Prof. M. Müller-Preussker Quantentheorie WS

Prof. M. Müller-Preussker
Quantentheorie
WS 2010/2011
Philipp Reichert
[email protected]
21. Januar 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Schrödingersche Wellenmechanik
1.1 Aufstellen der Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Welle-Teilchen-Dualität, de Broglie-Beziehung . . . . .
1.2 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Das Doppel-Spalt-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Experiment von Chapman et. al. 1995 . . . . . . . . .
1.4 Der Welle-Teilchen-Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Verallgemeinerung auf Teilchen im Potential . . . . . .
1.6 Statistische Interpretation der Materiewellen . . . . . . . . .
1.6.1 Erhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Wie ist die freie Bewegung zu behandeln? . . . . . . .
1.7 Überlagerung von Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Quantenmechanische Erwartungswerte, Korrespondenzregeln
1.9 Zeitliche Änderungen von quantenmechanischen Erwartungswerten, Vertauschungsbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Korrespondenzregel - klassische Mechanik versus Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Heisenbergsche Unschärferelation zwischen Ort und Impuls
eines Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Verallgemeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Schlussfolgerungen für die mathematsche Struktur der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
6
6
7
7
8
8
9
9
11
11
13
15
19
20
21
23
2 Eindimensionale quantenmechanische Systeme
27
2.1 Allgemeine Eigenschaften der Lösung der stationären SchrödingerGleichung in stückweise konstanten Potentialen . . . . . . . . 28
2.1.1 Stetigkeitseigenschaften von UE (q) . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 V (q) = const. für q ∈ [a, b], V (q) ≡ V0 < E . . . . . . 28
2.1.3 V (q) = const. für q ∈ [a, b], V (q) ≡ V0 > E . . . . . . 29
2.2 Bewegung im Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Die Potentialschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Schrödingersche Wellenmechanik
1.1
1.1.1
Aufstellen der Schrödinger-Gleichung
Welle-Teilchen-Dualität, de Broglie-Beziehung
Beobachtungen
Licht: Photoelektrischer Effekt, Heinrich Hertz 1887, A. Einstein 1905
Feststellung a):
m 2
v = E = ~(ω − ωA ) = h(ν − νA )
2
EA = ~ · ωA , Austrittsarbeit
(1)
(2)
wobei für die Plank’sche Konstante gilt:
h = 2π~ ≈ 6, 6 · 10−34 Js
J=
m2
kg ·
s2
= Nm
(3)
(4)
Festellung b):
Die Zahl an freigesetzten Elektronen Ne ist proportional zur Intensität des
Lichts. In der klassischen Physik würde man erwarten, dass E proportional
zur Intensität ist.
Die Erklärung lieferte Einstein in seiner Lichtquantenhypotese (Photonen,
γ-Quanten)
E 2 = (m0 c2 )2 + p~2 c2 , m0 = 0
= (~ω)
2
(5)
(6)
Damit folgt:
E = ~ω
(7)
|~
p| = ~k
(8)
Daraus folgt, dass Photonen auch Teilcheneigenschaften besitzen.
E ↔ ω , |~
p| ↔ k
(9)
andere Effekte:
• Compton-Effekt (1923): Wechselwirkung von Lichtteilchen mit Elektronen
• Hohlraumstrahlung: Strahlung eines ideal schwarzen Körpers
Quantentheorie
3
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Materieteilchen: Elektronen, Protonen, ... ↔ Materiewellen
• Experiment: Beugung und Interferenz von Elektronenstrahlen an
Kristellen (Davisson, Germer, 1927), analog zu Röntgenstraheln nach
M. von Laue
de Broglie (1924, Diss.): ~k = ~1 p~, ω = ~1 E
1.2
Wellenpakete
Wir betrachten Materieteilchen mit m0 = 0, Überlagerung von ebenen Wellen zur Konstruktion von Wellenpaketen, die lokal konzentriert sind
ebene Welle:
~
ψ(~x, t) = A · e−i(ωt−k·~x)
de Broglie = A · e
h
λ= =
p
ω
Phasengeschwindigkeit u = =
k
(10)
1
(−Et+~
p·~
x)
~
(11)
h
mv
E
mc2
c
=
= c≥c
p
mv
v
(12)
(13)
Damit folgt, dass die Phasengeschwindigkeit u ungleich der Teilchengeschwindigkeit.
Dispersion von Materiewellen ω(k) =?
q
p2
~ω = E = m20 c4 + p2 c2 ≈ m0 c2 +
+ ...
2m0
~2 k 2
= m0 c2 +
+ ...
2m0
m0 c2
~k 2
+
+ ...
ω(k) =
~
2m0
(14)
(15)
(16)
Im Gegensatz zu Licht: ω = kc
Gruppengeschwindigkeit
vG =
dω(k)
dE
=
dk
dp
(17)
naive Begründung: Krafteinwirkung F~ längs des Wegstücks d~s.
~
~
~ = dp · ds
~ = dp
~ · ds , dp
~ k ~v
dE = F~ · ds
dt
dt
|{z}
(18)
dE
=v
dp
(19)
~v
4
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Wellenpaket: 1-dim. Bewegung, Superposition
Z
k0 +4k
ψ(x, t) =
A(k)e−i(ω(k)t−kx) dk ,
k0 −4k
4k
1
k0
(20)
Taylorreihe:
δω
|k−k0 (k − k0 ) + O((k − k0 )2 )
δk
= ω(k0 ) + vG (k − k0 ) + O((k − k0 )2 ) , ξ = (k − k0 )
(22)
= ω(k0 ) + vG ξ + O(ξ)
(23)
ω(k) = ω(k0 ) +
(21)
Substitution: k − k0 = ξ:
=ξ
ψ(x, t) = A(k0 )e−i(ω(k0 )t−k0 x)
Z
4k
z }| {
−i(vG ξt−(k − k0 )x)ξ
dξ
e
(24)
−4k
h
i∆k
1
e−i(vg t−x)ξ
(25)
−i(vg t − x)
−∆k
1
e−i(vg t−x)∆k − ei(vg t−x)∆k
= A(k0 )e−i(ω(k0 )t−k0 x) · i
(vg t − x)
(26)
= A(k0 )e−i(ω(k0 )t−k0 x) ·
Mit eiϕ − e−iϕ = 2i sin ϕ folgt letztendlich:
ψ(x, t) = 2A(k0 ) ·
sin((vg t − x)∆k) −i(ω(k0 )t−ko x)
·e
(vg t − x)
(27)
Daraus folgt, dass sich das Amplitudenmaximum mit vG = dω
dk bewegt.
Aber unter Berücksichtigung des Terms O((k − k0 )2 ) zerfließt das Wellenpaket!
Quantentheorie
5
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
1.3
Das Doppel-Spalt-Experiment
Abbildung 1: Eine Welle fällt auf eine Blende mit zwei Öffnungen
(Loch oder Spalt). Von den Öffnungen 1 und 2 breiten sich die Wellen mit den Amplituden A1 und A2
aus. Rechts vom Schirm S ist die gemessene Intensität
|A1 + A2 |2 schematisch aufgetragen
für einen Spalt gilt:
|ψ|2 = |ψ1 |2
(28)
für einen Doppelspalt gilt:
|ψ|2 = |ψ1 + ψ2 |2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2 + ψ1 ψ2∗ + ψ1∗ ψ2 6= |ψ1 |2 + |ψ2 |2 (29)
1.3.1
Interpretation
• einzelne Elektronen produzieren Interferenz, d. h. Interferenz ist nicht
Folge der WW zw. Elektronen.
