K2 MATHEMATIK KLAUSUR 1 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9

K2 MATHEMATIK KLAUSUR 1
NACHTERMIN 11.11.2016
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Aufgabe
Punkte (max) 2 2 3 3 4 5 4 5 2
Punkte
Gesamtpunktzahl
Notenpunkte
/30
(1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit
f (x) = 1 + x · ln(2x + 1).
(2) Bestimmen Sie das Integral
Z 2
x
1
2
+
2
dx.
x
(3) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
sin(x)(sin(x) + 1) = 2
mit 0 ≤ x ≤ 2π.
(4) Die Gerade y = 4x + 1 ist Tangente an das Schaubild von f (x) =
x2 + 2x + c. Bestimmen Sie c.
(5) Gegeben sind die Punkte
A(−4|2| − 1),
B(−4,5| − 3|1) und M (−2,5| − 1|2).
M ist jeweils der Mittelpunkt der Strecken AC und BD.
a) Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.
b) Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD eine Raute ist und berechnen Sie deren Flächeninhalt.
1
2
11. 11. 2016
(6) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f 0 . Entscheiden Sie,
ob die Aussagen a) – d) über f 00 , f und deren Stammfunktion F wahr,
falsch oder unentscheidbar sind, und begründen Sie Ihre Entscheidungen. Beantworten Sie dann die Frage in e).
a) Das Schaubild von f besitzt in x = 0
einen Hochpunkt.
b) Das Schaubild von f besitzt drei Wendepunkte.
c) Das Schaubild von f ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
d) Es ist f (0) = f (2).
e) Was kann man über f (0), f 0 (0) und
f 00 (0) aussagen?
h
−2 i 4 (7) Gegeben sind die Ebene E : ~x − 1
· −3 = 0 und die Gerade
0
0
−1 3
g : ~x = 6 + t 4 .
2
5
a) Zeigen Sie, dass E und g parallel sind und berechnen Sie den Abstand
von E und g.
b) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden h an, die den Abstand 10
von E hat.
(8) Ein Glücksrad hat 10 gleich große Sektoren, von denen einer mit 1, zwei
mit 2, drei mit 3 und vier mit 4 beschriftet sind. Es wird zweimal gedreht.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A: keine 1
B: genau eine ungerade Zahl
C: die Summe ist durch 5 teilbar.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gezogenen ungeraden Zahlen.
(9) Das lineare Gleichungssystem
ax1 + bx2 = −3
ax1 − 2bx2 =
9
hat die Lösungen x1 = 1 und x2 = −2. Bestimmen Sie a und b.
11. 11. 2016
3
Lösungen
(1) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit
f (x) = 1 + x · ln(2x + 1).
Es ist
f 0 (x) = ln(2x + 1) +
2x
.
2x + 1
(2) Bestimmen Sie das Integral
Z 2
x
1
2
+
dx.
2 x
Es ist
Z 2
2
1
x 2
x2
3
+
dx =
+ 2 ln(x) = 1 + 2 ln(2) − = + 2 ln(2).
2 x
4
4
4
1
1
(3) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung
sin(x)(sin(x) + 1) = 2
mit 0 ≤ x ≤ 2π.
Mit z = sin(x) folgt z 2 + z − 2 = 0, also z1 = 1 und z2 = −2. Die
Gleichung sin(x) = −2 hat keine Lösung, aus sin(x) = 1 folgt x1 = π2 .
(4) Die Gerade y = 4x + 1 ist Tangente an das Schaubild von f (x) = x2 +
2x + c. Bestimmen Sie c.
Aus f 0 (x) = y 0 = 4 folgt 2x + 2 = 4, also x = 1. Wegen f (1) = 3 + c und
y(1) = 5 muss c = 2 sein.
(5) Gegeben sind die Punkte
A(−4|2| − 1),
B(−4,5| − 3|1) und
M (−2,5| − 1|2).
M ist jeweils der Mittelpunkt der Strecken AC und BD.
a) Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.
b) Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD eine Raute ist und berechnen Sie deren Flächeninhalt.
