Wissensbasierte Systeme Inhalt

Prädikatenlogik
Wissensbasierte Systeme
Michael Beetz
Technische Universität München
Wintersemester 2004/05
Rationales Denken, Logik, Resolution
1
Rationales Denken, Logik, Resolution
Motivation
Die Wumpus-Welt
Rational denkende Agenten
Aussagenlogik Syntax & Semantik
Logische Folgerbarkeit
Logische Ableitungen: Resolution
Motivation
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Aussagenlogik Syntax & Semantik
Logische Folgerbarkeit
Logische Ableitungen: Resolution
Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion
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Aussagenlogik Syntax & Semantik
Logische Folgerbarkeit
Logische Ableitungen: Resolution
Inhalt
7.1 Motivation
7.2 Syntax und Semantik
7.3 Normalformen
7.4 Reduktion auf Aussagenlogik: Herbrandexpansion
7.5 Ausblick
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7.1.1. Motivation
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7.2.1. Alphabet der Prädikatenlogik 1. Stufe
Symbole:
Man kann schon eine ganze Menge mit Aussagenlogik anfangen.
Allerdings ist es ärgerlich, dass es nicht möglich ist, auf die
Struktur der atomaren Aussagen einzugehen.
Operatoren: ¬,∧,∨,∀,∃, =
Variablen: x, x1 , x2 , . . . , x 0 , x 00 , . . . , y , . . . , z, . . .
Klammersymbole: ( )
Beispiel:
Alle Blöcke sind rot“
”
Es gibt einen Block A“
”
Daraus sollte folgen: A ist rot“
”
Funktionssymbole (z.B. Gewicht, Farbe) (zur Repräsentation von
Objekten)
Prädikatensymbole (z.B. Block, Rot) (für Aussagen über Objekten)
Mit Aussagenlogik können wir dies aber nicht ausdrücken.
Hinweise:
1
Idee: Wir führen Individuenvariablen, Prädikate, Funktionen . . . ein
; Prädikatenlogik 1. Stufe (PL1)
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7.2.2. Grammatik der Prädikatenlogik 1. Stufe (1)
Terme (stehen für Objekte):
2
Jede Variable ist ein Term.
2
Wenn t1 , t2 , . . . , tn Terme sind und f ein n-stelliges
Funktionssymbol, dann ist f (t1 , t2 , . . . , tn ) auch ein Term.
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3
”
Rational denkende Agenten
=“ wird
nicht
alsLogik,
Prädikat
Rationales
Denken,
Resolutionbehandelt!
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7.2.3. Grammatik der Prädikatenlogik 1. Stufe (2)
1
Jede atomare Formel ist eine Formel.
2
Wenn ϕ und ψ Formeln sind und x eine Variable ist, dann sind
¬ϕ, ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ϕ ⇒ ψ, ϕ ⇔ ψ, ∃ x ϕ und ∀ x ϕ auch Formeln.
∀, ∃
binden so stark wie ¬.
Terme ohne Variablen: Grundterme
Atomare Formeln (stehen für Aussagen über Objekten)
2
Wir nehmen abzählbar viele Prädikate
und Funktionen jeder
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Stelligkeit an.
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Formeln:
1
1
Prädikaten- und Funktionssymbole besitzen eine Stelligkeit (Zahl
der Argumente).
0-stellige Prädikate: aussagenlogische Atome
0-stellige Funktionen: Konstanten
Wenn t1 , t2 , . . . , tn Terme sind und P ein n-stelliges Prädikat ist,
dann ist P(t1 , t2 , . . . , tn ) eine atomare Formel.
Wenn t1 und t2 Terme sind, dann ist t1 = t2 eine atomare Formel.
Die Aussagenlogik ist eine Teilsprache der PL1:
1
Atomare Formeln: nur 0-stellige Prädikate
2
Weder Variablen noch Quantoren.
Atomare Formeln ohne Variablen: Grundatome.
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7.2.4. Notation
7.2.5. Alternative Notation:
Klammern zur Strukturierung
Verwendung anderer Klammern zwecks Leserlichkeit {, }, [, ].
