Blatt 8

30. November 2015
T2 - Quantenmechanik I
WS 15/16 - Prof. Scrinzi
Übungsblatt 8
8.1: (T) Harmonischer Oszillator: Leiteroperatoren (Teil 1)
Motivation: Die meisten interessanten Potentiale besitzen keine einfache symmetrische Struktur, sondern sind von komplizierter Form mit vielen lokalen Maxima, Minima und Polstellen.
Häufig interessiert man sich aber nur für das Verhalten eines Teilchens in der unmittelbaren
Umgebung einer Gleichgewichtslage. In diesem Fall bietet sich eine Taylorentwicklung um das
entsprechende lokale Minimum an, die man als harmonische Näherung bezeichnet, wenn man
nur bis zur quadratischen Ordnung der Auslenkung entwickelt. Man approximiert also das
allgemeine Potential durch das Potential des harmonischen Oszillators.
b : H → H gegeben durch
Es sei nun also der Hamiltonoperator H
2
b = pb + 1 mω 2 x
b2
H
2m 2
(1)
mit H = L2 (R). Dieser lässt sich auch elegant durch Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren darstellen, welche ein Beispiel für nicht normale Operatoren sind, siehe Aufgabe 5.4. Fast
immer ist es von Vorteil mit diesen ”Leiteroperatoren” zu rechnen (anstatt mit Orts- und
Impulsoperator).
Es sei der Vernichtungsoperator definiert zu
1
(mωb
x + ib
p)
b
a= √
2~mω
(2)
und der Erzeugungsoperator ist b
a† .
(a) Stelle Orts- und Impulsoperator mit den Leiteroperatoren dar.
(b) Berechne [b
a, b
a† ].
b =b
Der sogenannte Anzahloperator ist definiert zu N
a† b
a. (Die Bedeutung des Namens wird erst
in Vielteilchentheorien ersichtlich, dort repräsentiert der Anzahloperator tatsächlich die Anzahl
der Teilchen. Da haben die Namen Erzeugungs- und Vernichtungsoperator auch eine direktere
Bedeutung: Teilchen werden erzeugt bzw. vernichtet.)
b hermitesch ist.
(c) Zeige, dass N
(d) Stelle den Hamiltonoperator durch die Leiteroperatoren dar.
b, b
b, b
(e) Berechne [N
a† ] und [N
a].
b mit Eigenenergie E.
Es sei |φi ein Eigenzustand von H
(f ) Zeige, dass das Energiespektrum nach unten beschränkt ist, also dass E positiv sein muss.
1
b ist, und zwar mit Eigenenergie E + ~ω.
(g) Zeige, dass b
a† |φi wieder ein Eigenzustand von H
(h) Zeige, dass b
a|φi entweder wieder ein Eigenzustand mit Eigenenergie E − ~ω ist, oder
verschwindet.
Durch mehrmaliges Anwenden des Vernichtungsoperators b
a werden Eigenzustände erzeugt, die
jeweils eine um ~ω reduzierte Eigenenergie besitzen. Da aber keine negativen Eigenenergien
existieren (Punkt f) muss irgendwann gelten:
b
a|φ0 i = 0
(3)
(i) Berechne die Lösung dieser Gleichung in Ortsdarstellung, finde also die Grundzustandswellenfunktion φ0 (x). Ist diese Lösung eindeutig? (Die Bezeichnung Grundzustand ist hier
noch voreilig, nach der Aufgabe ”Harmonischer Oszillator: Leiteroperatoren (Teil 2)” auf
dem nächsten Blatt aber dann gerechtfertigt.)
(j) Berechne die Grundzustandsenergie E0 .
(k) Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man bei einer Ortsmessung eines Teilchens im
Grundzustand im klassisch verbotenen Bereich?
8.2: (T) Hermite-Polynome
Motivation: Die Hermite-Polynome sind ein Beispiel für orthogonale Polynome (andere wichtige orthogonale Polynome sind Legendre-Polynome und Laguerre-Polynome). Die HermitePolynome mal einer Gauss-Funktion sind die Eigenzustände des harmonischen Oszillators, welche ein Beispiel fuer eine abzählbare Basis auf L2 (R) sind.
