ARBEITSUNTERLAGEN DERIVATIVE FINANZINSTRUMENTE

ARBEITSUNTERLAGEN
ZUR VORLESUNG UND ÜBUNG AN DER
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
DERIVATIVE
FINANZINSTRUMENTE
im
SS 
Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
Aufgabe  (Innerer Wert, Zeitwert, Basiskurs, Aufgeld)
Am .. kostete eine Kaufoption der Volkswagen AG , e, wobei die Aktie zum
Preis von , e gehandelt wurde. Bestimmen Sie den inneren Wert sowie den Zeitwert
der Option, wenn der Basiskurs  e beträgt. Berechnen Sie ferner das Aufgeld.
Am gleichen Tag steht die Aktie der Deutschen Telekom AG bei , e. Wie groß ist der
Ausübungskurs einer Verkaufsoption, die für , e zu haben ist, wenn ein time value von
, e zugrunde liegt?
Aufgabe  (Arbitrage)
Beweisen Sie folgende Arbitrageaussage:
Für zwei Portfolios A und B, die nicht von außen verändert werden können, gelten in
einem perfekten Markt folgende Aussagen für den Wert V der Portfolios:
VA (t⋆ ) 6 VB (t⋆ ) ⇒ ∀t6t⋆ : VA (t) 6 VB (t)
VA (t⋆ ) = VB (t⋆ ) ⇒ ∀t6t⋆ : VA (t) = VB (t)
Aufgabe  (Ertragsdiagramm)
Bauen Sie ein Portfolio mit folgendem Ertragsdiagramm auf:
a)
Ertrag
✻
Bearish Vertical Spread
K2
✲ St⋆
K1
b)
Ertrag
✻
Butterfly Spread
K1
K2
K

✲ St⋆
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c)
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Ertrag
✻
Top Straddle
K
d)
Übung
✲ St⋆
Ertrag
✻
Top Vertical Combination
✲ St⋆
K1
K2
Stellen Sie die Positionen aus Teil a) und b) einmal nur mit Puts und einmal nur mit
Calls her. Beschreiben Sie das Anlageziel der Positionen a) - d).
Aufgabe  (Ertragsdiagramme)
a) Erzeugen Sie mittels Optionen eine Position, die das gleiche Ertragsdiagramm wie
eine Aktie long bzw. short besitzt. Welchen Vorteil bietet der synthetische Kauf der
Aktie im Vergleich zum direkten Kauf?
b) Veranschaulichen Sie das „Drehen“ der Position des Käufers einer Kauf- bzw. Verkaufsoption anhand geeigneter Ertragsdiagramme. Betrachten Sie den gleichen Sachverhalt aus der Sicht des Stillhalters.
Aufgabe  (Zinsswap)
Ein Swap ist der Austausch von Zahlungsforderungen oder -verbindlichkeiten mit dem
Ziel, die relativen (komparativen) Vorteile, die jeweils ein Partei gegenüber der anderen
aufgrund ihrer Stellung an einem bestimmten Finanzmarkt genießt, zu arbitrieren.
Beispielhaft soll dieser Geschäftstyp anhand eines (direkten) Zinsswap zwischen den Fir-

