Hausaufgaben - Mathe mit Karsten

Vorlesung: Allgemeine Topologie, Universität Rostock, Sommersemester 2012
Karsten Evers
Hausaufgaben
13. Serie
Parakompaktheit und Metrisierbarkeit
1. Für A ⊆ N und n ∈ N sei N(n, A) := |{k ∈ A | k ≤ n}|. Definiere nun
τ := {A ⊆ N | 0 6∈ A oder lim
n→∞
N(n, A)
= 1}
n
a) τ ist eine Topologie auf N.
b) (N, τ) ist nicht kompakt und nicht metrisierbar, aber T2 und parakompakt.
2. Sei (X, τ) ein Lindelöf-Raum und T3 . Dann ist X parakompakt (und damit insbesondere auch T4 ).
3. Wir betrachten die reellen Zahlen mit der durch B := {[a, b) | a ≤ b} erzeugten Topologie τ, also (R, τ)
mit τ := top (B). (R, τ) heißt dann Sorgenfrey-Linie (oder Gerade).
a) (R, τ) ist T3 und T2 .
b) (R, τ) ist Lindelöf und somit parakompakt und daher auch T4 .
c) (R, τ) ist aber nicht metrisierbar. Hinweis: Man zeige (R, τ) ist nicht A21
d) R × R versehen mit der Produkttopologie τ × τ der Sorgenfrey-Linie heißt Sorgenfrey-Ebene. Die
Sorgenfrey-Ebene ist nicht T4 und nicht parakompakt. (Hinweis: Lemma 3.1.4.)
4.
a) Sei X kompakt und Y parakompakt. Dann ist X ×Y parakompakt.
b) Sei f : X → Y perfekt (d.h. stetig, abgeschlossen und f −1 (y) ist für jedes y ∈ Y kompakt) und Y
parakompakt. Dann ist auch X prakompakt. Inwieweit ist 4b eine Verallgemeinerung von 4a?
Hinweis: Orientiere dich am Beweis von 4a.
5. Ein Produkt ∏i∈I Xi mindestens 2-elementiger metrisierbarer Räume Xi ist genau dann metrisierbar, wenn
I höchstes abzählbar ist.
6. Sei (X, τ) nicht kompakt, aber lokal kompakt. Dann gilt: X∞ ist metrisierbar ⇔ (X, τ) ist A2 und T2 .
1 Man
verwende folgenden Satz:
Seien B und B ∗ zwei Basen einer Topologie, mit |B ∗ | ≤ |B|. Dann gibt es ein B 0 ⊆ B mit |B 0 | ≤ |B ∗ |
und B 0 ist eine Basis derselben Topologie. Eine analoge Aussage gilt auch für Subbasen.
Beweis: Für B ∈ B ∗ ∃ f (B)
⊆ B mit f (B) = B. Für A ∈Sf (B) ∃gB (A) ⊆ B ∗ mit gB (A) = A. Da
∗ , folgt | S
∗
g
(A)
⊆
B
C ∈ A∈ f (B) gB (A) wähle S
je ein BC ∈ B (also
A∈ f (B) B
A∈ f (B) gB (A)| ≤ |B |. Für S
BC ∈ f (B)) mit C ⊆ BC ⊆ B. Setze dann BC := {BC | C ∈ A∈ f (B) gB (A)} und B 0 := B∈B∗ BB . Dann gilt
|BB | ≤ |B ∗ |, also auch |B 0 | ≤ |B ∗ | und außerdem ist B 0 eine Basis der Topologie. Denn B ∈ B ∗ impliziert
S S
S
B = ( A∈ f (B) gB (A)) = BB und BB ⊆ B 0 .
Für den zweiten Teil der Behauptung seien S1 und S2 zwei Subbasen der Topologie. Für ein MenT
gensystem M führen wir folgende Schreibweise ein: B(M ) := { ni=1 Mi | Mi ∈ M }. Dann sind nämlich
B(S1 ) und B(S2 ) Basen unserer Topologie und aus dem eben bewiesenem folgt, dass es eine Basis
B 0 ⊆TB(S1 ) der Topologie gibt,
mit |B 0 | ≤ |B(S2 )|. Für ein B ∈ B 0 ∃ ein endliches AB ⊆ B(S1 ), mit
S
B = a∈AB a. Setze dann S0 := B∈B0 AB ⊆ S1 . Offensichtlich ist S0 dann eine Subbasis unserer Topologie, mit |S0 | ≤ |B 0 | ≤ |B(S2 )| = |S2 |.
S
S
S
1