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Logik
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2014/15
WS 2014/15
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
1 / 278
Übersicht, Organisatorisches und Literatur
Logik im WS 2014/15
Übersicht, Organisatorisches und
Literatur
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
WS 2014/15
2 / 30
Übersicht, Organisatorisches und Literatur
Inhalte der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung (Plan)
Aussagenlog.
Modellieren,
Äquivalenzen,
Normalformen
Grundlagen
der logischen
Programmierung
Folgern vs.
Beweisen,
Endlichkeitssatz,
Vollständigkeitssatz
Vollständigkeit,
Unvollständigkeit,
Unentscheidbarkeit
Erfüllbarkeit:
Markierungsalgorithmus
und aussagenlogische
Resolution
Teil A: Aussagenlogik
Syntax und
Semantik
Beispiele,
Syntax
Logik für
Informatiker
Teil C: Prädikatenlogik
Erfüllbarkeit:
Prädikatenlogische
Resolution
Erfüllbarkeit:
Grundresolution
Semantik,
prädikatenlogisches
Modellieren,
Normalformen
Teil B:
Modallogik
Modallogisches
Modellieren,
Syntax und
Semantik
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Logik
Weitere
Resultate
Erfüllbarkeit:
Tableauxkalküle
WS 2014/15
14 / 30
Übersicht, Organisatorisches und Literatur
Inhalte der Vorlesung
Wiederkehrende Themen dieser Vorlesung
Die folgenden Fragen werden für jede der drei betrachteten Logiken eine
Rolle spielen:
Zentrale Themen für alle 3 Logiken
• Syntax: Wie sind Formeln aufgebaut?
• Semantik: Wie wird die Bedeutung (im Sinne einer formalen
Interpretation) von Formeln formal definiert?
• Modellierung: Wie lassen sich Situationen modellieren,
umgangssprachliche Aussagen in Formeln überführen und Formeln
verstehen?
• Wie lassen sich „logische Schlüsse“ automatisieren?
• Eine besondere Rolle spielen dabei Erfüllbarkeitstests: Wie lässt sich
herausfinden, ob eine gegebene Formel überhaupt wahr werden kann?
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Logik
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13 / 30
Teil A
A – Aussagenlogik (AL)
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Logik
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2 / 158
AL – Modellierung, Äquivalenzen und Normalformen
Modellierung mit Aussagenlogik
Formalisierung umgangssprachlicher Aussagen
(1/2)
• Vorsicht bei der Formalisierung umgangssprachlicher Aussagen!
• Implikationen:
– Wenn ich die Studienleistung schaffe, kann ich die Klausur
mitschreiben: studienleistung → klausur
– Ich kann die Klausur mitschreiben, wenn ich die Studienleistung
schaffe: studienleistung → klausur
– Nur wenn ich die Studienleistung schaffe, kann ich die Klausur
mitschreiben: klausur → studienleistung
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Logik
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32 / 158
AL – Modellierung, Äquivalenzen und Normalformen
Logische Äquivalenzen
Äquivalenzen der Aussagenlogik (1/3)
Satz 2.3
Für aussagenlogische Formeln ϕ, ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 gelten:
• Kommutativität
– ϕ1 ∧ ϕ2 ≡ ϕ2 ∧ ϕ1
– ϕ1 ∨ ϕ2 ≡ ϕ2 ∨ ϕ1
• Assoziativität
– (ϕ1 ∧ ϕ2 ) ∧ ϕ3 ≡ ϕ1 ∧ (ϕ2 ∧ ϕ3 )
– (ϕ1 ∨ ϕ2 ) ∨ ϕ3 ≡ ϕ1 ∨ (ϕ2 ∨ ϕ3 )
• Idempotenz
– ϕ∧ϕ≡ϕ
– ϕ∨ϕ≡ϕ
• Absorption
– ϕ1 ∧ (ϕ1 ∨ ϕ2 ) ≡ ϕ1
– ϕ1 ∨ (ϕ1 ∧ ϕ2 ) ≡ ϕ1
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Logik
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48 / 158
AL – Modellierung, Äquivalenzen und Normalformen
Logische Äquivalenzen
Äquivalenzen der Aussagenlogik (2/3)
Satz 2.3 (Forts.)
Für aussagenlogische Formeln ϕ, ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 gelten:
• Distributivität
– ϕ1 ∨ (ϕ2 ∧ ϕ3 ) ≡ (ϕ1 ∨ ϕ2 ) ∧ (ϕ1 ∨ ϕ3 )
– ϕ1 ∧ (ϕ2 ∨ ϕ3 ) ≡ (ϕ1 ∧ ϕ2 ) ∨ (ϕ1 ∧ ϕ3 )
• Doppelnegation
– ¬¬ϕ ≡ ϕ
• De Morgansche Regeln
– ¬(ϕ1 ∧ ϕ2 ) ≡ ¬ϕ1 ∨ ¬ϕ2
– ¬(ϕ1 ∨ ϕ2 ) ≡ ¬ϕ1 ∧ ¬ϕ2
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49 / 158
AL – Modellierung, Äquivalenzen und Normalformen
Normalformen
Normalformen der Aussagenlogik: KNF und DNF
• Ein Literal L ist eine Formel der Form X oder ¬X mit X ∈ AV
W
• Eine disjunktive Klausel ist eine Disjunktion ki=1 Li von Literalen
V
• Eine konjunktive Klausel ist eine Konjunktion ki=1 Li von Literalen
• Eine AL-Formel ϕ ist in konjunktiver Normalform (KNF), falls sie eine
Konjunktion disjunktiver Klauseln ist
• Eine AL-Formel ϕ ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine
Disjunktion konjunktiver Klauseln ist
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Logik
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56 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Das Erfüllbarkeitsproblem
Erfüllbare und allgemeingültige Formeln (1/2)
Definition 3.2 Modell, Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit
• Eine Belegung α mit [[ϕ]]α = 1 heißt Modell von ϕ
(Andere Notation : α |= ϕ)
• Ist Φ eine Menge von aussagenlogischen Formeln, so heißt α Modell
von Φ, falls für alle ϕ ∈ Φ gilt:
[[ϕ]]α = 1 (bzw. : α |= Φ)
• Eine Formel ϕ heißt
– erfüllbar, falls sie ein Modell hat,
– andernfalls unerfüllbar
• Eine Formel ϕ heißt allgemeingültig (oder: Tautologie), falls jede zu ϕ
passende Belegung ein Modell von ϕ ist
• Für Mengen von Formeln werden die Begriffe erfüllbar und
allgemeingültig analog definiert
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AL – Erfüllbarkeit
Das Erfüllbarkeitsproblem
Erfüllbare und allgemeingültige Formeln (2/2)
Beispiele
• (A1 ∧ ¬A1 ) ist unerfüllbar
• (A1 ∨ ¬A1 ) ist allgemeingültig
• A1 ∨ A2 ist erfüllbar aber nicht allgemeingültig
• {(A1 ∨ ¬A2 ), A2 , ¬A1 } ist unerfüllbar
Die Menge AL ist wie folgt strukturiert:
allgemeingültig
erfüllbar aber
nicht allgemeingültig
unerfüllbar
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AL – Erfüllbarkeit
Hornformeln
Hornklauseln und Hornformeln (1/2)
Definition 3.3 Horn-Klausel, Horn-Formel
• Eine Klausel (L1 ∨ · · · ∨ Lk ) heißt Horn-Klausel, falls sie höchstens ein
positives Literal Li hat
• Eine Formel in KNF heißt Horn-Formel, falls alle ihre Klauseln
Horn-Klauseln sind
Beispiel
• (A1 ∨ ¬A2 ∨ ¬A3 ) ∧ (¬A1 ∨ A3 ∨ A4 ) ist keine Horn-Formel
• (A1 ∨ ¬A2 ∨ ¬A3 ) ∧ (¬A1 ∨ A3 ∨ ¬A4 ) ist eine Horn-Formel
Eine Horn-Klausel in Implikationsform hat in ihrer Disjunktion höchstens
ein Literal.