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SS 
Übung
men A und B verdeutlicht werden. Folgende Tabelle bringt die unterschiedlichen Kreditkonditionen der beiden Firmen am Markt für variable bzw. fixe Zinsen zum Ausdruck.
Festzins
Variabel
Firma A
 %
Libor + , %
Firma B
 %
Libor + , %
Demnach besitzt Firma A im Bereich variabler, Firma B im Bereich fixer Zinsen komparative Vorteile. Will Firma B sich nun im variablen, Firma A sich im Festzinsbereich
verschulden, so bietet sich folgender Zinstausch an.
Jede Firma verschuldet sich im Bereich ihrer komparativen Stärke. Anschließend tauschen
beide Firmen gemäß folgendem Diagramm ihre Zinsverpflichtungen aus (Swap):
Swap
✛
LIBOR + .%
z
Firma A
}|
%
✛
{
✲
LIBOR
Firma B
✲
%
a) Geben Sie die Nettozahlungen beider Firmen an und berechnen Sie die Summe der
Zinsersparnis insgesamt!
b) Geben Sie bei folgenden allgemeinen Zinskonditionen eine notwendige und hinreichende Bedingung an, so dass ein Zinsswap möglich ist. Wie hoch ist die Summe
der Zinsersparnis beider Firmen in diesem (allgemeinen) Fall?
Festzins
Variabel
(f ix)
iA
(f ix)
iB
Firma A
iA
Firma B
iB
(var)
(var)
Aufgabe  (Put-Call-Parität)
SC bzw. SP bezeichne den Wert eines (Bullish bzw. Bearish) Vertical Spread mit Ausübungskursen K1 < K2 bei Verwendung von Calls bzw. Puts (siehe Aufgabe  a)). Berechnen Sie SC − SP ,
a) mittels der Put-Call-Parität
b) mittels eines Arbitrageportfolios,
wenn ausschließlich europäische Optionen verwendet werden.

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Übung
Aufgabe  (Arbitrage)
BC bzw. BP bezeichne den Wert eines Butterfly-Spread mit Ausübungskursen K1 <K2 wie
in Aufgabe  b) bei Verwendung von (evtl. amerikanischen) Calls bzw. Puts. Die Spitze
des Ertragsdiagrammes (bzw. Payoffs) liege in K. Zeigen Sie
a) mittels Satz .
b) mittels eines Arbitrageportfolios,
dass BC bzw BP einen positiven Wert besitzt, wenn K >
K1 +K2
2
bzw. K 6
K1 +K2
2
gilt.
Berechnen Sie den Wertunterschied BC − BP , wenn ausschließlich europäische Optionen
verwendet werden.
Aufgabe  (Arbitrageportfolio)
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Sachverhalte:
a) Der Wert einer amerikanischen Option ist niemals niedriger als der innere Wert.
Wenn darüber hinaus die Möglichkeit von Terminverkäufen oder short selling besteht,
ist der Wert einer Kaufoption sogar niemals niedriger als S − K · q −t − D für nicht
dividendengeschützte Optionen. Dabei steht q für den (stetigen) Zinsfaktor und D
für den Barwert aller Dividenden.
b) Der Wert einer Kaufoption ist niemals höher als der Aktienkurs bzw. bei Verkaufsoptionen niemals höher als der Ausübungskurs. Gilt dies für jedes underlying?
Aufgabe  (Arbitrage)
Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen mittels Arbitrage:
Der Wert eines Bullish Vertical Spread ist nichtnegativ, falls
a) ausschließlich Calls
b) ausschließlich Puts
verwendet werden.
Aufgabe  (Bild, Urbild)
a) Berechnen und skizzieren Sie für die Funktion f : R → R mit
f (x) :=
1
6
· x · (x+5)·(x−4)
die Mengen
f ([−6, 4[), f ([−6, 0[), f ([−5, 4[), f ([−5, 0[)
und
f−1 ([−3, 6[), f−1 ([−∞, 6[), f−1 ([−∞, −3[)