→ Interferenzbilder mit Wellenansatz und linearer Superposition beschreibbar
• auf dem Beobachtungsschirm (Detektor) erscheinen Elektronen nicht
ausgeschmiert“, sondern punktförmig
”
→ Welleneigenschaft sollte statistisch interpretiert werden
→ (M. Born 1926) Materiewellen“→ Wahrscheinlichkeitswellen“
”
”
6
Quantentheorie
1
1.3.2
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Experiment von Chapman et. al. 1995
Abbildung 2: Bei geschlossenem Spalt 2 ist die Intensitätsverteilung
|A1 |2 . Wenn beide Spalte zeitlich getrennt geöffnet sind,
verschwinden die Interferenzeffekte; die gemessene Intesität ist denn |A1 |2 |A2 |2 .
Ortsmessung des Elektrons mittels Streuung von γ-Strahlung
Beobachtung: Interferenzbild verschwindet
• Ortsmessung verändern den Zustand des Elektrons
→ Begriff Bahnkurve“verliert seinen Sinn
”
1.4
Der Welle-Teilchen-Dualismus
Kopenhagener Deutung, N. Bohr:
Ein Elektron ist weder Welle noch Teilchen, sondern ein physikalisches Objekt, das je nach Versuchbedingungen Wellen- oder Teilcheneigenschaften
zeigt. Ort (und Impuls) sind unbestimmt, solange keine Ortsmessung (Impulsmessung) durchgeführt wird.
Quantentheorie
7
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
1.5
Die Schrödinger-Gleichung
Gesucht wird eine Wellengleichung“für Materiewellen (de Broglie-Wellen).
”
Zunächst untersuchen wir eine ebene Welle:
~
i
ψ(~x, t) = Ae−i(ωt−k~x) = Ae− ~ (Et−~p·~x)
(30)
δ
ψ(~x, t) = Eψ(~x, t)
δt
δ
i
ψ(~x, t) = px ψ(~x, t)
δx
~
1
δ2
ψ(~x, t) = − 2 ψ(~x, t)
2
δx
~
i~
(31)
(32)
(33)
analog Ableiten nach y und z liefert dann:
2
δ
δ2
δ2
1
ψ(~x, t) =
+
+
ψ(~x, t) = − 2 p~2 ψ(~x, t)
δx2 δy 2 δz 2
~
~2
p~2
−
∆ψ(~x, t) =
ψ(~x, t)
2m
2m
(34)
(35)
Bilde
~2
δ
∆ψ =
i~ ψ − −
δt
2m
p~2
E−
2m
|
{z
}
ψ(~x, t) = 0
(36)
Energiesatz für freies Teilchen
1.5.1
Verallgemeinerung auf Teilchen im Potential
E−
p~2
− V (~x) = 0
2m
δ
~2
i~ ψ − −
∆ψ + V (~xψ
δt
2m
=
E−
(37)
p~2
+V
2m
ψ=0
(38)
Hierdurch entsteht eine partielle Differentailgleichung für die Materiewel”
le“(ψ(~x, t)). Sie soll im weiteren nicht nur für die spezielle Lösung (30) gelten.
i~
~2
δ
ψ=−
∆ψ + V ψ , Schrödinger-Gleichung
δt
2m
(39)
Man kann verschiedene andere Wege beschreiten, um Gleichung (39) zu gewinnen. Letztlich muss sie postuliert werden.
Eine wirkliche Herleitung ist nicht möglich.
Gleichung (39) stellt eine Materiewellengleichung“für komplexe die Ampli”
tude ψ(~x, t) im Potential V (~x) dar - die sogenannte ψ - Wellenfunktion“.
”
Anmerkungen:
8
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
• Hinsichtlich der Zeitableitung stellt (39) keine Wellengleichung dar;
(39) entspricht formal einer Diffusions-/ Wärmeleitungs-Gleichung mit
imaginärem Koeffizienten.
• Die Schrödinger-Gleichung ist nicht kovariant bzgl. der Lorentz-Transformationen
und kann damit also nicht der Beschreibung bei hohen Energien dienen.
• (39) ist von der Form:
Lψ = 0
L = i~
(40)
~2
δ
+
∆−V
δt 2m
(41)
L ist der Operator mit der Eigenschaft der Linearität:
Falls ψi , i ∈ 1...N
N = 0 ∀i,
PN ; falls LψiP
dann auch L( i=1 ci ψi ) = i ci Lψi = 0.
Die Linearität ist dir grundlegende Eigenschaft, um das aus der Wellenlehre
bekannte Superpositionsprinzip für Materiewellen aufrecht zu erhalten.
1.6
Statistische Interpretation der Materiewellen
Die Amplitude von ψ bestimmt die Intensität (z. B. im Interferenzbild).
Intensität gleichsetzten mit der Häufigkeit/Aufenthaltswahrscheinlichkeit einzelner Teilchen.
W (~x, t) = |ψ(~x, t)|2 d3 x = Wahrscheinlichkeit, Teilchen im d3 x zu finden
(42)
% = |ψ(~x, t)|2 = ψ ∗ ψ , Wahrscheinlichkeitsdichte
(43)
Die Interpretation setzt jedoch eine Normierung voraus. Linearität von Gleichung(39) erlaubt ψ → aψ, a =const.
Z
|ψ(~x, t)|2 d3 x = 1 , Integral über R3
(44)
R3
R
falls überhaupt |ψ|2 d3 x konvergent ist ( Quadratintegrabilität“).
”
Eigenschaft (44) muss für alle Zeiten gelten → Erhaltungssatz gesucht.
1.6.1
Erhaltungssatz
Frage: Gilt dies
R nun für alle Zeiten t?
Antwort: Ist R3 |ψ|2 d3 x eine Erhaltungsgröße?
δ%
δψ ∗ δψ ∗
=ψ
+
ψ
δt
δt
δt
Quantentheorie
(45)
9
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Nebenrechnung:
δψ
~2
=−
∆ψ + V ψ
δt
2m
~2
δψ ∗
=−
∆ψ ∗ + V ψ ∗
−i~
δt
2m
i~
(46)
(47)
Damit ergibt sich:
1 ∗
~2
δ%
1
~2
∗
∗
=− ψ −
∆ψ + V ψ + ψ −
∆ψ + V ψ
δt
i~
2m
i~
2m
~
=
[ψ∆ψ ∗ − ψ ∗ ∆ψ]
2m
~
= −div ~j(~x, t) , wobei ~j(~x, t) =
[ψ∆ψ ∗ − ψ ∗ ∆ψ]
2mi
= −O · ~j
(48)
(49)
(50)
(51)
Für die x- Komponente der Wahrscheinlichkeitsstromdichte ergibt sich:
δ
~
δ ∗
δjx
∗
=
ψ Oψ − ψ ψ
(52)
δx
δx 2mi
δx
∗
2
~
δψ δψ
δψ δψ ∗
δ2 ∗
∗ δ
=
+ψ
ψ−
− ψ 2ψ
(53)
2mi δx δx
δx2
δx δx
δx
Damit stimmt die Behauptung und es gilt die Kontinuitätsgleichung:
δ%
δt
+ div ~j = 0
Für den Erhaltungsatz folgt:
Z
Z
δ% 3
d
d x=
%d3 x
δt
dt
V
ZV
=−
div ~jd3 x
(54)
(55)
V
Mit dem Gaußschen Satz ergibt sich dann:
Z
~ · ~j(~x, t)
=−
df
(56)
δV
Wählt man V sehr groß, so dass ~j = ~0 auf δV , so ergibt sich:
Z
d
%d3 x = 0
dt V
Z
%d3 x = const.
