6. Klasse - Luisenburg

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel
Grundwissen für das Fach Mathematik
Jahrgangsstufe 6
Fachinhalt
Beispiele
6.1 Rationale Zahlen
6.1.1 Bruchteile und Bruchzahlen
Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich
und Nenner.
Zähler
2
, also z.B.
Nenner
9
Der Zähler gibt an, wie viele Teile man vom
Ganzen nimmt.
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große
Teile das Ganze zerlegt wird.
5 24
;
, ...
12 125
Echte Brüche: Der Zähler ist kleiner als der
Nenner
z.B.
Stammbrüche: Der Zähler ist 1
1 1 1 1
;
; ;
2 3 4 5
Scheinbrüche: Der Zähler ist 0 oder ein
Vielfaches des Nenners
0
2
14
18
=0 ; =1 ;
=7 ;
=3
7
2
2
6
Unechte Brüche: Der Zähler ist größer als der
Zähler (diese Brüche können in gemischte
Zahlen umgewandelt werden)
7
1 31
1
= 2
;
=6
3
5
5
3
Erweitern eines Bruches: Zähler und Nenner
werden mit derselben natürlichen Zahl
multipliziert
1 1⋅ 5
5
=
=
2 2 ⋅ 5 10
Kürzen eines Bruches: Zähler und Nenner
werden durch einen gemeinsamen Teiler
dividiert
9
9:9
1
=
=
27 27 : 9 3
Addieren bzw. Subtrahieren von Brüchen:
Die Brüche müssen den gleichen Nenner
besitzen bzw. durch Erweitern/Kürzen dahin
gebracht werden. Anschließend werden die
Zähler addiert bzw. subtrahiert und der
gemeinsame Nenner beibehalten.
1 2 3 4 3+4 7
1
+ = + =
= =1
2 3 6 6
6
6
6
3 1 9
4 9−4 5
− =
−
=
=
4 3 12 12
12
12
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Multiplikation von Brüchen: Man rechnet
Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner
3 2 3⋅2
6
⋅ =
=
5 7 5 ⋅ 7 35
Division von Brüchen: Der erste Bruch wird
mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs
multipliziert
5 3 5 4 5 ⋅ 4 20
: = ⋅ =
=
9 4 9 3 9 ⋅ 3 27
6.1.2 Dezimalbrüche
2
8
7
+
+
10 100 1000
Bei einem Dezimalbruch stehen auf der ersten
Stelle rechts vom Komma die Zehntel, auf der
zweiten die Hundertstel, auf der Dritten die
Tausendstel, ...
1,287 = 1 +
Einen Bruch kann man in eine Dezimalzahl
umwandeln, indem man den Zähler durch den
Nenner teilt.
3
= 3 : 8 = 0,375
8
Periodischer Bruch: Rechts vom Komma
entsteht eine unendliche, sich ständig
wiederholende Ziffernfolge
1
= 0,090909 ... = 0, 09
11
Addition und Subtraktion von
Dezimalzahlen: Man rechnet wie bei
natürlichen Zahlen untereinander, so dass die
Kommas genau untereinander stehen. Dann
wird stellenweise addiert bzw. subtrahiert.
2,04365
+ 21,34900
_________
23,39265
3,5691
- 19,0398
________
- 15,4707
Multiplikation von Dezimalzahlen: Man
multipliziert erst ohne Rücksicht auf das
Komma. Im Ergebnis wird das Komma dann so
gesetzt, dass die Zahl genau so viele
Nachkommastellen hat, wie beide Faktoren
zusammen besitzen.
5,89 · 0,045
2356
2945
__________
0,26505
Beide Faktoren besitzen
zusammen 5 Nachkommastellen, also besitzt
auch das Ergebnis 5
Nachkommastellen.
Division von Dezimalzahlen: Man verschiebt
sowohl im Divisor wie auch im Dividenden das
Komma gleichsinnig um so viele Stellen nach
rechts, bis der Divisor kommafrei ist. Dann wird
schriftlich dividiert und beim Überschreiten des
Kommas im Dividenden auch im Ergebnis ein
Komma gesetzt.
40,492 : 7,64 = 4049,2 : 764 = 5,3
-3820
2292
-2292
----
Darstellung rationaler Zahlen auf dem
Zahlenstrahl: Diejenige Zahl ist die größere,
deren Bildpunkt sich weiter rechts auf dem
Zahlenstrahl befindet.
Die Menge der rationalen Zahlen Q beinhaltet
neben den ganzen Zahlen auch Brüche und
Dezimalzahlen.
6.1.3 Relative Häufigkeit
In
1
diesem Bsp. ist die Zahl + größer als die
2
7
Zahl − , weil sich ihr Bildpunkt weiter rechts
4
auf dem Zahlenstrahl befindet.