Prädikate: Person, Schön, älter-als
Funktionen: Vater-von, Nachfolger, a, b
Variablen: x, y , z,
Geschachtelte Quantoren: ∀x∀y . . . auch ∀x, y . . .
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7.2.6. Bedeutung von PL1-Formeln
Unser Beispiel:∀x[Block(x) ⇒ Rot(x)], Block(a)
Für alle Objekte x gilt: Falls x ein Block ist, dann ist x rot. a ist
ein Block.
Generell:
Terme werden als Objekte interpretiert.
Universell quantifizierte Variablen laufen über alle Objekte des
Universums.
Existentiell quantifizierte Variablen stehen für ein Objekt des
Universums (das den quantifizierten Ausdruck wahr macht).
hier
¬ϕ
ϕ∧ψ
ϕ∨ψ
ϕ⇒ψ
ϕ⇔ψ
∀xϕ
∃xϕ
sonst
∼ϕ ϕ
ϕ&ψ ϕ · ψ ϕ, ψ
ϕ|ψ ϕ; ψ ϕ + ψ
ϕ→ψ ϕ⊃ψ
ϕ↔ψ V
ϕ≡ψ
(∀x)ϕ
W xϕ
(∃x)ϕ
xϕ
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7.2.7. Semantik von PL1: Interpretationen
Interpretation: I = hD, ·I,α i mit D eine beliebige nicht-leere
Menge und ·I,α eine Funktion, die
n-stellige Funktionssymbole auf Funktionen über D abbildet:
f I ∈ [Dn → D]
Individuenkonstanten auf Elemente aus D abbildet: aI ∈ D
n-stellige Prädikatensymbole auf Relationen über D abbildet:
P I ⊆ Dn
Interpretation von Grundtermen:
(f (t1 , . . . , tn ))I
= f I (t1 I , . . . , tn I ) (∈ D)
Prädikate stehen für Teilmengen des Universums.
Ähnlich wie für Aussagenlogik definieren wir: Interpretationen,
Erfüllung, Modelle, Allgemeingültigkeit, Folgerung, . . .
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Erfüllung von Grundatomen P(t1 , . . . , tn ):
I |= P(t1 , . . . , tn ) gdw. ht1 I , . . . , tn I i ∈ P I
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7.2.8. Beispiel 1
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7.2.9. Beispiel 2
D = {d1 , . . . , dn | n > 1}
D = {1, 2, 3, . . .}
aI
= d1
1I
= 1
bI
= d2
2I
cI
= ...
= 2
..
.
I
Block
I
Rot
EvenI
= {d1 }
= D
succ
I
= {2, 4, 6, . . .}
= {(1 7→ 2), (2 7→ 3), . . .}
I |= Rot(b)
I |= Even(2)
I 6|= Block(b)
I 6|= Even(succ(2))
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7.2.10. Semantik von PL1: Variablenbelegung
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7.2.11. Beispiel
V Menge aller Variablen. Funktion α : V → D.
Notation: α[x/d] ist identisch mit α bis auf die Stelle x. Für x gilt:
α[x/d](x) = d.
Interpretation von Termen unter I, α:
x I,α = α(x)
aI,α = aI
(f (t1 , . . . , tn ))I,α = f I (t1 I,α , . . . , tn I,α )
α = {(x 7→ d1 ), (y 7→ d2 )}
I, α |= Rot(x)
I, α[y/d1 ] |= Block(y)
Erfüllbarkeit von atomaren Formeln:
I, α |= P(t1 , . . . , tn ) gdw. ht1 I,α , . . . , tn I,α i ∈ P I
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7.2.12. Semantik von PL1: Erfüllbarkeit
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7.2.13. Beispiel
Eine Formel ϕ wird von einer Interpretation I unter einer
Variablenbelegung α erfüllt, d.h. I, α |= ϕ:
I, α |= >
I, α 6|= ⊥
I, α |= ¬ϕ gdw. I, α 6|= ϕ
...