(57)
(58)
V
R
Nimmt man an, dass R3 d3 x|ψ|2 = 1 normiert ist, dann gilt |ψ|2 → 0
für |~x| → ∞. Eine solche Charakterisierungsnormierung gilt für gebundene Zustände.
10
Quantentheorie
1
1.6.2
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Wie ist die freie Bewegung zu behandeln?
Dazu setzen wir V (~x) = 0. Damit ergibt sich als Lösung:
i~
~2
δψ
=−
∆ψ
δt
2m
~
ψ = A · ei(k~x−ωt) , ebene monochromatische Welle
(59)
(60)
Das Teilchen hat also einen bestimmten Impuls ~~k = p~
Für die Energie gilt:
E = ~ω =
~2 k 2
2m
(61)
~k 2
2m
Daraus ergibt sich:
ω(k) =
(62)
% = |ψ|2 = |A|2 = const.
(63)
Daraus ergibt sich, dass das Teilchen eine gleiche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für alle ~x, t besitzt. Dann spricht von einer ungebundenen Bewegung.
R
ergibt sich das Problem, dass das Integral R3 %d3 x ist divergent,
RDaraus
3
V %d x ∝ V → ∞ .
mathematischer Trick:
Z
%d3 x = |A|2 V
(64)
V
Normiert in Bezug auf V : |A|2 =
Damit ergibt sich für ψ:
1
V
, |A| =
√1
V
.
1
~
ψ = √ · ei(k~x−ωt)
V
1.7
(65)
Überlagerung von Wellen
Allgemeiner Fall:
Z
~
ψ(~x, t) = d3 kA(~k)ei(k~x−ω(k)t) , p~ = ~~k
Z
i
1
=
d3 pψ̃(~
p, t)e ~ p~~x
3
(2π~) 2
ψ̃ entspricht einer Fouriertransformierten zu ψ(~x, t).
Umkehrtransformation:
Z
i
1
ψ̃(~
p, t) =
d3 xψ(ẍ, t)e ~ p~~x
3
(2π~) 2
Quantentheorie
(66)
(67)
(68)
11
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
1-dim. Fourier-Transformation:
Z ∞
1
f (x) = √
dpeipx f˜(p)
2π −∞
Z ∞
1
f˜(p) = √
dxe−ipx f (p)
2π −∞
(69)
(70)
Diracsche Delta-Funktion:
Z ∞
1
δ(x − y) = √
dpeip(x−y) · 1
2π −∞
= ∞ , für x = y
(71)
(72)
= 0 , sonst
Z
(73)
∞
δ(x) = 1
(74)
−∞
Z
∞
dxδ(x − a)f (x) = f (a)
(75)
−∞
Annahme:
Z
d3 x|ψ(~x, t)|2 = 1
(76)
Behauptung:
Z
d3 p|ψ̃(~
p, t)|2 = 1
(77)
Beweis:
Es gilt: |ψ|2 = ψ · ψ ∗
Z
Z
Z
Z
i
1
0
3
3
3
2
d x|ψ| =
d x d p d3 p0 ψ̃(~
p, t)ψ̃ ∗ (~
p0 , t) · e ~ (~p−~p )·~x
3
(2π~)
(78)
Z
Z
Z
1
d3 p d3 p0 ψ̃(~
p, t)ψ̃ ∗ (~
p0 , t)
(2π~)3
Z
= d3 pd3 p0 ψ̃(~
p, t)ψ̃ ∗ (~
p0 , t)δ (3) (~
p − p~0 )
Z
= d3 pψ̃(~
p, t)ψ̃ ∗ (~
p0 , t)
Z
= d3 p|ψ̃(~
p, t)|2 = 1
=
i
0
d3 xe ~ (~p−~p )·~x (79)
(80)
(81)
(82)
Interpretation: |ψ̃(~
p)|2 d3 p ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit dem
Impuls px ∈ [px , px + dpx ], ... im dreidimensionalen Impulsraum d3 p zu finden.
12
Quantentheorie
1
1.8
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Quantenmechanische Erwartungswerte, Korrespondenzregeln
~ = ~x × p~, ...
Mittelwerte von Observablen: ~x, p~, E, L
diskrete Messung von Observablen Ω:
gemessen
Einzelwerte wi mit Häufigkeiten pi , Gesamtzahl der Messungen:
P
p = i pi
Mittelwert von Ω: < Ω >=
1
p
P
i pi wi
=
P
i W i wi
mittlere Schwankungsbreite:
< ∆Ω2 > =< (Ω− < Ω >)2 >=< Ω2 > − < Ω >2
X
X
=(
Wi wi2 ) − (
W i wi ) 2
i
(83)
(84)
i
kontinuierliche Messung von Observablen Ω:
gemessen w mit Häufigkeit p(w)dw: Wahrscheinlichkeit w...w + dw
Z
1
<Ω>=
dw w p(w)
p
R
Z
dw w p(w)
= R
= dw w W (w)
dwp(w)
(85)
Es gilt: %(~x, t) = |ψ(~x, t)|2 . Damit folgt für den mittleren Ort:
Z
< ~x > = d3 x%(~x, t)~x
Z
= d3 xψ ∗ (~x, t)~xψ(~x, t)
(87)
(86)
(88)
Allgemeiner gilt für die Observable Ω = Ω(~x, t):
Z
< Ω > = d3 xψ ∗ Ωψ
(89)
Für den mittleren Impuls folgt:
Z
< p~ > = d3 pψ̃ ∗ (~
p, t)~
pψ̃(~
p, t)
(90)
verallgemeinert gilt:
< Ω̃ = Ω̃(~
p, t)
Z
< Ω̃ > = d3 pψ̃ ∗ (~
p, t)Ω̃(~
p, t)ψ̃(~
p, t)
Quantentheorie
(91)
(92)
13
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Gesucht ist nun eine einheitliche Beschreibung im Ortsraum (oder im Impulsraum)
Z
Z
Z
i
i
1
0
3
3 0
< p~ > =
d3 xψ ∗ (~x, t)e ~ p~·~x · p~ · ψ ( ~x, t)e− ~ p~·~x
d p d x
3
(2π~)
(93)
Z
i
Z
i
d3 xψ(~x, t) i~Ox e− ~ p~·~x
(94)
Z
Z
i
i
= i~ d3 xOx ψe− ~ p~·~x − i~ d3 x (Ox ψ) e− ~ p~·~x
d3 xψ(~x, t)~
p · e− ~ p~·~x =
(95)
Z
=
i
d3 x(−i~Ox ψ)e− ~ p~·~x
(96)
Damit ergibt sich:
< p~ > =
1
(2π~)3
Z
d 3 x0
Z
d3 xψ ∗ (~x0 , t)(−i~Ox ψ(~x, t))
Z
i
0
d3 pe ~ p~(~x −~x)
(97)
Z
=
d3 xψ ∗ (~x, t)(−i~Ox ψ(~x, t))
(98)
Impuls-Observable in der Ortsdastellung:
p~ = −i~Ox
(99)
Damit wird der Impuls zum Operator: p~ : ψ → −i~
δψ δψ δψ
δx , δy , δz
.