Horn-Formeln sind nach dem Logiker Alfred Horn (1918-2001) benannt
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78 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Hornformeln
Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln:
Markierungsalgorithmus
Markierungsalgorithmus
Eingabe: Horn-Formel ϕ
Ausgabe: „ ja“, falls ϕ erfüllbar ist, sonst „nein“
1: Markiere alle Variablen X, für die es eine Klausel X in ϕ gibt
2: while es gibt Klauseln der Art (X1 ∧ . . . ∧ Xk ) → X in ϕ, für die
3:
4:
5:
6:
(a) X1 , . . . , Xk markiert sind und
(b) X noch nicht markiert ist, do
Wähle eine solche Klausel und markiere X
if es gibt eine Klausel der Art (X1 ∧ . . . ∧ Xk ) → ⊥ in ϕ,
für die X1 , . . . , Xk markiert sind
then
Ausgabe „unerfüllbar“
else
Ausgabe „erfüllbar“
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80 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Klauseln und Klauselmengen (1/4)
Es ist klar, dass die Semantik einer Klausel nicht davon abhängt, ob ein
bestimmtes Literal einmal oder mehrfach in ihr vorkommt und in welcher
Reihenfolge die Literale sind.
• Zum Beispiel: (A1 ∨ A3 ∨ ¬A2 ∨ A1 ) ≡ (¬A2 ∨ A3 ∨ A1 )
Wir repräsentieren disjunktive Klauseln deshalb oft nur durch die Menge
ihrer Literale:
• Statt (A1 ∨ A3 ∨ ¬A2 ∨ A1 ) schreiben wir beispielsweise
{A1 , A3 , ¬A2 } oder {A1 , ¬A2 , A3 }
Eine Formel ϕ in KNF repräsentieren wir dann durch ihre
Klauselmenge K(ϕ), also die Menge ihrer Literalmengen.
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90 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Klauseln und Klauselmengen (3/4)
Die Erfüllbarkeit einer KNF-Formel ϕ wollen wir jetzt auf die Erfüllbarkeit
ihrer Klauselmenge K(ϕ) zurückführen.
Eine Formel in KNF wird durch eine Belegung genau dann wahr, wenn in
jeder Klausel mindestens ein Literal wahr wird.
Deshalb definieren wir, dass eine Klauselmenge K durch eine Belegung α
erfüllt wird, wenn es in jeder Klausel K ∈ K ein Literal L gibt mit α |= L.
Wir nennen K erfüllbar, wenn es eine Belegung gibt, die K erfüllt.
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92 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Das Resolutionslemma (1/2)
Lemma 3.7 (Resolutionslemma)
• Seien L1 , . . . , Lk und L01 , . . . , L0l Literale und X eine aussagenlogische
Variable
• Ist α eine Wahrheitsbelegung mit
– α |= {L1 , . . . , Lk , X} und
– α |= {L01 , . . . , L0l , ¬X}, dann gilt auch
α |= {L1 , . . . , Lk , L01 , . . . , L0l }
Wir nennen {L1 , . . . , Lk , L01 , . . . , L0l } dann die Resolvente von
{L1 , . . . , Lk , X} und {L01 , . . . , L0l , ¬X}.
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95 / 158
AL – Erfüllbarkeit
Aussagenlogische Resolution
Der Resolutionssatz der Aussagenlogik (2/9)
Dazu definieren wir:
–
–
–
–
Res(K) =def K ∪ {K|K ist Resolvente zweier Klauseln aus K}
Res1 (K) =def Res(K)
k−1
Resk (K) =def Res(Res
(K)),für jedes k > 1
S
∞
Res (K) =def k≥1 Resk (K)
Satz 3.8 (Resolutionssatz)
Eine endliche Klauselmenge K ist genau dann unerfüllbar, wenn
∈ Res∞ (K).
Beweis
• Wir zeigen:
(1) wenn ∈ Res∞ (K) dann K unerfüllbar
(2) wenn K unerfüllbar dann ∈ Res∞ (K)
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101 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Folgerung und Unerfüllbarkeit (2/4)
Definition 4.4 (Aussagenlogische Folgerung)
• Sei Φ eine Menge von AL-Formeln und ψ eine AL-Formel
• ψ folgt aus Φ, in Zeichen: Φ |= ψ, gdw.a jede zu Φ ∪ {ψ} passende
Belegung, die Modell von Φ ist, auch Modell von ψ ist.
a
gdw. = genau dann, wenn
Beispiel
{A, A → B} |= B
Zu beachten: die Menge Φ kann auch unendlich sein
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133 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Semantisches Folgern und syntaktisches Beweisen
Semantisches Folgern und syntaktisches
Beweisen (1/3)
Wir wenden uns jetzt also dem syntaktischen Beweisen zu:
• Φ ` ψ soll bedeuten, dass ψ aus Φ durch syntaktische Operationen
hergeleitet (bewiesen) werden kann
• Die genaue Bedeutung von „`“ hängt dabei jeweils von einem
spezifischen Beweissystem ab
• Unsere Mindestanforderung an ein solches Beweissystem ist, dass es
korrekt ist: Φ ` ψ impliziert Φ |= ψ
• Idealerweise sollte ein Beweissystem auch noch vollständig sein:
Φ |= ψ impliziert Φ ` ψ
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136 / 158
AL – Vollständigkeits- und Endlichkeitssatz
Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik
Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik:
abzählbare Version (1/3)
Satz 4.14 (Vollständigkeitssatz (abz.))
• Sei Φ eine Menge aussagenlogischer Formeln über einer abzählbaren
Menge aussagenlogischer Variablen
• Sei ψ eine aussagenlogische Formel
• Dann sind äquivalent:
– Φ |= ψ
– Φ`ψ
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155 / 158
Modallogik – Übersicht
Teil B
B – Modallogik (ML)
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2 / 126
ML – Grundlagen
Syntax und Semantik der Modallogik
Modallogik: Semantik (4/4)
Beispiel
1
B
2
A, B
4
C
3
A
Es gilt: K1 , 1 |= 3A ∧ 3(A ∧ ¬B)
Die Operatoren und 3 sind dual zueinander:
• Für alle K und s sind äquivalent:
– K, s |= ϕ
– K, s |= ¬3¬ϕ
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30 / 126
ML – Grundlagen
Syntax und Semantik der Modallogik
Modallogik: Model Checking
Die Berechnung aller Welten
s einer Kripke-Struktur K, für
die eine gegebene Formel ϕ
der Modallogik gilt, erfolgt am
einfachsten „bottom-up“ (d.h.,
über den Aufbau der Formeln)
gemäß der Def. der Semantik.
Beispiel
1
B
2
A, B
4
C
3
A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Beispiel
Wir berechnen die Welten von K, in denen
ϕ = 3A ∧ 3(A ∧ ¬B) gilt:
A
B
¬B
A ∧ ¬B
3(A ∧ ¬B)
3(A ∧ ¬B)
A
3A
ϕ
Logik
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
X
X
X
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4
X
X
X
X
X
X
X
X
X
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31 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (1/2)
Wie in der Aussagenlogik nennen wir eine Formel erfüllbar, wenn sie ein
Modell hat:
Definition 6.4 ((ML)Erfüllbarkeit, Kripke-Modell)
Eine modallogische Formel ϕ heißt erfüllbar, wenn es eine Kripkestruktur K
mit einer Welt s gibt, so dass K, s |= ϕ gilt. In diesem Fall nennen wir
(K, s) auch ein Kripke-Modell von ϕ.
Auch die Folgerung lässt sich analog zur Aussagenlogik definieren:
Definition 6.5 ((ML)Folgerung)
Seien ϕ, ψ ML-Formeln. ψ folgt aus ϕ, in Zeichen: ϕ |= ψ gdw. jedes
Kripke-Modell (K, s) von ϕ auch ein Kripke-Modell von ψ ist, d.h., wenn
K, s |= ϕ impliziert K, s |= ψ
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48 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Erfüllbarkeit und Folgerungen in ML (2/2)
Folgerungen1 lassen sich wieder sehr bequem auf Fragen der Unerfüllbarkeit
reduzieren (vgl. Proposition 4.10):
Proposition 6.5
• Sei Φ eine Menge von ML-Formeln und ψ eine ML-Formel
• Dann gilt: Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
1
wobei wir wie in der Aussagenlogik auch wieder Folgerungen aus Mengen von
ML-Formeln betrachten können
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Logik
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49 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Regeln (2/2)
• Zunächst wird die Wurzel des Baumes erzeugt und mit ϕ beschriftet
• Danach wird so lange eine der beiden folgenden Regeln angewendet,
bis dies nicht mehr möglich ist:
∨-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∨ ϕ2
und markiere ihn
– Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes zwei neue
Knoten u1 und u2 als Kinder an, und beschrifte sie mit ϕ1 bzw. ϕ2
∧-Regel:
– Wähle einen unmarkierten Knoten v mit einer Formel der Form ϕ1 ∧ ϕ2
und markiere ihn
– Hänge an jedes Blatt u des an v hängenden Teilbaumes ein neues Kind
u0 an, das mit ϕ1 beschriftet ist, und an u0 ein weiteres Kind u00 , das
mit ϕ2 beschriftet ist
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58 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Bedeutung (2/2)
• Eine Formel ϕ ist genau dann erfüllbar, wenn ϕ ein offenes saturiertes
Tableau T hat (Das werden wir noch beweisen!)