und alle weiteren propositionalen Regeln sowie
I |= P(t1 , . . . , tn ) gdw. ht1 I,α , . . . , tn I,α i ∈ P I
Θ
=
D
aI
bI
BlockI
RotI
α
=
=
=
=
=
=
Block(a), Block(b)
∀x (Block(x) ⇒ Rot(x))
{d1 , . . . , dn } n > 1
d1
d2
{d1 }
D
{(x 7→ d1 ), (y 7→ d2 )}
I, α |= ∀x ϕ gdw. für alle d ∈ D gilt I, α[x/d] |= ϕ
I, α |= ∃x ϕ gdw. es gibt ein d ∈ D mit I, α[x/d] |= ϕ
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7.2.14. Freie und gebundene Variablen
Fragen:
1
2
3
4
5
I, α |= Block(b) ∨ ¬Block(b)?
I, α |= Block(x) ⇒ (Block(x) ∨ Block(y))?
I, α |= Block(a) ∧ Block(b)?
I, α |= ∀x (Block(x) ⇒ Rot(x))?
I, α |= Θ?
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7.2.15. Terminologie
Eine Interpretation I heit Modell von ϕ unter α, wenn
∀x[R( y , z ) ∧ ∃y {¬P(y , x) ∨ R(y , z )}]
Eingekästelte Vorkommen von y und z sind frei. Alle anderen
Vorkommen von x, y, z sind gebunden.
Formeln, in denen keine freien Variablen vorkommen, heien
geschlossene Formeln oder auch Sätze. Bei der Formulierung von
Theorien benutzen wir nur geschlossene Formeln.
Beachte: Die Begriffe logische Äquivalenz, Erfüllbarkeit,
Folgerbarkeit usw. sind bei geschlossenen Formeln unabhängig von
der Variablenbelegung α (d.h. man kann immer über alle
Variablenbelegungen gehen).
Bei geschlossenen Formeln wird dann α auf der linken Seite des
Modellbeziehungszeichens weggelassen:
I |= ϕ
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I, α |= ϕ.
Eine Formel ϕ der PL1 kann, ebenso wie in der Aussagenlogik)
erfüllbar, unerfüllbar, falsifizierbar oder allgemeingültig sein.
Analog sind zwei Formeln logisch äquivalent (ϕ ≡ ψ), wenn für
alle I, α gilt:
I, α |= ϕ gdw. I, α |= ψ
Beachte: P(x) 6≡ P(y)!
Auch logische Folgerbarkeit ist analog zu propositionaler Logik.
Frage: Wie können wir einen Ableitungsbegriff definieren?
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7.3.2. Äquivalenzen für die Erzeugung der
Pränex-Normalform
7.3.1. Pränex-Normalform
Wegen der Quantoren können wir nicht direkt die KNF einer
Formel bilden.
Erster Schritt: Bilden der Pränex-Normalform
Quantorenpräfix + (quantorenfreie) Matrix ϕ:
∀ x 1 ∀ x2 ∃ x3 . . . ∀ xn ϕ
(∀xϕ) ∧ ψ ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ) x nicht frei in ψ
(∀xϕ) ∨ ψ ≡ ∀x(ϕ ∨ ψ) x nicht frei in ψ
(∃xϕ) ∧ ψ ≡ ∃x(ϕ ∧ ψ) x nicht frei in ψ
(∃xϕ) ∨ ψ ≡ ∃x(ϕ ∨ ψ) x nicht frei in ψ
∀xϕ ∧ ∀xψ ≡ ∀x(ϕ ∧ ψ)
∃xϕ ∨ ∃xψ ≡ ∃x(ϕ ∨ ψ)
¬∀xϕ ≡ ∃x¬ϕ
¬∃xϕ ≡ ∀x¬ϕ
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7.3.3. Erzeugen der Pränex-Normalform
1
2
3
Eliminierung von ⇒ und ⇔
¬ nach innen
Quantoren nach auen
Beispiel: ¬∀x [(∀x P(x)) ⇒ Q(x)] ; ¬∀x [¬(∀x P(x)) ∨ Q(x)] ;
∃x [(∀x P(x)) ∧ ¬Q(x)]
Und nun?
Lösung: Variablenumbenennung
ϕ[x/t] entsteht aus ϕ, indem alle freien Vorkommen von x in ϕ
durch den Term t ersetzt werden.
