13. ¨Ubungsblatt für die Woche 26.1. - 01.2.2015

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Bodirsky, Dr. Noack
Einführung in die Mathematik für Informatiker: Diskrete Strukturen INF 110
Wintersemester 2014/15
13. Übungsblatt für die Woche 26.1. - 01.2.2015
Graphentheorie: gerichtete Graphen
Ü73 (a) In einem Innenstadtviertel sind die Straßen allesamt sehr
schmal (s. Abb.). Um den Verkehr besser zu organisieren,
sollen überall Einbahnstraßen eingerichtet werden. Natürlich
muss dabei gewährleistet werden, dass man von jedem Punkt
des Stadtviertels per Auto zu jedem anderen gelangen kann.
Geben Sie ein Diagramm eines passenden Graphen an. Welche
Eigenschaft des Graphen beschreibt die letzte Bedingung?
(b) Zeigen Sie: Ein zusammenhängender, gerichteter Graphen G = (V, E) ist genau dann
stark zusammenhängend, wenn jede Kante von G auf einem gerichteten Kreis liegt.
Ü74 Es sei G = (V, E) ein Turniergraph, d.h. ein gerichteter Graph, in dem zwischen zwei
verschiedenen Knoten v, w ∈ V genau eine Kante existiert (und (v, v) ∈
/ E für alle v ∈ V ).
Beweisen Sie:
(a) Der Graph G ist kreisfrei genau dann, wenn die Relation E ⊆ V 2 transitiv ist.
(b) Es gibt einen gerichteten Pfad, der alle Knoten des Graphen miteinander verbindet
(lineare Ordnung der Knotenmenge).
(c) Es gibt einen Knoten, König genannt, von dem aus jeder weitere Knoten durch
gerichtete Pfade mit höchstens zwei Kanten erreicht werden kann.
Hinweis: In (b) und (c) eignet sich die Methode der vollständigen Induktion.
Ü75 (a) Gegeben ist ein Transportnetz (V, E, q, s, wt) mit zwei verschiedenen Kantenbewertungen f1 , f2 : E → R≥0 (im Graphen sind an jeder Kante e ∈ E zwei Zahlen n, m
durch n|m angetragen, dabei ist n = wt(e) und m = f1 (e) bzw. m = f2 (e)):
3|2
3|3
10|7
q
4|3
1|1
6|5
4|2
2|2
2|2
7|4
Kantenbewertung f1
7|5
10|6
s
6|6
1|1
q
4|2
6|3
2|2
2|1
4|1
7|5
s
6|4
7|3
Kantenbewertung f2
Prüfen Sie für beide Kantenbewertungen, ob sie Flüsse auf dem Transportnetz sind.
Ist das der Fall, so bestimmen Sie die Flussstärke.
(b) Bestimmen Sie für das nebenstehende Transportnetz:
5
2
4
• die Quelle und die Senke,
10
6
• einen maximalen Fluss mittels Markierungsalgorithmus,
8
5
2 4
8
• einen minimalen Schnitt.
9
13
H76 Beweisen Sie:
(a) Ein stark zusammenhängender gerichteter Graph kann keine Brücke enthalten.
(b) Ein Turniergraph hat genau dann nur einen König, wenn er einen Diktator hat, d.h.,
einen Knoten ohne eingehende Kanten. Dieser ist dann der einzige König.
Und: Es existiert kein Turniergraph mit genau zwei Königen.
(c*) : Ein Turniergraph G ist genau dann stark zusammenhängend, wenn er einen gerichteten Hamiltonkreis enthält. (Tipp: Verwenden Sie vollständige Induktion!)
H77 (a) Zeigen Sie, dass die Kantenbewertung f auf dem dargestellten Transportnetz (V, E, q, s, wt)
ein Fluss ist, und berechnen Sie dessen Stärke (die an den Kanten durch n|m angetragenen Zahlen n, m geben die Kapazität n und den Wert m des Flusses entlang
der Kante an).
d
6|5
a
7|7
5|2
9|7
q
6|2
4|4
7|6
3|2
5|1
c
4|2
f
5|3
s
4|4
5|3
8|7
6|6
b
e
.
(b) Für das Transportnetz aus (a) wird die Partitionierung V = M ∪ N mit M =
{q, a, b, e} und N = V \M betrachtet. Bestimmen Sie die Summen
X
X
s1 =
f (v, w)
und
s2 =
f (w, v)
(v,w)∈A
v∈M,w∈N
(v,w)∈A
v∈M,w∈N
sowie deren Differenz s1 − s2 .
Ändern Sie die Partitionierung nun, indem Sie den Knoten e aus M in N verschieben.
Bestimmen Sie für diese neue Partitionierung ebenfalls obige Summen und s1 − s2 .
H78 Bestimmen Sie für das nebenstehend dargestellte Transportnetz einen maximalen Fluss und einen minimalen
Schnitt mit Hilfe des Markierungsalgorithmus.
12
q
8
5
6
2
15
4
20
5
s