Organisation
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Organisation Diskrete Mathematik Organisation Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom Institut für Informatik @ UIBK Sommersemester 2017 GM (IFI) Organisation 2/1 Organisation Zeitplan Vorlesungsmaterial Woche Woche Woche Woche Woche Woche Woche 1 2 3 4 5 6 7 7. März 14. März 21. März 28. März 4. April 25. April 2. Mai Woche 8 Woche 9 Woche 10 Woche 11 Woche 12 Woche 13 Woche 14 1te Klausur 9. Mai 16. Mai 23. Mai 30. Mai 6. Juni 13. Juni 20. Juni 27. Juni Literatur Universität Innsbruck Sommersemester 2017 Ein Skriptum zur Vorlesung Diskrete Mathematik für Informatiker 6. Auflage Georg Moser basierend auf den Unterlagen von Arne Dür und Harald Zankl 7. März 2017 1 Skriptum U M #x c die Autoren x M t r t r Innsbruck, Österreich Online-Lehrmittel Zeit und Ort Vorlesung Dienstag, 9:15–11:45, HS F Tutorium Freitag, 8:15-9:45, HS 10 Christina Kohl in der Vorlesung und im Tutorium besteht keine Anwesenheitspflicht GM (IFI) Diskrete Mathematik Diskrete Mathematik 3/1 2 Skriptum wurde überarbeitet und ist diese Woche noch bei Studia und innerhalb des Universitätsnetzes verfügbar 3 Folien und Hausaufgaben sind auf der LVA-Homepage abrufbar 4 Folien sind vor der Vorlesung online 5 Ausgewählte Lösungen werden verfügbar gemacht, nachdem sie in den Proseminargruppen besprochen wurden GM (IFI) Diskrete Mathematik 4/1 Organisation Organisation Proseminar Prüfungsmodus in Vorlesung & Proseminar Zeit und Ort des Proseminars Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe 1 2 3 4 Montag, Montag, Montag, Montag, 11:15–12:45, 11:15–12:45, 13:15–14:45, 13:15–14:45, Klausur HSB 4 Christian Sternagel SR 13 Oleksandra Panasiuk SR 13 Georg Moser SR 12 Vincent van Oostrom 1 Die erste Vorlesungsprüfung findet am 27. Juni statt 2 Die Prüfung ist closed-book 3 Die Klausurvorbereitung findet im Tutorium statt Notenschlüssel für Klausur und Proseminar Proseminar 1 Im Proseminar herrscht Anwesenheitspflicht Punkte 2 Zweimaliges unentschuldigtes Fehlen wird toleriert Note 3 Das Proseminar beginnt am 13. März und endet am 19. Juni Punkte 4 Kein Proseminartest; das Proseminar dient der Einübung des Stoffes Note GM (IFI) Diskrete Mathematik 5/1 Organisation GM (IFI) > 90 > 75 > 60 Sehr Gut Gut Befriedigend > 50 < 50 Genügend Nicht Genügend Diskrete Mathematik 6/1 Einleitung Punkteberechnung im Proseminar Algorithmus 1 50% der Aufgaben müssen angekreuzt werden 2 Proseminarnote basiert auf 1 2 3 Prozentzahl der angekreuzten Beispiele Mitarbeit & Tafelleistung Jeder Teil wird wie folgt gewertet 1 2 100% gekreuzt = 80 Punkte Top Mitarbeit- und Tafelleistung = 20 Punkte 4 Bei kontinuierlich schlechter Tafelleistung können Mitarbeitspunkte auch negativ sein 5 Die Punkte werden mit Hilfe des Notenschlüssels auf Noten abgebildet GM (IFI) Einleitung Diskrete Mathematik 7/1 GM (IFI) Diskrete Mathematik 8/1 Einleitung Einleitung Diskrete Mathematik Inhalte der Lehrveranstaltung Beweismethoden deduktive Beweise, Beweise von Mengeninklusionen, Kontraposition, Widerspruchsbeweise, vollständige Induktion, wohlfundierte Induktion, strukturelle Induktion, Gegenbeispiele Alle Begriffe der diskreten Mathematik werden aus den Begriffen Menge“ ” und Abbildung“ abgeleitet, also etwa ” • Numerierung • Ordnung Relationen, Ordnungen und Funktionen • Automat Äquivalenzrelationen, partielle