Blatt 7 T. Markwig I. Stenger Abgabetermin

Übungen zur Einführung in die Algebra — Blatt 7
T. Markwig
Abgabetermin: Keine Abgabe
I. Stenger
WS 14/15
√ √
Aufgabe
25
(Quaternionengruppe
Q
als
Galoisgruppe):
Sei
K
=
Q[
2, 3], α =
8
√
√
√
(2 + 2) · (3 + 3) ∈ K und L = Q[ α].
(a) Zeige, dass α ein primitives Element von K ist.
√
(b) Berechne das Minimalpolynom von α und von α über Q.
(c) Zeige, sind σ1 , σ2 ∈ Gal(K/Q) wie in Aufgabe 10.2, dann gibt es Zahlen 0 6= λ1 , λ2 ∈
K mit
σi (α) = λ2i · α
für i = 1, 2. Leite daraus ab, dass es für i = 1, 2 je einen Q-Automorphismus τi ∈
Gal(L/Q) gibt, der auf K mit σi übereinstimmt.
(d) Zeige, τ12 = τ22 6= idL , τ14 = idL und τ1 ◦ τ2 ◦ τ1−1 = τ2−1 .
(e) Zeige, Gal(L/Q) = hτ1 , τ2 i hat die Ordnung
|Gal(L/Q)| = |L : Q| = 8
und L/Q ist galoissch.
(f) Bestimme den Untergruppenverband von Gal(L/Q) und den Zwischenkörperverband
von L/Q.
Aufgabe 26: Es sei L := ZFKQ (x3 − 3x + 1).
(a) Berechne die Nullstellen von f mit der Cardano’schen Formel und zeige, dass alle
Nullstellen reell sind.
(b) Finde einen Körper M derart, dass L ⊆ M und M/Q eine Radikalerweiterung ist.
(c) Beweise: L/Q galoissch und |Gal(L/Q)| = 3.
(d) Zeige, dass L/Q keine Radikalerweiterung ist.
Aufgabe 27: Bestimme Körpererweiterungen L/K, so dass
(a) Gal(L/K) = Z/4Z × Z/2Z mit K = Q,
(b) Gal(L/K) = Z/8Z einmal mit char(K) = 0 und einmal char(K) > 0.
2πi
Aufgabe 28: Bestimme den Zwischenkörperverband von Q(e 25 )/Q wie in Beispiel 12.18.