• Und: Wenn es ein solches Tableau für ϕ gibt, so haben alle saturierten
Tableaus für ϕ ein offenes Blatt
Eine erfüllende Belegung für ϕ lässt sich dann wie folgt konstruieren:
• Wähle ein offenes Blatt v von T
• Definiere eine Wahrheitsbelegung α so, dass sie alle Literale auf dem
Weg von v zur Wurzel wahr macht
Bemerkung: Verschieden strukturierte Tableaus unterscheiden sich durch
die Reihenfolge, in denen Konjunktionen und Disjunktionen bearbeitet
werden.
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60 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Aussagenlogik
AL-Tableaukalkül: Beispiel (Forts.)
Beispiel
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A))) ∨ (A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B)) X
¬A ∧ ((B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A)) X
A ∧ ((¬A ∧ B) ∨ ¬B) X
¬A
A
(B ∨ A) ∧ (¬B ∨ A) X
(¬A ∧ B) ∨ ¬B X
B∨A X
¬A ∧ B X ¬B
,
¬A
¬B ∨ A X
B
¬B
A
A
¬B
A
B
• Erfüllende Belegung: A 7→ 1, B 7→ 0
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Logik
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61 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (1/2)
Beispiel
• Ist 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) erfüllbar?
s1 , 33A ∧ (¬A ∨ ¬A) X
s1 , 33A X
s1 , (¬A ∨ ¬A) X
(s1 , s2 ) ∈ E X
s2 , 3A X
(s2 , s3 ) ∈ E X
s3 , A
s2 , ¬A ∨ ¬A X
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s2 , ¬A X s2 , ¬A X
,
s3 , ¬A Logik
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74 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Tableaukalkül für ML: Erstes Beispiel (2/2)
Beispiel (Forts.)
Also gilt ϕ in Welt s1 der folgenden Kripkestruktur und ist deshalb erfüllbar:
s1
s2
s3
A
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75 / 126
ML – Erfüllbarkeit
Ein Tableaukalkül für die Modallogik
Behandlung von s, ϕ-Knoten
Wichtig beim Umgang mit :
• Wird ein Knoten v mit Beschriftung s, ϕ bearbeitet, so muss für
jeden mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteten Knoten w ein mit s0 , ϕ
beschrifteter Knoten an jedes Blatt, das unterhalb von v und w liegt,
angefügt werden
• Ist v ein Knoten mit Beschriftung s, 3ϕ, der markiert wird, und ist u
ein mit (s, s0 ) ∈ E beschrifteter Knoten, der dabei neu eingefügt wird,
dann muss für jeden schon markierten Knoten z mit Beschriftung
s, ψ in Pu ein mit s0 , ψ beschrifteter Knoten an jedes Blatt unterhalb
von u angefügt werden
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77 / 126
ML – Weitere Eigenschaften
Bisimulationen
Bisimulationen (2/4)
Definition 7.7 (Bisimulationen)
• Seien K1 = (V1 , E1 , P1 ) und K2 = (V2 , E2 , P2 ) Kripkestrukturen
• Eine Relation S ⊆ V1 × V2 heißt Bisimulation zwischen K1 und K2 ,
falls für alle (s1 , s2 ) ∈ S gilt:
(a) P1 (s1 ) = P2 (s2 )
(b)
∗ für alle t1 mit (s1 , t1 ) ∈ E1 gibt es t2 mit (s2 , t2 ) ∈ E2 und
(t1 , t2 ) ∈ S, und
∗ für alle t2 mit (s2 , t2 ) ∈ E2 gibt es t1 mit (s1 , t1 ) ∈ E1 und (t1 , t2 ) ∈ S
• (K1 , s1 ) ∼ (K2 , s2 ) ⇔def es gibt eine Bisimulation S zwischen K1 und
K2 mit (s1 , s2 ) ∈ S
• Wir nennen s1 und s2 dann bisimilar
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98 / 126
ML – Weitere Eigenschaften
Bisimulationen
ML und Bisimulationen (1/4)
Dass zwei Welten bisimilar sind, können wir durch Angabe einer
Bisimulation zeigen.
Aber: Wie können wir zeigen, dass zwei Welten s1 , s2 nicht bisimilar sind?
Intuitiv: Wenn in s1 eine ML-Formel gilt, die in s2 nicht gilt, so kann
Spieler 1 das Spiel von s1 aus gewinnen
Der folgende Satz 7.9 zeigt, dass diese Intuition korrekt ist und im
Endlichen sogar die Umkehrung gilt.
Notation: (K1 , s1 ) ≡ (K2 , s2 )
⇔def für alle ϕ ∈ ML gilt: K1 , s |= ϕ gdw. K2 , s2 |= ϕ.
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102 / 126
ML – Weitere Eigenschaften
Bisimulationen
ML und Bisimulationen (2/4)
Satz 7.9
Für Kripkestrukturen K1 , K2 und Welten s1 , s2 gilt:
(a) Wenn (K1 , s1 ) ∼ (K2 , s2 ) dann (K1 , s1 ) ≡ (K2 , s2 )
(b) Sind K1 und K2 endlich, so gilt:
Wenn (K1 , s1 ) ≡ (K2 , s2 ) dann (K1 , s1 ) ∼ (K2 , s2 )
Satz 7.9 ermöglicht es, in vielen Fällen Kripkestrukturen durch kleinere
Kripkestrukturen zu ersetzen, die genau dieselben ML-Formeln erfüllen:
Dazu wird für eine Kripkestruktur K die Menge S aller Paare (s, s0 ) mit
K, s ∼ K, s0 berechnet und die sich ergebenden Äquivalenzklassen von
Welten werden durch einzelne Welten ersetzt.
(Quotientenstruktur)
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Logik
WS 2014/15
103 / 126
ML – Weitere Eigenschaften
Bisimulationen
Bisimulationen: Berechnung (1/2)
Berechnung der maximalem Bisimulation für zwei Kripkestrukturen K1 , K2 :
Bisimulations-Algorithmus
Eingabe: Kripkestrukturen K1 = (V1 , E1 , P1 ), K2 = (V2 , E2 , P2 )
Ausgabe: Die Menge S aller Paare (s1 , s2 ) mit (K1 , s1 ) ∼ (K2 , s2 )
1: Initialisiere S durch die Menge aller Paare (s1 , s2 ) mit P1 (s1 ) = P2 (s2 )
2: while es ergeben sich Änderungen für S do
% S wird verkleinert
3: if es gibt s1 , s2 , t1 mit
• (s1 , s2 ) ∈ S, (s1 , t1 ) ∈ E1 , und
• es gibt kein t2 ∈ V2 mit (s2 , t2 ) ∈ E2 und (t1 , t2 ) ∈ S,
then
4:
Entferne (s1 , s2 ) aus S
5: if es gibt s1 , s2 , t2 mit
• (s1 , s2 ) ∈ S, (s2 , t2 ) ∈ E2 , und
• es gibt kein t1 ∈ V1 mit (s1 , t1 ) ∈ E1 und (t1 , t2 ) ∈ S,
then
6:
Entferne (s1 , s2 ) aus S
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Logik
WS 2014/15
114 / 126
Prädikatenlogik – Übersicht
Teil C
C – Prädikatenlogik (PL)
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2 / 278
PL – Strukturen & Syntax
Strukturen
Strukturen (2/2)
Definition 8.2 (Struktur)
• Eine Struktur A besteht aus
–
–
–
–
einer Grundmenge A 6= ∅,
Relationen R1 , . . . , Rk über A
Funktionen f1 , . . . , fl über A
Konstanten c1 , . . . , cm aus A
• Wir schreiben A dann als (A, R1 , . . . , Rk , f1 , . . . , fl , c1 , . . . , cm )
Bemerkungen:
• Es ist auch k = 0, l = 0 oder m = 0 möglich
• Wir betrachten nur Strukturen mit endlich vielen Relationen und
Funktionen
• Wir betrachten nur Strukturen mit nichtleerer Grundmenge
• Statt „Grundmenge“ sagen wir manchmal auch „Universum“, die
Elemente der Grundmenge nennt man auch „Individuen“ oder
„Objekte“
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PL – Strukturen & Syntax
Strukturen
Strukturen: Signaturen (2/3)
• Eine Signatur ist eine Menge von Relations-, Funktions- und
Konstantensymbolen
• Die Signatur σ(A) einer Struktur A ist die Menge der Symbole zu den
in A vorkommenden Relationen, Funktionen und Konstanten
• Eine Struktur A ist passend zu einer Signatur S, wenn S ⊆ σ(A)
Beispiele
• Die Signatur von Erreichbarkeitsproblemen ist {E, c, d}, wobei E ein
2-stelliges Relationssymbol ist und c, d Konstantensymbole sind
• Die Signatur von Zeichenketten über dem Alphabet {a, b, c} ist
{≤, Qa , Qb , Qc }, wobei ≤ ein 2-stelliges Relationssymbol ist und
Qa , Qb , Qc jeweils 1-stellige Relationssymbole sind
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PL – Strukturen & Syntax
Syntax der Prädikatenlogik
Syntax der Prädikatenlogik (1/2)
Sei PV eine abzählbare Menge prädikatenlogischer Variablen.
