Aufgabe1 - falk-m.de | Uni

Falk Müller (Matrikelnummer 9093028)
Aufgabe1
Aufgabe
Betrachten wir eine endliche Menge von Punkten in der Ebene. Zu wie vielen Punkten der Menge
kann ein Punkt der nächste Nachbar sein?
Lösung
• Ein Punkt kann minimal einen nähesten Nachbarn haben, wenn die Menge der Punkte > 1
ist.
• Damit ein Punkt mehr als einen nähesten Nachbarn haben kann, müssen alle nähesten
Nachbarn zu dem Punkt den selben abstand haben.
d(m,p1) = d(m,p2) = ... = d(m, pn)
• Dies kann bei n Punkten in der Ebenen nur der Fall sein, wenn die Punkte auf einem
Kreisbogen um den Mittelpunkt Punkt M herum liegen.
• Alle kann ein Punkt in einer PunktMenge mit n Punkten maximal n-1 näheste Nachbarn
haben.
• 0 < Näheste Nachbarn < (n-1)
Anmerkung
• Bis zu einer Anzahl von 5 nähesten Nachbarn ist es möglich, dass die Nachbarn nur den
Mittelpunkt selbst als nähesten Nachbarn haben.
a = 2r * sin (alp/2)
Bei 5 gleichmäßig verteilten Punkten auf dem Kreis:
a = 2r * sin ((360/5)/2) = 1,18r -> Abstände Zwischen den Punkten ist größer als der
Abstand zum Mittelpunkt.
Bei 6 gleichmäßig verteilten Punkten auf dem Kreis:
a = 2r * sin ((360/6)/2) = r -> Punkte auf Kreisbogen haben den selben Abstaand zueinander
wie zum Zentrum. Somit hat jeder Punkt auf dem Kreisbogen 3 näheste Nachbarn und der
Mittelpunkt 6 näheste Nachbarn.
Bei n > 6 gleichmäßig verteilten Punkten auf dem Kreis:
a < r -> Punkte auf Kreibogen haben Maximal 2 näheste Nachbarn.
•
Aufgabe
Gegeben seien zwei Liniensegmente s = ab und t = cd, wobei die Endpunkte a = (a1; a2), b = (b1;
b2), c = (c1; c2) und d = (d1; d2) ganzzahlige Koordinaten haben. Geben Sie eine Methode an, wie
man exakt feststellen kann, ob s und t sich schneiden. Hinweis: Verwenden Sie nur
Rechenoperationen auf ganzen Zahlen, die wieder ganze Zahlen ergeben, damit kommt eine
Berechnung der Koordinaten des Schnittpunkts nicht in Frage.
Lösung
erster Lösungsansatz
• Gegeben ist eine Gerade G1 mit den Anfangs- bzw. Endpunkten P1 und P2 und eine Gerade
G2 mit den Anfangs- bzw. Endpunkten P3 und P4.
• Wenn P3 oberhalb der Gerade G1 ist und P4 unterhalb der Garade G1 bzw. anders herum,
dann schneiden sich die Geraden.
• Dies ist allerdings nicht immer der Fall, sondern nur denn die Geraden undendlich Lang
sind. dann schneiden sich die Geraden.
• Über folgende gleichung kann bestimmt werden, auf welcher Seite einer gerade der Punkt
liegt:
Puntp (px, py), Gerade ((x1,y1),(x2,y2))
p := (px-x1)*(y1-y2) + (py-y1)*(x2-x1)
p = 0 : Punkt auf Linie
p < 0 : Punkt unter Linie
p > 0 : Punkt über Linie
zweiter Lösungsansatz
• Die beiden Geraden werden als Diagonalen in einem Viereck angesehen
• Jede Gerade teilt das Viereck dabei in 2 Dreiecke.
• Die Fläche der Beiden Dreiecke, welche durch die Gerade entstehen, bilden zusammen die
Fläche der Viereckes.
Folglich ist F1 + F2 = F3 + F4
• Die Fläche eines Dreiecks lässt sich über folgende Formel bestimmen: A= (1/2)[x1(y2y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)] link
Da nur auf ganzen Zahlen gerechnet werden soll, wird die halbierung vernachlässigt: A=
[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]
• Die Flächen F1 und F2 besteht jeweils aus den beiden Punkten von G1 und einen Punkt von
G2.