Lemma: Sei y eine Variable, die nicht in ϕ vorkommt. Dann gilt
∀ x ϕ ≡ ∀ y ϕ[x/y ] und ∃ x ϕ ≡ ∃ y ϕ[x/y ].
Satz: Es existiert ein Algorithmus, der zu jeder Formel ihre
Pränex-Normalform berechnet.
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. . . und aussagenlogische
Äquivalenzen
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7.4.1. Ableitungen in PL1
Was nutzt uns die Pränex-Normalform?
Leider gibt es nicht wie für die propositionalen Logik einfache
Gesetze, die uns erlauben, Erfüllbarkeit oder Allgemeingültigkeit zu
bestimmen (durch Umformung in DNF oder KNF).
Aber: Wir können das Erfüllbarkeitsproblem der Prädikatenlogik
auf Erfüllbarkeit in propositionaler Logik reduzieren.
I.allg. entstehen dabei allerdings unendliche Mengen von
propositionalen Formeln.
Dann: Anwenden von Resolution.
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7.4.2. Skolemisierung
7.4.3. Skolem-Normalform
Idee: Eliminierung der Existenzquantoren durch Funktionen, die
uns das richtige”’ Element liefern.
”
Satz (Skolem-Normalform): Sei ϕ eine geschlossene Formel in
Pränex-Normalform, so dass alle quantifizierten Variablen
paarweise verschieden sind und die Funktionssymbole g1 , g2 , . . .
nicht in ϕ auftreten. Sei
ϕ = ∀ x1 . . . ∀ xi ∃ y ψ,
dann ist ϕ erfüllbar gdw.
ϕ0 = ∀ x1 . . . ∀ xi ψ[y /gi (x1 , . . . , xi )]
erfüllbar ist.
Beispiel: ∀ x ∃ y [P(x) ⇒ Q(y )] ; ∀ x [P(x) ⇒ Q(g (x))]
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7.4.4. Grundterme, Herbrandexpansion
Die Grundtermmenge (oder das Herbranduniversum) über einer
Menge von SNF-Formeln Θ∗ ist die (abzählbare) Menge aller
Grundterme, die sich mit Symbolen aus Θ∗ bilden lassen (falls es
kein Konstantensymbol gibt, wird eines hinzugefügt). Diese Menge
wird mit D(Θ∗ ) bezeichnet ; repräsentative Trägermenge.
Die Herbrandexpansion E (Θ∗ ) ist die Instantiierung der Matrizen
ψi aller Formeln in Θ∗ durch alle Terme t ∈ D(Θ∗ ):
E (Θ∗ ) = {ψi [x1 /t1 , . . . , xn /tn ] | (∀ x1 , . . . , xn ψi ) ∈ Θ∗ , tj ∈ D(Θ∗ )}
Satz (Herbrand): Sei Θ∗ eine Menge von Formeln in SNF. Dann
ist Θ∗ erfüllbar gdw. E (Θ∗ ) erfüllbar ist.
Beachte: Falls D(Θ∗ ) und Θ∗ endlich, dann ist die Herbrandexpansion
endlich ; endliche aussagenlogische Theorie
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Skolem-Normalform: Pränex-Normalform ohne
Existenzquantoren. Schreibweise: ϕ∗ ist SNF von ϕ.
Satz: Zu jeder geschlossen Formel ϕ kann ihre SNF ϕ∗ effektiv
berechnet werden.
Beispiel:
∃x
∃y
∃y
∀x
((∀x P(x)) ∧ ¬Q(x)) weiter geht’s so:
((∀x P(x)) ∧ ¬Q(y ))
(∀x (P(x) ∧ ¬Q(y )))
(P(x) ∧ ¬Q(g0 ))
Beachte: Diese Transformation ist keine
Äquivalenztransformation, sie erhält nur Erfüllbarkeit!
Beachte: . . . und sie ist nicht eindeutig.
Beispiel: ∃x (p(x)) ∧ ∀y (q(y ))
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7.4.5. Unendliche aussagenlogische Theorien . . .
Gibt es bei unendlichen Formelmengen endliche Beweise?
