Keplersche Gesetze 2

Die Keplerschen Gesetze
==================================================================
Astronomische Daten, die bei den folgenden Berechnungen verwendet werden dürfen:
Große Halbachse Sonne-Erde: 1 astronomische Einheit = 1 AE = 149,6 ⋅ 106 km
Mittlerer Erdradius: 6370 km
Erdmond: Umlaufdauer um die Erde: 27,1 Tage; mittlerer Abstand zur Erde: 384 000 km
1. Der Planet Mars benötigt für einen Umlauf um die Sonne 1,88 Jahre.
Bestimmen Sie ungefähr die maximale und die minimale Entfernung von Erde und Mars.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ein NAVSTAR-Satellit des GPS umkreist die Erde in einer Höhe von 20183 km.
Bestimmen Sie die Umlaufzeit dieses Satelliten.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Ein Satellit umkreist die Erde in 220 km Höhe auf einer äquatorialen Bahn.
a) Berechnen Sie die Umlaufsdauer um der Erde.
b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit des Satelliten bezogen auf die Erde und vergleichen Sie diesen Wert mit der Bahngeschwindigkeit der Erde bei deren Umlauf um die
Sonne.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. In welcher Höhe über der Erde muss sich ein Fernsehsatellit wie z.B. Astra 1L befinden?
Beachten Sie, dass sich der Satellit für einen Beobachter von der Erde aus immer an der
gleichen Stelle befinden muss. Man spricht von einem so genannten geostationären Satellit.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Der Planet Jupiter wird von mehreren Monden umkreist. Die vier größten heißen auch Galileische Monde, nachdem sie 1610 von Galileo Galilei mit dem ersten astronomischen Fernrohr, das er selbst gebaut hatte, entdeckt wurden. Der Mond Callisto umkreist den Planeten
auf einer Bahn mit einem Radius von 1,884⋅106 km mit einer Umlaufsdauer von 16,69 d.
a) Berechnen Sie die Umlaufsdauer des Mondes Io, dessen Bahnradius 4,218⋅106 km beträgt.
b) Berechnen Sie den Bahnradius von Europa, dessen Umlaufsdauer 3,55 d beträgt.
c) Die Umlaufsdauer des Mondes Ganymed ist ziemlich genau doppelt so groß wie die von
Europa - berechnen Sie den Faktor, um den der Bahnradius größer ist.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Ein Satellit bewegt sich auf einer Ellipsenbahn um die Erde. Sein erdnächster Abstand beträgt 300 km, sein größter Abstand 2000 km.
Bestimmen Sie mit Hilfe des 2.Keplerschen Gesetzes das Verhältnis der Geschwindigkeiten an diesen Stellen
___________________________________________________________________________
Die Keplerschen Gesetze
==================================================================
Astronomische Daten, die bei den folgenden Berechnungen verwendet werden dürfen:
Große Halbachse Sonne-Erde: 1 astronomische Einheit = 1 AE = 149,6 ⋅ 106 km
Mittlerer Erdradius: 6370 km
Erdmond: Umlaufdauer um die Erde: 27,1 Tage; mittlerer Abstand zur Erde: 384 000 km
1. Der Planet Mars benötigt für einen Umlauf um die Sonne 1,88 Jahre.
Bestimmen Sie ungefähr die maximale und die minimale Entfernung von Erde und Mars.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ein NAVSTAR-Satellit des GPS umkreist die Erde in einer Höhe von 20183 km.
Bestimmen Sie die Umlaufzeit dieses Satelliten.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Ein Satellit umkreist die Erde in 220 km Höhe auf einer äquatorialen Bahn.
a) Berechnen Sie die Umlaufsdauer um der Erde.
b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit des Satelliten bezogen auf die Erde und vergleichen Sie diesen Wert mit der Bahngeschwindigkeit der Erde bei deren Umlauf um die
Sonne.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. In welcher Höhe über der Erde muss sich ein Fernsehsatellit wie z.B. Astra 1L befinden?
Beachten Sie, dass sich der Satellit für einen Beobachter von der Erde aus immer an der
gleichen Stelle befinden muss. Man spricht von einem so genannten geostationären Satellit.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Der Planet Jupiter wird von mehreren Monden umkreist. Die vier größten heißen auch Galileische Monde, nachdem sie 1610 von Galileo Galilei mit dem ersten astronomischen Fernrohr, das er selbst gebaut hatte, entdeckt wurden. Der Mond Callisto umkreist den Planeten
auf einer Bahn mit einem Radius von 1,884⋅106 km mit einer Umlaufsdauer von 16,69 d.
a) Berechnen Sie die Umlaufsdauer des Mondes Io, dessen Bahnradius 4,218⋅106 km beträgt.
b) Berechnen Sie den Bahnradius von Europa, dessen Umlaufsdauer 3,55 d beträgt.
c) Die Umlaufsdauer des Mondes Ganymed ist ziemlich genau doppelt so groß wie die von
Europa - berechnen Sie den Faktor, um den der Bahnradius größer ist.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Ein Satellit bewegt sich auf einer Ellipsenbahn um die Erde. Sein erdnächster Abstand beträgt 300 km, sein größter Abstand 2000 km.
Bestimmen Sie mit Hilfe des 2.Keplerschen Gesetzes das Verhältnis der Geschwindigkeiten an diesen Stellen
___________________________________________________________________________
Lösungen:
1. Gegeben: T1 = 1,88 a (Jahre)
Gesucht: dmax und dmin
Planeten in Opposition
Planeten in Konjunktion
Vergleichskörper ist die Erde mit a2 = 1 AE und T2 = 1 a (Jahr)
a13
a23
=
T12
⇒
T22
3
a23⋅
a1 =
3
a1 = 1 AE ⋅
3
a1 = a2
T12
T22
3
= a2⋅
3⋅
T1 2
T2 2
T1 2
T2 2
3
= a2⋅
 T 2
 1
 T2 
 