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Absolute Häufigkeit k: Ein Ereignis tritt k mal
auf bei einem Zufallsexperiment, welches n mal
wiederholt wird.
Relative Häufigkeit
Eine Münze wird 35 mal geworfen (n=35),
dabei tritt das Ereignis "Kopf" 17 mal ein.
-> die absolute Häufigkeit beträgt 17 (k=17).
k
: Absolute Häufigkeit k
n
im Verhältnis zur Gesamtanzahl n der
Versuchsdurchführungen.
Ein Spielwürfel wird 60 mal geworfen, dabei
wird genau 9 mal eine "sechs" geworfen:
k
9
3
15
=
=
=
= 0,15 ≙ 15%
n 60 20 100
6.2 Geometrie
6.2.1 Flächeninhalte geradlinig
begrenzter Figuren
Flächeninhalt A eines Parallelogramms:
A = g ⋅h
Ein Parallelogramm mit der Grundfläche
g=5cm und der Höhe h=4cm hat den
Flächeninhalt A=5cm · 4cm = 20 cm2
Flächeninhalt A eines Dreiecks: A =
g ⋅h
2
Ein Dreieck mit der Grundlinie g=4cm und der
Höhe h=3cm hat den Flächeninhalt
A=
4cm ⋅ 3cm
= 6 cm2
2
Die Höhe h des Dreiecks kann sowohl
innerhalb als auch außerhalb des Dreiecks
liegen.
Flächeninhalt A eines Trapezes:
A=
(a + c ) ⋅ h
2
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Ein Trapez mit den gegenüberliegenden
Seiten a=5cm und c=3cm und der Höhe
h=4cm besitzt den Flächeninhalt
A=
(5cm + 3cm ) ⋅ 4cm
= 6 cm2
2
6.2.2 Körper und ihr Volumen
Volumen eines geometrischen Körpers: Das
Volumen bzw. der Rauminhalt eines Körpers
beschreibt die Größe des Raums, den er
einnimmt.
Die Volumeneinheiten:
1mm3 ; 1cm3 ; 1dm3 ; 1m3
Die Umrechnungszahl beträgt 1000.
Flüssigkeitsmengen gibt man häufig in den
Einheiten hl (Hektoliter), l (Liter) und ml
(Milliliter) an:
1dm3 = 1 l ; 1cm3 = 1 ml ; 100 l = 1 hl
Volumen eines Quaders: V = l · b · h
Länge (l) mal Breite (b) mal Höhe (h)
1m3 = 1000 dm3 = 1000000 cm3 =
1000000000 mm3
5 dm3 = 5000 cm3
0,045 cm3 = 45 mm3
5,3 dm3 = 5,3 l
45 cm3 = 45 ml
Das Volumen eines Quaders mit der Länge
l=4cm, der Breite b=7cm und der Höhe h=5cm
beträgt:
V = 4cm · 7cm · 5cm = 140 cm3
Volumen eines Würfels: V = a · a · a = a3
Der Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem
alle Kanten gleich lang sind.
Das Volumen eines Würfels mit den
Kantenlängen a=5cm beträgt:
V = 5cm · 5cm · 5cm = 125 cm3
6.3 Prozentrechnung
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Um Anteile besser vergleichen zu können,
werden sie häufig in Prozent (%) angegeben.
Dabei sind 100% ein Ganzes bzw. 1; 10% sind
0,1 bzw.
1
1
; 1% sind 0,01 bzw.
usw.
10
100
Der Prozentwert ist der jeweilige Teil des
Ganzen.
Der Prozentsatz ist der Anteil am Ganzen in
Prozent.
Der Grundwert ist das Ganze.
50% bedeutet
1
bzw. 0,5
2
25% bedeutet
1
bzw. 0,25
4
Ein PC kostet im Geschäft 900 €. Zum
Geschäftsjubiläum wird ein Rabatt von 20%
gewährt. Wie viel € sind das?
Grundwert: 900€, Prozentsatz: 20%,
R: 900 · 0,2 = 180
--> Der Prozentwert beträgt 180€.
Ein Fahrrad kostet 500 €, der Verkäufer gibt
60 € Rabatt. Wie viel Prozent sind das vom
Ganzen?
R:
60
= 0,12 ≙ 12%
500
--> Der Prozentsatz beträgt 12%.
Herr Müller gibt 5% von seinem Gehalt für
Süßigkeiten aus, das sind 100 €. Wie hoch ist
sein Gehalt?
R: (Dreisatz)
5% ≙ 100€
1% ≙ 100€ : 5 = 20 €
100% ≙ 20€ · 100 = 2000€
--> Sein Gehalt (der Grundwert) beträgt
2000€.
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