Ubungsblatt zur Mengenlehre und Logik

Infinitesimalrechnung I
Prof. G. Crippa
Bachelor, HS 2013
Universität Basel
Übungsblatt zur Mengenlehre und Logik
Aufgabe 1.1
Es seien A, B und C Mengen. Zeige, dass die folgenden Gesetze gelten
(a) Kommutativität: A ∩ B = B ∩ A und A ∪ B = B ∪ A,
(b) Assoziativität: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) und (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(c) Distributivgesetze: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
und A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Aufgabe 1.2
Von den folgenden Aussagen sei genau eine richtig:
(a) Erika hat mehr als hundert Bücher.
(b) Erika hat weniger als hundert Bücher.
(c) Erika hat mindestens ein Buch.
(d) Erika hat kein Buch.
Wieviele Bücher hat Erika?
Aufgabe 1.3
Es seien A und B Aussagen. Zeige (z. B. mit einer Wahrheitstafel) die folgenden
logischen Äquivalenzen:
(a) ¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B
(b) ¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B
Aufgabe 1.4
Sei n ∈ N eine natürliche Zahl. Beweise
(a) n ist ungerade ⇒ n2 ist ungerade
√
√
(b) n ist gerade und n ∈ N ⇒ n ist gerade.
Zeige (a)
√ mit direktem Beweis. Zeige (b) durch einen Wiederspruchsbeweis (d.h. nehme an n sei ungerade) und verwende (a).
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Aufgabe 1.5
Es seien M , N Mengen und A(x, y) (x ∈ M , y ∈ N ) eine Aussageform. Beweise:
¬(∀x ∈ M
∃y ∈ N : A(x, y)) ⇐⇒ (∃x ∈ M
∀y ∈ N : ¬A(x, y)).
Aufgabe 1.6
Erkläre, warum dieser Beweis falsch ist.
Aussage: Alle Pferde haben dieselbe Farbe.
Beweis (mittels vollständiger Induktion): Die Aussage ist wahr für n = 1. Als Induktionsschritt nehmen wir an, dass sie auch für n Pferde stimmt. Dann muss man
beweisen, dass n + 1 Pferde dieselbe Farbe haben. Die ersten n Pferde haben dieselbe
Farbe wegen des Induktionsschrittes. Letzte n Pferde auch. Deswegen sind alle Pferde
gleich gefärbt.
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://math.unibas.ch/crippa
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