−4 1,5 −1 −→
−→
−→
2
Es ist OC = OA + 2AM =
+ 2 −3 = −4 , also C(−1| −
−1
3 5 −0,5 −→
−→
−→
−4,5
2
4|5), sowie OD = OB + 2BM = −3 + 2 2 =
und damit
1
1
3
1
D(−0,5|1|3).
4
11. 11. 2016
−→
ABCD ist eine Parallelogramm wegen AB =
−0,5 −→
= DC.
p
√
AB
=
29,25
und
AD
=
3,52 + 1 + 42 =
ABCD
ist
eine
Raute
wegen
√
29,25.
√
Flächeninhalt: AM = 20,25 = 4,5, BM = 3, also F = 2 · 4,5 · 3 = 27.
−5
2
(6) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f 0 . Entscheiden Sie, ob
die folgenden Aussagen über f 00 , f und deren Stammfunktion F wahr,
falsch oder unentscheidbar sind, und begründen Sie Ihre Aussage.
a) Das Schaubild von f besitzt in x = 0 einen Hochpunkt.
Die Aussage ist falsch, weil f 0 in x = 0 keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.
b) Das Schaubild von f besitzt drei Wendepunkte.
Diese Aussage ist wahr, weil das Schaubild von f 0 drei Extrempunkte
besitzt.
c) Das Schaubild von f ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.
Diese Aussage ist falsch, weil das Schaubild von f in x = 0 einen Wendepunkt besitzt.
d) Es ist f (0) = f (2).
Diese Aussage ist falsch, denn für 0 < x < 2 ist f 0 (x) < 0, also f
monoton fallend.
e) Was kann man über f (0), f 0 (0) und f 00 (0) aussagen?
Über f (0) kann man nichts aussagen, da das Schaubild von f 0 dasjenige
von f nur bis auf Verschieben nach oben oder unten festlegt. Weiter ist
f 0 (0) = 0 (Ablesen) und f 00 (0) = 0, da das Schaubild von f 0 in x = 0
einen Hochpunkt besitzt.
h
−2 i 4 (7) Gegeben sind die Ebene E : ~x − 1
· −3 = 0 und die Gerade
0
0
−1 3
g : ~x = 6 + t 4 .
2
5
a) Zeigen Sie, dass E und g parallel sind und berechnen Sie den Abstand
von E und g.
b) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden h an, die den Abstand 10
von E hat.
11. 11. 2016
a)
4
−3
0
5
3
· 4 = 0, also sind E und g parallel.
5
Ebenengleichung E : 4x1 − 3x2 = −11 (Punkt (−2|1|0) einsetzen), HNF
2 +11
= 0.Der Abstand ist der Abstand von P (−1|6|2) von E,
ist 4x1 −3x
5
= 11 .
also d = −4−18+11
5
5
b) Gerade kann man parallel zu g wählen; Punkt mit Abstand 10 zu E
muss |4x1 − 3x2 + 11| = 50 erfüllen, etwa (0| − 13|0).
(8) Ein Glücksrad hat 10 gleich große Sektoren, von denen einer mit 1, zwei
mit 2, drei mit 3 und vier mit 4 beschriftet sind. Es wird zweimal gedreht.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
A: keine 1
B: genau eine ungerade Zahl
C: die Summe ist durch 5 teilbar.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gezogenen ungeraden Zahlen.
9
9
4
6
a) p(A) = 10
· 10
= 0,81; p(B) = p(ug, gu) = 10
· 10
+
1
4
2
3
p(C) = p(14,41,23,32) = 2 · 10 · 10 + 2 · 10 · 10 = 0,2.
6
10
·
4
10
= 0,48;
b)
Anz. ung. 0
1
2
p
0,36 0,48 0,16
Also ist E = 0 + 1 · 0,48 + 2 · 0,16 = 0,8: im Schnitt zieht man 0,8
ungerade Zahlen.
(9) Das lineare Gleichungssystem
ax1 + bx2 = −3
ax1 − 2bx2 =
9
hat die Lösungen x1 = 1 und x2 = −2. Bestimmen Sie a und b.
Einsetzen von x1 und x2 liefert ein lineares Gleichungssystem in a und
b mit der eindeutigen Lösung a = 1, b = 2.