0.1 Grundbegriffe, Wiederholung aus Analysis II

Den 07. April, 2008
0.1
Grundbegriffe, Wiederholung aus Analysis II
In der analysis gibt es mehrere Konvergenzbegriffe. In gewissen Fällen werden für eine und dieselbe Folge verschiedene Konvergenzbegrieffe eingeführt.
Vor allem hat man den Limesbegriff bei Folgen von reelen Zahlen. Für
eine Funktionenfolge kennt man eine Reihe von Konvergenzbegriffen: nicht
gleichmässig, gleichmässig, fast überall konvergent usw. Alle diese Konvergenzbegriffe haben gemeinsan, dass die Konvergenz einer Folge von Elementen xn (die Zahlen, Funktionen oder Vektoren sein können) gegen ein
Element x unbeschränkte “Annäherung“ von xn an x bedeutet, d.h. eine
unbeschränkte Verringerung des Abstandes zwischen diesen Elementen bei
wachsendem n. Unabhängig von dem, was wir den Abstand zwischen den
Elementen xn und x verstehen, erhalten wir verschiedene Definitionen des
Grenzwertes. Z.B. um die Analysis auf R zu begründen, haben wir|x − y|
als den Abstand zweier Zahlen x und y angesehen und damit der Begriff der
Konvergenz definiert. Durch Verallgemeinerung der Betrachtungsweise der
reelen Zahlen als einer Menge, in der ein Abstand zwischen den Elementen
erklärt ist, gelangen wir zum Begriff des metrisches Raumes, einem der
wichtigsten Begriffe der moderne Mathematik. Daher erscheint es notwendig,
eine allgemeine Definition des Abstandes zwischen beiden Elementen zu
geben, die die betrachteten speziellen Fälle umfasst, und dann mit der Hilfe
dieses Abstandes in der Menge den Begriff des Grenzüberganges einzuführen.
Diese Menge wird dann zu einem abstrakten Raum.
Definition 0.1 Sei X eine Menge. Eine eindeutige Funktion d(x, y)
die fuer beliebige x, y ∈ X erklaert ist, heisst Metrik, falls sie folgende drei
Bedingungen genügt:
1. d(x, y) = 0 gilt genau dann, wenn x = y ist
2, d(x, y) = d(y, x) (Symetrie)
3.d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)(Dreiecksungleichung)
Definition 0.2 Als metrischer Raum bezeichnen wir ein Paar (X, d),
das aus einer Menge X von Elementen(Punkten) und einem Abstand, einer
Metrik, besteht.
Die Zahl d(x, y) heisst Abstand zwischen den Elementen x und y und die
obigen Bedingungen nennt man metrische Axiome. Wir bezeichnen einen
metrischen Raum oft auch mit demselben Symbol wie seine ”Grundmenge “
X. Zunächst bemerken wir, dass jede in einem metrischen Raum X liegende
Menge X 0 für die derselbe Abstand eingefúhrt wurde wie in X, selbst einen
metrischen Raum bildet und Teilraum von X genannt wird.
Bemerkung. Aus Dreiecksungleichung und Symmetrie folgt dass
0 = d(x, x) ≤ d(x, y) + d(y, x) = 2d(x, y).
1
Also d(x, y) ≥ 0.
Definition 0.3 Ein Element x ∈ X heisst Grenzwert einer Folge {xn }
von Elementen aus X wenn gilt d(xn , x) → 0 wenn n → ∞.(limn→∞ xn = x)
Eigenschaften
Theorem 0.4 Wenn eine Punktfolge {xn } eines metrischen Raumes X
gegen einen Punkt x ∈ X konvergiert, so konvergiert auch jede Teilfolge
{xkn } der Folge {xn } gegen denselben Punkt.
Theorem 0.5 Eine Punktfolge {xn } eines metrischen Raumes X kann
höhstens gegen einen grenzwert konvergieren
Theorem 0.6 Wenn eine Punktfolge {xn } aus X gegen einen Punkt
x ∈ X konvergiert, dann ist sie in folgendem Sinne beschränkt: für jeden
festen Punkt y ∈ X ist die Menge der Zahlen d(xn , y) beschränkt.
Die Beweise sind trivial.
Als Kugel(abgeschlossene Kugel) mit dem Mittelpunkt a und dem Radius r
bezeichnen wir die Menge aller Punkte x ∈ X die der Ungleichung d(x, a) <
r, (d(x, a) ≤ r) genügen. Diese Kugel werden wir mit B(a, r)(B(a, r)) bezeichnen.
Unter einer Umgebung von x verstehen wir jede Kugel mit x als Mittelpunkt. Dann sieht man leicht, dass
lim xn = x
n→∞
genau dann, wenn jede Umgebung des Punktes x von einer gewissen Nummer an alle Punkte der betrachtenen Folge enthält. Eine Menge, der innerhalb einer Kugel ist, heisst beschränkt.
