¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Statistik

SS 2005
Blatt 9
Prof.W. Strauss, F. Schmid
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Aufgabe 55. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit der Dichte f : R → R+ . Bestimmen Sie die
Dichte g : R → R+ der Zufallsvariablen Y = X 2 − 1. Sie sind verpflichtet dabei eine Substitution
R x zu verwenden nachdem da einige Problem damit hatten. Wenn Sie nach der Substitution
dx erhalten, lohnt es sich in ein AnaI-Buch zu schauen. Was lief schief? Teilen sie vor der
x
Substitution das Integral auf.
Aufgabe 56. (Zum Verständnis von Zufallsvariablen und Verteilungen)
Konstruieren Sie sich einen Wahrscheinlichkeitsraum der folgendes Szenario beschreibt: Es gebe
3 Münzen (zwei 1-Euro,- und eine 2- Euro-Münze). Sie werden hochgeworfen und fallen mit der
Wahrscheinlichkeit 1/3 so, dass die Zahl erscheint.
a) Geben sie explizit Ω an.
b) Wie wählen sie die σ-Algebra A? (Sie müssen Sie nicht explizit angeben.) Aus wievielen
Mengen besteht A?
c) Geben sie P (ω) für alle ω ∈ Ω an. Geben Sie für ein nichttriviales A ∈ A Ihrer Wahl P (A)
an.
Bemerkung: Sie haben jetzt Ihren Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) festgelegt.
Sei nun eine Zufallsvariable X auf Ω wie folgt definiert. X gebe die Summe der Zahlen an, die
bei einem Wurf entstehen. Werten sie das Ergebniss “Kopf” für alle Münzen einheitlich als eine
0.
d) Was ist der Bildbereich Ω0 von X?
e) Was ist die σ-Algebra A0 ? Geben Sie zwei nichttriviale Beispiele A01 , A02 ∈ A0 an.
d) Geben Sie für die beiden Beispiele aus e) die Urbilder A1 , A2 ∈ A und die Verteilung an,d.h.
PX (A01 ) und PX (A2 )0 .
Ist (Ω0 , A0 , P ) wieder ein Wahrscheinlichkeitsraum?
War X messbar? (Sie müssen die Antwort auf diese Fragen nicht beweisen, es reichen wenige
Sätze.)
f) Berechnen sie E(X) und V (X).
g) Stellen Sie die Bernoulli-Verteilung b(k, n, p) als die Verteilung einer Zufallsvariabeln X dar.
(Was wählen Sie als Wahrscheinlichkeitsraum, was ist dann X, was ist Ω0 etc.)
Aufgabe 57. Berechnen Sie die Erwartungswerte von folgenden Zufallsvariablen
n
a) X habe eine Bernoulli-Verteilung: b(n, k, p) =
pk (1 − p)n−k
k
b) Y habe eine Gleich-Verteilung auf dem Intervall [a, b] ⊂ R.
c) Sei X eine Poisson-Lambda verteilte ZV, d.h. P [X = k] = e−λ
Sie den Erwartungswert von der ZV Z = 1/(1 + X).
λk
für k ∈ N0 . Bestimmen
k!
d) Sei X b(n, k, p)-verteilt. Bestimmen sie den Erwartungswert von Y = X(X − 1).
e) Wieso lässt sich jetzt leicht die Varianz von einer X b(n, k, p)-verteilten Zufallsvariabeln
Y berechnen. V (Y ) =?.
Aufgabe 58. Es sei q ∈ (0, 1) der Anteil der Personen einer Bevölkerungsgruppe, die eine durch
eine Blutuntersuchung nachweisbare Krankheit haben; der Anteil der gesunden Personen sei
p = 1 − q. Um alle erkrankten Personen der Bevölkerung zu finden, sind zwei Vorgehensweisen
möglich: die Einzelprüfung und die Gruppenprüfung. Bei der Einzelprüfung wird das Blut jeder
Person untersucht. Bei der Gruppenprüfung werden die Personen in Gruppen zu je r Personen
(r ≥ 2) eingeteilt. Alle r Blutproben einer Gruppe werden vermischt, und die Mischung wird
analysiert. Lässt sich in der Mischung kein Hinweis auf die Krankheit feststellen, so sind alle
Personen der Gruppe gesund, und es ist keine weitere Untersuchung nötig; ist der Befund jedoch
positiv, d.h. mindestens eine Person der Gruppe ist erkrankt, muss zusätzlich das Blut jedes
Gruppenmitglieds einzeln analysiert werden.
a Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der notwendigen Blutanalysen für eine Gruppe von r Personen. Unter geeigneten Annahmen bestimme man die mittlere Ersparnis pro
Person ∆ = 1r · (r − E(X)), die entsteht, falls man die Methode der Gruppenprüfung anstelle der Einzelprüfung anwendet. (Negative Werte von ∆ bedeuten Mehraufwand.)
b Für welche Werte von p kann man eine Gruppengröße r ≥ 2 finden, so daß die Gruppenprüfung der Einzelprüfung überlegen ist, d.h. daß ∆ > 0 gilt?
Aufgabe 59. schriftlich Der Bauer Manfred liebt und hegt seinen Apfelbaum in seinem
Garten. Jedes Frühjahr bilden sich an dem Baum Knospen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es k
λk
wobei k ∈ N0 gilt. Wie heisst diese VerteiKnospen sein werden betrage P [X = k] = e−λ
k!
lung? Geben sie von Ihr den Erwartungswert und die Varianz an! (Siehe VL)
Nun ist die Anzahl der zu erntenden Äpfel im Herbst nicht gleich der Anzahl der Knospen, denn
auch Ameisen, Würmer, Schnecken und die Nachbarn lieben diesen Baum. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel vor der Ernte von einem anderen Liebhaber gegessen wird sei p ∈ (0, 1).
Die Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der Äpfel an, die Manfred im Herbst noch ernten darf.
Berechnen Sie E(Y ) und V (Y ).
Hinweis: Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit ist hier angesagt. Vielleicht hilft Ihnen
auch der ein oder andere Rechentrick aus der Aufgabe 57.
Aufgabe 60. schriftlich (Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo-Levi))
Beweisen sie mit Hilfe des Satzes von Beppo-Levi, dass für eine reelle Zufallsvariable X mit
EX = 0 und X ≥ 0 folgendes gelten muss: P [X = 0] = 1 d.h.: X ist P -fast sicher 0.
Wählen Sie dabei die Xn (ω) = X(ω) · I[2−n ≤X≤2n ] (ω) für alle ω ∈ Ω und alle n ∈ N.
Machen Sie sich vielleicht zuerst ein Bild von X · I[2−n ≤X≤2n ] für n ∈ N.
Warum folgt nun aus dem Satz von Beppo-Levi, dass P [2−n ≤ X ≤ 2n ] = 0 für alle n ∈ N
gilt?
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