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Übung
b) Sei f : M1 → M2 eine Abbildung und seien A, B bzw. C, D Teilmengen von M1 bzw.
M2 . Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten:
i) f−1 (C ∩ D) = f−1 (C) ∩ f−1 (D)
ii) f−1 (C ∪ D) = f−1 (C) ∪ f−1 (D)
iii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
iv) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass in biv) die Gleichheit i.A. nicht gilt.
Aufgabe  (Messbare Funktionen)
a) Seien A und B zwei σ-Algebren in Ω mit A ⊂ B. Zeigen Sie, dass aus der
A-Messbarkeit einer Funktion f : Ω → R die B-Messbarkeit von f folgt.
b) Eine Indikatorfunktion
M
: Ω → R ist genau dann A-messbar, wenn M ∈ A gilt.
c) Zeigen Sie, dass f : Ω → R genau dann A-messbar ist, wenn eine der folgenden vier
äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
i) ∀α∈R : {f 6 α} ∈ A
ii) ∀α∈R : {f > α} ∈ A
iii) ∀α∈R : {f > α} ∈ A
iv) ∀α∈R : {f < α} ∈ A
Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung {f > α} =
d) Seien f, g : Ω →
R
∞
S
{f > α+ k1 }
k=1
zwei A-messbare Funktionen. Zeigen Sie, dass die Mengen
{f < g}, {f 6 g}, {f = g} und {f 6= g} in A liegen.
Bemerkung: {f < g} ist die Kurzdarstellung der Menge {ω∈Ω | f (ω) < g(ω)}.
Die übrigen Mengen sind analog zu verstehen.
Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung {f < g} =
S
{f <r} ∩ {r<g}
Q
r∈
Aufgabe  (Messbare Funktionen)
f, g : Ω −→ R seien A-messbare Funktionen. Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) Für alle α, β ∈ R ist auch α + β · g messbar.
b) f + g ist messbar. Hinweis: Wenden Sie Teil a) und Aufgabe  d) an.
√ √ c) f 2 ist messbar. Hinweis: {f 2 > α} = f > α ∪ f 6− α für α>0.

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Übung
d) f · g ist messbar. Hinweis: f · g = 41 (f +g)2 − 14 (f −g)2
e) Ist (fk )∞
k=1 eine Folge messbarer Funktionen, so ist auch sup fk messbar.
k∈N
∞
T
Hinweis: {sup fk 6 α} =
{fk 6α}
k=1
Aufgabe  (Ereignisse, Wahrscheinlichkeitsmaß)
Im Folgenden sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gegeben (siehe Definition .).
a) Beweisen Sie folgende Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes P.
) P(A∪B) + P(A∩B) = P(A) + P(B)
) A ⊂ B ⇒ P(A) 6 P(B)
) A ⊂ B ⇒ P(B\A) = P(B) − P(A)
b) Für eine aufsteigende Folge von Mengen Aℓ
∞
ℓ=1
definiert man lim Aℓ :=
ℓ→∞
∞
S
Aℓ .
ℓ=1
Zeigen Sie, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß P „stetig“ ist. D.h. für jede „monoton
wachsende“ Folge A1 ⊂ A2 ⊂ A3 . . . von Ereignissen aus A, gilt
lim P(Aℓ ) = P( lim Aℓ ) .
ℓ→∞
ℓ→∞
Hinweis: Man verwende die Mengen Bi mit B1 := A1 und Bi := Ai \Ai−1 für i > 2
∞
∞
S
S
und beachte
Aℓ =
Bℓ .
ℓ=1
ℓ=1
Aufgabe  (Stieltjes-Integrale)
Die Funktionen f, g : [−1, 1] −→ R seien definiert durch
(
(
0 für −1 6 x 6 0
0 für −1 6 x < 0
f (x) :=
g(x) :=
.
1 für
0<x61
1 für
06x61
Untersuchen Sie, welche der folgenden Stieltjes-Integrale existieren, und berechnen Sie
gegebenenfalls deren Wert:
Z 0
Z
a)
f (x) dg(x)
b)
−1
1
f (x) dg(x)
0
c)
Z
1
f (x) dg(x)
−1
d)
Z
1
g(x) df (x)
0
Aufgabe  (Stieltjes-Integrale)
Für x ∈ R seien die Funktionen F, H, G, L wie folgt definiert:
(
0 für x<1
F (x) :=
H(x) := F (2x+5)
1 für x>1
(
X
ln(x) für x>0
G(x) :=
2−i
L(x) :=
0
sonst
{i∈N, i6x}

