ist ja irgend so eine n+1
-Folge. Die geht aber gegen 1. Also: kos = 1, os =
10, 100, 1000; gus = 3/4, us = 0, -10, -100.
d) Da gibt’s nichts; es laufen die Zahlen in beide Richtungen davon; gegen ±∞. e)
Oben gibt’s nichts, weil die Zahl vor dem Komma immer weiter wächst. Nach
unten ist die gus = 0.9. Weitere us = -10, -100, -1000.
f) Die Folge geht alternierend gegen
Null:
h
i
1
1
1
1n
1 n
an = (−3)n = (−1·3)n = (−1)n · 1 = (−1)n · 31n = ( −1
) + 31n = (−1)n · 31n und da
3n
steht es. Nur damit Ihr seht, wie man das rechnet, ist aber nicht so wichtig.
Zur Aufgabe: kos = 1, gus = -1/3, was man mit Bilden von a0 und a1 findet, denn
danach zieht sich die Folge auf die Null zusammen und kommt sicher nicht mehr
über diese Werte. Weiter Schranken findet Ihr leicht selbst.
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Folgen und Reihen
Aufgaben aus dem Buch
g) 2 < an < 3, das sind auch die besonderen. h) Nach oben ist es für n=1 die 0,
darüber sind die anderen Schranken. Unten gibt es keine, denn das ist ja wie eine
nach unten geöffnete Parabel und die geht gegen −∞!
i) Da betrachtet man erst einmal, was unter der Wurzel steht, die Wurzel-Funktion
wurzelt nur noch die Zahl drunter. 1 − 1/n ist aber einfach; es ist anfangs 0, wächst
aber bis auf 1. Die Wurzelfunktion wurzelt 0 und 1, lässt sie aber unverändert.
Also das war es auch schon. j) Da kürzt man und es ist an = 1 − n. Die Folge ist,
falls n=0 zugelassen ist, mit 1 beschränkt, bei n=1 als Start eben mit 0.
k) Hier macht man sich erst einmal klar, was diese Klammer hinten wirklich tut:
entweder, n ist gerade, dann gilt 1 + 1 = 2 oder n ist ungerade, dann ist
(1 − 1 = 0). Also haben wir bei geradem n folgendes: an = n/2 · 2 = n und sonst
liefert die Folge eine 0: 0,2,0,4,0,6,0,8,...! Damit ist klar, das nach oben keine
Schranke da ist und nach unten die gus = 0 ist.
l) Hier haut n2 − 1 einfach ab. Das es gewurzelt wird, tut nichts zur Sache. Also
gibt es für den Startwert n = 1 (wir sind halt im Buch) eine gus = 0.
m) Der Grenzwert 0 und damit die gus ist klar. Die kos ist mit n = 1 gegeben, was
mit probieren klar wird. Dumme Aufgabe, wie auch die (o)!
n) Die Folge geht gegen 1. Das ist also schon mal die kos. Da sie mit 1/2 startet
und dann monoton wächst, ist gus = 0.5.
o) Die Folge ist schwierig. Man weiß, dass sie gegen gus = 0 geht. Nach oben findet
man entweder mit Kurvendiskussion oder mit Probieren für n = 2 den
Maximalwert a2 = 13/4. Das ist die kos.
S.71 A17: wie S.54 A1!
Da wir das schon gemacht haben, nur ganz kurz: in jedem Schritt kommen
irgendwelche Zahlen dazu. Also ms. Eine Schranke findet man einfach, wenn man
die Zahl vor dem Komma hochsetzt, denn die ändert sich bei diesen Folgen sicher
nicht mehr. Die (b) ist für die Klausur unwichtig und gar nicht so leicht. Eigentlich
kann man das nur so beantworten: Weil wir wollen, dass es so ist.“ Es handelt
”
sich hier nämlich um ein Axiom.
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