Aufgaben
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Gravitation ================================================================== 1. Der Mars hat einen Durchmesser von 6770 km und eine Masse von 6,4434 ⋅ 1023 kg. Berechne den Ortsfaktor! -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. In welcher Höhe über dem Saturn (Radius 58410 km; Masse 5,6744 ⋅ 1026 kg) ist die GeGichtskraft eines Körpers halb so groß, wie auf der Saturnoberfläche -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Die Raumstation MIR umkreiste die Erde in einer Höhe von h = 420 km über der Erdoberfläche. Wie oft umrundete sie an einem Tag die Erde? ___________________________________________________________________________ 4. Mars und Erde haben einen Durchmesser von of 6775 km bzw. 12775 km. Die Masse des des Mars ist 0,107mal kleiner als die der Erde. Welche Gewichtskraft erfährt ein Körper, dessen Gewicht auf der Erde gleich 200 N ist, auf dem Mars ? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Ein künstlicher Satellit mit der Masse 500 kg umkreist in 250 km Höhe die Erde. a) Welche Geschwindigkeit hat er in dieser Höhe ? b) Welche Energie ist erforderlich um ihn in diese Umlaufsbahn zu bringen ? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Ein hypothetischer Planet hat einen Radius von 500 km und die Fallbeschleunigung auf seim ner Oberfläche ist gleich 3,0 2 . Der Planet rotiert nicht. s a) Welche Masse besitzt der Planet ? b) Welche Geschwindigkeit benötigt eine Rakete mindestens um den Anziehungsbereich des Planeten zu verlassen ? km c) Welche Höhe erreicht ein Geschoß, das mit 1 in radialer Richtung von der Oberfläs che des Planeten abgefeuert wird ? d) Ein Raumschiff kreist in 500 km Höhe um den Planeten. Berechne seine Umlaufsdauer ! -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Wie würde sich die Fallbeschleunigung g auf der Erdoberfläche ändern, wenn der Erdradius sich um einen Meter vergrößerte und die Dichte konstant bliebe ? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Der Radius der Mondbahn ist etwa 60 mal so gross wie der Radius der Erdkugel. Die Erde hat eine etwa 81 mal so grosse Masse wie der Mond. An welchem Punkt der Verbindungslinie Erde-Mond wird ein Körper von beiden Himmelskörpern mitgleich grosser entgegengesetzter Kraft angezogen ? ___________________________________________________________________________ Lösung ================================================================== m⋅M M m3 6,4434⋅1023 kg m ⇒ g = G∗ ⋅ 2 g = 6,67⋅10−11 ⋅ = 3,8 2 1. m⋅g = G∗⋅ 2 2 2 6 r r s kg⋅s (3,385⋅10 ) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. G∗⋅ m⋅M 1 ∗ m⋅M = ⋅G ⋅ 2 2 2 r (r + h) 1 1 = 2 2 2r (r + h) ⇒ (r + h)2 = 2r2 ⇒ ⇒ r + h = r⋅ 2 h = r⋅ 2 − r = r⋅( 2 − 1) r = 58410 km ⋅ ( 2 − 1) = 24184 km -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------m⋅M 3. Kreisbahnbedingung: Fr = G∗⋅ 2 r G∗ ist die Gravitationskonstante m Masser der Raumstation r = re + h mit dem Erddradius re m⋅(2π⋅f)2⋅r = G⋅ m⋅M r2 1 ⋅ 2π ⇒ f = G⋅M r3 Masse der Erde ergibt sich aus: g = G∗⋅ G∗ ⋅ 1 Eingesetzt: f = = ⋅ 2π M re2 ⇒ g⋅re2 g+ 3 r 1 0 ⋅ 2π g⋅rE2 M = g⋅rE2 3 r G∗ 1 rE ⋅ ⋅ 2π r = g r Damit ergibt sich f = 0,00017956 s−1 und n = 15,5 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------MErde MMars gMars MMars rErde2 ∗ 4. gErde = G∗⋅ g = G ⋅ ⇒ = ⋅ gMars = 0,38gE Mars gErde MErde rMars2 rErde2 rMars2 F' = 3,8⋅200 N = 76 N ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------g⋅rE2 2 5. a) m⋅ v m⋅M = G∗ ⋅ 2 r r ⇒ v = 9,81 v = 6370 km ⋅ m, s2 6620000 m G∗ ⋅ M = r = 7,75 km h G∗ ⋅ G∗ r = rE⋅ g r b) Aufzuwendende Energie: E = m 2 1 1 v + G∗⋅m⋅M⋅ − rE r 2 g⋅rE2 1 1 m 2 m 2 1 1 ∗ 2 = E = v + G ⋅m⋅ ⋅ − v + m⋅ g⋅rE ⋅ − rE r 2 2 G∗ rE r 2 500 kg m 2 m 1 1 6 = E = ⋅(7750 ) + 500 kg⋅ 9,81 2 ⋅(6,37⋅10 m) ⋅ − 6 6 2 s s 6,37⋅10 m 6,62⋅10 m = 16,7 GJ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 m2 ⋅(500000 m)2 g⋅r2 s 6. a) M = M = = 1,12⋅1022 kg 3 ∗ m G 6,67 ⋅10−11 2 kg ⋅ s 1 1 1 b) Hubarbeit im Schwerefeld der Erde: W = G⋅M⋅m⋅ − = G⋅M⋅m⋅ , wenn rA rE rA rE → ∞ Kinetische Energie wird über Hubarbeit potenzielle Ergie m 2 1 ⋅v = G⋅m⋅M⋅ 2 rA ⇒ v = m 2 1 1 ∗ c) ⋅v = 2⋅G ⋅m⋅M⋅ − rA rb 2 rB = 1 1 rA T = 2π⋅ − r ⋅ rP v2 2⋅g⋅rA v = 1,7 km s 1 1 ⇒ v = 2⋅G ⋅M⋅ − rA rB 2 ∗ 1 1 v2 = − rB ra 2⋅G∗⋅M = 750 km Das Raumschiff erreicht eine Höhe von 250 km. 2⋅G∗⋅M r = 1,4 h g T = 2π⋅ 1000 km ⋅ 500 km 1000000 m = 2 h (vgl. Aufgabe 3) 3 m2 s -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4 4 π⋅rE3⋅ρ π⋅r3⋅ρ ∗ 3 ∗ 3 7. g = G und g1 = G rE2 r2 g1 r r 6370,001 km = ⇒ g1 = ⋅g = ⋅g = 1,00000016 g g rE rE 6370 km -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. 8. Kräftgleichgewicht : G∗ ⋅ MErde⋅m x2 = G∗ ⋅ MMond⋅m (d − x)2 ⇒ MErde x2 = MMond (d − x)2 ⇒ 81 = x2 d (d − x)2 x 9 ⇒ x = d 10 d−x ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9 =