PV enthalte mindestens x, y, z sowie xi , yi , zi , für alle i ∈ N.
Definition 8.3 (Syntax prädikatenlogischer Terme)
• Sei σ eine Signatur
• Die Menge PT(σ) der prädikatenlogischen Terme über σ ist induktiv
wie folgt definiert:
– Jede Variable aus PV ist ein Term
– Jedes Konstantensymbol aus σ ist ein Term
– Ist f ein k-stelliges Funktionssymbol aus σ und sind t1 , . . . , tk Terme
über σ, so ist f (t1 , . . . , tk ) ein Term über σ
Terme, die keine Variablen verwenden, nennen wir Grundterme.
Beispiel
Terme über {R, f, c}, für 2-stelliges f , sind z.B.
c, x, y, f (c, c), f (c, x), f (y, f (x, x)), . . ..
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PL – Strukturen & Syntax
Syntax der Prädikatenlogik
Syntax der Prädikatenlogik (2/2)
Definition 8.4 (Syntax
prädikatenlogischer Formeln)
Sei σ eine Signatur. Die Menge PL(σ)
der prädikatenlogischen Formeln über σ
ist induktiv wie folgt definiert:
(1) Ist R ein k-stelliges
Relationssymbol aus σ und sind
t1 , . . . , tk Terme über σ, so ist
R(t1 , . . . , tk ) in PL(σ)
(2) Sind ϕ, ϕ1 , ϕ2 in PL(σ), so auch
(a) ¬ϕ
(b) (ϕ1 ∧ ϕ2 )
(c) (ϕ1 ∨ ϕ2 )
(3) Ist x eine Variable und ϕ in PL(σ),
so sind auch
(a) ∃x ϕ und
(b) ∀x ϕ
in PL(σ)
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• Zusätzliche Klammern in Formeln sind
erlaubt
• ∃ heißt Existenzquantor, ∀ heißt Allquantor
• Formeln vom Typ (1) heißen atomar
• Formeln, die nur durch (1) und (2) gebildet
werden können, heißen quantorenfrei
• Wenn σ durch den Zusammenhang klar ist
(oder unwichtig), schreiben wir einfach PL
statt PL(σ)
• Umgekehrt: die Signatur σ(ϕ) einer Formel
ϕ ist die Menge der in ϕ vorkommenden
Relations-, Funktions- und
Konstantensymbole
Wenn die Signatur nicht explizit angegeben ist,
gelten folgende Konventionen:
• Variablen sind kleine Buchstaben vom Ende
des Alphabets
• Konstantensymbole sind kleine Buchstaben
vom Anfang des Alphabets
• Funktionssymbole sind kleine Buchstaben
„aus der Mitte des Alphabets“ wie f, g, h
• Relationssymbole sind große Buchstaben
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PL – Strukturen & Syntax
Syntax der Prädikatenlogik
Freie und gebundene Variablen
Beispiel
• Sei ϕ1 = R(x) ∨ ∀z P (x, g(z)) ∨ ∀y P (f (x), y)
– Sämtliche Vorkommen von x in ϕ1 sind frei, die Vorkommen von y und
z sind gebunden
• In ϕ2 = P (x) ∨ ∃x R(x, y) kommt x sowohl frei als auch gebunden vor
– Die Menge der freien Variablen dieser Formel ist also {x, y}
• Sei ϕ3 = ∀x [∀y ∃x E(y, x) ∧ E(x, y)] ∧ E(x, x)
– frei: x in E(x, x) und y in E(x, y)
– gebunden: x in E(y, x) (durch ∃x) und x in E(x, y) (durch ∀x)
y in E(y, x) (durch ∀y)
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PL – Strukturen & Syntax
Semantik der Prädikatenlogik
Prädikatenlogische Interpretationen (2/2)
Für die Semantik einer PL-Formel ϕ benötigen wir deshalb zweierlei:
• eine Struktur, in der die Relations-, Funktions- und
Konstantensymbole interpretiert werden, sowie
• eine Zuordnung von Werten zu den freien Variablen von ϕ
Definition 8.5 ((passende) Interpretationen)
• Eine Interpretation I = (A, β) besteht aus
– einer Struktur A mit Grundmenge A und
– einer partiellen Abbildung β : PV → A (der Belegung)
• Eine Interpretation (A, β) heißt passend für eine PL-Formel ϕ, falls
– A passend zur Signatur von ϕ ist und
– β(x) für jede freie Variable x von ϕ definiert ist
• Entsprechend sind zu einem Term passende Interpretationen definiert
• Notation: Ist β z.B. eine Belegung mit β(x) = 2, so schreiben wir
statt (A, β) auch (A, x 7→ 2).
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PL – Strukturen & Syntax
Semantik der Prädikatenlogik
Semantik der Prädikatenlogik (1/2)
Die Semantik der Prädikatenlogik ordnet jeder Formel ϕ und jeder
passenden Interpretation I einen Wahrheitswert [[ϕ]]I zu.
Sei a ∈ A. Ist β eine Belegung, so ist β[x/a] die Belegung, die aus β in der
folgenden Weise entsteht:
a,
wenn y = x
β[x/a](y) =
β(y), wenn y 6= x
Ist I = (A, β), so bezeichnet I[x/a] die Interpretation (A, β[x/a]).
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PL – Strukturen & Syntax
Semantik der Prädikatenlogik
Semantik der Prädikatenlogik (2/2)
Definition 8.6 (Semantik prädikatenlogischer Formeln)
• Sei I = (A, β) eine Interpretation
• Der Wert [[t]]I eines (zu I passenden) Terms t ist induktiv wie folgt
definiert:
– [[x]]I =def β(x) für Variablen x ∈ PV
– [[c]]I =def cA für Konstantensymbole c
– [[f (t1 , . . . , tk )]]I =def f A ([[t1 ]]I , . . . , [[tk ]]I )
• Der Wahrheitswert [[ϕ]]I einer PL-Formel ϕ ist induktiv wie folgt
definiert:
(1) [[R(t1 , . . . , tk )]]I = 1 ⇔ ([[t1 ]]I , . . . , [[tk ]]I ) ∈ RA
(2) (a) [[¬ϕ]]I = 1 ⇔ [[ϕ]]I = 0
(3)
(b)
(c)
(a)
(b)
[[ϕ1 ∧ ϕ2 ]]I ⇔ [[ϕ1 ]]I = 1 und [[ϕ2 ]]I = 1
[[ϕ1 ∨ ϕ2 ]]I ⇔ [[ϕ1 ]]I = 1 oder [[ϕ2 ]]I = 1
[[∃xϕ]]I = 1 ⇔ es gibt ein a ∈ A mit [[ϕ]]I[x/a] = 1
[[∀xϕ]]I = 1 ⇔ für alle a ∈ A gilt [[ϕ]]I[x/a] = 1
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PL – Modellierung und Normalformen
Formeln erstellen und verstehen
Prädikatenlogik: Formeln erstellen (2/6)
Beispiel (Forts.)