 1,88 a 2

 = 1,52 AE
 1a 
dmax = 1,52 AE + 1 AE = 2,52 AE und dmon = 1,52 AE − 1 AE = 0,52 AE
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. 3. a) Gegeben: h = 220 km ⇒ r1 = h + rE = 20183 km + 6370 km = 26553 km
Gesucht: T1
Vergleichskörper ist der Mond mit r2 = 384000 km und T2 = 27,1 d
T12
T22
=
r13
r23
⇒
T1 2
 r 3
1
= T 2 2 ⋅ 
 r2 
 
⇒
T1 = T2 ⋅
 r 3
 1
 r2 
 
 26553 km 3

 = 0,49 d = 11,8 h
 384000 km 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. a) Gegeben: h = 220 km ⇒ r1 = h + rE = 220 km + 6370 km = 6590 km
T1 = 27,1 d ⋅
Gesucht: T1
Vergleichskörper ist der Mond mit r2 = 384000 km und T2 = 27,1 d
T12
T22
=
r13
⇒
r23
T1 = 27,1 d ⋅
T1 2
 r 3
1
= T 2 2 ⋅ 
 r2 
 
⇒
T1 = T2 ⋅
 r 3
 1
 r2 
 
 6590 km 3

 = 0,0803 d = 1 h 56 min
 384000 km 
b) Gesucht: v1
2π⋅r1
s
=
t
T1
v1 =
v1 =
2π⋅r1
T1
2π ⋅ 6590 km
km
km
= 21443
= 5,96
1,93 h
h
s
v1 =
km
km
2π ⋅ 149,6 ⋅ 106 km
= 107174
= 29,8
h
s
365,25 ⋅ 24
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Gegeben: T1 = 1 d
v =
Gesucht: h
Vergleichskörper ist der Mond mit r2 = 384000 km und T2 = 27,1 d
3
r1 = r2⋅
 T 2
 1
 T2 
 
3
r1 = 384000 km ⋅
 1 d 2

 = 42562 km
 27,1 d 
h = r1 − rE = 42562 km − 6370 km ≈ 36 ⋅103 km
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. a) Gegeben:
Io
Radius
r1 = 4,218 ⋅ 106 km
Umlaufsdauer
T1
Callisto
r2 = 1,884 ⋅ 106 km
T2 = 16,69 d (Tage)
Gesucht: T1
T12
T22
=
r13
r23
⇒
T1 2
 r 3
1
= T 2 2 ⋅ 
 r2 
 
⇒
 r 3
 1
 r2 
 
T1 = T2 ⋅

3
6
 4,218 ⋅ 10 km  = 55,91 d
 1,884 ⋅ 106 km 


T1 = 16,69 d ⋅
b) Gegeben:
Europa
Radius
r1
Umlaufsdauer
T1 = 3,55 d
Callisto
r2 = 1,884 ⋅ 106 km
T2 = 16,69 d (Tage)
Gesucht: T1
 T 2
 1
 T2 
 
3
r1 = r2⋅
3
6
r1 = 1,884 ⋅ 10 km ⋅
c)
r13
r23
=
T1 2
T2 2
= 4
 3,55 d 2
6

 = 0,6713 ⋅ 10 km
16,69
d


 r 3
1
⇒   = 4
 r2 
 
⇒
r1
=
r2
3
4 = 1,59
Der Bahnradius von Ganymed ist 1,59 so groß wie der von Callisto.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------