1 Methoden im Mathematikunterricht
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1 Methoden im Mathematikunterricht - Psychologische Aspekte des MU – Mathematikdidaktische Prinzipien Frage 1: Worin bestehen die Grundgedanken der Äquilibrationstheorie und der Stufentheorie (Piaget)? Äquilibrationstheorie: Stufentheorie: 2 Frage 2: Wodurch sind Gruppierungen (Piaget) gekennzeichnet? Vorgestellte Handlungen können ein System, eine Gruppierung bilden, d.h.: - In der Vorstellung kombiniert werden (Kompositionsfähigkeit) - Bei unterschiedlichen Kombinationen zum selben Resultat führen (Assoziativität) - In der einen oder in der entgegengesetzten Richtung stattfinden (Reversibilität) - Mit einer Gegenhandlung kombiniert zum Ausgangszustand zurückführen - Invarianten enthalten (nicht alles verändern) Frage 3: Welche didaktischen Prinzipien lassen sich aus der Theorie Piagets ableiten (Wittmann) und wodurch sind sie inhaltlich gekennzeichnet? Frage 4: Was sind Kritikpunkte bezüglich der Ergebnisse Piagets? Heute weis man: - Altersangaben sind nicht verlässlich - Geistige Entwicklung nicht nur von Reifung abhängig sondern durch Lernprozesse beeinflussbar (Aebli) - Nicht jeder Mensch erreicht in jedem Bereich das selbe Stadium Doch für Lehrer nützlich als: - Negativkriterium, um stofflich oder sprachlich Überforderung durch Verfrühte oder logische Überfrachtung zu vermeiden 3 - Hypothesenoperation bei Erklärungsschwierigkeiten (Auf welcher Stufe argumentiere ich jetzteigentlich? Sind die frühen Stadien hier wirklich schon durchlaufen und überwunden? Ist abweichendes Verfahren oder sind Fehlerhäufungen im Vergleich mit Piagets Phasen treffend beschreibbar? (Führer) Frage 5: Was ist der Inhalt des Prinzips der Darstellungsformen (Bruner)? 4 Behandlung von Begriffen im Mathematikunterricht Frage 1: Was stelle ich mir unter Inhalt und Umfang des Begriffes Parallelogramm vor? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? Frage 2: Welche Möglichkeiten zur Begriffsfestlegung wurden in der Vorlesung erwähnt? Frage 3: Welche Wege des unterrichtlichen Vorgehens bei der Begriffsbehandlung wurden betrachtet? Deduktiver Weg Induktiver Weg 5 Frage 4: Welche Varianten induktiven Vorgehens wurden diskutiert? Frage 5: Welche Stellung kann ein Begriff im Rahmen eines Problemlöseprozesses einnehmen? Frage 6: Welches sind wichtige Aktivitäten zur Begriffsfestigung? 6 Frage 7: Welche Stufen des Begriffsverständnisses gibt es nach Vollrath und wodurch sind sie gekennzeichnet? 7 Behandlung von Sätzen im Mathematikunterricht Frage 1: Welche Arten von Aussagen werden als Sätze bezeichnet, welche davon kommen im Unterricht vorrangig vor? - beinhalten Eigenschaften, Relationen oder Zusammenhänge zwischen Eigenschaften von Objekten (insofern Weiterführung der Begriffsbehandlung) - bilden oft Grundlagen für Verfahren, d.h. o Enthalten Berechnungsformeln o Lassen sich in Berechnungsformeln bzw. Algorithmen umformen o Rechtfertigen Verfahren - Sind in der Mathematik charakteristische Form, Wissen darzustellen Frage 2: Unter welchen Bezeichnungen begegnen Sätze dem Schüler? - Bezeichnung für Sie im Unterricht o „Satz“ im Namen (Satz des Thales) o „Gesetz“ im Namen (Distributivgesetz) o Ohne „Satz/Gesetz“ (Dreiecksungleichung) o Formeln: Volumenformeln Frage 3: Welche beiden Formulierungsformen für Sätze sind üblich? Worin