Einführung zur Einführung in die Mathematik
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Einführung zur Einführung in die Mathematik
Jens Jordan
Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Tutoren: Julia Koch, Rintaro Ono, Ruben Schulze und Florian Göpfert
12.10.2009
Universität Würzburg, 12.10.2009
Wer seid Ihr?
Der Vorkurs Mathematik richtet sich an Studentinnen und Studenten der
Studiengänge
1) Bachelor Mathematik
2) Bachelor Wirtschaftsmathematik
3) Bachelor Mathematische Physik
4) Bachelor Computational Mathematics
5) Lehramt Gymnasium
Universität Würzburg, 12.10.2009
Übersicht:
1)
Mathematik entwickeln; ist nicht schon alles da?
2)
Erforschen mathematischer Objekte; warum eigentlich ?
3)
Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel
Zahlentheorie
4)
Was müssen wir lernen um Mathematiker zu werden
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Wie sehen Mathematiker aus?
Universität Würzburg, 12.10.2009
Mathematiker entwickeln; ist nicht schon alles da?
Frage: Die Funktion f beschreibt die Lautstärke in Abhängigkeit der Zeit. Zu
welcher Zeit ist es am lautesten?
Gegeben: f : [0, 1] → R.
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Mathematiker entwickeln; ist nicht schon alles da?
Frage: Die Funktion f beschreibt die Lautstärke in Abhängigkeit der Zeit. Zu
welcher Zeit ist es am lautesten?
Gegeben: f : [0, 1] → R.
Gesucht: x ∈ [0, 1], so dass f (x) maximal.
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Mathematiker entwickeln; ist nicht schon alles da?
Frage: Die Funktion f beschreibt die Lautstärke in Abhängigkeit der Zeit. Zu
welcher Zeit ist es am lautesten?
Gegeben: f : [0, 1] → R.
Gesucht: x ∈ [0, 1], so dass f (x) maximal.
Gebrauchsanweisung:
1) Bestimme die Ableitung f 0 .
2) Berechne x ∈ [0, 1] mit f 0 (x) = 0.
3) Untersuche f an diesen Stellen und an den Randpunkten.
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Mathematiker entwickeln; ist nicht schon alles da?
Frage: Die Funktion f beschreibt die Lautstärke in Abhängigkeit der Zeit. Zu
welcher Zeit ist es am lautesten?
Gegeben: f : [0, 1] → R.
Gesucht: x ∈ [0, 1], so dass f (x) maximal.
Gebrauchsanweisung:
1) Bestimme die Ableitung f 0 .
2) Berechne x ∈ [0, 1] mit f 0 (x) = 0.
3) Untersuche f an diesen Stellen und an den Randpunkten.
Ingenieure, Wirtschaftswissenschaftler, Naturwissenschaftler,
etc. benutzen solche Gebrauchsanweisungen.
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Mathematiker entwickeln; ist nicht schon alles da?
Frage: Die Funktion f beschreibt die Lautstärke in Abhängigkeit der Zeit. Zu
welcher Zeit ist es am lautesten?
Gegeben: f : [0, 1] → R.
Gesucht: x ∈ [0, 1], so dass f (x) maximal.
Gebrauchsanweisung:
1) Bestimme die Ableitung f 0 .
2) Berechne x ∈ [0, 1] mit f 0 (x) = 0.
3) Untersuche f an diesen Stellen und an den Randpunkten.
Ingenieure, Wirtschaftswissenschaftler, Naturwissenschaftler,
etc. benutzen solche Gebrauchsanweisungen.
Mathematiker entwickeln und beweisen solche
Gebrauchsanweisungen.
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
Gegeben: F : M → R.
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
Gegeben: F : M → R.
Gesucht: x ∈ M, so dass F(x) maximal.
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
Gegeben: F : M → R.
Gesucht: x ∈ M, so dass F(x) maximal.
Fragen: 1) Wie beschreibt man die Menge M der möglichen Flugzeugflügel?
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
Gegeben: F : M → R.
Gesucht: x ∈ M, so dass F(x) maximal.
Fragen: 1) Wie beschreibt man die Menge M der möglichen Flugzeugflügel?
2) Welche Eigenschaften hat die Funktion F und wie kann man diese nutzen?
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
Gegeben: F : M → R.
Gesucht: x ∈ M, so dass F(x) maximal.
Fragen: 1) Wie beschreibt man die Menge M der möglichen Flugzeugflügel?
2) Welche Eigenschaften hat die Funktion F und wie kann man diese nutzen?
3) Gibt es eine Gebrauchsanweisung?
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Mathematiker entwickeln; Ist nicht schon alles da?
Neue Frage: Die Funktion F beschreibt die Maximalgeschwindigkeit eines
Flugzeuges in Abhängigkeit der Form des Flugzeugflügels. Mit welchem Flügel
fliegt das Flugzeug am schnellsten?
Gegeben: F : M → R.
Gesucht: x ∈ M, so dass F(x) maximal.