Otrsdarstellung:
~x → ~xOp ≡ ~x
(100)
p~ → p~Op ≡ −i~Ox
(101)
(102)
Verallgemeinerung: Ωklass = Ωklass (~x, p~) ⇒ Ωop = Ω(~xop , p~op = −i~Ox )
allgemeine Mittelwerte < Ω >=
R
d3 xψ ∗ (~x, t)Ω(~x, −i~Ox )ψ(~x, t)
mittleres Schwankungsquadrat < ∆Ω2 >=< Ω2 > − < Ω >2
Insbesondere gilt für die Energie: Hamiltonfunktion: Hklass =
womit sich ergibt:
p
~2
2m
+ V (~x),
2
~
Hop = − 2m
∆ + V (~x)
14
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Dieser Ausruck findet sich bereits in der Schrödinger- Gleichung:
~2
δ
−
∆V ψ = i~ ψ
2m
δt
δ
ψ = i~
Hop
ψ
δt
|{z}
|{z}
Hamiltonop.
(103)
(104)
Energieop.
Formal bedeutet der Übergang von der klassischen Physik zur Quantenphysik, dass eine Observable c von einer Zahl zum Operator wird.
1.9
Zeitliche Änderungen von quantenmechanischen Erwartungswerten, Vertauschungsbeziehungen
δ
, Observable L = L(x, p, t) →
Vereinfachung: 1- dim. Bewegung x, p = −i~ δx
Lop = L(x, pop , t)
gegebener Zustand: ψ(x, t) mit
δψ
~2 δ 2
i~
= Hop ψ = −
+ V (x) ψ(x, t)
(105)
δt
2m δx2
Es gilt:
Z
<L>=
dxψ ∗ lop ψ = f (t)
Hierbei wird im Weiteren die Bezeichnung op weggelassen wird.
Für die zeitliche Ableitung ergibt sich:
Z
Z
Z
d<L>
δψ ∗
δψ
∗ δL
= dxψ
ψ + dx
Lψ + dxψ ∗ L
dt
δt
δt
δt
(106)
(107)
Es gilt für die partiellen Ableitungen:
δψ
1
= Hψ
δt
i~
δψ ∗
1
1
= − H ∗ ψ ∗ = − Hψ ∗
δt
i~
i~
(108)
(109)
Damit folgt:
Z
Z
d<L>
δL
1
1
∗
=<
>−
dx (Hψ ) Lψ +
dxψ ∗ (L(Hψ)) (110)
dt
δt
i~
i~
R
1
Umformung des Terms − i~
dx (Hψ ∗ ) Lψ:
Z ∞
Z ∞
δ
∗
∗
dxf (x)pop g(x) =
dxf (x) −i~
g(x)
(111)
δx
−∞
−∞
Quantentheorie
15
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Es sei vorausgesetzt, dass das Intergral
R∞
−∞ dxf
∗ (x)g(x)
existiere mit:
|x|→∞
|f (x)|, |g(x)| → 0, sodass (f, g) ∈ C. Hierbei ist {f (x)} der Raum der
quadratintegrablen Funktionen.
Damit folgt für die Gleichung (111) folgender Ausdruck:
Z
∞
=
−∞
δf
−i~
δx
∗
g(x) − i~[f ∗ g]|∞
| {z −∞}
(112)
=0
Z
∞
∗
(pop f ) g(x)
=
(113)
−∞
Mathematisch ist hierbei pop von g auf f überwälzbar“ bzw hermitisch
”
(selbstadjungiert).
Z
∞
∗
Z
∞
dx (Hψ) Lψ =
−∞
dxψ ∗ H(lψ)
(114)
−∞
Damit ist H ebenso hermitisch.
Als Ergebnis folgt nun:
Z
Z
d<L>
δL
1
1
=<
>−
dxψ ∗ (H(Lψ)) +
dxψ ∗ (L(Hψ))
dt
δt
i~
i~
(115)
Z
δL
1
>+
dxψ ∗ (LH − HL)ψ , mit
δt
i~
[L, H] = LH − HL = −[H, L]
=<
(116)
(117)
Als Resultat folgt:
d<L>
dt
=<
δL
δt
> + < ~i [H, L] >
Speziell: L = x, p
1. x :
d
dt
< x >=< ~i [H, x] >
2. p :
d
dt
< p >=< ~i [H, p] >
ad 1:
[H, x]ψ = H(xψ) − x(Hψ)
H=
16
~2 δ 2
~2 δ
p2
+ V (x) = −
+
V
(x)
=
−
2m
2m δx2
2m δx
(118)
δ
... + V (x)...
δx
(119)
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
studieren von [x, p] liefert:
δ
δψ
+ i~ (xψ)
[x, p]ψ = x(pψ) − p(xψ) = x −i~
δx
δx
δψ
δψ
= −i~x
+ i~ψ + i~x
δx
δx
= i~ψ , ∀ψ
(120)
(121)
(122)
Vertauschungsgesetz zwischen Ort und Impuls:
[x, p] = i~ · 1
Damit ergibt sich:
2
p
+ V (x), x ψ
[H, x]ψ =
2m

 p2
=
,x +
[V (x), x]
| {z }
2m
(123)


ψ
(124)
=V (x)x−xV (x)=0
=
p2
2m
x−x
p2
2m
ψ
(125)
Mit
p2 x = p(px) = p(xp − i~) = pxp − i~p = (xp − i~)p − i~p (126)
= xp2 − 2i~p
(127)
⇒ [p2 , x] = −2i~p
(128)
p2
p
[H, x]ψ =
, x ψ = −i~ ψ
2m
m
(129)
folgt:
Damit folgt für die Bewegungsgleichung für < x >:
Z
d
i
pψ
∗
<x>=
dxψ −i~
dt
~
m
Z
1
1
=
dxψ ∗ pψ =
<p>
m
m
δ
δt
(130)
(131)
δ
< p >= m δt
<x>
ad 2:
p2
[H, p]ψ =
+ V (x), p ψ
2m
Quantentheorie
(132)
17
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Mit der Operatordefinition
[A + B, C] = (A + B)C − C(A + B)
(133)
= AC + BC − CA − CB = [A, C] + [B, C]
(134)
folgt:
p2
[H, p]ψ =
+ V (x), p ψ +[V (x), p]ψ
2m
|
{z
}
(135)
=0
Weiter gilt:
δ
δψ
[V, p]ψ = −i~ V (x)
+ i~ (V (x)ψ(x))
δx
δx


(136)
 δV
δψ
δψ 

= i~ 
 δx ψ + V (x) δx − V (x) δx 
|
{z
}
=0
δV
= i~
ψ
δx
(137)
(138)
Damit folgt:
δV
[H, p]ψ = i~
ψ
δx
Z
Z
i
i
∗
∗ δV
dxψ [H, p]ψ = − dxψ
ψ
< [H, p] >ψ =
~
~
δx
δV
=< −
>
δx
(139)
(140)
(141)
Als Ergebnis folgt:
d<p>
dt
=< − δV
δx >=< F >
Das heißt, dass für quantenmechanische Mittelwerte die klassischen Bewegungsgleichungen gelten. Ehrenfestsches Theorem“
”
Verallgemeinerung für 3 Dimensionen:
Observable: L(~x, p~, t)
Ortsdarstellung: L = L(~x, −i~Ox , t)
Z
< L > = d3 xψ ∗ L(~x, −i~Ox , t)ψ
δL
1
d
< L > =<
> + < [L, H] >
dt
δt
i~
18
(142)
(143)
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Dabei gilt:
H=
p~2
~2 δ 2
δ2
δ2
+V (~x)
+ V (x) = −
+
+
2m
2m δx21 δx22 δx23
{z
}
|
(144)
=∆
Um nun [L, H] zu berechnen, brauchen wir
δψ
δ
[xi , pj ]ψ = xi −i~
− −i~
(xi ψ)
δxj
δxj
δψ
δψ
δxi
δxi
= −i~xi
+ i~
ψ + i~xi
= i~
ψ
δxj
δxj
δxj
δxj
= i~δij ψ
(145)
(146)
(147)
Somit folgt:
[xi , pj ] = i~δij
1
i~ [xi , pj ]
= δij für i, j = 1, 2, 3
[xi , xj ] = 0 und [pi , pj ] = 0 ∀i, j
Für das Ehrenfestsche Theorem folgt damit in 3 Dimensionen:
δV
pi
ψ
(148)
[H, xi ]ψ = −i~ ψ bzw. [H, pi ]ψ = i~
m
δxi
d
1
d
1
< xi > =
< pi > bzw.