sehen Sie deren Vorund Nachteile? implikative Form Vorteile • Zusammenhänge • werden deutlich kategorische form Nachteile Beweis wird • verlangt Vorteile kurz knapp Nachteile und • Zusammenhänge werden deutlich nicht 8 Frage 4: Was versteht man unter Umkehrung, was unter Kontraposition eines Satzes? Frage 5: Welche Vorgehensweisen zur Satzfindung wurden Ihnen in der Vorlesung vorgestellt? Frage 6: Was sind wichtige Aktivitäten zur Festigung von Sätzen? - Identifizieren und Realisieren sprachlicher Varianten - Anwendung des Satzes bei Beweisen, Berechnung und Konstruktion - Systematisierung von Sätzen - Vertiefen von Sätzen durch: o Spezialisieren o Umkehren o Verallgemeinern o Ziehen einfacher Folgerrungen 9 Argumentieren und Beweisen im Mathematikunterricht Frage 1: Unter welchen Bedingungen können Argumentationen an konkreten Objekten als „Beweise“, die Vorstufe eines formalen Beweises sind, gewertet werden? Argumentation an konkreten Objekten können durchaus als „Beweis“ (und zwar als Vorstufe für einen formalen Beweis) gewertet werden, wenn sie ein auf jeden anderen Einzelfall übertragbares Verfahren erkennen lassen. Frage 2: Was bedeutet es, das man einen Beweis auf verschiedenen Argumentationsniveaus führen kann? 1. Stufe des Argumentierens • Kein schriftlicher Beweis verlangt • Mündliche Argumentation anhand einer Beweisfigur ist ausreichend • Keine Lückenlosigkeit erwartet • Schüler lernen auf diesen Niveau: i. Argumente für Gültigkeit einer Vermutung anzugeben ii. Beweis verstehen und in eigenen Worten wiedergeben iii. Argumente von Mitschülern wieder aufzugreifen, weiterführen, fair und taktvoll zu widerlegen 2. Stufe des inhaltlichen Schließens • Erfolgt in schriftlicher jedoch ehr in umgangssprachlicher Form • Veranschaulichung des Sachverhaltes • Aussagen sollen nicht allein über die Anschauung gewonnen werden • Schüler lernen auf diesen Niveau: i. Die zum Beweis genutzten Sätze anzugeben ii. Einen schriftlichen Beweis zu reproduzieren iii. Fallunterscheidungen durchzuführen iv. Einfache Beweise selbst zu finden 3. Stufe des formalen Schließens • Beweisdarstellung in Form von Beweiszeilen 10 • Klare Strukturierung des Beweises nach dem Schema: Vorraussetzung – Behauptung/Vermutung – Gründe • Schüler lernen auf diesen Niveau: i. Beweis als Sequenz von Beweisen notieren ii. Beweis auf Schlüssigkeit und Lückenlosigkeit zu überprüfen Frage 3: Wann spricht man von einem präformalen Beweis? Präformaler Beweis: • Arbeitet nur mit konkreten Beispielen, in dem aber der allgemeine Fall erkennbar ist • die Richtigkeit der Behauptung wird aus ausgeführten oder vorgestellten Handlungen klar, man macht sich die vorkommenden Schlüsse nicht bewusst Frage 4: Was sind wichtige Ziele beim Beweisen? Ziele des Beweisens: • Erleben einer typischen mathematischen Arbeitsweise und Entwickeln von richtigen Vorstellungen über Mathematik • Fähigkeiten im Schließen und Begründen • Festigung des Satzes durch seine Einbindung in ein Netz von Sätzen und Definitionen, die beim Beweisen benutz werden • Entwicklung der Fähigkeit und Einstellung zum selbständigen Lösen von Problemen Frage 5: Welchem Schema folgt ein direkter, welchem speziell ein Beweis durch vollständige Induktion, welchem ein indirekter Beweis? Wozu kann der Widerspruch beim indirekten Beweis entstehen? Direkter Beweis: 11 Indirekter Beweis: Induktiver Beweis: Bei einem Beweis mit vollständiger Induktion sind stets zwei Hauptschritte erforderlich: 1. Induktionsanfang – Nachweis der Gültigkeit der Aussage A für die Zahl 0 (verschiedentlich ist aber auch eine andere Zahl als Induktionsanfang zu wählen) 2. Induktionsschritt – Nachweis der Implikation „Wenn die Aussage A für n gilt, dann gilt A auch für n+1“ Aus beiden Schritten zusammen ergibt sich die Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen, die Gleich oder größer als die im Induktionsanfang betrachteten Zahlen sind. Frage 7: Was sind mögliche Vorgehensweisen bei der Suche nach einem Beweisweg (einer Beweisidee)? 12 Behandlung von Verfahren im Mathematikunterricht Frage1: Was wurde in der Vorlesung unter dem Begriff Verfahren subsumiert – in welcher Gestalt begegnen uns Verfahren im MU? Ein einmal gelöstes mathematisches Problem, soll durch die Entwicklung eines Verfahrens zu einer Routineaufgabe („Arbeit nach Rezept“) werden. Problemlösung ↔ Verfahren Erfordert Phantasie: Frage, Suche in Erfordert verschiedenen Richtungen, Nachdenken, sicheres, Idee, Verstehen kontrolliertes und zielgerichtetes Arbeiten „geistige den Arbeit“: Regeln schrittweise, gehorchendes, 13 Frage 2: Halten Sie für jeden Typ Beispiele aus der Schulmathematik bereit. Frage 3: Was sind wichtige Ziele bei der Behandlung von Verfahren? • Berechnung von Haufen und Volumen • Lösung linearer Gleichungssysteme • Bestimmung des GGT 14 Frage 4: Welches sind die Komponenten des in der Vorlesung vorgestellten Prozessmodells? 15 Frage 5: Was sind die Grundhandlungen beim Anwenden eines algorithmischen Verfahrens? • Identifizieren des Aufgabentyps • Auswählen eines geeigneten Algorithmus • Anwenden auf die konkrete Aufgabe Frage 6: Welche Möglichkeiten zur Darstellung algorithmischer Verfahren kennen Sie? 16 Frage 7: Was sind mögliche Aktivitäten zur Aneignung von Verfahren? 17 Behandlung von Konstruktionsaufgaben im Mathematikunterricht Frage 1: Was versteht man unter einer geometrischen Konstruktionsaufgabe? Wenn wir von einer „geometrischer Konstruktionsaufgabe“ sprechen, dann meinen wir damit eine Aufgabe, in der die Forderung gestellt wird, eine bestimmte geometrische Figur herzustellen, welche gewissen vorgegebenen Bedingungen genügt. Solche Bedingungen werden durch die Bestimmungsstücke oder Größen (Seitenlängen, Winkelgrößen, etc.) gegeben, die die gesuchte Figur enthalten soll. Frage 2: Worin unterscheiden sich ein spezielles und ein allgemeines Konstruktionsproblem? Frage 3: Was bedeutet „Konstruieren mit Zirkel und Lineal“, welchen Sinn haben Konstruktionen mit Zirkel und Lineal? 18 Frage 4: Was sind die klassischen Bestandteile einer vollständigen Lösung einer Konstruktionsaufgabe und was beinhalten diese Bestandteile? Was davon müsste man für die Schule relativieren/modifizieren? Frage 5: Was sind geometrische Grundkonstruktionen, wie sollte bezüglich der zugelassenen Hilfsmittel zu deren Ausführung im Verlaufe des Unterrichts verfahren werden? 19 Frage 6: Welche Ziele verfolgt man mit der Lösung von Konstruktionsaufgaben? Frage 7: Welches sind die hauptsächlichen Konstruktionstätigkeiten im Mathematikunterricht? 20 Frage 8: Welche in der Schule vorkommenden Konstruktionsaufgaben sind algorithmisch zu lösen? Frage 9: Welche Heurismen können zur Lösungsfindung bei Konstruktionsaufgaben nützlich sein?
