Sphärische Analysis und Numerik

02. Dezember 2016
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Sphärische Analysis und Numerik
Wintersemester 2016/17
Übungsblatt 7
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben am Freitag, 09. Dezember 2016 in der Vorlesung ab.
(4 Punkte):
Sei G ⊂ R3 \ {0} ein Gebiet. Sei U ∈ C (2)(G) und sei GKT das Bild von G unter der Inversion
an der Einheitssphäre (Kelvin-Transformation) x 7→ xKT = |x|−2x. Wir bezeichnen die Funktion
U KT : GKT → R mit
Aufgabe 7.1
U KT (x) =
1 x 1
U (xKT ) =
U |x|2 ,
|x|
|x|
x ∈ GKT ,
als Kelvin-Transformation von U . Zeigen Sie, dass U KT ∈ C (2)(GKT) und
∆x U
Hinweise:
KT
1
1
KT
(x) = 5 ∆xKT U (x ) = 5 (∆x U ) |x|x2 ,
|x|
|x|
x ∈ GKT .
Folgende Rechenregeln/Teilergebnisse können helfen:
∆(F G) =F (∆G) + 2(∇F ) · (∇G) + (∆F )G
∂ x
1
2xi
∂ 1
−2xi
= 2 εi − 4 x,
=
,
2
2
∂xi |x|
|x|
|x|
∂xi |x|
|x|4
∂ 2xi
2
8x2i
=
−
.
∂xi |x|4
|x|4 |x|6
Dieses Ergebnis läÿt sich dann verallgemeinern auf die Inversion an Sphären
mit beliebigem Radius und es zeigt, dass Kelvin-transformierte harmonische Funktionen harmonisch bleiben.
Zusatzbemerkung:
(4 Punkte):
(a) Sei R = R(α, β, γ) eine Rotation zu den Euler Winkeln α ∈ [0, 2π), β ∈ [0, π] und γ ∈ [0, 2π).
Zeigen Sie, dass die inverse Rotation RT auch als R(α0, β 0, γ 0) gegeben ist mit den Euler Winkeln
α0 = −γ , β 0 = −β , γ 0 = −α bzw. mit den Euler Winkeln α0 = π − γ , β 0 = β , γ 0 = −π − α.
(b) Seien ξ, ξ0 ∈ S2 mit den sphärischen Koordinaten (ϑ, ϕ) bzw. (ϑ0, ϕ0). Seien R1, R2 Rotationen,
so dass RT1 ξ = ε3 = RT2 ξ0. Zeigen Sie, dass die Rotation R mit ξ0 = Rξ durch die Euler Winkel
α = ϕ0 , β = ϑ0 − ϑ, γ = −ϕ beschrieben werden kann.
Bitte wenden!
Aufgabe 7.2
(4 Punkte):
Die Koezienten dnk,m(β) ∈ R haben die Darstellung
Aufgabe 7.3
1
dnk,m (β) = (−1)n−m ((n + m)!(n − m)!(n + k)!(n − k)!) 2
2n−m−k−2s
m+k+2s
X
sin β2
cos β2
s
×
(−1)
,
s!(n
−
m
−
s)!(n
−
k
−
s)!(m
+
k
+
s)!
s
wobei der Summationsindex s sich über alle ganzen Zahlen erstreckt, für die die Fakultäten nichtnegativ sind.
Zeigen Sie die folgende Beziehung zwischen den Koecienten dnk,m(β) und den Jacobi Polynomen
(vgl. Übungsblatt 3):
dnk,m (β)
1/2
(n + k)!(n − k)!
=(−1)
(n + m)!(n − m)!
k−m (k−m,k+m)
k+m
× cos β2
sin β2
Pn−k
(cos(β)),
m−k
wobei k − m ≥ 0 und k + m ≥ 0.
Die Halbwinkelformeln für Sinus/Kosinus und die folgende Darstellung der Jacobipolynome
(α,β)
Pn
können hilfreich sein:
Hinweis:
Pn(α,β) (x)
n 1 X n+α n+β
= n
(x − 1)n−k (x + 1)k
2 k=0
k
n−k
(4 Punkte):
Zeigen Sie die folgenden Beziehungen für outer harmonics mit n ∈ N0, −n ≤ m ≤ n und x ∈ R3 \{0}:
Aufgabe 7.4
∂+ On,m (x) = On+1,m+1 (x),
∂− On,m (x) = −On+1,m−1 (x),
∂z On,m (x) = −On+1,m (x).