Zufallsexperiment

Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist dadurch charakterisiert, dass mehrere Ausgänge oder
Ergebnisse möglich sind.
• „wahrer“ Zufall oder nur Mangel an Wissen über Kausalfaktoren
(Laplacescher Dämon, Wiederholung unter gleichen Bedingungen)
Definitionen:
Ω sei eine Menge möglicher Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
• Eine Menge von Teilmengen A von Ω heißt σ-Algebra, wenn
o Ω∈A
o für alle B ∈ A auch Ω \ B ∈ A gilt
o für alle B ∈ A und C ∈ A gilt: B ∪ C ∈ A
• Wenn für eine Funktion P die Kolmogoroff-Axiome
o P ( B ) ≥ 0 für alle B ∈ A (Nichtnegativität)
o P ( B ∪ C ) = P ( B ) + P ( C ) für alle B, C ∈ A mit B ∩ C = ∅ (Additivität)
o P ( Ω ) = 1 (Normierung)
gelten, dann heißt
o P Wahrscheinlichkeitsmass
o das Tripel <Ω , A, P> Wahrscheinlichkeitsraum
o die Elemente B ∈ A Ereignisse
o der Wert P ( B ) Wahrscheinlichkeit
o die Elemente ω ∈ Ω Elementarereignisse
o die Menge Ω Menge der möglichen Ereignisse.
• P ( C B ) :=
P (C ∩ B )
P (B)
ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von C (gegeben
B)
• Die Ereignisse C und B heißen unabhängig, wenn gilt:
P ( C ∩ B ) = P ( C ) ⋅ P ( B ) (⇔ P ( C B ) := P ( C ) ⇔ P ( C B ) := P ( C ) )
• Gegebene sei ein Wahrscheinlichkeitsraum <Ω , A, P>. Ein Abbildung X:
Ω → Ω’ heißt Zufallsvariable, wenn eine σ-Algebra A’ auf Ω’ existiert,
so dass für alle B ' ∈ A ' für die Urbilder von B’ gilt: X −1 ( B ' ) ∈ A . (Die
Bedingung soll nur sicherstellen, dass für die Elemente von A’ auch eine
Wahrscheinlichkeit definiert ist.) Wenn Ω ' = \ , so nennt man X eine
reelle (oder reelwertige) Zufallsvariable.
Wenn Ω’ mehrdimensional ist, dann nennt man X eine mehrdimensionale
Zufallsvariable
Die durch P X ( B ' ) := P ( X −1 ( B ' ) ) definierte Funktion P X : A ' → \ heißt
Verteilung von X (hinsichtlich P).
• Zwei Zufallsvariable X und Y sind stochastisch unabhängig, wenn für alle
BX′ , BY′ ∈ A ′X × AY′ gilt:
P ( X −1 ( BX′ ) ∩ Y −1 ( BY′ ) ) = P ( X −1 ( BX′ ) ) ⋅ P (Y −1 ( BY′ ) )
Zwei Zufallsvariablen sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn
die Randverteilungen der einen Variablen unabhängig von der
Ausprägung der anderen Variablen sind (Bsp: Farben und Automarken,
Laufleistung und Preis).
Aufgabe: Zeige, dass zwei Ereignisse B und C genau dann unabhängig sind, wenn die Wahrscheinlicht
eines Ereignisse gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit (gegeben das andere Ereignis) ist.
Erwartungswerte
• Wenn die Menge B aller Intervalle Bx = ]−∞, x ] mit x ∈ \ eine Teilmenge
von A’ ist, dann ist P X ( Bx ) die kumulative Verteilungsfunktion und
f ( x ) :=
∂P X ( Bx )
die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
∂x
• Der Erwartungswert der Zufallsvariablen ist dann:
E ( X ) = ³ x ⋅ f ( x ) ⋅ ∂x
Bei diskreten Zufallsvariablen gilt:
E ( X ) = ¦ x ⋅ P ( x)
• Der bedingte Erwartungswert E ( X Y = y ) wird analog definiert. Man
ersetzt jeweils nur die Wahrscheinlichkeit durch die bedingte
Wahrscheinlichkeit.