Zur Erinnerung:
Das Übungsgruppen-Szenario haben wir wie folgt modelliert:
• f (a) ist bester Freund von a
• g(a) ist bester Studierender
in der Übungsgruppe von a
• P (a, b) bedeutet, dass der
Studierende a den
Studierenden b kennt
Wer bester Freund eines ÜbungsgruppenBesten ist, hat die Aufgaben verstanden
• Für jeden Studierenden gilt: wenn es
einen Studierenden gibt, dessen
Übungsgruppen-Bester ihn als
besten Freund hat, dann hat er die
Aufgaben verstanden
• ∀x ((∃y f (g(y)) = x) → R(x))
• R(a) bedeutet, dass a die
Aufgaben verstanden hat
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53 / 278
PL – Modellierung und Normalformen
Äquivalenzen
Äquivalenzen der Prädikatenlogik (3/4)
Satz 9.3
• Für prädikatenlogische Formeln ϕ, ϕ1 , ϕ2 gelten:
(1) ¬∀x ϕ ≡ ∃x ¬ϕ und ¬∃x ϕ ≡ ∀x ¬ϕ
(2) (∀x ϕ1 )∧(∀x ϕ2 ) ≡ ∀x (ϕ1 ∧ϕ2 ) und
(∃x ϕ1 )∨(∃x ϕ2 ) ≡ ∃x (ϕ1 ∨ϕ2 )
(3) ∀x ∀y ϕ ≡ ∀y ∀x ϕ und ∃x ∃y ϕ ≡ ∃y ∃x ϕ
(4) Falls x in ϕ2 nicht vorkommt:
∀x (ϕ1 ∧ ϕ2 ) ≡ (∀x ϕ1 ) ∧ ϕ2 und ∀x (ϕ1 ∨ ϕ2 ) ≡ (∀x ϕ1 ) ∨ ϕ2
(5) Falls x in ϕ2 nicht vorkommt:
∃x (ϕ1 ∨ ϕ2 ) ≡ (∃x ϕ1 ) ∨ ϕ2 und ∃x (ϕ1 ∧ ϕ2 ) ≡ (∃x ϕ1 ) ∧ ϕ2
Beweisskizze
• Die Beweise erfolgen jeweils durch Rückführung auf die Semantik von
PL-Formeln
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PL – Modellierung und Normalformen
Normalformen
Normalformen: Begriffe (1/4)
Definition 9.2 (reduzierte Form, NNF, Pränexform)
• Eine PL-Formel ist in reduzierter Form, wenn sie nur ∃, ∨, ¬
verwendet, aber nicht ∀ und ∧
• Eine PL-Formel ϕ ist in Negations-Normalform (NNF), wenn
Negationen in ϕ nur unmittelbar vor atomaren Formeln vorkommen
• Eine PL-Formel ϕ ist in Pränexform, wenn sie die Gestalt
Q1 x1 Q2 x2 . . . Qk xk ϕ0
hat, wobei
– die Qi jeweils entweder ∃ oder ∀ sind,
– die xi paarweise verschieden sind, und
– ϕ0 quantorenfrei ist (also: ϕ0 ist atomar oder geklammert!)
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PL – Modellierung und Normalformen
Normalformen
Berechnung der Pränexform: Beispiel
Beispiel
• Wir betrachten die Formel [R(x) ∨ ∀y P (x, g(y))] ∧ ¬∀x ∃y P (f (x), y)
• Da x gebunden und frei vorkommt und y zweimal quantifiziert wird,
ersetzen wir die Variable y im ersten All-Quantor (und ihre
Vorkommen) sowie die Variable x im Allquantor:
[R(x) ∨ ∀y1 P (x, g(y1 ))] ∧ ¬∀x1 ∃y P (f (x1 ), y)
• Da die Formel von der Form ϕ1 ∧ ϕ2 ist, wird zunächst für die beiden
Teilformeln die Pränexform bestimmt:
– PF(R(x) ∨ ∀y1 P (x, g(y1 ))) liefert die Formel ∀y1 [R(x) ∨ P (x, g(y1 ))]
– PF(¬∀x1 ∃y P (f (x1 ), y)) führt zum Aufruf PF(∀x1 ∃y P (f (x1 ), y))
und liefert dann ∃x1 ∀y ¬P (f (x1 ), y)
• Insgesamt erhalten wir also:
∀y1 ∃x1 ∀y ([R(x) ∨ P (x, g(y1 ))] ∧ ¬P (f (x1 ), y))
Die hier betrachtete Formel ist nicht dieselbe wie im letzten Kapitel!
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74 / 278
PL – Modellierung und Normalformen
Normalformen
Erfüllbarkeit: Grundbegriffe (1/2)
Definition 9.3 (Modell, (un)erfüllbar, allgemeingültig, |=)
• Sei ϕ eine prädikatenlogische Formel
• Eine Interpretation I mit [[ϕ]]I = 1 heißt Modell von ϕ
– Alternative Notation dafür: I |= ϕ
• ϕ heißt erfüllbar, falls ϕ ein Modell hat, andernfalls unerfüllbar
• ϕ heißt allgemeingültig (oder: Tautologie), falls jede zu ϕ passende
Interpretation ein Modell von ϕ ist
• I ist Modell einer Menge Φ prädikatenlogischer Formeln (I |= Φ), falls
für alle ϕ ∈ Φ gilt: I |= ϕ
Die Begriffe „erfüllbar“ und „allgemeingültig“ werden für Mengen Φ von
Formeln analog definiert.
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76 / 278
PL – Modellierung und Normalformen
Normalformen
Skolemform (4/6)
Allgemeiner kann jede Formel durch Anwendung der folgenden
Skolem-Regel (und der Äquivalenzumwandlungen) in eine
erfüllbarkeitsäquivalente, geschlossene Formel in Skolemform umgewandelt
werden:
• Ist ϕ = ∀x1 ∀x2 . . . ∀xk ∃y ϕ0 , und kommt das Funktionssymbol f in
ϕ0 nicht vor, so ist die Formel
∀x1 ∀x2 . . . ∀xk ϕ0 [y/f (x1 , . . . . , xk )] erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ
• Steht der ∃-Quantor am Anfang (ist also k = 0), so wird y durch eine
Konstante ersetzt
Zur Erinnerung: Konstanten sind eigentlich 0-stellige Funktionen
Zu beachten: ϕ darf durchaus weitere Quantoren enthalten
0
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81 / 278
PL – Modellierung und Normalformen
Normalformen
Skolemform (5/6)
Die Umwandlung einer prädikatenlogischen Formel ϕ in eine
erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform erfolgt in drei Phasen:
(i) Wandle ϕ in eine äquivalente Formel ϕ1 in Pränexform um
(ii) Wandle ϕ1 in eine erfüllbarkeitsäquivalente, geschlossene
Pränex-Formel ϕ2 um:
– ϕ2 = ∃x1 . . . ∃xm ϕ1 , wobei x1 , . . . , xm die freien Variablen von ϕ1
sind
(iii) Wandle ϕ2 durch Anwendung der Skolem-Regel (von links nach rechts)
in eine erfüllbarkeitsäquivalente geschlossene Skolemformel ϕ3 um
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82 / 278
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Folgern: Grundbegriffe (1/2)
Das semantische Folgern ist für die Prädikatenlogik analog zur
Aussagenlogik definiert:
Definition 10.1 (PL-Folgerung, |=)
• Seien Φ eine Menge von PL-Formeln und ψ eine PL-Formel
• Φ |= ψ gdw. jede zu Φ ∪ {ψ} passende Interpretation, die Modell von
Φ ist, auch Modell von ψ ist
• Wir sagen auch: ψ folgt aus Φ
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91 / 278
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Einleitung
Folgern: Grundbegriffe (2/2)
Der Zusammenhang zwischen Folgern und Unerfüllbarkeit ist in der
Prädikatenlogik auch genauso wie in der Aussagenlogik:
Proposition 10.1
Seien Φ eine Menge von PL-Formeln und ψ eine PL-Formel. Dann gilt:
Φ |= ψ gdw. Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
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92 / 278
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Herbrand-Strukturen (3/3)
Definition 10.2 (Herbrand-Universum, Herbrand-Struktur)
• Sei ϕ eine geschlossene Skolemformel
• Das Herbrand-Universum H(ϕ) von ϕ sei die Menge aller Grundterme
aus
– PT(σ(ϕ)), falls ϕ ein Konstantensymbol enthält, und
– PT(σ(ϕ) ∪ {a}) andernfalls
• Eine Struktur H heißt Herbrand-Struktur für ϕ, falls gilt:
– Die Grundmenge von H ist H(ϕ)
– Ist c ein Konstantensymbol von ϕ, so ist cH = c
– Ist f ein k-stelliges Funktionssymbol von ϕ und sind t1 , . . . , tk ∈ H(ϕ),
so ist f H (t1 , . . . , tk ) = f (t1 , . . . , tk )
• Ein Herbrand-Modell einer Formel ϕ ist eine Herbrand-Struktur, die
ein Modell für ϕ ist
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107 / 278
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Herbrand-Strukturen
Satz von Herbrand (1/5)
Satz 10.3 (Satz von Herbrand)
Jede prädikatenlogische Formel χ hat genau dann ein Modell, wenn sie ein
Herbrand-Modell hat.