Wachstum von Funktionen • Graph • etc. Ordnungen, Wörter, asymptotisches Graphentheorie gerichtete Graphen, ungerichtete Graphen Eine Kernaufgabe der (diskreten) Mathematik bzw. (theoretischen) Informatik ist das Schaffen von präzisen Grundlagen, sprich exakten Definitionen GM (IFI) Diskrete Mathematik Zähl- und Zahlentheorie Aufzählen und Nummerien von Objekten, Abzählbarkeit, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lösen von Rekursionsformeln Rechnen mit ganzen Zahlen, euklidischer Algorithmus, Primzahlen, Restklassen 9/1 Einleitung GM (IFI) Diskrete Mathematik 10/1 Einleitung Inhalte der Lehrveranstaltung (cont’d) Inhalte der Lehrveranstaltung Beweismethoden Reguläre Sprachen deterministische Automaten, nichtdeterministische Automaten, endliche Automaten mit Epsilon-Übergängen, reguläre Ausdrücke, Abgeschossenheit, Schleifenlemma Berechenbarkeitstheorie deterministische Äquivalenzen TM, nichtdeterministische TM, universelle TMs, Relationen, Ordnungen und Funktionen Äquivalenzrelationen, partielle Wachstum von Funktionen Ordnungen, Wörter, asymptotisches Graphentheorie gerichtete Graphen, ungerichtete Graphen Komplexitätstheorie Grundlagen, die Klassen P und NP, polynomielle Reduktionen, logspace Reduktionen GM (IFI) deduktive Beweise, Beweise von Mengeninklusionen, Kontraposition, Widerspruchsbeweise, vollständige Induktion, wohlfundierte Induktion, strukturelle Induktion, Gegenbeispiele Diskrete Mathematik 11/1 Zähl- und Zahlentheorie Aufzählen und Nummerien von Objekten, Abzählbarkeit, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lösen von Rekursionsformeln Rechnen mit ganzen Zahlen, euklidischer Algorithmus, Primzahlen, Restklassen GM (IFI) Diskrete Mathematik 12/1 Beweismethoden Beweismethoden Beispiel Syllogismen Der Mond besteht aus grünem Käse Die Sonne geht im Westen auf Tirol liegt im Flachland Frage Wie haben wir logisches Schließen in ETI motiviert? Beispiel Sokrates ist ein Mensch Alle Menschen sind sterblich Somit ist Sokrates sterblich } } } } } } Prämisse À Prämisse Á Konklusion Fakt Prämisse À Prämisse Á Konklusion Alle Aussagen in dem Beispiel sind falsch; trotzdem ist die Schlussfigur wahr, da aus Falschem Beliebiges folgt Beispiel Definition Tirol ist bergig Die Sonne geht im Osten auf Also, besteht der Mond aus grünem Käse • Schlussfiguren dieser Art heißen Syllogismen • Syllogismen wurden bereits im antiken Griechenland untersucht richtige Aussage richtige Aussage falsche Aussage Fakt Fakt Nicht die Wahrheit der Prämissen, oder der Konklusion, sondern die Wahrheit der Schlussfigur ist entscheidend GM (IFI) Diskrete Mathematik Die Schlussfigur ist falsch, da aus Wahrem etwas Falsches gefolgert wird 13/1 Beweismethoden Diskrete Mathematik 14/1 Beweismethoden Modus Ponens Wozu Beweise? Antwort • sich selbst und andere überzeugen, dass richtig überlegt wurde; laut Kurt Gödel bedeutet beweisen“ nichts anderes als richtig denken ” • logische Denken wird trainiert, was dazu führt dass überflüssige Voraussetzung, falsche Argumente schneller erkannt werden Beispiel Wenn das Kind schreit, hat es Hunger Das Kind schreit Also, hat das Kind Hunger • Beweise führen oft zu programmierbaren Verfahren Fakt • In sicherheitskritischen Anwendungen (Auto, Flugzeug, Medizin) Korrektheit dieser Schlussfigur ist unabhängig von den konkreten Aussagen gefährdet fehlerbehaftete Software