1 Die Methode der vollständigen Induktion

Klasse 8
1
Die Methode der vollständigen Induktion
Eine Aussage ist für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 gültig, wenn sie für n = n0 gültig ist
und wenn aus der Richtigkeit der Aussage für eine natürliche Zahl n = k die Richtigkeit für
n = k + 1 folgt.
1.1
Aufgaben
1. Man beweise, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich
n(n+1)
2
ist.
2. Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt: 9|[n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 ].
3. Man beweise, dass für alle natürlichen Zahlen n und alle rationalen Zahlen q 6= 1 gilt:
q 0 + q 1 + q 2 + ... + q (n−1) =
qn − 1
q−1
4. Man berechne die Summe der ersten n ungeraden Zahlen.
5. Man beweise, dass n verschiedene Geraden, die in einer Ebene durch einen gemeinsamen
Punkt gehen, die Ebene in 2n Teile zerlegen.
6. Jede Straße in Onewayland ist eine Einbahnstraße. Je zwei Städte sind durch genau
eine direkte Straße verbunden. Man zeige, dass es in Onewayland immer eine Stadt gibt,
welche von jeder anderen Stadt in Onewayland entweder direkt oder über höchstens eine
andere Stadt erreicht werden kann.
7. Man zeige, dass n in einer Ebene liegende Geraden diese Ebene in Bereiche zerlegen,
die man so weiß und schwarz färben kann, dass alle benachbarten Bereiche, also alle
Bereiche, die längs einer Strecke aneinandergrenzen, verschieden gefärbt sind.
8. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n der Ausdruck An = 11(n+2) + 12(2n+1)
durch 133 teilbar ist.
1.2
Literatur
Engel, Arthur (1998). problem-solving strategies. New York: Springer.
Lehmann, Eberhard (1970). übungen für junge mathematiker. teil 1: zahlentheorie. Leipzig: Teubner.
Sominski, I.S. (1982). die methode der vollständigen induktion. 13. Auflage. Berlin:
Deutscher Verlag der Wissenschaften.
Thiele, Rüdiger (1988). mathematische beweise. 5., bearbeitete Auflage. Leipzig: Teubner.
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Klasse 8
2
Ähnlichkeit
Definition
Eine Figur F heißt ähnlich zu einer Figur G, wenn man F derart zentrisch strecken kann, dass
die entstehende Bildfigur F‘zu G kongruent ist.
Hauptähnlichkeitssatz
Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich zueinander, wenn sie in den Größen von zwei Innenwinkeln übereinstimmen.
Ähnlichkeitssätze
Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn sie in allen Seitenverhältnissen entsprechende
Seiten übereinstimmen. (S:S:S)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in einem Winkel und im Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen. (S:W:S)
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.(S:s:W)
2.1
Aufgaben
1. Im Dreieck ABC gelte, dass DE k BC und F E k DC (siehe Skizze 1 an Tafel).
(a) Berechne DB, wenn gilt: AF = 4 und F D = 6.
(b) Berechne DB, wenn gilt: AF = m1 und F D = m2 .
(c) Nun gelte F G k DE und HG k F E. Berechne DB, wenn AH = 2 und HF = 4.
(d) Nun gelte F G k DE und HG k F E. Berechne DB, wenn AH = m1 und HF = m2 .
2. In einem gleichschenkligen Dreieck, dessen Spitze bei A sei, sei BF eine Höhe. Der Punkt
D liege zwischen A und F und die Parallele zu g(BF ) durch D schneide g(BC) im Punkte
P derart, dass B zwischen P und C liegt. E sei der Lotfußpunkt von P auf g(AB) derart,
dass B zwischen E und A liegt.
(a) Beschreibe BF mit Hilfe von P D und P E.
(b) Finde einen weiteren Beweis für die obige Aussage.
2.2
Literatur
Posamentier, Alfred S. und Charles T. Salkind (1970). challenging problems in geometry.New York: Dover Publications..
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