Offene und abgeschlossene Mengen.
Sei X ein metrischer Raum und M ⊂ X eine Teilmenge.
Definition 0.7 1. x heisst innerer Punkt von M , wenn ε > 0 existiert,
so dass B(x, ε) ⊂ M.
2. x heisst Randpunkt
von M , wenn für jedes ε > 0 sowohl B(x, ε)∩M 6=
T
® als auch B(x, ε) (X \ M ) 6= ®
3. x heisst Häufungspunkt von M wenn jede Umgebung des Punktes x
mindestens einen Punkt der Menge M \ {x} enthält.
4. x heisst singulärer Punkt von M wenn ein ε > 0 existiert, so dass
B(x, ε) ∩ M = {x}
Bemerkung. Innere Punkte und singulärer Punkte nach Definition
immer in M enthalten sind. Die Randpunkte und Häufungspunkte nicht
notwendig zu M gehören
2
Definition 0.8 1.∂M := {Randpunkte von M } heisst Rand von M
2.Die Menge, die man enthält, wenn man zu M alle ihre Häufungspunkte
hinzunimmt, heisst abgeschlossene Hülle von M .
3. M 0 :=Häufungspunkte von M .
Definition 0.9 Eine Menge M in einem metrischen Raum X heisst
1. abgeschlossen, wenn sie mit ihrem Abschluss übereinstimmt.
2. offen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
Theorem 0.10 Eine Menge M ⊂ X ist genau dann offen, wenn ihr
Kompliment X \ M abgeschlossen ist.
Beweis. Es sei M offen und x ∈ M , dann ∃ eine Umgebung B(x, r) von
x, die B(x, r) ⊂ M , d.h. in B(x, r) @ kein Punkt aus X \ M, deswegen ist
x kein Häufungspunkt für X \ M.
Es sei X \ M abgeschlossen und x ∈ X. Dann x ∈
/ X \ M und ist kein
Häufungspunkt für X \ M. D.h. es existiert eine Umgebung von x, die kein
Punkt aus X \M hat. Diese Umgebung liegt dann in M . Damit ist bewiesen,
dass M eine offene Menge ist. B
Theorem 0.11 1. Der Durchschnitt beliebig vieler und die Vereinigung
endlich vieler abgeschlossener Mengen sind abgeschlossene Mengen.
2.Der Durchschnitt endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen sind offene Mengen.
Beweis.1. Es sei M = ∩nj=1 Mj , wobei Mj offen sind. Wenn x ∈ M ,
dann x ∈ Mj für alle j. Dann ∃Bj (x, rj ) ⊂ Mj . Wenn wir r = minj rj
wählen, dann B(x, r) ∈ M.
Wenn M = ∩∞
j=1 Mj und x ∈ M , dann x ∈ Mj0 für mindestens eine
Menge. Nach Definition ∃B(x, ri0 ⊂ Mj0 , folglich B(x, ri0 ⊂ M.
2. Der Beweis folgt aus der Gleichung X \ ∩j Mj = ∪j X \ Mj .B
Aufgabe 1. Man gebe beliebig viele abgeschlossenen Mengen, deren
Vereinigung nicht abgeschlossen ist
2. Man gebe beliebig viele offenen Mengen, deren Durchschnitt nicht
offen ist
Bemerkung. Weil die leere Menge und der ganze Raum X abgeschlossen
sind und gleichzeitig die Komplimente voneinander bilden, sind die leere
Menge und der ganze Raum X ebenfalls offen.
0.2
Beispiele von metrischen Räumen
1. Die Zahlengerade. Sei X = R, d(x, y) = |x − y|. Es gelten die
metrische Axiome(prüfe!) und die Konvergenz ist die übliche Konvergenz
der Zahlenfolge.
3
2. Der Raum der stetiger Funktionen Es sei X eine Menge der
stetigen Funktionen, die auf dem Intervall [0, 1] definiert sind. Wir definieren
eine Metrik als d(x, y) = max0≤t≤1 |x(t) − y(t)| und bezeichnen der Raum
mit C[0, 1]. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die metrische Axiome erfühlt
sind. Jetzt betrachten wir die Konvergenz im Raum C[0, 1]. Es sei eine Folge
{xn (t)} von Elementen aus C[0, 1] gegeben, die gegen x(t) konvergiert. Dies
besagt, dass
max |xn (t) − x(t)| → 0, (n → ∞)
0≤t≤1
d.h. zu jedem ε > 0 gibt es N = N (ε) so dass max0≤t≤1 |xn (t) − x(t)| < ε
fr̈ alle n > N. Folglich ist |xn (t) − x(t)| < ε für jedes t ∈ [0, 1]. das heisst
aber dass die Folge xn (t) gleichmässig gegen x(t) konvergiert. Es gilt auch
die Umkehrung: wenn die Folge xn (t) gleichmässig gegen x(t) konvergiert,
so ist d(xn , x) → 0, wenn n → ∞. Also die Konvergenz im Raum C[0, 1] ist
gleichmässig.