• Die bedingte Erwartung (synonym: die Regression) E ( X Y ) ist
diejenige Zufallsvariable, deren Werte die bedingten Erwartungen sind.
• X ist von Y regressiv unabhängig, wenn der bedingte Erwartungswert
von X (stochastisch) unabhängig von (der Ausprägung von) Y ist.
Regressive Abhängigkeit ist nicht kommutativ (Bsp.: Risikobereitschaft
und Vermögen bzw. SÖS).
Rechnen mit Erwartungswerten
• E(X +Y ) = E(X )+ E(X )
• E (c ⋅ X ) = c ⋅ E ( X )
Kovarianz, Varianz, Standardabweichung, Korrelation
• Kovarianz:
σ X ,Y := E ( ( X − E ( X ) ) ⋅ (Y − E (Y ) ) )
= E ( X ⋅ Y ) − E ( X ⋅ E (Y ) ) − E ( E ( X ) ⋅ Y ) + E ( X ) ⋅ E ( X )
= E ( X ⋅Y ) − E ( X ) ⋅ E ( X ) − E ( X ) ⋅ E ( X ) + E ( X ) ⋅ E ( X )
= E ( X ⋅Y ) − E ( X ) ⋅ E ( X )
Rechenregeln:
σ ( a0 + a1 ⋅ X , b0 + b1 ⋅ Y ) = a1b1σ X ,Y
σ ( X + Y , Z ) = σ X ,Z + σ Y , Z
• Varianz:
σ X2 := σ X , X
=E
(( X − E ( X ) ) )
2
= E ( X 2 ) − ( E ( X ))
2
Rechenregeln:
σ 2 ( a0 + a1 ⋅ X ) = a12σ X2
σ 2 ( X + Y ) = σ X2 + σ Y2 + 2 ⋅ σ X ,Y
• Standardabweichung: σ X := σ X2
• Korrelation: ρ X ,Y :=
σ X ,Y
σ X ⋅σY
• Zwei Zufallsvariablen sind korrelativ unabhängig, wenn ihre Korrelation
null ist.
Logische Beziehungen zwischen den Unabhängigkeitsrelationen
Stochastisch Ÿ Regressiv Ÿ Korrelativ
Tests als Zufallsexperimente (genaue Definitionen: siehe Anhänge bei Steyer & Eid, 2001)
• Formal lässt sich die Durchführung eines Tests als Zufallsexperiment
auffassen, da man davon ausgehen kann, dass verschiedene Verhaltensweisen
der Testperson in der Testsituation möglich sind und u.U. auch die Auswahl
der Testperson(en) vor Beginn der Untersuchung nicht feststeht.
• Jeder mögliche Ausgang des Tests (bei Ziehung einer Testperson und
Durchführung des Test) wird als Ergebnis bezeichnet.
• Als Ereignis bezeichnet man eine Menge von Ausgängen eines Tests, die
man (in gewisser Hinsicht) als äquivalent betrachtet (z.B. Ankreuzen oder
Umranden einer Antwortalternative).
• Ein Wahrscheinlichkeitsmass ordnet jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit
zu.
• Man unterstellt die Existenz der beiden folgenden Zufallsvariablen Xi und
pU, wobei
1. X den beobachteten Testscore der Person wiedergibt.
2. pU wiedergibt, welche Person getestet wurde.
Dann wird der (bedingte) Erwartungswert der Zufallsvariablen Xi bei Testung
der Person u als wahrer Wert τi bezeichnet. ( τ i := E ( X i | pU = u ) ).
• Der Fehler bzw. das Residuum εi von Xi bzgl. τi ist die Differenz zwischen
dem beobachtetem und dem wahren Wert: ε i := X i − τ i