Beweisskizze
• Die Richtung „⇐“ ist klar
• Für „⇒“ sei ϕ = ∀x1 . . . ∀xl ψ eine durch Skolemisierung entstandene
zu χ erfüllbarkeitsäquivalente geschlossene Skolemformel
• Wir zeigen:
– Hat ϕ ein Modell, so hat ϕ auch ein Herbrand-Modell H
– Dieses Modell ist dann auch ein Herbrand-Modell für χ
∗ Die zusätzlichen Funktionen und Konstanten, die beim Übergang von χ
zu ϕ durch Skolemisierung eingefügt wurden, können dazu einfach aus
dem Modell entfernt werden
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109 / 278
PL – Erfüllbarkeit: Grundresolution
Grundresolution
Erfüllbarkeitstest für prädikatenlogische Formeln
Wenn eine Formel ϕ unerfüllbar ist, lässt sich also aus E(ϕ) die leere
Klausel per (aussagenlogischer) Resolution herleiten.
Damit erhalten wir den folgenden Algorithmus:
Grundresolutionsalgorithmus
Eingabe: geschlossene Skolemformel ϕ
Ausgabe: „unerfüllbar“, falls ϕ unerfüllbar ist, andernfalls „erfüllbar“ oder
keine Termination
1: M := ∅, i := 0
2: while i < |E(ϕ)| do
3: i := i + 1, ψi := i-te Formel von E(ϕ)
4: M := M ∪ {ψi }
% M wird sukzessive mit E(ϕ) gefüllt
5: if Resolutionsalgo sagt, dass M aussagenlogisch unerfüllbar ist then
6:
RETURN „unerfüllbar“
7: RETURN „erfüllbar“
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123 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Einleitung
Prädikatenlogische Resolution: Einleitung (2/2)
Beispiel
• „Direkterer“ Resolutionsbeweis für die Unerfüllbarkeit von ϕ2 :
– Matrixklauselform von ϕ2 : {P (x)}, {¬P (f (x))}
{P (x)} {¬P (f (x))}
x 7→ a
x 7→ f (a)
{P (f (a))} {¬P (f (a))}
Die prädikatenlogische Resolution sucht in der Matrixklauselform gezielt
nach Paaren von Literalen, die nach Anwendung geeigneter Substitutionen
für einen Resolutionsschritt genutzt werden können.
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Logik
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135 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Substitutionen
Substitutionen: Definition (2/3)
Wir notieren Substitutionen häufig in der Form
σ = {x1 7→ t1 , . . . , xk 7→ tk }
Beispiel
• Sei L = ¬R(x, y, x)
• Für σ = {y 7→ g(b)} ist σ(L) = ¬R(x, g(b), x)
• Für σ = {x 7→ f (y)} ist σ(L) = ¬R(f (y), y, f (y))
• Für σ = {x 7→ f (y), y 7→ g(b)} ist σ(L) = ¬R(f (y), g(b), f (y))
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Logik
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138 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Vorüberlegungen
PL-Resolution: Vorüberlegungen (7/8)
2. Beispiel zur Grundresolution (Wdh.)
• {{R(x)}, {P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))}, {¬P (b), ¬R(g(b, y))}}
{P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))}
x 7→ b
y 7→ f (a)
{R(x)}
x 7→ f (a)
{P (b), ¬R(f (a))}
{¬P (b), R(g(b, y))}
x 7→ g(b, a)
y 7→ a
{R(f (a))} {R(g(b, a))} {¬P (b), ¬R(g(b, a))}
{P (b)}
{¬P (b)}
Weitere Beobachtungen:
(1) Klauseln können in Grundresolutionsbeweisen mehrfach verwendet werden
({R(x)})
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Logik
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149 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Vorüberlegungen
PL-Resolution: Vorüberlegungen (8/8)
2. Beispiel zur Grundresolution (Wdh.)
• {{R(x)}, {P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))}, {¬P (b), ¬R(g(b, y))}}
{P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))}
x 7→ b
y 7→ f (a)
{R(x)}
x 7→ f (a)
{P (b), ¬R(f (a))}
{¬P (b), R(g(b, y))}
x 7→ g(b, a)
y 7→ a
{R(f (a))} {R(g(b, a))} {¬P (b), ¬R(g(b, a))}
{P (b)}
{¬P (b)}
Weitere Beobachtungen:
(2) In einem Resolutionsschritt können Klauseln verwendet werden, die durch unterschiedliche
Substitutionen entstehen:
Der Resolutionsschritt auf der linken Seite verwendet die PL-Klauseln
(a) {P (x), ¬R(y), ¬R(f (a))} mit Substitution x 7→ b, y 7→ f (a),
(b) {R(x)} mit Substitution x 7→ f (a)
– Beides ist erlaubt, da alle vorkommenden Variablen universell quantifiziert sind
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150 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Unifikation
Unifikatoren (3/4)
Beispiel
• Die Substitution σ:
• Die Substitution σ 0 (vorherige
Folie):
u 7→ a
v 7→ f (z)
w 7→ b
x 7→ f (z)
y 7→ b
u 7→ a
v 7→ f (a)
w 7→ b
x 7→ f (a)
y 7→ b
z 7→ a
ist ein MGU für
– A1 = R(x, a, y),
– A2 = R(f (z), u, b),
lässt sich schreiben als:
σ 0 = {z 7→ a} ◦ σ
– A3 = R(v, u, w)
und bildet alle Atome auf
R(f (z), a, b) ab
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154 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Unifikation
Unifikatoren (2/4)
Definition 11.4 (Unifikator)
Eine Substitution σ heißt Unifikator der Atome A1 , . . . , Am , falls
σ(A1 ) = · · · = σ(Am ) gilt.
Um uns im Rahmen eines Resolutionsbeweises möglichst viele
Möglichkeiten für spätere Resolutionsschritte zu erhalten, interessieren wir
uns für Unifikatoren, die möglichst wenige Festlegungen treffen:
Definition 11.5 (allgemeinster Unifikator, MGU)
Ein Unifikator σ heißt allgemeinster Unifikator (MGU) für A1 , . . . , Am , falls
für jeden Unifikator σ1 von A1 , . . . , Am eine Substitution σ2 existiert mit
σ1 = σ2 ◦ σ.