Fragen: 1) Wie beschreibt man die Menge M der möglichen Flugzeugflügel?
2) Welche Eigenschaften hat die Funktion F und wie kann man diese nutzen?
3) Gibt es eine Gebrauchsanweisung?
Fazit:
Neue Probleme benötigen neue mathematische Begriffe und Techniken.
Universität Würzburg, 12.10.2009
Erforschen mathematischer Objekte; warum eigentlich?
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Erforschen mathematischer Objekte; warum eigentlich?
1) Viele Anwendungen in Technik, Naturwissenschaften und
Wirtschaftswissenschaften.
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Erforschen mathematischer Objekte; warum eigentlich?
1) Viele Anwendungen in Technik, Naturwissenschaften und
Wirtschaftswissenschaften.
2) Viele Anwendungen von denen wir heute noch keine Vorstellung haben.
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Erforschen mathematischer Objekte; warum eigentlich?
1) Viele Anwendungen in Technik, Naturwissenschaften und
Wirtschaftswissenschaften.
2) Viele Anwendungen von denen wir heute noch keine Vorstellung haben.
3) Wissenschaftliche Neugier.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, 5 . . . }.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, 5 . . . }.
Beobachtung: Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet Strukturen.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, 5 . . . }.
Beobachtung: Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet Strukturen.
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch die Zahl 1 und durch sich
selbst teilbar ist.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Menge der natürlichen Zahlen: N = {1, 2, 3, 4, 5 . . . }.
Beobachtung: Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet Strukturen.
Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch die Zahl 1 und durch sich
selbst teilbar ist.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Jede natürliche Zahl läßt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen
schreiben.
Beispiel: 42 = 2 · 3 · 7
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Wie sind Primzahlen verteilt?
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Ein paar Vermutungen über Primzahlen:
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Ein paar Vermutungen über Primzahlen:
I Es gibt unendlich viele Primzahlen.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Ein paar Vermutungen über Primzahlen:
I Es gibt unendlich viele Primzahlen.
n
II 22 + 1 mit n ∈ N ist eine Primzahl (eine Vermutung von Fermat, 1637).
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Ein paar Vermutungen über Primzahlen:
I Es gibt unendlich viele Primzahlen.
n
II 22 + 1 mit n ∈ N ist eine Primzahl (eine Vermutung von Fermat, 1637).
III Zu k > 2 gibt es Primzahlen p1 , . . . , pk , so dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
(Vermutung von Hardy und Littlewood 1923).
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Ein paar Vermutungen über Primzahlen:
I Es gibt unendlich viele Primzahlen.
n
II 22 + 1 mit n ∈ N ist eine Primzahl (eine Vermutung von Fermat, 1637).
III Zu k > 2 gibt es Primzahlen p1 , . . . , pk , so dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
(Vermutung von Hardy und Littlewood 1923).
IV Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen (Vermutung von
Goldbach, 1742).
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz: Diese Vermutung ist richtig!
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz: Diese Vermutung ist richtig!
Beweis: (Euklid ca. 300 v.C.) Angenommen es gäbe nur n Primzahlen p1 , . . . , pn .
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz: Diese Vermutung ist richtig!
Beweis: (Euklid ca. 300 v.C.) Angenommen es gäbe nur n Primzahlen p1 , . . . , pn .
Wir betrachten die Zahl K = 1 + p1 · p2 · · · · · pn .
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz: Diese Vermutung ist richtig!
Beweis: (Euklid ca. 300 v.C.) Angenommen es gäbe nur n Primzahlen p1 , . . . , pn .
Wir betrachten die Zahl K = 1 + p1 · p2 · · · · · pn .
Sei nun p eine Primzahl welche K teilt. Dann ist p = pi für ein i ∈ {1, . . . , n}.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz: Diese Vermutung ist richtig!
Beweis: (Euklid ca. 300 v.C.) Angenommen es gäbe nur n Primzahlen p1 , . . . , pn .
Wir betrachten die Zahl K = 1 + p1 · p2 · · · · · pn .
Sei nun p eine Primzahl welche K teilt. Dann ist p = pi für ein i ∈ {1, . . . , n}.
Dann ist
K
1
p · p2 · · · · · pn
=
+ 1
.
pi
pi
pi
Das ist aber ein Widerspruch,
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung I: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Satz: Diese Vermutung ist richtig!
Beweis: (Euklid ca. 300 v.C.) Angenommen es gäbe nur n Primzahlen p1 , . . . , pn .
Wir betrachten die Zahl K = 1 + p1 · p2 · · · · · pn .
Sei nun p eine Primzahl welche K teilt. Dann ist p = pi für ein i ∈ {1, . . . , n}.
Dann ist
K
1
p · p2 · · · · · pn
=
+ 1
.
pi
pi
pi
Das ist aber ein Widerspruch, da
1
K
p · p2 · · · · · pn
− 1
=
.
pi
pi
pi
|{z} |
{z
} |{z}
∈N
∈N
∈N
/
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
n
Vermutung II: 22 + 1 ist eine Primzahl (Vermutung von Fermat (1637)).