Die Flächen F3 und F4 besteht jeweils aus den beiden Punkten von G2 und einen Punkt von
G1.
• Wenn man diese Art der Bildung von Dreiecken nun auf 2 Geraden G1 und G2 anwendet,
welche sich nicht schneiden, dann stimmt die Formel F1 + F2 = F3 + F4 nicht mehr:
• Auch Hier ist es leider nicht immer der Fall, dass die Gleichung nur stimmt, wenn die
Geraden sich schneiden.
Wenn die Geraden 2 Gegenüberliegende Seiten eines Trapezes bilden, oder ein
rechtwingliges Dreieck stimmt die gleichung ebenfalls:
Offensichtlich stimmt auch hier die Formel F1 + F2 = F3 + F4, auch den die Geraden nicht
die Diagonalen eines Vierecks sind.
Kombinierte lösung:
1. Prüfen, auf welchen Seite der Gerade G1, die Punke der anderen Geraden liefen
2.
Wenn beide Auf einer Seite der Geraden
3.
ABBRUCH: Geraden schneiden sich nicht.
4.
Wenn auf Punkte auf unterschiedlichen Seiten der Gerade
5.
6.
7.
Dreiecksflächen bilden und Formel F1 + F2 = F3 + F4 prüfen
Wenn Formel gilt, ENDE: geraden schneiden sich
Sonst, ABBRUCH: Geraden schneiden sich nicht.
Aufgabe 3
Aufgabe
Sei ∧(a; b; c) ein Dreieck mit den Ecken a, b und c, und sei p ein innerer Punkt von ∧(a; b; c).
Betrachten wir die Umkreise der Dreiecke ∧(p; a; b), ∧(p; b; c) und ∧(p; c; a). Zeigen Sie, dass es
von diesen drei Umkreisen höchstens einen gibt, dessen Zentrum im Dreieck ∧(a; b; c) liegt.
Lösung
• Behauptung 1: Der Umkreismittelpunkt kann nur im Dreieck, oder auf der Außenseite der
längsten Dreiechsseite liegen.
• Behauptung 2: Umkreismittelpunkt kann nur im Dreieck liegen, wenn dies Spitzlinklig ist.
• Beweiß:
• Satz des Thales (aus Kursmaterial): Ist pq eine Sehne im Kreis K, so können wir an
jedem Punkt r auf dem Kreisbogen von q nach p den Winkel zwischen rp und rq
betrachten. Der Satz des Thales besagt, dass dieser Winkel für alle Punkte r aus
demselben Kreisbogen gleich groß ist. Insbesondere: ist α < π/2 für Punkte r auf dem
längeren Kreisbogenstück und β > π/2 für Punkte aus dem kürzeren Bogen; Es gilt α
+ β = π. Wenn wir im Beispiel von Abbildung 1.2.3.5 den Sehnenendpunkt q
festhalten und mit p auf dem Kreisrand nach rechts wandern, wird α größer, und β
schrumpft um denselben Betrag. Wenn dann die Sehne pq durch den Mittelpunkt des
Kreises geht, so ist α = β = π/2.
• Die Betrachtung zeigt, dass wenn der Mittelpunkt des Dreiecksumkreises auf einer
der Seiten der Dreiecke liegt, dann ist der Gegenüberliegende Winkel 90°.
• Wie Die Abbildung 1.2.3.5. zeigt, ist p auf dem Kreisbogen etwas nach links
verrückt.
Der Kreismittelpunkt ist nun rechts von pq, und somit immer gegenüber des Größten
Winkel des Dreiecks.
• Wie wird durch den Satz des thales wissen muss diser Winkel > 90° sein.
• "Dem stumpfen Winkel gegenüber liegt die längste Seite." (Tatsache)
• Daraus folgt:
• Der Umkeismittelpunkt eines Dreiecks liegt entweder im Dreieck Oder
Außerhalb, gegenüber des Stumpfen winkels (bzw. Außerhalb der längsten
Dreiecksseite).