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Übung
a) Berechnen Sie die folgenden Stieltjes-Integrale.
Z
Z
Z
i)
x dF (x)
ii)
x dH(x)
iii)
x dG(x)
R
R
R
b) Existieren die folgenden Integrale?
Z 1
Z ∞
Z
1
i)
x dL(x) ii)
dL(x) iii)
0
1
x
1
L(x) dx iv)
0
iv)
Z
1
Z
e
1
x
dL(x)
1
L(x) dL(x)
0
Aufgabe  (Riemann-Stieltjes-Integrale)
Berechnen Sie die folgenden Riemann-Stieltjes-Integrale:
Z 2
Z 2
Z 2
2
2 2
a)
t dt ,
t dt ,
t8 +2t6 −3t4 +4t2 +1 dt2
0
0
π
b)
Z
2π
c)
Z
cos(t) d sin(t),
0
0
Z
π
0
sin5 (t) + 3 sin6 (t) d sin(t)
sin(t) dg(t) mit g(t) =
(
0 falls 0 6 t 6
1 falls
π
2
π
2
< t 6 2π



Z 2
 t+2 falls −2 6 t 6 −1
d)
t2 dg(t) mit g(t) =
2
falls −1 < t < 0

−2

 t2 +3 falls
0 6t6 2
0
Hinweis: Man stelle den „Integrator“ g in der Form g(t) = g1 (t) + g2 (t) dar, wobei
g1 stetig und g2 stückweise konstant ist.
Aufgabe  (Wahrscheinlichkeitsmaße)
Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der σ-Algebra der Borelmengen in R. Wir definieren
Ωp := ω∈R | µ({ω}) > 0
a) Was gibt die Menge Ωp an?
b) Zeigen Sie, dass Ωp höchstens abzählbar unendlich ist. Welche Bedeutung hat dies für
die zu µ gehörende Verteilungsfunktion F : R → [0, 1] mit F (x) := µ ] − ∞, x] ?
1
Hinweis: Man zeige zunächst, dass die Mengen Aℓ = ω∈R | ℓ+1
< µ({ω}) 6 1ℓ
∞
S
für jedes ℓ∈N nur endlich viele Elemente enthalten und dass Ωp = · Aℓ gilt.
ℓ=1
Aufgabe  (Normalverteilung, Log-Normalverteilung)
Sei Z eine Nµ,σ2 -verteilte Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ϕµ,σ2 .
Z +∞
Z +∞
a) Folgern Sie aus
ϕ0,1 (t) dt = 1 die Aussage
dFZ (t) = 1.
−∞

−∞
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Übung
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen Z und eZ .
c) Zeigen Sie, dass α·Z+β eine Nαµ+β,α2 σ2 -verteilte Zufallsvariable ist.
d) Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable Y := eZ eine Wahrscheinlichkeitsdichte pY mit
folgendem Aussehen besitzt:

 1 · ϕ 2 ln(x) falls x > 0
µ,σ
x
pY (x) =

0
falls x 6 0
Aufgabe  (Verteilungsfunktionen)
a) Sei Z : Ω → [0, +∞[ eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter Θ, d.h.
es gelte:
FZ (x) = P {Z6x} =
Z
0
x
Θ· e−Θ·t dt = 1 − e−Θ·x
i) Zeigen Sie, dass Z ein Dichte besitzt.
ii) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y := 1 − e−c·Z . Welche Verteilung ergibt sich speziell für c = Θ?
iii) Berechnen Sie (sofern existent) Erwartungswert und Varianz von Z.
iv) Zeigen Sie, dass für alle s, t > 0
P(Z6s+t | Z>s) = P(Z6t)
gilt. Interpretieren Sie diese Aussage!
b) Eine Zufallsvariable Z : Ω → N0 heißt Poissonverteilt mit Parameter λ, wenn gilt
λk
P {Z=k} = e−λ ·
k!
i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer mit Parameter λ Poissonverteilten
Zufallsvariablen Z.
ii) Zeigen Sie:
Sind Z1 , Z2 : Ω →
N
0
unabhängige und Poissonverteilte Zufallsvariablen mit
Parametern λ1 bzw. λ2 , so ist Z1 + Z2 ebenfalls Poissonverteilt mit Parameter
λ1 + λ2 .
iii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer mit Parameter λ Poissonverteilten Zufallsvariablen.