< ~x >=
< p~ >
(149)
dt
m
dt
m
d
δV
d
< pi > =< −
< p~ >=< −gradV >≡< −OV >
> bzw.
dt
δxi
dt
(150)
1.10
Korrespondenzregel - klassische Mechanik versus Quantenmechanik
Fkl , Gkl → F op , Gop insbesondere Hkl → H op
{Fkl , Gkl } →
Quantentheorie
1
op
op
i~ [F , G ]
19
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
1.11
Heisenbergsche Unschärferelation zwischen Ort und Impuls eines Teilchens
Entscheidender Unterschied zwischen klassischer Physik und Quantenphysik, repräsentiert durch
[xi , pj ] = i~δij
(151)
Das mittlere Schwankunsquadrat für den 1- dimensionalen Fall (x, p =
δ
−i~ δx
)
¯ 2 )ψ =< (p− < p >)2 >ψ =< p2 >ψ − < p >2
(∆p
ψ
¯ 2 )ψ =< (x− < x >)2 >ψ =< x2 >ψ − < x >2
(∆x
ψ
R∞
R
mit < F >= −∞ dxψ ∗ Fop ψ mit dx|ψ|2 = 1.
(152)
(153)
Behauptung:
2
¯ 2 )ψ (∆p
¯ 2 )ψ ≥ ~ , Heisenbergsche Unschärferelation
(∆x
4
(154)
Beweis:
x̃ = x− < x > ·1 , p̃ = p− < p > ·1
(155)
Es ist zu zeigen, dass
< x̃2 >< p̃2 > ≥
~2
4
(156)
Wir führen folgende Hilfsgröße für beliebige Zustände ψ und α ∈ R ein:
Z ∞
dx|αx̃ψ − ip̃ψ|2 ≥ 0
(157)
I(α) =
−∞
Wir berücksichtigen:
Z ∞
Z ∞
<p>=
dxψ ∗ pψ =
dx(pψ)∗ ψ
−∞
−∞
Z
∗
=
dxψ ∗ (pψ) =< p >∗
(158)
Damit folgt, dass < p > reell ist. Analog folgt dies für x.
Es ergibt sich weiter:
Z
2
2
∗
2
I(α) = α <
| x̃
{z >} +α ~ dxψ ψ + |< p̃{z >}
| {z }
A
C
=1
}
| {z
(160)
(159)
−B
≥0
20
(161)
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Es folgt:
Aα2 − Bα + C ≥ 0
(162)
Für maximal eine Nullstelle muss für die Diskrimente gelten:
B 2 − 4AC ≤ 0
B2
4
(164)
2
¯ 2 )ψ (∆p
¯ 2 )ψ ≥ ~
< x̃2 >< p̃2 > = (∆x
4
(165)
<A>≥
1.12
(163)
Verallgemeinerung
a) Bisher haben wir die Schrödinger-Gleichung nur für ein Teilchen betrachtet:
~2
δψ(~x, t)
Hψ = −
∆ + V (~x) ψ(~x, t) = i~
(166)
2m
δt
p~ = −i~ grad~x
(167)
2
p~
Hψ = −
+ V ψ , ψ = ψ(~x, t)
(168)
2m
Verallgemeinerung auf N Teilchen: ~xi , mi , p~i = −i~Oxi
H
(N )
N
X
p~i 2
=
+ V (~x1 , ...~xN )
2mi
(169)
i=1
δψ
δt
ψ = ψ(x1 , ..., xN , t)
H (N ) ψ = i~
(170)
(171)
Für die Wahrscheinlichkeit Teilchen 1 bei ~x1 in d3 x1 anzutreffen folgt:
Z
Z
W (1) (~x1 )d3 x = d3 x1 d3 x2 ... d3 xN |ψ(~x1 , ..., ~xN , t)|2
(172)
Damit ist eine Welleninterpretation von ψ unmöglich, nicht jedoch eine
Wahrscheinlichkeitsinterpretation:
|ψ(~x1 , ..., ~xN , t)|2 d3 x1 ...d3 xN = W
(173)
W beschreibt die Wahrscheinlichkeit Teilchen 1 bei ~x1 in d3 x1 , ... und Teilchen N bei ~xN in d3 xN zu finden.
Quantentheorie
21
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
b) Teilchen im elektromagntischen Feld:
~ x, t), ϕ(~x, t)
Ansatz: in klassischer Mechanik und Elektrodynamik: A(~
~ = rotA
~
B
(174)
~ = −grad ϕ − δA
E
δt
(175)
Die Lorentzkraft lässt sich dabei aus der Hamiltonfunktion gewinnen:
Hklass =
1
~ 2 + eϕ
(~
p − eA)
2m
(176)
Ansatz in der Quantenphysik: ~x, p~op = i~Ox
2
1 ~ x, t) + eϕ(~x, t)
p~op − eA(~
2m 1
~
2
2
2
~+A
~ · Ox ) + e A
~ + eϕ
=
−~ ∆ − e (Ox · A
2m
i
δψ
= ψ(~x, t) = i~
δt
Hop =
(177)
(178)
(179)
c) andere Observable Ω = Ω(~x, p~)
~ = ~x × p~
Beispiel: Drehimpuls L
L~op = ~x × p~op
=
L2x
+
L2y
(180)
+
L2z
(181)
P
~
~i × p~i
Für N Teilchen gilt: Lgesamt
= N
i=1 x
~
Lop,gesamt
=
N
X
~xi × p~op
i
(182)
i=1
Für die quantenmechanischen Mitelwerte folgt:
Z
< Ω > = d3 x1 ...d3 xN ψ ∗ (~x1 , ..., ~xN , t)Σop ψ
22
(183)
Quantentheorie
1
1.13
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Schlussfolgerungen für die mathematsche Struktur der
Quantenmechanik
1) Teilchenbewegung vollständig beschrieben durch Wellenfunktion“
”
ψ(~x, t) ≡ Wahrscheinlichkeitsamplitude
Für gebundene Zustände
Z
Z
d3 x|ψ|2 = d3 xψ ∗ ψ < ∞
(184)
(185)
L2 - Menge der quadratintegrablen Funktionen
Eigenschaften:
a) L2 ist Vektorraum, ψ(~x, t) ist Vektor“
”
2
ψ = λψ1 + µψ2 ∈ L , λ, µ = const.
