1 Mengen und Aussagen 2 Die reellen Zahlen - math.uni

1 Mengen und Aussagen
O Was sind Mengen
I Welche Verknüpfungen für Mengen gibt es?
I Welche Rechenregeln gelten dabei? (einige Regeln nennen)
Analog für Aussagen
I Lesen Sie vor: (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)
II Ist dies eine wahre Aussage? (Notfalls Hilfe: Stellen Sie eine Wahrheitstafel auf)
III Was bedeutet diese Aussage? (Kontraposition)
I Lesen Sie vor: (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B)
II Ist dies eine wahre Aussage? (Notfalls Hilfe: Stellen Sie eine Wahrheitstafel auf)
II Wie lautet eine zu der Aussage ¬(A =⇒ B) äquivalente Aussage, die oft in
Widerspruchsbeweisen verwendet wird?
II Was ist eine Aussageform?
I Was ist eine Allaussage, eine Existenzaussage? Was ist ihre Negation? Erläutern
Sie dies an einem Beispiel.
II Wie kann man Mengen aufschreiben? (aufzählend / mit Aussageform)
I Bestimmen Sie die Menge {x ∈ R : |x − 3| < 4}
II Was ist die Potenzmenge einer Menge? Was ist P(∅)?
III Erläutern Sie die Analogie zwischen Aussagen und Mengen. Welche Gründe gibt
es dafür?
2 Die reellen Zahlen
II Axiome — Zsh. zu Halbgruppen, Gruppen
II Folgerungen aus den Ring-Axiomen: 0a = 0, (−a)b = −ab, u.ä.
II Daraus „minus mal minus gibt plus“
II Beweis: Binomische Formeln (nur quadratisch)
III Quadratische Ergänzung, Beweis der Lösungsformel für quad. Gleichungen
I Anordnung — Absolutbetrag
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I Eigenschaften; Beweise
I Bestimmen Sie die Menge {x ∈ R : |x − 3| < 4}
II Begründen Sie die Identität |a − b| = |b − a|; was bedeuten diese Ausdrücke anschaulich?
III Vollständigkeit
I Wie ist die Quadratwurzel definiert?
I Für welche reellen Zahlen ex. sie?
III Wie beweist man das (Idee)?
II Ist sie eindeutig? Warum?
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Abbildungen
Grundbegriffe
I Was ist eine Abbildung?
I Skizze in R2 : Ist das eine Abbildung?
I Es sei f : R → R durch f (x) := x2 + 2x definiert.
Bestimmen Sie f (−1) und f (a − 1) (wobei a ∈ R beliebig sei). Auch Skizze, ...
I Setzen Sie x + h in f (x) = x2 − x ein und vereinfachen Sie.
I Ist dies eine Abbildung? (PrüferIn zeichnet Pfeildiagramm, welches keine Abb. ist).
Warum nicht?
I Lesen Sie vor: ∀b ∈ B∃a ∈ A : f (a) = b.
Was bedeutet diese Aussage für f : A → B?
I Formulieren Sie die Definition des Begriffs „injektiv“.
II Formulieren Sie die Kontraposition dieser Definition
I Definieren Sie surjektiv.
I Beispiele und Visualisierung mit reellen Funktionen
I Geben Sie ein Beispiel einer injektiven, nicht surjektiven Abbildung! (z.B. Pfeildiagramm; Graph einer reellen F.)
I Geben Sie ein Beispiel einer surjektiven, nicht injektiven Abbildung! (z.B. Pfeildiagramm; Graph einer reellen F.)
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III Was ist der Unterschied zwischen nicht injektiv und surjektiv?
II Definieren Sie f −1 (M ) für eine Abbildung f : A → B; M ⊆ B
III Beweis f (f −1 (M )) ⊆ M
Verkettung, Umkehrbarkeit
I Definieren Sie f ◦ g ! — Verkettung — Komposition
III Warum ist dies eine Abbildung?
I Beispiele
II Seien f : R → R und g : R \ {1} → R durch f (x) := x2 + 2x und g(x) := x−1
definiert. Bestimmen Sie f ◦ g(−1).
II Ist die Verkettung kommutativ? mit Begründung
I Was ist die Identität? Wie ist ihr Verhalten bei Verkettung?
II Was ist die Umkehrfunktion (inverse Abb.) einer Abbildung? Wann existiert sie?
II Verhalten bei Verkettung
II Assoziativität der Verkettung mit Beweis
III Beweis bijektiv ⇐⇒ es ex. Umkehrabbildung
Kardinalität und Abzählbarkeit
I Definition „gleichmächtig“
I Beispiele für gleichmächtige — ungleichmächtige Mengen
II |N| = |N0 | mit Beweis
II Definition (endlich,) abzählbar unendlich, überabzählbar unendlich;
Beispiele nennen
II A, B endlich; wann existieren injektive / surjektive Abb. A → B?
Beweisidee (z.B. Pfeildiagramm)
III |N| = |Z| mit Beweis
III Erläuterungen zum Beweis Q ist abzählbar und R ist überabzählbar.
III Was können Sie über die Mächtigkeit |N2 | sagen?
