Kreisbewegung
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Kreisbewegung ================================================================== 1. Ein kleiner Wagen der Masse 0,5 kg bewegt sich auf einer vertikalen Kreisbahn mit Radius 0,60 m. Der Wagen soll den höchsten Punkt der Bahn so durchfahren, dass der Wagen mit einer Kraft von der Größe seiner Gewichtskraft gegen die Fahrbahn gedrückt wird. a) Berechne die Geschwindigkeit des Wagens im höchsten Punkt der Bahn. b) Mit welcher Kraft wird der Wagen im unteren Punkt der Bahn gegen diese gedrückt? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. An einer rotierenden vertikalen Achse ist ein 1,0 m langer Faden befestigt, der eine 0,25 kg schwere Kugel trägt. Infolge der rotierenden Achse beschreibt die Kugel eine horizontale Kreisbahn, wobei der Faden einen Winkel von 30° mit der Achse bildet. a) Welche Geschwindigkeit besitzt die Kugel? b) Mit welcher Kraft wird der Faden gespannt? c) Wie viele Umläufe macht die Kugel in einer Minute? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Ein Motorrad m = 250 kg fährt mit 108 km/h durch eine Kurve mit Radius 150 m. a) Wie groß muss die Haftreibungskraft sein, damit das Motorrad nicht wegrutscht? b) Unter welchem Winkel legt sich der Fahrer in die Kurve? ___________________________________________________________________________ Lösung ================================================================== 1. Gegeben: m = 0,5 kg und r = 0,6 m a) Gesucht: v Die Kraft mit der die Schienen gegen den Wagen drücken ist unter der gegebnen Bedingung ebenfalls nach "actio = reactio" ebenso groß wie die Gewichtskraft. Also m⋅ v2 = 2⋅mg ⇒ v = r 2gr v = 2⋅9,81 m m ⋅ 0,6 m = 3,4 2 s s b) Gesucht: FDruck Die erforderliche Zentripetalkraft ist die von den Schienen auf den Wagen ausgeübte Kraft FSchiene abzüglich der Gewichtkraft des Wagens Nach "actio = reactio" gilt FSchiene = − FDruck m⋅ v12 = Fschiene − m⋅g ⇒ r Fschiene = m⋅ v1 2 + mg r Die Geschwindigkeit v1 berechnet man mit dem Energieerhaltungssatz. 1 1 m⋅v12 = m⋅v2 + mg⋅2r 2 2 Fschiene = m⋅ ⇒ v12 = v2 + 4gr v2 + 4gr v2 + 4gr + mg = m⋅ +g r r 2 3,4 m + 4⋅9,81 m ⋅ 0,6 m s s2 m FSchiene = 0,5 kg ⋅ + 9,81 2 = 34 N 0,6 m s -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Gegeben: L = 1,0 m, m = 0,25 kg und α = 30° a) Gesucht: v 2 m⋅ vr v2 = tanα = mit r = L⋅sinα und damit mg g⋅r v = g⋅r⋅tanα = g⋅L⋅sinα⋅tanα v = 9,81 m m ⋅ 1 m ⋅ sin30°⋅tan30° = 1,7 2 s s b) Gesucht: FSpann Die Kraft, mit der der Faden gespannt wird, ist entgegengesetzt gleich der Kraft, mit der der Faden zieht. G cosα = Fzug ⇒ FZug c) v = ω⋅r = 2π⋅f⋅r G = cosα v ⇒ f = 2π⋅r 0,25 kg ⋅ 9,81 FZug = f = 1,7 m s2 cos30° m s 2π ⋅ 0,5 m = 2,83 N = 0,54 Hz Die Kugel macht in 1 min 32 Umläufe. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------m km = 30 3. Gegeben: v = 108 und r = 150 m h s a) Gesucht: FR FR = m⋅ m 2 30 s F = 250 kg ⋅ = 1,5 kN 150 m v2 r b) Gesucht: α 2 m⋅ vr v2 tanα = = α = 31° mg gr ___________________________________________________________________________ Gravitation ================================================================== 1. In welcher mittleren Höhe über der Erdoberfläche kreiste der sowjetische Satellit Sputnik II um die Erde, wenn seine Umlaufzeit 105,95 min betrug? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Berechnen Sie die Fallbeschleunigung in 900 km Höhe über der Erdoberfläche. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Der Mond bewegt sich mit der Umlaufzeit T = 27,4 d um die Erde. Der Radius der als kreisförmig um den Erdmittelpunkt angenommenen Mondbahn ist R = 3,84 ⋅ 105 km. Der kugelförmige Mond hat einen Radius von r = 1,74 ⋅ 103 km und eine mittlere Dichte g von 3.34 . cm3 a) Berechne die Bahngeschwindigkeit v des Mondes sowie den Betrag a der Zentripetal beschleunigung, die auf seiner Kreisbahn auf ihn wirkt. b) Welche Kraft übt die Erde auf den Mond aus? c) Berechne die Masse der Erde ohne die Mondmasse zu verwenden. ___________________________________________________________________________ Lösung ================================================================== 1. Gegeben: T = 105,95 min Gesucht: h 2 ∗ m⋅ω ⋅r = G ⋅ m⋅ME ⇒ r2 2 ∗ ω ⋅r = G ⋅ m⋅ME