(186)
b) L2 ist unitärer Vektorraum
(ϕ, ψ) =∈ d3 xϕ∗ (x)ψ(x) = (ϕ, ψ)∗
Z
d3 x|ψ|2 = (ψ, ψ) = ||ψ||2 ≥ 0
(187)
(188)
Es gilt die Vorschrift: Zustand eines Teilchens entspricht dem Vektor in einem unitären Vektorraum ( Hilbertraum“)
”
2) Observable = (Differential-) Operatoren
Ω(~x, p~, t) in L2
Ωψ = ϕ ∈ L2
(189)
beschreibt also eine Abbildung aus L2 in L2
Eigenschaften:
a) Ω ist ein linearer Operator
Ω(λψ1 + µψ2 ) = λΩψ1 + µΩψ2
(190)
b) Ω ist ein hermitischer Operator
Z
d3 xϕ∗ (Ωψ) ≡ (ϕ, Ωψ)
Z
≡ d3 x(Ωϕ)∗ ψ
(191)
≡ (Ωϕ, ψ) , da (ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
∗
≡ (ψ, Ωϕ)
Quantentheorie
(192)
(193)
(194)
23
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Anmerkung: Berechnung eines Mitelwertes ψ ≡ ϕ
Z
< Ω >ϕ = d3 xϕ∗ Ωϕ = (ϕ, Ωϕ) = (ϕ, Ωϕ)∗
(195)
=< Ω >∗ϕ , wobei < Ω >ϕ ∈ R reell
(196)
⇒ Wir verlangen von Observablen, dass sie durch hermitische Operatoren
dargestellt werden.
spezieller Fall:
Für den Fall, dass Ωψ = λψ, λ ∈ C beschreibt ψ die Eigenfunktion“und λ
”
den Eigenwert“.
”
Für den Mittelwert der Eigenfunktion gilt:
Z
Z
< Ω >ψ = d3 xψ ∗ (Ωψ) = d3 xψ ∗ (λψ)
(197)
Z
= λ d3 xψ ∗ ψ = λ
(198)
Damit folgt, dass λ als Messwert zu interpretieren und somit reell ist.
Unsere Aufgabe in der Quantentheorie
Für eine gegebene Observable Ω das Eigenwertproblem Ωψ = λψ (∗ ) lösen.
Das heißt, für alle ψ, zu denen λ existiert, derart, dass (∗ ) gilt.
Für das mittlere Schwankungsquadrat gilt:
¯ 2 =< Ω >ϕ − < Ω >2
∆Ω
ϕ
Z
2
Z
3
∗ 2
3
∗
= d xψ Ω ψ −
d xψ Ωψ
|
{z
} |
{z
}
2
λ2
2
(199)
(200)
λ2
=λ −λ
(201)
=0
(202)
3) Typische Aufgabe in der Quantenmechanik
Bestimmung des Spektrums der Eigenwerte bestimmter Observablen, insbesondere des Hamiltonoperator H
Beispiel: Suche die Funktion U (x), die die Gleichungen (1) und (2) Erfüllen,
mit E ∈ R!
24
(1) HU = EU
(203)
(2) p̂U = pU
(204)
p̂ = −i~Ox ; p ∈ R Impulseigenwerte
(205)
Quantentheorie
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
ad 1) Schrödinger-Gleichung mit Potential V (~x),
δψ
~2
i~
= Hψ = −
∆+V ψ
δt
2m
δV
δt
=0
Lösung mittels Separationsansatz : ψ(~x, t) = U (~x)ϕ(t)
δϕ(t)
~2
⇒ i~U (~x)
= ϕ(t) −
∆U + V U
δt
2m
1
~2
δϕ
=
−
i~
∆U + V U = const ≡ E
| {zδt} U | 2m {z
}
ϕ(t)
(206)
(207)
(208)
g(~
x)
Daraus folgt:
δϕ
= Eϕ
δt
b) Ĥ · U = E · U
a) i~
(209)
(210)
zu a):
δϕ
= Eϕ(t)
δt
i
ϕ(t) = A · e− ~ E·t
i~
(211)
(212)
− ~i E·t
⇒ ψ(~x, t) = U (x) · A · e
(213)
mit A = 1 folgt:
i
|ψ(~x, t)|2 = |U (~x)|2 , da |e− ~ E·t | = 1
(214)
Damit ergibt sich, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit unabhängig von
der Zeit ist, und somit einen stationären Zustand“ beschreibt.
”
zu b): Es bleibt jedoch zu lösen in Abhängigkeit vom Potential.
ĤU = EU
(215)
ad 2)
p̂U = pU
δ
−~ U = pU , mit U = U (x)
δx
(216)
(217)
Daraus ergibt sich eine Differentialgleichung 1. Ordnung:
px
⇒ U = C · ei ~
dU
ip i px
=C·
·e ~
dx
~
Quantentheorie
(218)
(219)
25
1
SCHRÖDINGERSCHE WELLENMECHANIK
Hiermit folgt für die zeitabhängige Wellenfunktion:
ψ(~x, t) = C · ei
=C ·e
px
~
i
· e− ~ E·t
i
(px−Et)
~
ebene Welle
(220)
(221)
Der stationäre Fall tritt nun ein, wenn |ψ(~x, t)|2 = |C|2 = const gilt. Die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist überall gleich, wenn der Impuls diskret ist.
Das heißt, dass für die Messung der Observablen p wiederum ψ(~x, t) beliebig
unscharf wird.
Für die Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung ergibt sich für V ≡ 0:
px
px
~2 δ 2
C · ei ~ = EU = EC · ei ~
(222)
ĤU = −
2
2m δx
~2 p 2 i px
=−
i
e ~
(223)
2m ~
px
p2
C · ei ~
=
(224)
2m
p2
⇔ E=
(225)
2m
26
Quantentheorie
2
2
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Eindimensionale quantenmechanische Systeme
Ĥ =
p̂2
+ V (q)
2m
(226)
δ
für verschiedene Potentiale V (q), wobei q ≡ x und p̂ = −i~ δq
.
Es gilt nun folgende Gleichung zu lösen:
i~
δ
ψ(q, t) = Ĥψ(q, t)
δt
~2 δ 2
= −
ψ(q, t) + V (q)ψ(q, t)
2m δq 2
(227)
(228)
für stationäre Zustände gilt:
i
ψ(q, t) = e− ~ Et ·
(229)
UE (q)
| {z }
Energiezustände
ĤUE (q) = EUE (q)
(230)
⇒ Stationäre Schrödinger- Gleichung
2
2
~ δ
− 2m
+ V (q)UE (q) = EUE (q)
δq 2
⇒ Lösung der zeitabhängigen Schrödinger- Gleichung
ψi (q, t) = exp(− ~i Ei t)UEi (q), i = 1, 2, ...
Allgemeine Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung
00
UE (q) + k 2 (q)UE (q) = 0
2m
k 2 (q) = 2 (E − V (q))
~
(231)
(232)
V (q)
q
Abbildung 3: stückweise konstante Potentiale, so zum Beispiel im
Festkörperbauelement realisierbar
Quantentheorie
27
2 EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Für die allgemeine Lösung folgt:
ψ(q, t) =
∞
X
λi ψi (q, t)
(233)
i=1
=
∞
X
λi UEi (q) exp
i=1
i
− Ei t
~
(234)
Damit ist |ψ(q, t)|2 zeitabhängig im Allgemeinen und somit kein stationärer
Zustand.