III (Vgl. Potenzmenge — Ausgangsmenge)
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Natürliche Zahlen
Grundbegriffe
I Peano Axiome: Erwartung:
Es existiert eine Menge N0 , ein Element 0 ∈ N0 und eine Abb. ν mit . . .
I Anschauliche Erläuterungen zur Abbildung ν
I Eigenschaften von +, · und <
II Definition von + und <
II Beweis der Eigenschaften von +; wie? — Methode: Induktion!
III Beweis einer der Eigenschaften von + (z.B. Assoz.).
II Definition von „·“ als Potenzen bzgl. +
II Herleitung der Eigenschaften von „·“ aus den Potenzrechengesetzen.
II Definition von n − m in N (wann definiert? wie?)
III Beweis der Transitivität von <
III Ist die Verknüpfung (a, b) 7→ ab kommutativ/assoziativ auf N? (Was heißt das
überhaupt?)
III Geben Sie ein Beispiel für eine Abbildung ν auf N0 an, die ein Peanoaxiom nicht
erfüllt (z.B. das Induktionsaxiom — evtl. nur Skizze der Bahn)
Halbgruppen — Gruppen — Potenzen
II Potenzen und Gesetze — Zsh. mit „·“
III Beweis:
an+m = an ∗ am (anschaulich, oder mit Induktion)
III analog: Beweis:
(a ∗ b)n = an ∗ bn (muss kommutativ sein!)
II dasselbe für Gruppen
III Beweis eines Potenzrechengesetzes — Bedeutung für „·“
II Beweis: Eindeutigkeit des neutralen Elements
II Beweis: Eindeutigkeit des inversen Elements
II Beispiele für (Halb-)Gruppe, evtl. Verknüpfungstafel
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Induktion
II Bsp. Induktionsbeweis für 1 + 2 + · · · + n = . . .
III Zusammenhang Induktionsaxiom — Induktionsbeweis
III Beweis n < 2n
III Beweis der geometrischen Summenformel (unter Anleitung!)
Stellenwertsysteme
I Division mit Rest
I g-adische Darstellung — was ist das?
II Beweis Existenz (mit Algorithmus)
III Beweis Eindeutigkeit
I (12)3 · (20)3 wie?
5 Die ganzen und die rationalen Zahlen
I Definieren Sie die Menge Z.
II Wie wird + auf Z definiert?
I Eigenschaften von +, · und <
II Welche Schwierigkeiten treten beim Beweis der Eigenschaften auf? ... viele Fallunterscheidungen
II Wie ist a < b definiert ?
III Beweisen Sie dass < transitiv ist.
II Wie wird „·“ auf Z definiert?
II Zusammenhang Eigenschaften von „·“ und Potenzrechengesetze für Gruppen
III Zeigen Sie, dass in Z jede Gleichung der Form a + x = b in der Unbekannten x
eindeutig lösbar ist. Wie verhält sich das in N? Woran liegt das?
II Eigenschaften eines Ringes; evtl. am Bsp. Z.
I Welche Elemente aus Z sind bezüglich Addition/Multiplikation invertierbar?
II a · b = 0 =⇒ ??? — Antwort: a = 0 ∨ b = 0
II Gruppen, Potenzen und Gesetze, Zsh. mit „·“
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III Beweis eines Potenzrechengesetzes(??) — Bedeutung für „·“
III Untersuchung von (P(N), ∩) oder (P(N), ∪)
II Def. von Q über Äquivalenzrelation
I Def. von „+“ und „·“ ; welche Probleme — Wohldefiniertheit
II Bew. eines Rechengesetzes, z.B. Distributivg.
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Elementare Zahlentheorie
I Definition „teilt“
II einfache Eigenschaften von „teilt“ formulieren; z.B. a b ∧ a c =⇒ a (b + c)
III einfache Eigenschaften von „teilt“ beweisen; z.B. transitiv; a b ∧ b c =⇒ a c
I Wahr oder falsch? 7|(−14), (−6)|3, 0|7, 7|0
I Definition „Primzahl“
II Formal richtig: „Primzahl“
I Wie viele Primzahlen gibt es?
III Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen
III Warum ist für jede natürliche Zahl ≥ 2 der kleinste Teiler > 1 eine Primzahl?
III Warum besitzt jede natürliche Zahl ≥ 2 einen Primteiler?
II Hauptsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung: PFZ) formulieren
III Beweis der Existenz andeuten
II Bestimmen Sie die PFZ von 360. Welche Form haben die Teiler dieser Zahl?
III Allgemeiner: Welche Form haben die Teiler von pa11 · pa22 · . . . · pann (n ∈ N, pi
Primzahlen, ai ∈ N0 ) — und für Experten: Wie viele Teiler gibt es also?
III Beweisen Sie:
∀n ∈ N : 3 10n − 1
II Bestimmen Sie, sofern möglich, folgende Ausdrücke:
ggT(24, 18), ggT(24, 0), ggT(0, 0), ggT(12, 9, 18); kgV(14, 21), kgV(0, 0).
I Definieren Sie ggT — kgV
I Wie kann man ggT(a, b) bestimmen.
III Beweis a = qb + r =⇒ ggT(a, b) = ggT(b, r) — Zsh. mit Euklidischem Algorithmus
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