Die Abkürzung MGU steht für „most general unifier“
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153 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Unifikation
Unifikatoren (4/4)
Natürlich gibt es nicht für jede Menge von Atomen einen Unifikator:
Beispiel
Beispiele von Atompaaren ohne Unifikator:
• Verschiedene Relationsnamen:
– P (a), R(y)
• Verschiedene Funktionssymbole:
– P (a, f (x)), P (y, g(b))
• Variablen-Rekursion:
– P (a, f (x)), P (y, x)
Der Algorithmus auf der nächsten Folie entscheidet, ob die gegebene
Atommenge einen Unifikator hat; er
• berechnet einen allgemeinsten Unifikator oder
• gibt „nicht unifizierbar“ aus
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155 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Unifikation
Der Unifikationsalgorithmus
Unifikationsalgorithmus
Eingabe: Menge L 6= ∅ von PL-Atomen
Ausgabe: Allgemeinster Unifikator σ für L oder „nicht unifizierbar“
01:
02:
03:
04:
05:
06:
07:
08:
09:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
if es kommen verschiedene Relationssymbole in L vor then
return „nicht unifizierbar“
L0 := L, σ := ∅
while |L0 | > 1 do
Wähle zwei Atome A1 , A2 in L0
Seien z1 (in A1 ) und z2 (in A2 ) die ersten Zeichen,
an denen A1 und A2 verschieden sind
if weder z1 noch z2 ist Variable then
return „nicht unifizierbar“
if z1 ist Variable then
Sei t der in A2 mit z2 beginnende Term
if z1 kommt in t vor then
return „nicht unifizierbar“
else
σ := {z1 7→ t} ◦ σ
Wende z1 7→ t auf alle Atome in L0 an
else
Falls z2 ist Variable: analog
return σ
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156 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolution: Beispiel
Beispiel
{¬R(x)}
{R(f (y)), P (z)}
x 7→ f (y)
{¬R(f (y))}
{P (z)}
Ein prädikatenlogischer Resolutionsschritt lässt sich auf zwei Klauseln K1
und K2 anwenden, wenn
•
•
•
•
in K1 ein Atom A1 vorkommt,
in K2 ein negiertes Atom ¬A2 vorkommt, und
A1 und A2 unifizierbar sind
(oder umgekehrt)
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164 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolventen (1/3)
Ein prädikatenlogischer Resolutionsschritt besteht also im Allgemeinen aus:
• Variablenumbenennungen und
• einer Unifikation
Beispiel
K = {P (x), S(f (x), a)}
K 0 = {¬P (f (x)), ¬P (y), ¬Q(z)}
τ 0 = {x 7→ u}
τ =∅
H = {P (x), S(f (x), a)}
H 0 = {¬P (f (u)), ¬P (y), ¬Q(z)}
{x 7→ f (u)}
{y 7→ f (u)}
R = {S(f (f (u)), a), ¬Q(z)}
Wir teilen hier in der Notation die Substitution σ = {x 7→ f (u), y 7→ f (u)}
in ihre Bestandteile auf.
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Logik
WS 2014/15
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PL – Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolution
Für PL-Klauselmengen K definieren wir:
• Res(K) =def K ∪ {K | K ist PL-Resolvente zweier Klauseln aus K}
• Res0 (K) =def K
• Resk (K) =def Res(Resk−1 (K)), für alle k ≥ 1
S
• Res∞ (K) =def k≥0 Resk (K)
Satz 11.3 (PL-Resolutionssatz)
Eine prädikatenlogische Formel ϕ ist genau dann unerfüllbar, wenn für ihre
Matrixklauselform K gilt: ∈ Res∞ (K).
Der Beweis des Resolutionssatzes wird in Kapitel 13 gegeben.
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Logik
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171 / 278
PL – Prädikatenlogische Resolution
Prädikatenlogische Resolution
Notation von Resolutionsbeweisen
Ab jetzt: kompaktere Darstellung in Resolutionsbeweisen:
• Variablenumbenennungen, Substitutionen und Übergang zur Resolventen
werden da in einem Schritt kombiniert
• Mengenklammern bei Substitutionen lassen wir weg
Beispiel
Statt
{¬A(y, a)}
{¬P (x, z), ¬A(z, y), A(x, y)}
τ 0 = {y 7→ u}
{¬A(y, a)}
{¬P (x, z), ¬A(z, u), A(x, u)}
{y 7→ x}
{u 7→ a}
{¬P (x, z), ¬A(z, a)}
schreiben wir also
{¬A(y, a)}
y 7→ x
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
{¬P (x, z), ¬A(z, y), A(x, y)}
y 7→ a
{¬P (x, z), ¬A(z, a)}
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172 / 278
PL – Logische Programmierung und Prolog
Prolog und prädikatenlogische Resolution: Beispiele
Log. Programmierung und PL-Resolution (4/6)
Beispiel
• Wir betrachten weiterhin das folgende Prolog-Programm:
ancestor_of(X,Y) :- parent_of(X,Y).
ancestor_of(X,Y) :- parent_of(X,Z),ancestor_of(Z,Y).
parent_of(bob,alfred). parent_of(dave,bob).
parent_of(eric,dave).
und die Anfrage
? :- ancestor_of(Y,alfred).
Wegen –
–
∀x ∀y (∃z (P (x, z) ∧ A(z, y)) → A(x, y)) ≡
∀x ∀y ∀z ((P (x, z) ∧ A(z, y)) → A(x, y))
und ¬∃y A(y, a) ≡ ∀y ¬A(y, a)
ist diese Folgerungsfrage äquivalent zur Unerfüllbarkeit der Matrixklauselform
{{¬P (x, y), A(x, y)}, {¬P (x, z), ¬A(z, y), A(x, y)},
{P (b, a)}, {P (d, b)}, {P (e, d)}, {¬A(y, a)}}
Die Unerfüllbarkeit dieser Klauselmenge lässt sich nun mit Hilfe der
prädikatenlogischen Resolution überprüfen.
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PL – Logische Programmierung und Prolog
Prolog und prädikatenlogische Resolution: Beispiele
Log. Programmierung und PL-Resolution (6/6)
In der folgenden Tabelle ist der Zusammenhang zwischen
Logik-Programmen und prädikatenlogischen Klauseln noch einmal
zusammengefasst:
Logik-Programme
Regel
B :- A1,...,An.
Faktum B.
Anfrage ? :- A1,...,An
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Klauseln
{¬A1 , . . . , ¬An , B} Prozedurklausel
{B}
Tatsachenklausel
{¬A1 , . . . , ¬An }
Zielklausel
Logik
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184 / 278
PL – Logische Programmierung und Prolog
SLD-Resolution
PL-Resolution: Vollständige Restriktionen für
Hornklauseln
Einige weitere Einschränkungen:
• Input-Restriktion: Mindestens eine der beiden verwendeten Klauseln
muss immer aus K sein
• Einheits-Restriktion: Mindestens eine der beiden verwendeten Klauseln
enthält nur ein Literal
• SLD-Resolution:
– Lineare Restriktion
– Input-Restriktion
– Erste Klausel K0 ist Zielklausel (nur negierte Literale)
Bei der SLD-Resolution gibt es außerdem eine Präferenzregel, die jeweils
das zu unifizierende Literal in der jeweils aktuellen Zielklausel auswählt.
Ein Beispiel für die SLD-Resolution haben wir schon gesehen: Das
Affen-Beispiel (Affe, Stuhl, Banane).
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PL – Logische Programmierung und Prolog
SLD-Resolution
PL-Resolution: Vollständige Restriktionen (1/3)
K bezeichne immer eine gegebene Klauselmenge.
Wir betrachten zunächst folgende Einschränkungen (Restriktionen) der
prädikatenlogischen Resolution:
• P-Restriktion: eine der beiden verwendeten Klauseln darf nur positive
Literale enthalten
• N-Restriktion: eine der beiden verwendeten Klauseln darf nur negative
Literale enthalten
• Lineare Restriktion: Der Resolutionsbeweis besteht aus einer Folge
K0 , . . . , Kn , für die gilt:
– K0 ∈ K,
– für jedes i > 0 ist Ki Resolvente von Ki−1 und einer anderen Klausel
K mit K = Kj für j < i oder K ∈ K
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PL – Logische Programmierung und Prolog
SLD-Resolution
SLD-Resolution
Satz 12.5
Die folgenden Einschränkungen der prädikatenlogischen Resolution sind im
Allgemeinen unvollständig, aber vollständig für Hornklauseln:
• Resolution mit Input-Restriktion
• Resolution mit Einheits-Restriktion
• Resolution mit SLD-Restriktion
Da Logik-Programme nur aus Hornklauseln bestehen, lassen sich mit der
SLD-Resolution also alle Lösungen für Logik-Programme finden
• Die Auswertung von PROLOG-Programmen erfolgt deshalb meist mit
SLD-Resolution
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PL – Logische Programmierung und Prolog
Auswertungsstrategien für Prolog-Programme
Auswertungsstrategien (1/5)
Zu einem Logik-Programm und einer Zielklausel kann es viele verschiedene
Berechnungen geben.
In jedem Schritt gibt es zwei Wahlmöglichkeiten:
(1) Auswahl eines Literals in der (aktuellen) Zielklausel
(2) Auswahl der passenden Prozedurklausel
Beispiel
A :A :B :B.
B :C :C.
B,C.
D.
D.
E,F.
A,C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
?:-A,B,C
?:-A,B,C
?:-A,B,C
?:-A,D,C
Logik
?:-A,C
?:-A,B,C
?:-A,E,F,C
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PL – Logische Programmierung und Prolog
Auswertungsstrategien für Prolog-Programme
Auswertungsstrategien (3/5)
Die möglichen kanonischen Berechnungen lassen sich noch kompakter darstellen:
• Da die Links-nach-rechts-Auswertung vorgegeben ist, sind keine
Verzweigungen zur Auswahl eines Literals in der aktuellen Anfrage nötig
Beispiel
1: q(X,Z):-q(Y,Z),r(X,Y)
2: q(X,X).