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
n
Vermutung II: 22 + 1 ist eine Primzahl (Vermutung von Fermat (1637)).
Tatsächlich sind
1
22 + 1
=
5
+1
=
17
+1
=
257
22 + 1
=
65537
22
2
23
2
4
alles Primzahlen.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
n
Vermutung II: 22 + 1 ist eine Primzahl (Vermutung von Fermat (1637)).
Tatsächlich sind
1
22 + 1
=
5
+1
=
17
+1
=
257
22 + 1
=
65537
22
2
23
2
4
alles Primzahlen.
Aber schon Euler entdeckte 1732
5
22 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417.
Die Vermutung ist falsch.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung III: Gibt es zu jeder natürlichen Zahl k > 2 Primzahlen p1 , . . . , pk , so
dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung III: Gibt es zu jeder natürlichen Zahl k > 2 Primzahlen p1 , . . . , pk , so
dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
Beispiele: Für k = 3 gibt es solche Primzahlen. Z.B.: 3, 5, 7 oder 47, 53, 59.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung III: Gibt es zu jeder natürlichen Zahl k > 2 Primzahlen p1 , . . . , pk , so
dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
Beispiele: Für k = 3 gibt es solche Primzahlen. Z.B.: 3, 5, 7 oder 47, 53, 59.
Satz (Van der Corput 1939): Es gibt unendlich viele
Primzahltripel (p, q, r) mit q − p = r − q.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung III: Gibt es zu jeder natürlichen Zahl k > 2 Primzahlen p1 , . . . , pk , so
dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
Beispiele: Für k = 3 gibt es solche Primzahlen. Z.B.: 3, 5, 7 oder 47, 53, 59.
Satz (Van der Corput 1939): Es gibt unendlich viele
Primzahltripel (p, q, r) mit q − p = r − q.
Mit Computern wurden auch für jedes k ∈ {3, . . . , 22} solche Mengen von
Primzahlen gefunden.
Beispiel: 56.211.383.760.397 + 44.546.738.095.860 · j , j = 1, . . . , 22.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung III: Gibt es zu jeder natürlichen Zahl k > 2 Primzahlen p1 , . . . , pk , so
dass
p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1
Beispiele: Für k = 3 gibt es solche Primzahlen. Z.B.: 3, 5, 7 oder 47, 53, 59.
Satz (Van der Corput 1939): Es gibt unendlich viele
Primzahltripel (p, q, r) mit q − p = r − q.
Mit Computern wurden auch für jedes k ∈ {3, . . . , 22} solche Mengen von
Primzahlen gefunden.
Beispiel: 56.211.383.760.397 + 44.546.738.095.860 · j , j = 1, . . . , 22.
Satz (Green, Tao 2004): Für jede natürliche Zahl k > 2 gibt es
unendlich oft Primzahlen p1 , . . . , pk mit
p2 − p1 = · · · = pk − pk−1 .
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung IV: Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung IV: Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen.
Beispiele:
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung IV: Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen.
Beispiele:
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11
65550 =
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung IV: Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen.
Beispiele:
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11
65550 =65537 + 13
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung IV: Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen.
Beispiele:
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11
65550 =65537 + 13
Die Vermutung ist für alle Zahlen kleiner als 108 verifiziert.
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Vermuten, beweisen und widerlegen am Beispiel Zahlentheorie
Vermutung IV: Jede gerade Zahl außer 2 ist die Summe zweier Primzahlen.
Beispiele:
4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11
65550 =65537 + 13
Die Vermutung ist für alle Zahlen kleiner als 108 verifiziert.
Aber: Diese Vermutung ist bis heute unbewiesen!
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Was müssen wir lernen um Mathematiker zu werden?
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Was müssen wir lernen um Mathematiker zu werden?
1)
Mit sb@home umzugehen !!!!
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Was müssen wir lernen um Mathematiker zu werden?
1)
Mit sb@home umzugehen !!!!
2)
Die Sprache der Mathematik
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Was müssen wir lernen um Mathematiker zu werden?
1)
Mit sb@home umzugehen !!!!
2)
Die Sprache der Mathematik
3)
Mathematische Konzepte
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Was müssen wir lernen um Mathematiker zu werden?
1)
Mit sb@home umzugehen !!!!
2)
Die Sprache der Mathematik
3)
Mathematische Konzepte
4)
Beweismethoden
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Mit sb@home umzugehen !!!!
2)
Die Sprache der Mathematik
3)
Mathematische Konzepte
4)
Beweismethoden
5)
Kreativität und Zähigkeit
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Literatur:
Skript im Netz
Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (Jürgen Appell & Kristina Appell) Elsevier,
Spektrum Akad. Verlag
Einführung in das mathematische Arbeiten (Hermann Schichl & Roland
Steinbauer), Springer-Verlag
Das ist o.B.d.A. trivial!. Tipps und Tricks zur Formulierung mathematischer
Gedanken (Albrecht Beutelspacher), Vieweg
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