3. Die Menge aller n− Tupel(Rnp ) von reelen Zahlen mit der
Abstand
µX
¶1/p
n
d(x, y) =
|ξj − ηj |p
< ∞.
j=1
wobei p ≥ 1 eine beliebige Zahl ist. Sofort bestätigt man, dass die
Axiome 1 und 2 der Metrik erfüllt sind. Um das Axiom 3 zu bewisen, zeigen
wir erst die Minkovskische Ungleichung
µX
¶1/p µX
¶1/p µX
¶1/p
n
n
n
|aj + bj |p
≤
|aj |p
+
|bj |p
.
(1)
j=1
j=1
j=1
a = (a1 , ..., an ), b = (b1 , ..., bn )
Für p = 1 gilt sie trivialerweise, daher werden wir annehmen, dass p > 1
ist. Der Beweis der Ungleichung (1) beruhrt auf der Hölderschen Ungleichung
µX
¶1/p µX
¶1/q
n
n
n
X
p
q
|aj bj | ≤
|aj |
|bj |
j=1
j=1
j=1
wobei 1/p + 1/q = 1. Erst stellen wir fest, dass die letzte Ungleichung homogen ist. Das heisst, wenn sie für zwei beliebige Vektoren a = (a1 , ..., an )
und b = (b1 , ..., bn ) gültig ist, dann gilt sie auch für die Vektoren λa und µb,
wobei λ und µ beliebige Zahlen sind. Daher genügt es sie für den Fall
n
X
j=1
|aj |p =
n
X
|bj |q = 1
(2)
j=1
zu beweisen.
P
Es sei also (2) erfüllt. Wir zeigen dann nj=1 |aj bj | ≤ 1. Dazu betrachten
wir in der ξ, η Ebene die Kurve, die durch die Gleichung η = ξ p−1 (ξ > 0)
4
oder was genau dasselbe ist, durch die Gleichung ξ = η q−1 bestimmt ist.
Wenn wir die entsprechende Fläche mit S1 und S2 bezeichnen, dann haben
wir S1 + S2 ≥ ab für belibige a, b ∈ R. Die Berechnung ergibt
Z a
Z a
p−1
S1 =
ξ dξ, S2 =
η q−1 dη
0
0
Also gilt die Ungleichung ab ≤ ap /p + bq /q für die belibige reelen Zahlen
a, b. Wenn wir hier
P a durch |aj | und b durch |bj | ersetzen und summieren,
bekommen wir nj=1 |aj bj | ≤ 1.
Dann nehmen wir
µX
¶1/p
µX
¶1/q
n
n
λ=
|aj |p
; µ=
|aj |q
j=1
j=1
und ist damit der Hölderschen Ungleichung bewiesen.
Jetzt kommen wir zum Beweis der Minkovskischen Ungleichung.
n
X
p
(|aj | + |bj |) =
j=1
n
X
p−1
|aj + bj |
|aj | +
j=1
n
X
|aj + bj |p−1 |bj |
j=1
Wenden wir jetzt auf jede der beiden rechts stehenden Summen die Hölderschen
Ungleichung an, so erhalten wir
µX
¶1/q µµX
¶1/p µX
¶1/p ¶
n
n
n
n
X
p
p
p
p
(|aj | + |bj |) =
(|aj | + |bj |)
|aj |
+
|bj |
j=1
j=1
j=1
j=1
Dann bekommen wir
µX
¶1/p µX
¶1/p µX
¶1/p
n
n
n
(|aj | + |bj |)p
=
|aj |p
+
|bj |p
j=1
j=1
j=1
woraus sofort Minkovskische Ungleichung folgt. Damit ist die Axiome 3 in
Rnp beviesen. Man kann zeigen, dass die Konvergenz einer Folge gegen ein
Element im Raum Rnp mit dem betrachtenen Abstand ist die koordinaten(k)
(k)
weise Konvergenz.Es sei xk = (ξ1 , ..., ξn ) und d(xk , x) → 0, wenn n → ∞.
D.h.
n
X
(ξj (k) − ξj )p → 0, (k → ∞
j=1
(k)
und das ist der Bedingung ξj → ξj (1 ≤ j ≤ n) für k → ∞ gleichwertig:
also ist die Konvergenz in Rpn mit dem betrachtenen Abstand die koordinatenweise Konvergenz.
Bemerkung. Man kann auch andere Abstande in Rn nehmen.
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