Menschen. Es ist unabdingbar, bestimmte Eigenschaften von Programmen formal zu verifizieren. Definition (Modus Ponens) Definition (Beweisformen) Wenn A, dann B A gilt Also, gilt B GM (IFI) GM (IFI) Beweisformen sind etwa (i) deduktive Beweise (ii) Beweise von Mengeninklusionen (iii) Kontraposition (iv) indirekte Beweise (v) induktive Beweise (vi) Gegenbeispiele Diskrete Mathematik 15/1 GM (IFI) Diskrete Mathematik 16/1 Beweismethoden Beweismethoden Definition Deduktive Beweise Gelegentlich finden wir Aussagen der Form Definition • Ein deduktiver Beweis besteht aus einer Folge von Aussagen, die von F genau dann wenn G . einer Hypothese zu einer Konklusion führen. Diese Aussagen zeigt man in dem Wenn F , dann G .“ und Wenn G , ” ” dann F .“ bewiesen wird. • Jeder Beweisschritt muss sich nach einer akzeptierten logischen Regel aus den gegebenen Fakten oder aus vorangegangenen Aussagen ergeben. Definition • Der Aussage, dass die Folge der Beweisschritte von einer Hypothese Alternative Formulierungen sind etwa: H zu einer Konklusion K führt, entspricht der Satz: • F dann und nur dann, wenn G . Wenn H, dann K . • F ist äquivalent zu G . Beispiel • F ⇔ G. Sei n eine natürliche Zahl. Die Aussage n ist ein Vielfaches von 9 ⇒ n ist ein Vielfaches von 3“ ” ist wahr (und somit ein Satz). GM (IFI) Diskrete Mathematik Beispiel Sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt: n ist gerade ⇔ n + 1 ist ungerade.“ ” 17/1 Beweismethoden GM (IFI) Diskrete Mathematik 18/1 Beweismethoden Mengeninklusionen Kontraposition Definition Definition Seien A und B Mengen. Um die Teilmengeneigenschaft (Inklusion) Die Aussage Wenn H, dann K .“ ” und ihre Kontraposition A⊆B zu zeigen, genügt es nach der Definition, die folgende Wenn-dann“-Aussage zu beweisen: ” Wenn x ∈ A, dann x ∈ B . Wenn (nicht K ), dann (nicht H).“ ” sind äquivalent, d.h. aus dem einen Satz folgt der andere und umgekehrt. Beispiel Definition Die Kontraposition der Aussage Die Gleichheit von Mengen A und B kann bewiesen werden, indem man zwei Behauptungen zeigt: es regnet ⇒ die Straße ist nass“ ” ist • Wenn x ∈ A, dann x ∈ B. die Straße ist trocken ⇒ es regnet nicht“ ” • Wenn x ∈ B, dann x ∈ A. GM (IFI) Diskrete Mathematik 19/1 GM (IFI) Diskrete Mathematik 20/1 Beweismethoden Beweismethoden Indirekte Beweise bzw. Widerspruchsbeweise Widerlegung durch ein Gegenbeispiel Definition Definition • Um zu zeigen, dass eine Aussage A gilt, nehmen Widerspruchsbeweise an, dass die Negation von A gilt. • Wenn Sätze allgemeine Aussagen behandeln, genügt es, die Aussage für bestimmte Werte zu widerlegen, um den Satz zu widerlegen. • Kann aus der Annahme (dass die Negation von A gilt, also, dass A falsch ist) ein Widerspruch abgeleitet werden, so muss die Annahme selbst falsch sein und somit A gelten. • In dieser Situation haben wir dann ein Gegenbeispiel gefunden. Gegenbeispiele können auch verwendet werden, um allgemein gefasste Aussagen so weit einzuschränken, dass sie dann als Satz gezeigt werden können. Beispiel Die Aussage Beispiel Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.“ ” ist wahr (und somit ein Satz). Um dies zu zeigen, nehmen wir die Negation des Satzes an, also Wir betrachten die Aussage Für alle natürlichen Zahlen n gilt: n2 ≥ 2n“ . ” Es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen.“ ” GM (IFI) Diskrete Mathematik 21/1 GM (IFI) Diskrete Mathematik 22/1