2.1
Allgemeine Eigenschaften der Lösung der stationären
Schrödinger-Gleichung in stückweise konstanten Potentialen
2.1.1
Stetigkeitseigenschaften von UE (q)
−
~2 δ 2
U + V (q)U − EU = 0
2m δq 2
2m
U 00 + 2 (E − V (q)) U = 0
|~
{z
}
(235)
(236)
≡k2 (q)∈R
U 00 + k 2 U = 0
(237)
Angenommen U sei eine komplexe Lösung, so auch U ∗ . Damit sind U + U ∗ ,
sowie −i(U − U ∗ ) ebenso Lösung (reell).
Vorausgesetzt sei, dass U (q) überall endlich ist, wegen |U |2 = Wahrscheinlichkeitsdichte. Weiter sei vorausgesetzt, dass V (q) höchstens endliche Diskontinuität bei q0 habe. Damit ergibt sich:
δV (q) = lim [V (q0 + ) − V (q0 − )] = endlich
→0
(238)
Da Gleichung (230) gilt, existiert U 00 (q) und ist integrabel bei q0 . Weiter
existieren U 0 (q) sowie U (q) und sind stetig.
2.1.2
V (q) = const. für q ∈ [a, b], V (q) ≡ V0 < E
k(q) = k
r
=
(239)
2m
(E − V0 )
~2
(240)
Damit ergibt sich als Lösung:
U (q) = C · eikq + D · e−ikq ; C, D ∈ C
= A · cos(kq) + B · sin(kq) ; A, B ∈ R
28
(241)
(242)
Quantentheorie
2
2.1.3
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
V (q) = const. für q ∈ [a, b], V (q) ≡ V0 > E
r
2m
(E − V0 ) = iκ
~2
r
2m
(V0 − E) ; κ ∈ R
=i
~2
k(q) =
(243)
(244)
Damit ergibt sich als Lösung:
U (q) = C · eκq + D · e−κq ; C, D ∈ R
(245)
Beispiel: Potentialschwelle
Abbildung 4: Beispiel: Potentialschwelle
2.2
Bewegung im Potentialtopf
V (q) =
−V0 für |q| < a ,V0 > 0
0
für sonst
Quantentheorie
29
2 EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Abbildung 5: Bewegung im Potentialtopf
2 Fälle:
1. E > 0=
ˆ A, B, C klassisch erlaubt (ungebundene Zustände)
2. −V0 < E < 0=
ˆ B klassisch erlaubt, A, C verboten (gebundene Zustände)
Allgemein gilt:
U 00 + k 2 (q)U = 0
2m
k 2 (q) = 2 (E − V (q))
~
(246)
(247)
Betrachten nun Fall 2: −V0 < E < 0
Für die Bereiche A, C gilt:
k 2 (q) =
2m
E = −κ2 < 0
~2
(248)
Für den Bereich B gilt:
k 2 (q) =
2m
(E + V0 ) = k 2 > 0
~2
(249)
Weiter folgt:
B : UB = β+ eikq + β− e−ikq , für − a ≤ q ≤ +a
κq
A : UA = α+ e
C : UC = γ+ e
κq
−κq
+ α− e
+ γ− e
−κq
(250)
, für − ∞ < q < −a
(251)
, für + a < q < ∞
(252)
Festlegung:
α− = γ+ = 0
30
Quantentheorie
2
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Anschlussbedingungen:
Für q = −a gilt:
UA = UB
(253)
UA0
(254)
=
UB0
Für q = +a gilt:
UB = UC
(255)
UB0
(256)
=
UC0
Symmetriebetrachtung:
P f (q) ≡ f (−q) , P Paritätsoperator
(257)
P V (q) ≡ V (−q) = V (q) , symmetrisch bezüglich Parität
(258)
P Hψ(q) = HU (−q) = HP U (q)
(259)
Dann mit U (q) ist auch U (−q) Lösung, also
US ≡ U (q) + U (−q)
U (q) = U (−q) , positive Parität
(260)
(261)
ist Lösung und symmetrisch und
UA ≡ U (q) − U (−q)
U (q) = −U (−q) , negative Parität
(262)
(263)
ist eine antisymmetrische Lösung.
PUS = US = (+1)US
(264)
PUA = −UA = (−1)UA
(265)
Zur symmetrischen Lösung:
⇒ β+ = β− ≡ β
(266)
α+ = γ− ≡ α
(267)
Damit folgt:
(+)
UB
= 2β cos kq , |q| ≤ a
(268)
(+)
UC
(+)
UA
= αe−κq , |q| ≥ a
(269)
= αeκq , |q| ≥ a
(270)
Quantentheorie
31
2 EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Für die Anschlussbedingungen folgt:
(+)
UB
(+)0
UB
(+)
= UC
, bei q = a
(+)0
= UC
(271)
(272)
Es folgt folgendes Gleichungssystem:
2β cos ka = αe−κa
−κa
2βk sin ka = ακe
(273)
(274)
Es handelt sich dabei um ein homogenes lineares Gleichungssystem für α
und β. Dabei ist eine nicht-triviale Lösung existiert, genau dann, wenn die
Koeffizeintendeterminante = 0.
2 cos ka −e−κa (275)
2k sin ka −κe−κa = 0
Diese Determinante stellt eine Bedingung für E dar - die sogenannte Quantisierungsbedingung. Aus der Gl. (275) folgt:
ak · tan ka = aκ
(276)
Der Koeffizient β lässt sich nun durch dastellen durch (folgt aus Gl. (273)
und 274):
β=
e−κa
e−κa κ
α=
α
2 cos ka
2 sin ka k
α folgt nun aus der Normierungsbedingung:
Z ∞
dq|U (q)|2 = 1
(277)
(278)
−∞
Zur antisymmetrischen Lösung:
⇒ β+ = −β− ≡ β
(279)
α+ = −γ− ≡ α
(280)
Damit folgt:
(−)
= 2iβ sin kq
(281)
(−)
= −αe−κq
(282)
(−)
= αeκq
(283)
UB
UC
UA
Wieder ergibt sich das Gleichungssystem:
2iβ sin ka = −αe−κa
(284)
−κa
(285)
2iβk cos ka = ακe
32
Quantentheorie
2
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Aus der Forderung, dass die Determinante 0 sein muss, ergibt sich:
ak cot(ka) = −aκ
(286)
Es ergibt sich folgend:
U (−)


q < −a
 α exp(κq)
e−κa
= −α sin
ka sin kq |q| ≤ a 

−α exp(−κq) q > +a
(287)
Hierbei ergibt sich nun α analog zur symmetrischen Lösung aus der Normierungsbedingung.
Eigenwertproblem:
Die Lösungen lauteten:
ak tan(ak) = aκ
(288)
−ak cot(ak) = aκ
(289)
Aus den Gl. (248 und 249) ergibt sich:
r
2m
(E + V0 ) > 0
~2
r
2m
κ= − 2E≥0
~
k=
(290)
(291)
Somit folgt:
(aκ)2 + (ak)2 =
2m
V 0 a2
~2
(292)
Nun sei:
x2 = (aκ)2
2
2
y = (ak)
2m
R2 = 2 V0 a2
~
(293)
(294)
(295)
Somit folgt:
aκ =
p
R2 − (ak)2
Quantentheorie
(296)
33
2 EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Abbildung 6: Quantisierung der Energie: (1), (3)=ak
ˆ tan(ak), (2)=
ˆ−
a
pcot(ak), rot dargestellt sind die Funktionen: aκ =
R2 − (ak)2 , Die Schnittpunkte stellen die diskreten
Energiewerte des Systems dar.