Die Hermite-Polynome Hn : R → R seien definiert durch die generierende Funktion
X sn
n≥0
n!
Hn (z) := e−s
2 +2sz
(4)
wobei s ∈ R beliebig.
(a) Zeige, dass die Hn die Differentialgleichung ∂z2 − 2z∂z + 2n Hn (z) = 0 erfüllen.
(b) Zeige, dass für alle n ∈ N und z ∈ R die Rekursionsrelationen
∂z Hn (z) = 2nHn−1 (z)
(5)
Hn+1 (z) = 2zHn (z) − 2nHn−1 (z)
(6)
und
gelten.
(c) Zeige die Orthogonalitätsrelation:
Z
√
2
dz e−z Hn (z)Hm (z) = π2n n!δnm .
R
2
2
(d) Zeige, dass folgende Darstellung gilt: Hn (z) = ez (−∂z )n e−z .
(Hinweis: Benutze den Binomischen Lehrsatz)
2
(7)
8.3: (T) Entwicklung in Eigenzustände des harmonischen Oszillators
Motivation: Eine beliebige Wellenfunktion |ψi auf L2 (R) lässt sich in der ”Ortsbasis” schreiben:
Z
|ψi = dx ψ(x)|xi
Dabei werden die Entwicklungkoeffizienten ψ(x) oft auch Ortswellenfunktion genannt. Völlig
analog kann man |ψi auch in der “Impulsbasis” oder allgemein in der Eigenbasis eines beliebigen
Operators schreiben:
Z
Z
X
|ψi = dk ψ̃(k)|ki =
da ψ (a)|ai.
σ(Â)
Im Falle des harmonischen Oszillators (gegeben durch Gleichung (1)) gibt es nur diskretes
Spektrum mit den Eigenzuständen {|φn i}n∈N0 . (Wir wissen durch die Spektraldarstellung, dass
alle |φn i normierbar sind, also ∈ H.) Sie sind ein Beispiel für eine abzählbare Basis (L2 (R) ist
separabel):
X
|ψi =
ψn |φn i
(8)
n
mit
φn (x) =
mω 41
~π
1
(2n n!)− 2 Hn (z)e−z
2 /2
p
und z = x mω/~. Hier wollen wir ein konkretes |Ψi in dieser Basis darstellen.
Es sei also
mω 41
2
Ψ(x) =
e−(z−z0 ) /2
~π
p
mit z0 = x0 mω/~.
(9)
(10)
(a) Verwende Aufgabe 8.2 um zu zeigen, dass
mω 14 X 1 z n 2
2
0
Ψ(x) =
e−z0 /4 Hn (z)e−z /2 .
~π
n! 2
n
b (siehe Auf(b) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer Messung des Anzahloperators N
gabe 8.1) den Wert n zu messen gegeben ist durch
1 z02 n −z02 /2
e
.
Pn =
n! 2
(c) Verifiziere, dass
P
n
b im Zustand |Ψi.
Pn = 1 und berechne den Erwartungswert von N
8.4: (Z) Gültigkeit der harmonischen Approximation
Motivation: Approximationen sind ein wichtiges Instrument der theoretischen Physik. Ebenso
wichtig ist es, den Geltungsbereich von Approximationen zu kennen. Hier ein Beispiel: die
harmonische Approximation wird gültig sein, solange das Potential im Bereich, in dem die
Eigenzustände wesentlich von 0 verschieden sind, tatsächlich wenig vom harmonischen Potential
3
abweicht.
00
Betrachte nun das Potential V (x) = V2 x2 + αx4 . In harmonischer Näherung vernachlässigt
man den x4 -Term, die Eigenzustände in dieser Näherung sind also genau die Eigenzustände des
harmonischen Oszillators. Wir wollen den Fehler dieser Approximation abschätzen. Wir nehmen
als Indiz für den Fehler die Abweichung der Energie von der Eigenenergie En des harmonischen
Oszillators.
(a) Was sind die Einheiten von V 00 und von α?
Kann man, analog zu Aufgabe 3.6, den Hamiltonoperator in eine Form bringen in der nur
eine Skala existiert?