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c) Eine Zufallsvariable Z : Ω → {0, 1, . . . , n} heißt binomialverteilt mit Parametern n
und p, wenn gilt
n k
P {Z=k} =
·p ·(1−p)n−k
k
i) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion einer mit Parametern n und p binomialverteilten Zufallsvariablen Z.
ii) Zeigen Sie:
Sind Z1 : Ω → {0, 1, . . . , n1 } und Z2 : Ω → {0, 1, . . . , n2 } unabhängige und
binomialverteilte Zufallsvariablen mit Parametern n1 und p bzw. n2 und p, so
ist Z1 + Z2 ebenfalls binomialverteilt mit Parametern n1 +n2 und p.
Hinweis: Man verwende ohne Beweis , dass gilt:
k X
n +n
n
n1
· 2 = 1 2
ℓ=0
ℓ
k
k−ℓ
iii) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz einer mit Parametern n und p
binomialverteilten Zufallsvariablen.
Aufgabe  (Erwartungswert, Varianz, Kovarianz, Korrelation)
X, Y, X1 , . . . , XN bezeichnen im Folgenden Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeits-
raum (N∈N).
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsvariablen
i) U := α·X + β (α, β∈R konstant) ii) V := X − E[X] iii) W :=
E
X− [X]
s(X)
b) Schließen Sie aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
E[X1X2 ] 2 6 E[X12] · E[X22],
dass die Korrelation zweier Zufallsvariablen nur Werte zwischen −1 und 1 annimmt.
c) Prüfen Sie folgende Gleichung auf ihre Gültigkeit:
var
N
X
i=1
Xi =
N
X
var(Xi ) +
i=1
N
X
cov(Xi , Xj )
i,j=1
i6=j
d) Beweisen Sie für unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , XN die Gleichung
var
N
X
i=1


Xi =
N
X
var(Xi )
i=1
Fans der Mathematik beweisen die Aussage mittels vollständiger Induktion!
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Übung
Aufgabe  (Unabhängigkeit, Erwartungswert, Bedingte Erwartung)
a) Zeigen Sie, dass zwei Ereignisse A und B genau dann unabhängig sind, wenn die
von ihnen erzeugten σ-Algebren unabhängig sind.
b) Seien X1 und X2 unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit
1
P {Xi =1} = P {Xi =−1} =
für i=1, 2.
2
Zeigen Sie, dass X1 , X2 und X1 · X2 zwar paarweise unabhängig, jedoch nicht unab-
hängig sind.
c) Sei Z eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit E[Z 2 ]<∞. Zeigen Sie, dass die Funktion
x 7→ E (Z − x)2
ihr Minimum im Punkt x =
E[Z] annimmt. Vergleichen Sie diese Eigenschaft des
Erwartungswertes mit der Eigenschaft der bedingten Erwartung.
Aufgabe  (Verteilungsfunktion, RS-Integrale)
Bei einem fairen Würfel bezeichne H(n, a) die Zahl der Möglichkeiten bei n Würfen die
Augensumme a zu werfen (n∈N, a∈Z). Sn sei die Augensumme nach dem n-ten Wurf.
a) Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften gelten
(
1 für a ∈ {1, . . . , 6}
i) H(1, a) =
0 für a ∈ Z\{1, . . . , 6}
ii) H(n+1, a) :=
6
X
H(n, a−j)
j=1
iii) H(k, a) = 0 in den Fällen a < k oder 6k < a
iv)
6n
X
H(n, a) = 6n
Hinweis: Vollständige Induktion
a=n
v) H(n, a) = H(n, 7n−a)
Hinweis: Vollständige Induktion
n X
a−1−6ℓ
n
b) Zeigen Sie, dass H(n, a) =
·
· (−1)ℓ gilt.
ℓ=0
n−1
ℓ
Hinweis: Überprüfen Sie die rekursive Eigenschaft aii). Verwenden Sie hierzu die
folgenden Eigenschaften der Binomialkoeffizienten (Was bedeuten diese Aussagen
im Pascalschen Dreieck?):
•
•
m X
ℓ
ℓ
k−1
k=0
k
+
ℓ
k
=
=
ℓ+1
k
m+1
k+1