r2 ⇒ G∗⋅ME 3 r = ω2 m ist die Masse des Satelliten und ME die Masse der Erde r ist der Bahnradius Für die Masse der Erde gilt m⋅g = G∗⋅ m⋅ME ⇒ ME = rE2 g⋅rE2 G∗ mit dem Erdradius rE Eingesetzt ergibt sich r3 = g⋅rE2 ω2 = 3 g⋅rE2 2π 2 T r = 9,81 m s2 2 ⋅(6,37⋅106 m) 2 2π 105,95 ⋅ 60 s = 7414 km h = 7414 km − 6370 km = 1044 km -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------m⋅ME m⋅ME ∗ 2. Aus m⋅g = G∗⋅ und ergibt sich durch Division m⋅g = G ⋅ 1 rE2 r12 g1 rE2 = 2 g r1 2 m 6370 km m g = 9,81 2 ⋅ = 7,53 2 s 6370 km + 900 km s ⇒ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------g 3. Gegeben: T = 24,4 d und R = 3,84⋅105 km sowie r = 1,74 ⋅103 km und ρ = 3,34 cm3 a) Gesucht: v, a v = 2π⋅R T v = 2π ⋅ 3,84 ⋅105 km km v2 = 1,0 und a = s R 27,4 ⋅24 ⋅ 3600 s b) Gesucht: F F = MMond ⋅ a 4 F = ρ⋅ π⋅r3⋅a 3 a = 2,7 ⋅ 10−3 m s2 3 kg 4 m 6 F = 3,34 ⋅ 10 ⋅ π ⋅ 1,74 ⋅ 10 m ⋅ 2,7 ⋅ 10−3 2 = 2,0 ⋅ 1020 N 3 3 m s 3 c) Gesucht: MErde m⋅ME ergibt ME = 6,0 ⋅ 1024 kg rE2 ___________________________________________________________________________ mg = G∗⋅ Schwingungen ================================================================== 1. Eine Kugel der Masse 2,0 kg hängt an einer Feder. Wird sie in vertikaler Richtung um 3,0 cm ausgelenkt, so schwingt sie harmonisch, wobei sie zu 20 Vollschwingungen 5,0 s benötigt. Sie passiert zum Zeitpunkt t = 0 die Ruhelage und bewegt sich nach oben. a) Welche maximale Kraft wirkt auf die Kugel ? b) Um welche Länge hat sich die Feder gedehnt, als die Kugel vor Beginn der Schwingung an ihr Ende gehängt wurde? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------N 2. Eine Kugel der Masse 500 g hängt an einer Feder mit einer Federhärte von 100 . m Zunächst wird die Feder samt der angehängten Kugel um 2,00 cm nach unter gezogen und dann losgelassen. Mit welcher Geschwindigkeit passiert die Kugel danach die Ruhelage? -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. An einer Schraubenfeder, deren oberes Ende befestigt ist, hängt ein Körper mit der Masse m = 1,0 kg. Er wird durch eine Vorrichtung so gehalten, dass die Feder gerade entspannt ist. Nach Wegnahme der Halterung führt der Körper ungedämpfte Schwingungen mit der Amplitude von 25 cm aus. Berechne die Schwingungsdauer T. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Ein Fadenpendel hat die Schwingungsdauer 2,0 s. Der Pendelkörper dieses Fadenpendels hat die Masse 1,0 kg. Der Faden hält eine maximale Spannkraft von 15 N aus. a) Berechne die Pendellänge dieses Fadenpendels. b) Wie groß ist die maximal zulässige Geschwindigkeit beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, ohne dass der Faden reißt? c) Nun wird 50 cm unterhalb des Aufhängepunktes ein Stift eingeführt, an dem der Pendelfaden anschlägt und abknickt (Hemmungspendel von Galilei). Berechne die Schwingungsdauer dieses Hemmungspendels. d) Berechne die Größe des Winkel α, wenn das Pendel auf der linken Seite um 10° ausgelenkt wird. ___________________________________________________________________________ Lösung ================================================================== 5s 1. Gegeben: m = 2,0 kg A = 3 cm = 0,03 m T = = 0,25 s 20 a) Gesucht: Fmax Fmax = m⋅amax 2 2 2π 2π = m⋅A⋅ω = m⋅A⋅ Fmax = 2 kg ⋅ 0,03 m ⋅ = 38 N T 0,25 s 2 b) Gesucht: s0 m D T = 2π⋅ F D = s ⇒ 2 2π D = m⋅ T F s = D ⇒ 2 2π N N D = 2 kg ⋅ = 1263 = 13 0,25 s m cm 2 kg ⋅ 9,81 = 1,5 cm N 13 cm ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------N 2. Gegeben: m = 0,500 kg, D = 100 und A = 0,02 m Gesucht: vmax m vmax = A⋅ω = A⋅ vmax = A⋅ 2π 2π⋅ m D s0 = m s2 2π mit T = 2π⋅ T = A⋅ D m m D vmax = 0,02 m ⋅ N 100 m m = 0,28 0,5 kg s -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Gegeben: m = 1,0 kg und A = 0,25 m Gesucht: T m⋅g m A ⇒ T = 2π⋅ = 2π⋅ T = 1,0 s A D g -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Gegeben: T = 2,0 s, m = 1,0 kg und Fmax = 15 N D = a) Gesucht: L L ergibt L = 0,99 m g T = 2π⋅ b) Gesucht: vmax m⋅ vmax2 = Fmax − mg ⇒ L vmax = 2,38 m s c) Gesucht: T T = π⋅ L + π⋅ g L 2 g = 1,7 s da 50 cm ≈ L 2 d) Gesucht : α Energieerhaltung : h = h0 L L − ⋅cosα = L − L⋅cosα0 ergibt α = 14° 2 2 ___________________________________________________________________________