3: r(b,c).
Z: ? :- q(X,c).
1
1
2
Ergebnis: X 7→ c
?:-r(X,c)
2
3
?:-r(Y,c),r(X,Y)
3
?:-r(X,b)
unendlich
2
?:-q(Y,c),r(X,Y)
?:-q(V,c),r(Y,V),r(X,Y)
1
?:-q(X,c)
Ergebnis: X 7→ b
nicht erfolgreich
Der Baum kann mit Backtracking durchsucht werden.
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Logik
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211 / 278
PL – Weitere Ergebnisse
Der Gödelsche Vollständigkeitsatz
Gödelscher Vollständigkeitssatz
Satz 13.11 (Gödel 1929)
• Sei Φ eine endliche oder abzählbar unendliche Menge
prädikatenlogischer Formeln über einer endlichen Signatur σ
und sei ψ eine prädikatenlogische Formel
• Dann gilt: Φ |= ψ ⇔ Φ ` ψ
Beweisskizze
• „Φ ` ψ ⇒ Φ |= ψ“:
– Wie im Beweis von Satz 13.9
• „Φ |= ψ ⇒ Φ ` ψ“:
– Es gelte Φ |= ψ
⇒ Φ ∪ {¬ψ} ist unerfüllbar
– Aus dem Endlichkeitssatz folgt, dass es eine endliche Teilmenge Φ0 von
Φ gibt, so dass Φ0 ∪ {¬ψ} unerfüllbar ist
⇒ Φ0 ` ψ
(Satz 11.14)
⇒ Φ ` ψ nach Definition von „`“
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PL – Weitere Ergebnisse
Der Gödelsche Vollständigkeitsatz
Der Endlichkeitssatz der Prädikatenlogik (1/2)
Satz 13.10 (Endlichkeitssatz der PL)
• Sei Φ eine abzählbar unendliche Menge prädikatenlogischer Formeln
über einer endlichen Signatur σ
• Dann gilt: Φ ist genau dann erfüllbar, wenn jede endliche Teilmenge
von Φ erfüllbar ist
Beweisidee
• Es genügt zu zeigen:
Wenn jede endliche Teilmenge von Φ erfüllbar ist,
dann ist Φ erfüllbar
• Sei Φ = {ϕ1 , ϕ2 , . . .} also eine abzählbar unendliche Menge
prädikatenlogischer Formeln über einer endlichen Signatur σ
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Logik
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239 / 278
PL – Weitere Ergebnisse
Algorithmen
Entscheidungsprobleme für die PL (5/6)
Zur Erinnerung:
•
•
•
•
L1
L2
L3
L4
=
=
=
=
Menge
Menge
Menge
Menge
der
der
der
der
erfüllbaren Formeln
unerfüllbaren Formeln
allgemeingültigen Formeln (Tautologien)
durch endliche Modelle erfüllbaren Formeln
Satz 13.13
(a) L2 , L3 , L4 sind semientscheidbar, aber nicht entscheidbar
(b) L1 ist nicht semientscheidbar
Zu beachten: Satz 13.13 gilt für Signaturen, die mindestens ein 2-stelliges
Relations- oder Funktionssymbol enthalten.
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Logik
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260 / 278
PL – Weitere Ergebnisse
Hilbert- und Sequenzenkalkül
Andere Beweiskalküle
Außer dem Resolutionskalkül gibt es viele verschiedene Beweiskalküle für
die Prädikatenlogik.
Wir werfen einen Blick auf zwei solche Kalküle:
• Hilbertkalkül:
– Der Hilbert-Kalkül hat nur wenige Axiome und Regeln
– Es ist aber ziemlich schwierig, Ableitungen für Formeln zu finden
• Sequenzenkalkül:
– Es gibt eine Vielzahl von Kalkülen aus der Familie der Sequenzenkalküle
– Der hier betrachtete Sequenzenkalkül hat nur ein Axiom aber zehn
Schlussregeln
– Häufig ist es erheblich einfacher, einen Beweis im Sequenzenkalkül zu
finden
– Sequenzenkalküle werden häufig für automatische Beweise eingesetzt
Die Anwendung dieser Kalküle ist kein Prüfungsstoff, aber wichtig für das
Verständnis logischer Ableitungen.
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Logik
WS 2014/15
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PL – Weitere Ergebnisse
Hilbert- und Sequenzenkalkül
Andere Beweiskalküle: Hilbertkalkül (1/3)
Definition 13.8 (Hilbertkalkül)
• AX sei die Menge aller Formeln, die sich in einer der drei folgenden
Formen schreiben lassen:
(A1) [ϕ1 → (ϕ2 → ϕ3 )] → [(ϕ1 → ϕ2 ) → (ϕ1 → ϕ3 )]
(A2) ϕ1 → (ϕ2 → ϕ1 )
(A3) (¬ϕ1 → ¬ϕ2 ) → (ϕ2 → ϕ1 )
• ψ ist Hilbert-beweisbar aus Φ (Φ `H ψ), falls es eine Folge ψ1 , . . . , ψn
gibt mit:
– ψn = ψ, und jedes ψi ist entweder
∗ aus AX, oder
∗ in Φ, oder
∗ entsteht durch Anwendung einer Schlussregel auf ψj , ψk mit j, k < i
• Die Schlussregeln sind:
– Modus ponens:
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ψ
ψ → ψ0
ψ0
Logik
Generalisierung:
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ψ(c)
∀x ψ(x)
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PL – Weitere Ergebnisse
Vergleich der betrachteten Logiken
Prädikatenlogik vs. Aussagenlogik
Vieles ist ähnlich in Aussagenlogik und Prädikatenlogik.
Aber offensichtlich ist die Prädikatenlogik mächtiger.
Wie ist denn nun das genaue Verhältnis zwischen den beiden?
• Aussagenlogik kann als Prädikatenlogik auf Strukturen aufgefasst
werden, die ausschließlich 0-stellige Prädikate haben:
Aussagenvariablen ≡ Prädikate
Vorsicht: Manches, das ähnlich heißt, hat unterschiedliche Bedeutung!
• Aussagenlogische Variablen entsprechen nicht prädikatenlogischen
Variablen
• Aussagenlogische und prädikatenlogische Substitutionen entsprechen
sich ebenfalls nicht (und die Notation ist unterschiedlich)
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Logik
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PL – Weitere Ergebnisse
Vergleich der betrachteten Logiken
Prädikatenlogik vs. Modallogik (1/2)
Gemäß Definition ist die Modallogik eine Erweiterung der Aussagenlogik.
Statt nur über eine Welt kann sie über verschiedene Welten sprechen.
Wie verhält sich die Modallogik zur Prädikatenlogik?
Zur Beantwortung dieser Frage definieren wir für jede Kripkestruktur
K = (V, E, P ) eine mathematische Struktur K0 mit
• Universum V
• der 2-stelligen Relation E und
• einer 1-stelligen Relation PX für jede AL-Variable X, die in einer
Menge P (s) mit s ∈ V vorkommt
Satz 13.14
Zu jeder ML-Formel ϕ gibt es eine PL-Formel ϕ0 (x) mit nur zwei Variablen
x, y, so dass für jede Kripkestruktur K und jede Welt s von K gilt:
K, s |= ϕ ⇔ (K0 , x 7→ s) |= ϕ0
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Logik
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PL – Weitere Ergebnisse
Vergleich der betrachteten Logiken
Prädikatenlogik vs. Modallogik (2/2)
Die Formel 3A lässt sich beispielsweise übersetzen in:
ϕ0 (x) ≡ ∃y [E(x, y) ∧ (∀x (E(y, x) → PA (x)))]
Beweisskizze
• ML-Formeln lassen sich induktiv wie folgt übersetzen:
–
–
–
–
A durch PA (x)
¬χ durch ¬χ0
χ ∧ ψ durch χ0 ∧ ψ 0
3χ durch ∃y [(E(x, y) ∧ χ0 [x y])]
• Hierbei bezeichnet χ0 [x y] die Formel, die aus χ0 durch Vertauschen
aller Vorkommen von x und y entsteht
– ∀x ∃y E(x, y)[x y] ist beispielsweise ∀y ∃x E(y, x)
• Dass die Konstruktion korrekt ist, lässt sich durch Induktion nach dem
Aufbau von ϕ beweisen
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Logik
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