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•
6 X
b−j
j=1
r
=
SS 
Übung
b
b−6
−
r+1
r+1
c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion Fn für die Augensumme Sn !
d)
i) Zeichnen Sie F3 in ein Schaubild und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
dafür, dass die Augensumme S3 nach dem . Wurf zwischen −10000 und ,
zwischen −10000 und , sowie oberhalb von  liegt!
ii) Berechnen Sie nachstehende RS-Integrale:
Z +∞
Z +∞
2
xdF3 (x),
x − E[S3 ] dF3 (x),
−∞
−∞
Z
+∞
2
e−x dF3 (x)
−∞
Aufgabe  (Bedingte Erwartung)
Beweisen Sie folgende Aussage:
Eine I-messbare ZV Z0 ist genau dann gleich der bedingten Erwartung
Z
Z
XZ0 d P =
XZd P
∀I-messbaren X :
Ω
E[Z | I], wenn
Ω
Hinweis: Beweisen Sie die Aussage zunächst für alle Treppenfunktionen X und verwenden Sie dann Satz . der Vorlesung.
Aufgabe  (Bedingte Erwartung)
Beweisen Sie folgende Eigenschaften der bedingten Erwartung (Satz . a), d), e), f)).
Verwenden Sie dabei die Eigenschaften der bedingten Erwartung aus Satz ..
a)
E[αZ1 + βZ2|I] = αE[Z1|I] + β E[Z2|I]
Hinweis: Verwenden Sie die Linearität des Integrals.
b) Ist X eine I-messbare Zufallsvariable, so gilt
E[X · Z | I] = X · E[Z | I].
Hinweis: Beweisen Sie diese Aussage zunächst für den Fall, dass X eine Treppenfunktion ist und verwenden anschließend Satz . der Vorlesung.
c) Für σ-Algebren H ⊂ I ⊂ A gilt:
i
h
E E[Z|I] H = E[Z|H] (Tower Law)
d) Sind die Zufallsvariable Z und die σ-Algebra I stochastisch unabhängig, so gilt
E[Z | I] = E[Z].

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SS 
Übung
e) Seien X, Y Zufallsvariablen mit endlicher Varianz und den Eigenschaften E[Y |X] =
E[Y 2 |X] = X 2 . Zeigen Sie, dass X = Y
Hinweis: Betrachten Sie E[(X − Y )2 ]
X und
fast sicher gilt.
Aufgabe  (Einfache symmetrische Irrfahrt)
Eine faire Münze werde wiederholt geworfen. Bei Kopf gewinne Robert jeweils  e, bei
Zahl verliere er  e.
a) Stellen Sie Roberts Ertrag Xn nach dem n-ten Wurf als stochastischen Prozess dar
und berechnen Sie die Mittelwert- sowie Varianzfunktion des Prozesses.
b) Das Spiel werde nach dem n-ten Wurf abgebrochen.
i) Wie viele verschiedene Spielerträge gibt es?
ii) Wie viele verschiedene Spielverläufe sind denkbar?
c)
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Roberts Ertrag nach dem . Wurf  e
beträgt?
ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Robert nach dem . Wurf mehr als  e
gewonnen?
iii) Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Robert nach dem . Wurf nicht mehr als  e verloren
hat!
d) Nach dem . Wurf hat Robert einen Ertrag von  e erzielt.
i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Robert nach dem . Wurf mehr als  e
gewonnen?
ii) Nach dem . Wurf weist Roberts Ertragskonto einen Wert von  e auf. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Robert nach dem . Wurf mehr als  e
gewonnen hat?
iii) Wie hat sich Roberts Gewinnerwartung (im Vergleich zum ersten Wurf) nach
dem . Wurf verändert?
Aufgabe  (Arithmetischer Binomialprozess)
Wir betrachten einen arithmetischen Binomialprozess
Xt := X0 +
t
X
Zk
(t∈N)
k=1