• Des weiteren Zeigt dies auch, dass ein Umkreislitelpunkt nur innerhalb des Dreiecks
liegen kann, wenn dies Spitzlinklich ist. (Wenn ein Winkel 90°, dann liegt
Umkreismittelpunkt auf Hypotenuse, Wenn ein Winkel > 90°, dann liegt
Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.)
Die Dreiecke ∧(p; a; b), ∧(p; b; c) und ∧(p; c; a) werden im folgenden als Innendreiecke 1, 2, 3
bezeichnet.
Die Winkel am Punkt p werden als Innenwinkel bezeichnet (p1,p2,p3).
• Um nun die Hypothese "Zeigen Sie, dass es von diesen drei Umkreisen höchstens einen gibt,
dessen Zentrum im Dreieck ∧(a; b; c) liegt." zu beweißen, muss nun also nur bewiesen
werden, dass
• Es maximal ein Spitzlinkliches Innendreieck geben kann.
(Also ein innendreieck, bei dem der Umkreismittelpunkt im Dreieck selbst liegt)
• Es maximal ein Stumpfwinkliches Innendreieck gibt, dessen Stumpfer Winkel an
einem der Außenpunkte A,B oder C liegt.
(Bei dem also die Möglichkeit besteht, dass der Umkreismittelpunkt zwar nicht im
Innendreieck selbst, aber in Dreieck A,B,C (also in einen der beiden anderen
Innendreiecken liegen könnte))
• Es muss ausgeschlossen sein, das beide gerade genannten Bedingungen im selben
Dreieck A,B,C auftreten
(Da es sonst möglich wäre, dass zwei Umkreismittelpunkte der Innendreiecke im
Dreieck A,B,C liegen)
• Behauptung 3: Es kann nur ein Innendreieck Spitzwinklig sein.
• Beweiß:
• Wenn mehr als 1 Innendreick Spritzwinklig sein könnten, dann müssten 2
Innenwinkel < 90° sein können.
• Es gilt: p1 + p2 + p3 = 360°
Wenn zwei der Winkel kleiner 90° sein könnten müsste folglich der Dritte
Innenwinkel > 180° sein,
was nicht möglich ist, da dieser ein Winkel eines Dreiecks ist und somit nicht > 180°
sein kann.
• Daraus folgt, dass maximal ein Innenwinkel < 90° sein kann und somit die beiden
anderen jeweils > 90° sein müssen.
• Dies bedeutet:
• Maximal ein Innendreieck kann Spitzwinkelig sein.
• Behauptung 4: Es kann maximal ein Stumpfwinkliches Innendreieck geben, dessen
Stumpfer Winkel an einem der Außenpunkte A,B oder C liegt.
•
Beweiß:
• Wenn ein Innendreieck einen stumpfen Winkel (> 90°) aneinem der Punkte A,B oder
C hat, dann wären die beiden anderen Winkel in diesen Innendreieck Zusammen <
90°, also auch für sich < 90°.
• Also müsste ein Spitzer Winkel am Punkt P anliegen.
• Wie in behauptung 3 bereits bewießen, kann ein Spitzer winkel am Punkt P nur
anliegen, wenn dann die beiden anderen Innenwinkel jeweils > 90° sind, also
Stumpfwinklig.
• Wenn die Beiden anderen Innendreieck einen Stumpfen winkel am Punkt P haben,
können sie folglich keinen zweiten Stumpfen winkel besitzen.
• Damit ist bewiesen, dass maximal ein Innendreieck seinen Stumpfen Winkel an einen
der Außenpunkte A,B oder C haben kann.
• Die Behauptung 4 Beweist zu dem, dass in diesem Falle keines der Beiden anderen
Innendreieck Spitzwinklig sein kann,
da die beiden anderen Innendreiecke in dem Fall einen Winkel >90° am Punkt P besitzen.
• Es kann also nur ein Innendreieck am Punkt p einen Spitzen winkel besitzen
und somit kann auch nur ein Innendreieck Spitzwinkelig sein ODER seinen Stumpfen
Winkel an einem der Außenpunkte A,B oder C haben.
• Damit ist bewiesen, dass maximal ein Umkreismittelpunkt der 3 Innendreiecke im Dreieck
A,B,C liegen kann.