Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Mathematik für Naturwissenschaftler I
WS 2009/2010
Lektion 10
20. November 2009
Lektion 10
20.11.2009
MfN I
Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen (Fortsetzung)
Lektion 10
20.11.2009
MfN I
Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Satz 10.
Ist die Reihe
∞
P
ai konvergent, so ist lim |an | = 0.
n→∞
i=0
Bemerkung
Aus dem Satz folgt sofort, dass
lim |an | = 0
n→∞
ein notwendiges (aber nicht hinreichendes) Kriterium dafür ist,
∞
P
dass die Reihe
ai konvergiert, und somit die Reihe
i=0
divergiert, wenn {an }n∈N keine Nullfolge ist.
Lektion 10
20.11.2009
MfN I
Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Definition 37.
∞
P
Eine Reihe
ak heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
k =0
∞
X
|ak |
k =0
konvergiert.
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Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Bemerkung
Jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.
Aber nicht jede konvergente Reihe ist absolut konvergent.
Absolute Konvergenz
⇒
Konvergenz
Konvergenz
;
Absolute Konvergenz
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Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
§2.3 Konvergenzkriterien
Lektion 10
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MfN I
Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
Satz 11. (Konvergenzkriterium von Leibniz)
Es seien positive reelle Zahlen a0 > a1 > a2 > a3 > . . .
gegeben, so dass
lim an = 0.
n→∞
Dann konvergieren die Reihen
∞
X
(−1)n an
und
(−1)n+1 an .
n=0
n=0
|
∞
X
{z
}
a0 −a1 +a2 −a3 +...
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|
{z
}
−a0 +a1 −a2 +a3 +...
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§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
Satz 12. (Quotientenkriterium)
Es seien a0 , a1 , a2 , . . . und q reelle Zahlen mit an 6= 0 für alle
n ∈ N0 und
an+1 = q.
lim
n→∞ an Ist q < 1, so ist die Reihe
∞
P
Ist q > 1, so ist die Reihe
m=0
∞
P
am absolut konvergent.
am divergent.
m=0
Ist q = 1, so ist keine Aussage möglich.
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§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
Satz 13. (Wurzelkriterium)
Es seien a0 , a1 , a2 , . . . und q reelle Zahlen, so dass
p
lim n |an | = q.
n→∞
Ist q < 1, so ist die Reihe
∞
P
Ist q > 1, so ist die Reihe
m=0
∞
P
am absolut konvergent.
am divergent.
m=0
Ist q = 1, so ist keine Aussage möglich.
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Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
Eine weitere häufig verwendete Methode zur Bestimmung der
Konvergenz einer Reihe beruht auf einem Vergleich der
gegebenen Reihe mit einer zweiten Reihe, deren
Konvergenzeigenschaften bekannt sind.
Diese Methode nennt man Majorantenmethode.
Lektion 10
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Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
Satz 14. (Majorantenkriterium)
∞
P
Die Reihe
ak sei absolut konvergent.
k =0
Ist
∞
P
bk eine Reihe, so dass
k =0
|bk | 6 |ak |
dann ist auch die Reihe
∞
P
für alle
bk absolut konvergent.
k =0
Lektion 10
k ∈ N0 ,
20.11.2009
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Kapitel 2. Konvergenz von Folgen und Reihen
§2.2 Reichen
§2.3 Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium von Leibniz
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Majorantenkriterium und Minorantenkriterium
Satz 14. (Minorantenkriterium)
∞
P
Die Reihe
an mit an > 0 für allen ∈ N0 sei divergent.
n=0
Ist
∞
P
bn eine Reihe, so dass
n=0
an 6 bn
dann ist auch die Reihe
∞
P
für alle
bn divergent.
n=0
Lektion 10
n ∈ N0 ,
20.11.2009
MfN I