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
mit den unabhängigen, identisch verteilten Zuwächsen (Zk )k∈N und den Wahrscheinlichkeiten P (Zk =u) = p sowie P (Zk =d) = 1−p.
a) Erzeugen Sie durch Münzwurf einen arithmetischen Binomialprozess mit p=0.5, d=1
und u=2. Führen Sie konkret  Simulationen zu je  Schritten durch und dokumentieren Sie jeweils den Spielverlauf in einem Diagramm.
b) Wie könnte man die Simulation verändern, um eine Wahrscheinlichkeit von p= 13 ,
p= 61 oder p= 17 zu erreichen?
Aufgabe  (Markoffprozess)
Mit einem Würfel werde etliche Male hintereinander gewürfelt. Dabei beschreiben die Zufallsvariablen (Xn )∞
n=1 das Ergebnis des n-ten Wurfes. Da man zusätzlich nach jedem Wurf
an der Summe der bisher gewürfelten Augen interessiert ist, werden die Zufallsvariablen
(Sn )∞
n=1 eingeführt. Diese geben an, wie hoch die Augensumme nach dem n-ten Wurf ist.
a) Sind die Zufallsvariablen der beiden Folgen untereinander stochastisch unabhängig?
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Xn und Sn in Abhängigkeit
von n∈N.
∞
c) Zeigen Sie, dass (Xn )∞
n=1 und (Sn )n=1 jeweils einen Markoffprozess bilden.
Bemerkung: (Xt )t∈N heißt Markoffprozess, wenn für t1 < t2 < · · · < tn < tn+1 und
Ereignisse B1 , . . . , Bn+1 ∈ A gilt:
P(Xtn+1 ∈Bn+1 | Xtn ∈Bn , . . . , Xt1 ∈B1 ) = P(Xtn+1 ∈Bn+1 | Xtn ∈Bn )
Aufgabe  (Lemma von Itô)
Der Kurs (St )t>0 einer Aktie genüge einer geometrisch Brownschen Bewegung, d.h. es gelte
dSt = µ · St · dt + σ · St · dWt . Geben Sie folgende Prozesse in differentieller Form an:
a) yt := ln(St ).
b) zt := StΘ , wobei Θ > 0 fest.
c) Ft := Forward Price, bei stetigen Bestandshaltekosten b > 0.
Aufgabe  (Lemma von Itô, Log-Normalverteilung)
Berechnen Sie in Abhängigkeit von t den Erwartungswert und die Varianz einer in S0
startenden geometrischen Brownschen Bewegung (St )t>0 mit dSt = µ · St · dt + σ · St · dWt .
Hinweis:
Stellen Sie St in der Form St = K · ext mit geeignetem allgemeinem Wiener-Prozess (xt )