Für gebundene Zustände E < 0 (E < V (q → ±∞)) muss gelten:
• quantisierte Eigenwerte
• es existiert eine Lösung (bzw. ein gebundener Zustand)
• mit wachsenden a2 V0 erhöht sich die Zahl gebundener Zustände für
r
π
2m
π
(n − 1) < R =
V0 a2 ≤ n , n = 1, 2, ...
(297)
2
2
~
2
bzw. existieren n Wurzeln
• Grundzustand ≡ Zustand mit kleinstmöglichem Eigenwert (=
ˆ größtmöglicher aκ-Wert), liegt am Lösungsast (1) (=
ˆ tan-Lösung) ⇒ positive Parität
Wir betrachten nun den Fall 1: E > 0
Damit erhalten wir eine klassische erlaubte Bewegung für −∞ < q < +∞.
Für die Bereiche A und C gilt:
34
Quantentheorie
2
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Abbildung 7: Wir betrachten nun den Fall E > 0
k 2 (q) =
2m
E = k02 > 0
~2
(298)
Für den Bereich B gilt:
k 2 (q) =
2m
(E + V0 ) = k 2
~2
(299)
Wir lösen:
B : UB = β+ eikq + β− e−ikq
(300)
A : UA = α+ eik0 q + αe−ik0 q
(301)
C : UC = γ+ e
ik0 q
+ γ− e
−ik0 q
(302)
Beachte dabei, dass die volle (zeitabhängige) Wellenfunktion für jeweils
einen stationären Zustand folgendermaßen aussieht:
i
ψ(q, t) = U (q)e− ~ Et
(303)
zum Beispiel:
i
ψB (q, t) = UB (q)e− ~ Et
E
E
= β+ ei(kq− ~ t) + β− e−i(kq+ ~ t)
|
{z
} |
{z
}
(a)
(304)
(305)
(b)
Interpretation:
• (a) bechreibt eine ebene Welle, die mit wachsender Zeit t zu größereren
q läuft (nachrechts laufende Welle)
• (b) ... nach links laufende Welle
Quantentheorie
35
2 EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Experimentelle Voraussetzung: Die Teilchen mögen von q < −a her einlaufen, dass heißt aus A kommend. Daraus ergibt sich jedoch, dass in C nur
nach q → +∞ auslaufende Teilchen existieren. Das heißt, wir haben nur
eine nach rechts laufende Welle ⇒ γ− = 0.
Wir normieren den on links einlaufenden Strahl durch α+ = 1.
Physikalische Bedeutung: Wahrscheinlichkeitsstromdichte
~
δ
δ
j=
ψ ∗ ψ − ψ ψ ∗ , % = |ψ|2
2m
δq
δq
(306)
i
ψ = Ae±ikq e− ~ Et = ψ (±)
1
~
⇒ j = ± k|A|2 ≡ j (±) , [j] =
m
s
(307)
(308)
Definition:
Transmissionskoeffizient (Durchlässigkeit)
(+)
T =
|jC |
(+)
=
|jA |
|γ+ |2
= |γ+ |2
|α+ |2
(309)
Definition:
Reflexionsskoeffizient
(−)
R=
|jA |
(+)
|jA |
=
|α− |2
= |α− |2
|α+ |2
(310)
Es bleibt: Bestimmung: α− , β+ , β− , γ+
für q = −a gilt:
UA = UB , e−ik0 a + α− eik0 a = β+ e−ika + β− eika
ik UA0 = UB0 , ik0 e−ik0 a − α− eik0 a =
β+ e−ika − β− eika
ik0
(311)
(312)
für q = a gilt:
UB = UC
(313)
UB0
(314)
=
UC0
Nun müssen wir je 2 Gleichungen so kombinieren, dass α− und γ+ herausfallen. Daraus ergeben sich 2 Gleichungen für β+ und β− .
k
k
−ik0 a
−ika
e
+ β− 1 −
eika
(315)
2e
= β+ 1 +
k0
k0
k
k
0 = β+ 1 −
eika + β− 1 +
e−ika
(316)
k0
k0
36
Quantentheorie
2
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Es ergibt sich folgende Koeffizientendeterminante:
k 2 −2ika
k 2 2ika
det A = 1 +
e
− 1−
e
k0
k0
k
k2
= 4 cos 2ka − 2i 1 + 2 sin 2ka
k0
k0
6= 0
(317)
(318)
(319)
Damit existiert genau eine Lösung für β+ und β− für beliebige k (bzw. k0 )
und damit für beliebige E > 0.
Am Ende der Rechnung ergibt sich:
1
k2
16
| det A|2 k02
2
k2
1
2
4 1 − 2 sin2 2ka
R = |α− | =
| det A|2
k0
2
2
2
k
k
| det A|2 = 16 2 + 4 1 − 2 sin2 2ka
k0
k0
T = |γ+ |2 =
⇒T +R=1
Diskussion: R = 0 für k(E) ≡
⇒n·
(320)
(321)
(322)
(323)
2π
λ
λ
= 2a = Topfbreite
2
=
π
2a n,
n = 0, 1, 2, ...
(324)
Beschreibt sogenannte Resonanzzustände =
ˆ Auslöschung der bei −a refelktierten Welle.
Grenzfälle
E >> V0
E << V0
k
→1⇒T →1
k0
k
→∞⇒R→1
k0
(325)
(326)
für alle k mit sin 2ka 6= 0.
Quantentheorie
37
2 EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
H- Atom bzw. Streuung eines Elektrons am Proton (Kern)
Abbildung 8: Beispiel für V (r) = − λr
2.3
Die Potentialschwelle
Abbildung 9: Die Potentialschwelle
Wir setzen an:
V0 > 0 für |q| < a
V (q) =
0
für sonst
(327)
Es gilt:
2m
E = k02 > 0
~2
2m
B k 2 (q) = 2 (E − V0 ) = −κ2 < 0
~
A, C k 2 (q) =
38
(328)
(329)
Quantentheorie
2
EINDIMENSIONALE QUANTENMECHANISCHE
SYSTEME
Weiter folgt:
UA = α+ eikq + α− e−ik0 q
(330)
UC = γ+ eik0 q + γ− e−ik0 q , wobei γ− = 0
(331)
−κq
(332)
κq
UB = β+ e
+ β− e
Die einzige Änderung gegenüber dem Potentialtopf ist: k → −iκ.
1 2kai
e
− e−2kai
2i
1 2aκ
e
− e−2aκ
=
2i
= −i sinh 2κa
sin 2ka =
(333)
(334)
(335)
Für Transmission und Reflexion folgt damit:
2
16 κk2
0
T =
2
16 κk2
0
+4 1+
R=1−T
κ2
k02
2
6= 0
(336)
2
sinh 2κa
(337)
Das Transmissionsvermögen ist im Gegensatz zur klassichen Physik möglich.
( Tunneleffekt“). Grenzfall: aκ >> 1 für sehr hohe bzw. breite Potential”
schwellen.
Quantentheorie
39