(b) Wie sehen die Eigenzustände φn des harmonischen Teils aus, also wie modifizieren sich
00
b harm = pb2 +Vharm (b
x), Vharm (x) = V2 x2 )
die Vorfaktoren (m, ω, ~, . . . ) in Gleichung (9)? (H
2m
Wie sehen die Eigenenergien En aus?
q
00 14
00 81
mV
~2 V 00
− 12
−z 2 /2
n
H
(z)e
mit
z
=
x
Ergebnis: φn (x) = mV
(2
n!)
und
E
=
(n + 21 ).
n
n
~2 π 2
~2
m
(c) Berechne den ”relativen Fehler” En =
hφn |αx4 |φn i
.
En
(Verwende Aufgabe 8.2 b-c)
α~
b n i um mehr als 10% von En ab, also ab
(d) Für √mV
= 0.02: Ab welchem n weicht hφn |H|φ
003
wann ist En > 0.1?
1
(e) Für √α~
= 2 · 10−17 kg 2 : Bei welcher Masse m überschreitet der relative Fehler der
V 003
Grundzustandsenergie die 10%?
Vergleiche das Ergebnis mit der Masse eines Elektrons.
8.5: (Z) Endlich tiefer Potentialtopf: Streuzustände
Motivation: Die explizite Berechnung von Zuständen im Kontinuum ist zumeist mühsam.
Anmerkung: Diese Zustände nennt man auch: Streuzustände, Streulösungen, ungebunde Zustände,
Zustände des kontinuierlichen Spektrums oder kontinuierliche Zustände. Wir haben dabei von
Eigenfunktionen (oder Eigenzuständen) geredet, um sie von den spezielleren, normierbaren
Eigenvektoren zu unterscheiden. Eigenfunktionen müssen nicht normierbar sein. Jeder Eigenvektor ist auch eine Eigenfunktion, aber nicht umgekehrt.
Hier beginnen wir uns darin zu üben. Wir lernen dabei eine Phase ϕ kennen, die Streuphase,
deren Energieabhängigkeit hier und auch in wesentlichen komplexeren Situationen die essentielle
Information über Streuprozesse beinhaltet.
Betrachte zunächst Eigenfunktionen, die nicht δ(E − E 0 ) normiert sein müssen.
b = pb2 + V (b
x). Zeige, dass φ∗E
(a) Sei φE ein beliebiger Eigenzustand des Hamiltonoperators H
2m
b nur reelle
ebenfalls ein Eigenzustand zum gleichen Energiewert E ist. (Benutze, dass H
Größen enthält.) Schliesse daraus, dass man φE immer reell wählen kann, das gilt auch
für φE (x) mit gerader Parität.
In der Vorlesung (siehe auch ”Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums” im Skript)
wurden die symmetrischen Lösungen für den endlich tiefen Potentialtopf behandelt:

ik0 x

+ Be−ik0 x für x < −a
Ae
(+)
ΦE (x) = 2C cos kx
(11)
für |x| < a,

 ik0 x
Be
+ Ae−ik0 x für x > a
4
mit k0 =
p
√
2m(E − V0 ) und k = 2mE.
(b) Zeige, dass für beliebige Eigenzustände (also auch die kontinuierlichen) des endlichen
Potentialtopfs gelten muss, dass Funktionswert und erste Ableitung überall stetig sind.
Hinweis: in der Vorlesung wurde dies durch formelles Anwenden von −∂x2 gezeigt. Man
kann es aber auch über Integration machen, dabei wird das Verhalten von der Wellenfunktion an einer Stelle x0 ermittelt, indem man über einen Bereich um diese Stelle Integriert
und dann den Maß des Bereichs gegen Null gehen lässt:
Z x0 +
Z x0 +
b
H(x)ψ(x)dx
= lim
Eψ(x)dx
lim
→0
→0
x0 −
x0 −
Wende beide Argumente an.
(+)
(c) Zeige, dass für die reelle Wahl für ΦE gilt: A = B ∗ . Schreibe A = F eiϕ mit F, ϕ ∈ R.
(d) Nutze die Stetigkeitsbedingungen um eine Gleichung für ϕ zu erhalten. Zeige, dass diese
Gleichung für alle 0 < k0 < k eine eindeutige Lösung hat für ϕ ∈ [−π/2, π/2].
5