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
und passender Konstante K dar. Anschließend verwende man Aufgabe .
Aufgabe  (Black/Scholes Differentialgleichung)
a) Zeigen Sie, dass die in Satz . gefundene Funktion VK,t⋆ (St ) = St e(b−i)T −K e−iT
für den Wert eines Terminkontraktes mit Terminkurs K die Differentialgleichung
von Black/Scholes erfüllt und der Randbedingung V (St⋆ ) = St⋆ − K genügt.
b) Berechnen Sie den Wert eines derivativen Finanzinstrumentes F vom europäischen
Typ, das zum Verfallszeitpunkt t⋆ den Wert
F (t⋆ ) =
(
1
falls
K1 6 St⋆ 6 K2
0 sonst
besitzt. Vorausgesetzt sei, dass das underlying St einer geometrisch Brownschen
Bewegung genügt und stetige Bestandshaltekosten b vorliegen.
Aufgabe  (Black/Scholes, Hebel von Optionen)
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen der Black/Scholes-Werte europäischer Optionen
nach den Variablen S, t und T = t⋆ − t und den Hebel europäischer Optionen.
√
Hinweis: Man überlege sich zunächst, dass ebT ·S · N ′ (y+σ T ) − K · N ′ (y) = 0 gilt.
Aufgabe  (Exotische Option)
Ein derivatives Finanzinstrument F besitze zum Verfallszeitpunkt t⋆ in Abhängigkeit vom
underlying St⋆ den pay-off (siehe nachfolgende Skizze)
Ft⋆ =


0
falls






 St⋆ − K1 falls
St⋆ 6
K1
6 St⋆ 6
K1 +K2


K2 − St⋆ falls
6 St⋆ 6


2




0
falls
K2
6 St⋆
K1
K1 +K2
2
K2
Berechnen Sie den Wert Ft des Finanzinstrumentes zum Zeitpunkt t, wenn keine vorzeitige
Ausübung möglich ist, indem Sie das derivative Finanzinstrument als Summe geeigneter
Puts, Calls und Bonds darstellen.
Hierbei sei neben einem konstanten stetigen Zinssatz i vorausgesetzt, dass St einer geometrisch Brownschen Bewegung dSt = µ · St · dt + σ · St · dWt genügt und konstante stetige
Bestandshaltekosten b für St vorliegen.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
Ft⋆
✻
✲
K1
K1 +K2
2
St⋆
K2
Aufgabe  (Binomialmodell)
Eine Aktie genüge einer geometrisch Brownschen Bewegung, wobei folgende Daten gegeben sind (die Prozentangaben beziehen sich jeweils auf ein Jahr):
Aktienkurs:  e,-, Volatilität: %, stetiger Zinssatz: %, stetige Bestandshaltekosten: %
a) Bestimmen Sie unter Verwendung von  Zeitschritten mit Hilfe des Binomialmodells
den Aktienkursbaum in der Gestalt
Aktie

t= 
,
,
,
b) Bestimmen Sie unter Verwendung des Kursbaumes aus Teil a) die Werte der folgenden drei Optionen auf diese Aktie. Beschriften Sie dabei die Knoten der Bäume mit
dem jeweiligen Aktienkurs bzw. Optionswert.

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
i) europäischer Call, Ausübungskurs:  e,-, Dividende:  e,- zum Zeitpunkt ,, Laufzeit: , Jahre.
Option
Aktie


t=
,
,
,
t=

,
,
,
ii) europäischer Lookback-Put, Ausübungskurs: Maximum der angenommenen Aktienkurse, Dividende: keine, Laufzeit: , Jahre.
Hinweis: Beachten Sie, dass aufgrund der Wegabhängigkeit des Ausübungskurses bei jedem Aktienkurs zum Verfallszeitpunkt in der Regel mehrere Werte
des Payoffs der Lookback-Option berücksichtigt werden müssen.
Option
Aktie

t=

,
,
,
t=

,
,
,

Derivative Finanzinstrumente
SS 
Übung
iii) amerikanischer Lookback-Put, Ausübungskurs: Maximum der angenommenen Aktienkurse, Dividende: keine, Laufzeit: , Jahre.
Option
Aktie

t=


,
,
,
t=

,
,
,