Satz (Kompaktheit der Aussagenlogik): Jede (höchstens
abzählbare) Menge von Formeln der Aussagenlogik ist erfüllbar
genau dann, wenn jede endliche Teilmenge erfüllbar ist.
Korollar: Eine (höchstens abzählbare) Menge von Formeln der
Aussagenlogik ist unerfüllbar genau dann wenn bereits eine
endliche Teilmenge unerfüllbar ist.
Korollar (Kompaktheit der PL1): Jede (höchstens abzählbare)
Menge von Formeln der Prädikatenlogik ist erfüllbar genau dann,
wenn jede endliche Teilmenge erfüllbar ist.
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7.4.6. Rekursive Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit
Es lässt sich ein Semi-Entscheidungsverfahren für
Allgemeingültigkeit konstruieren, d.h. wir könnten einen (ziemlich
ineffizienten) Algorithmus angeben, der Schritt für Schritt alle
allgemeingültigen Formeln aufzählt.
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7.4.7. Ausblick: Mögliche Erweiterungen
PL1 ist zwar sehr ausdrucksstark, aber manchmal möchte man u.U. mehr
...
Logik 2. Stufe: auch über Prädikate quantifizieren
∀x, y [(x = y ) ⇔ {∀p [p(x) ⇔ p(y )]}]
Satz: Die Menge der allgemeingültigen (und unerfüllbaren)
Formeln in PL1 ist rekursiv aufzählbar.
Wie sieht es mit den erfüllbaren Formeln aus?
Satz (Unentscheidbarkeit von PL1): Es ist unentscheidbar ob eine
Formel der PL1 allgemeingültig ist.
(Beweis durch Reduktion des Postschen Korrespondenzproblems.)
Korollar: Die Menge der erfüllbaren Formeln in PL1 ist nicht
rekursiv aufzählbar.
Mit anderen Worten: Falls eine Formel allgemeingültig ist, können wir
dafür auch effektiv eine Bestätigung finden. Ansonsten können wir u.U.
in eine Endlosschleife
geraten.
Rationales Denken,
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7.4.8. Ausblick: Verarbeitung
Lambda-Ausdrücke: Definition von Prädikaten, z.B.
λx, y [∃z P(x, z) ∧ Q(z, y )] definiert neues 2-stelliges Prädikat.
; lässt sich auf PL1 reduzieren durch Lambda-Reduktion
Eindeutigkeitsquantor: ∃!x ϕ(x) – es existiert genau ein x . . .
; Reduktion auf PL1:
∃x [ϕ(x) ∧ ∀y {ϕ(y ) ⇒ x = y }]
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7.5. Zusammenfassung
PL1-Resolution: Statt Resolution auf der Herbrandexpansion
wird Resolution über Klauseln mit Variablen durchgeführt. ;
Unifikation, ; Resolution über Klassen von Grundinstanzen
Einschränkung der syntaktischen Form: Nur Horn-Klauseln
; PROLOG ; erheblich effizientere Methoden
Endliche Theorien: In Anwendungen hat man oft eine
endliche Menge von Objekten vorgegeben. Domain closure
axiom:
∀x[x = c1 ∨ x = c2 ∨ . . . ∨ x = cn ]
Übersetzung in endliche aussagenlogische Form möglich.
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; Allgemeingültigkeit ist nicht mehr semi-entscheidbar (keine
Kompaktheit mehr)
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PL1 erlaubt es, Aussagen zu strukturieren und gibt uns damit
eine erheblich gröere Aussagekraft als Aussagenlogik.
Formeln bestehen aus Termen und atomaren Formeln, die mit
Hilfe von Konnektoren und Quantoren zu Formeln
zusammengesetzt werden können.
Interpretationen in PL1 bestehen aus einem Universum und
der Interpretationsfunktion.
Der Satz von Herbrand zeigt, dass Erfüllbarkeit in PL1 auf
Erfüllbarkeit in Aussagenlogik reduziert werden kann
(allerdings entstehen dabei u.U. unendliche Formelmengen).
Aber: Allgemeingültigkeit in PL1 ist nicht entscheidbar!
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